第五章 函数应用 培优专练-2022-2023学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册（Word版含答案）

《第五章　函数应用》培优专练
一、选择题
1.已知函数f(x)满足:①定义域为R;②对于任意的x∈R,有f(x+2)=2f(x);③当x∈[0,2]时,f(x)=2-|2x-2|.记φ(x)=f(x)-(x∈[-8,8]).根据以上信息,可以得到函数φ(x)的零点个数为(　　)
A.15 B.10 C.9 D.8
2.[2020全国Ⅲ卷理]Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=,其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 19≈3)(　　)
A.60 B.63 C.66 D.69
3.已知函数y=f(x)和y=g(x)的定义域及值域均为[-a,a](a>0),它们的图象如图所示,则函数y=f(g(x))的零点的个数为(　　)
A.2 B.3 C.5 D.6
4.基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)(　　)
A.1.2天 B.1.8天
C.2.5天 D.3.5天
5.函数f(x)=的图象类似于汉字“囧”,故被称为“囧函数”,则下列关于函数f(x)的说法中正确的个数为(　　)
①函数f(x)的定义域为{x|x≠1};
②f(f(2 022))=-;
③函数f(x)的图象关于直线x=1对称;
④当x∈(-1,1)时,f(x)max=-1;
⑤函数g(x)=f(x)-x2+4有四个零点.
A.2 B.3 C.4 D.5
6.对于定义在R上的函数y=f(x),若f(m)·f(n)>0(m,n∈R,且mA.只有一个零点
B.至少有一个零点
C.无零点
D.无法确定有无零点
7.已知函数f(x)在区间[a,b]上单调,且图象是连续不断的,若 f(a)·f(b)<0,则方程f(x)=0在区间[a,b]上(　　)
A.至少有一个实数根
B.至多有一个实数根
C.没有实数根
D.必有唯一的实数根
8.定义运算:x y=,已知函数f(x)=(x2-3) (x-1),若函数y=f(x)-c恰有两个零点,则实数c的取值范围是(　　)
A.[-3,-2) B.[-3,-2]∪[2,+∞)
C.[-2,2] D.(-3,-2)∪[2,+∞)
9.[2022辽宁重点高中协作体高一上期末考试]已知函数f(x)=,若关于x的方程[f(x)]2+(2a-1)f(x)+a2-a=0有5个不同的实数根,则实数a的取值范围为(　　)
A.(-1,1] B.(-1,0]
C.[0,1] D.[-1,1]
二、非选择题
10.如图,有一块矩形空地ABCD,要在这块空地上开辟一个内接四边形EFGH为绿地,使其四个顶点分别落在矩形ABCD的四条边上.已知|AB|=a(a>2),|BC|=2,且|AE|=|AH|=|CF|=|CG|,设|AE|=x,绿地EFGH的面积为y.
(1)写出y关于x的函数解析式,并求出它的定义域.
(2)当|AE|为何值时,绿地面积y最大 并求出最大值.
11. 已知函数f(x)=ax2-2x+1.
(1)当a=时,求f(x)在区间[1,2]上的值域.
(2)当a≤时,是否存在这样的实数a,使得关于x的方程f(x)-log2=0在区间[1,2]上有且只有一个根 若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.
12.已知函数f(x)=2x2-8x+m+3(m∈R)为R上的连续函数.
(1)若函数f(x)在区间[-1,1]上存在零点,求实数m的取值范围.
(2)若m=-4 ,判断函数f(x)在区间(-1,1)上是否存在零点.若存在,请在精确度为0.2的条件下,用二分法求出该零点x0存在的区间;若不存在,请说明理由.
参考答案
一、选择题
1.B 2.C 3.D 4.B 5.B 6.D 7.D 8.D 9.A
二、非选择题
10.(1)由题意,得S△AEH=S△CFG=x2,
S△BEF=S△DGH=(a-x)(2-x),
所以y=S矩形ABCD-2S△AEH-2S△BEF=-2x2+(a+2)x.
由,得0故y=-2x2+(a+2)x,定义域为(0,2].
(2)y=-2x2+(a+2)x=-2(x-)2+.
当<2且a>2,即2当x=时,ymax=;
当≥2,即a≥6时,y=-2x2+(a+2)x在(0,2]上单调递增,
则当x=2时,ymax=2a-4.
综上所述,当211.(1)当a=时,f(x)=x2-2x+1,
f(x)图象的对称轴方程为x=,易知∈[1,2],
又f()=-,f(1)=-所以f(x)在区间[1,2]上的值域为[-,0].
(2)存在实数a∈[-1,],使方程f(x)-log2=0在区间[1,2]上有且只有一个根.
当a=0时,函数f(x)=-2x+1在区间[1,2]上单调递减;
当0当a<0时,<0,函数f(x)=ax2-2x+1在区间[1,2]上单调递减.
综上所述,当a≤时,函数f(x)在区间[1,2]上单调递减.
令h(x)=log2,x∈[1,2],则h(x)在区间[1,2]上单调递增,
原命题等价于函数f(x)与h(x)的图象在区间[1,2]上有唯一交点,
则,即,
解得a∈[-1,].
所以存在实数a∈[-1,],使得关于x的方程f(x)-log2=0在区间[1,2]上有且只有一个根.
12. (1)易知函数f(x)在区间[-1,1]上单调递减,
∵f(x)在区间[-1,1]上存在零点,
∴,即,∴-13≤m≤3.
∴实数m的取值范围是[-13,3].
(2)当m=-4时,f(x)=2x2-8x-1,
易求出f(-1)=9,f(1)=-7.
∵f(-1)·f(1)<0,f(x)在区间(-1,1)上单调递减,
∴函数f(x)在区间(-1,1)上存在唯一零点x0.
∵f(0)=-1<0,∴f(-1)·f(0)<0,
∴x0∈(-1,0).
∵f(-)=>0,∴f(-)·f(0)<0,
∴x0∈(-,0).
∵f(-)=>0 ,∴f(-)·f(0)<0,
∴x0∈(-,0).
∵f(-)=>0,∴f(-)·f(0)<0,
∴x0∈(-,0).
∵|--0|==0.2,∴所求区间为(-,0).