高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第二章——2.2.2直线的两点式方程A（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第二章——2.2.2直线的两点式方程A（Word版含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 415.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-16 09:20:51 | ||
图片预览
文档简介
高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第二章——2.2.2直线的两点式方程A
未命名
一、单选题
1．在轴和轴上的截距分别为和5的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，方程所表示的曲线是（ ）
A．两条平行线 B．一个矩形 C．一个菱形 D．一个圆
3．某地汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y（元）与行李重量的关系如图所示，则旅客最多可免费携带行李的重量为（ ）
A．20 kg B．25 kg C．30 kg D．80 kg
4．一条光线从处射到点后被轴反射，则反射光线所在直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．下列说法错误的个数是（ ）
①平面内所有的直线方程都可以用斜截式来表示
②直线与轴的交点到原点的距离为
③在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为
④不能表示过且斜率为的直线方程
⑤两条直线中，斜率越大则倾斜角越大
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．与的公共弦所在的直线和两坐标轴所围成图形的面积为2，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
二、多选题
7．下列说法错误的是（ ）
A．过定点的直线都可用方程表示
B．过定点的直线都可用方程表示
C．过任意两个点，的直线都可用方程
表示
D．不过原点的直线都可用方程表示
8．下列说法正确的是（ ）
A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8
B．过，两点的直线方程为
C．直线与直线相互垂直．
D．经过点且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为
三、填空题
9．过点,的直线方程（一般式）为___________.
10．已知的三顶点为，则边上的中线所在的直线方程为_____________．
11．下列命题：
①当直线经过两点，，时，直线的斜率为
②直线与轴交于一点，则直线在轴上的截距为
③在轴和轴上截距相等的直线方程为
④方程表示过点和的直线．
其中说法中正确的命题番号是______．
12．已知直线l：y＝k（x﹣2）+3，且l与x轴、y轴分别交于A、B两点.若使△AOB的面积为m的直线l共有四条，则正实数m的取值范围是____.
四、解答题
13．已知直线l经过点，其倾斜角为.
（1）求直线l的方程；
（2）求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积.
14．已知直线l过点.
（1）当直线l在两坐标轴上的截距相等时，求直线l方程；
（2）若直线l交x轴正半轴，y轴正半轴分别于A，B两点，求面积的最小值.
15．已知三角形的三个顶点.
(1)求BC边所在直线的方程；
(2)求BC边上的高所在直线方程；
(3)求BC边的中垂线所在直线方程.
16．求过点，且在轴上的截距是轴上的截距的2倍的直线的方程．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】由题意知，直接代入直线可得答案.
【详解】题意知，代入直线的截距式方程可得
．
故选:C.
【点睛】本题考查了直线方程的截距式，考查了截距的概念，属于基础题.
2．C
【分析】去掉绝对值，即可判断图象形状.
【详解】当时，方程为；
当时，方程为；
当时，方程为；
当时，方程为，
因此原方程所表示的曲线是一个以，，，为顶点的菱形．
故选：C.
【点睛】本题考查直线方程截距式的理解，属于基础题.
3．C
【分析】根据图象结合直线的两点式方程求出直线的方程，从而可求解．
【详解】由图知点，，
所以由直线方程的两点式，得直线的方程是，即．
依题意，令，得，即旅客最多可免费携带30 kg行李．
故选：C.
4．B
【分析】先求得点关于轴的对称点在反射光线所在的直线上．再由点也在反射光线所在的直线上，用两点式可求得反射光线所在直线的方程.
【详解】因为点关于轴的对称点是，
由题意知在反射光线所在的直线上．
又因为点也在反射光线所在的直线上，
所以反射光线所在直线的方程为，
即．
故选：B
【点睛】本题主要考查直线方程的求法以及对称问题，属于基础题.
5．C
【解析】由直线的方程的几种形式所适用的范围，逐一判断可得选项.
【详解】对于①：当直线的斜率不存在时，直线不能用斜截式，故①不正确；
对于②：中的b，有正，有负，或是0，所以直线与轴的交点到原点的距离为，故②不正确；
对于③：当直线的在轴、轴上的截距不为0时，才可以表示成，故③不正确；
对于④：因为中需满足，所以不过，故④正确；
对于⑤：当一条直线的斜率是正的，另一条直线的斜率是负的，由于正数大于负数，而此时斜率大的直线的倾斜角是锐角，斜率小的直线的倾斜角是钝角，不满足斜率越大，倾斜角越大，故⑤不正确；
所以错误的命题有4个，
故选：C.
6．D
【解析】两圆相交，方程相减得出公共弦方程，注意一般方程满足.
【详解】①
②
由①②可得：公共弦方程为.
公共弦方程为.
可得与轴交点为：，与轴交点为：
故公共弦所在的直线和两坐标轴所围成图形的面积为：
得，
.解得
或.
故选：D．
【点睛】此题考查通过两圆的公共弦所在直线与坐标轴围成的面积问题求参数的值，需要注意考虑公共弦所在直线不是简单地将两圆方程相减，还需考虑求得参数能否使曲线构成圆，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
7．ABD
【解析】根据斜率不存在时不能用点斜式与斜截式表示；截距为零的直线不能用截距式表示；从而可得结果.
【详解】因为直线与轴垂直时不能用点斜式与斜截式表示，所以选项AB不正确；
因为直线与坐标轴垂直时不能与截距式表示，所以选项D不正确；
C选项，过任意两个点，的直线，斜率存在时，方程为，可化为；斜率不存在时，，直线方程为也满足，故C正确；
故选：ABD.
8．AC
【解析】由题意逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【详解】直线x﹣y﹣4＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是×4×4＝8，故A正确；
当x2＝x1或y2＝y1时，式子＝无意义，故B不正确；
直线x﹣2y﹣4＝0与直线2x+y+1＝0的斜率之积为×（﹣2）＝﹣1，故线x﹣2y﹣4＝0与直线2x+y+1＝0垂直，故C正确；
经过点（1，2）且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣3＝0或y＝2x，故D错误，
故选：AC．
【点睛】结论点睛：
两条直线垂直；
截距式直线方程：，①在两坐标轴上截距都相等，②在两坐标轴上截距相反；
过两点的直线方程的表示：①时，，②时，，③时，.
9．
【分析】利用两点式方程可求直线方程.
【详解】∵直线过点,，∴，∴，
化简得.
故答案为：.
10．
【分析】求出边BC的中点，再借助直线两点式方程即可求出方程.
【详解】在中，，则边BC的中点D，
则有直线AD的方程为：，整理得：，
所以边上的中线所在的直线方程为：.
故答案为：y=x+1
11．①④
【分析】分别由直线的斜率公式、直线在轴上的截距、直线的截距式方程、两点式方程的变形式逐一核对得出答案．
【详解】对于①，因为直线经过两点，，时，所以直线的斜率为，故①正确；
对于②，截距不是距离，是点的纵坐标，其值可正可负．故②不正确；
对于③，经过原点的直线在两坐标轴上的截距都是0，不能表示为，故③不正确；
对于④，此方程即直线的两点式方程变形，即，故④正确．
故答案为：①④.
12．m＞12
【分析】由题可表示出△AOB的面积，然后利用基本不等式及已知条件可求.
【详解】∵直线与x轴，y轴交点的坐标分别是，，
，
当k＞0时，，
当且仅当时取等号.
∴当S△AOB＝m＞0时，在k＞0时，k有两值；
当k＜0时，，
当且仅当时取等号.
∴当0＜m＜12时，仅有两条直线使△AOB的面积为m；
当m＝12时，仅有三条直线使△AOB的面积为m；
当m＞12时，仅有四条直线使△AOB的面积为m.
故答案为：m＞12.
13．(1) ; (2) .
【解析】(1) 由斜率,再利用点斜式即可求得直线的方程；
(2) 由直线的方程，分别令为，得到纵截距与横截距，即可得到直线与两坐标轴所围成的三角形的面积.
【详解】(1)
直线的方程为：，即.
(2) 由 (1) 令，则；令，则.
所以直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为：
.
【点睛】本题考查直线的点斜式方程，直线截距的意义，三角形的面积，属于基础题.
14．（1）或；（2）最小值为4.
【解析】（1）当直线的截距为时，直接求解；当截距不为时， 设直线方程的截距式：设直线l的方程为，将点代入，解出即得直线方程；
（2）同样设直线l的方程为，问题变为已知，要求的最小值，把已知条件利用基本不等式即得．
【详解】（1）当直线的截距为时，则
当截距不为时，设直线l的方程为，
把点代入可得，解得，
故直线l的方程为或.
（2）设直线l的方程为，把点P代入可得，
则，即，当，即，时取“”
故，
所以面积的最小值为.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
15．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）直接利用直线两点式方程求解即可；
（2）先求，根据直线垂直可得BC边上的高所在直线的斜率，再利用点斜式求解即可；
（3）先求中点为，再利用点斜式求解即可.
(1)
利用点斜式可得直线方程为，
整理可得；
(2)
由，
所以BC边上的高所在直线的斜率，
所以BC边上的高所在直线方程为，
整理可得；
(3)
由中点为，
由（2）知BC边的垂直平分线的斜率，
所以BC边的垂直平分线为，
整理可得.
16．或．
【分析】当纵截距为0时，设直线方程为y=kx，代入点(5,2)求得k的值，.当纵截距不为0时，设直线的截距式方程，代入点(5,2)求解.
【详解】①当直线在两坐标轴上的截距均为0时，因为直线过点，
所以直线的方程为；
②当直线在两坐标轴上的截距均不为0时，设直线在轴上的截距为，
则在轴上的截距为，则直线的方程为，
又直线过点，
∴，
解得，
∴直线的方程为．
综上;直线的方程为或．
【点睛】本题主要考查直线的斜截式方程和截距式方程，属于基础题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
未命名
一、单选题
1．在轴和轴上的截距分别为和5的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，方程所表示的曲线是（ ）
A．两条平行线 B．一个矩形 C．一个菱形 D．一个圆
3．某地汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y（元）与行李重量的关系如图所示，则旅客最多可免费携带行李的重量为（ ）
A．20 kg B．25 kg C．30 kg D．80 kg
4．一条光线从处射到点后被轴反射，则反射光线所在直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．下列说法错误的个数是（ ）
①平面内所有的直线方程都可以用斜截式来表示
②直线与轴的交点到原点的距离为
③在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为
④不能表示过且斜率为的直线方程
⑤两条直线中，斜率越大则倾斜角越大
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．与的公共弦所在的直线和两坐标轴所围成图形的面积为2，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
二、多选题
7．下列说法错误的是（ ）
A．过定点的直线都可用方程表示
B．过定点的直线都可用方程表示
C．过任意两个点，的直线都可用方程
表示
D．不过原点的直线都可用方程表示
8．下列说法正确的是（ ）
A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8
B．过，两点的直线方程为
C．直线与直线相互垂直．
D．经过点且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为
三、填空题
9．过点,的直线方程（一般式）为___________.
10．已知的三顶点为，则边上的中线所在的直线方程为_____________．
11．下列命题：
①当直线经过两点，，时，直线的斜率为
②直线与轴交于一点，则直线在轴上的截距为
③在轴和轴上截距相等的直线方程为
④方程表示过点和的直线．
其中说法中正确的命题番号是______．
12．已知直线l：y＝k（x﹣2）+3，且l与x轴、y轴分别交于A、B两点.若使△AOB的面积为m的直线l共有四条，则正实数m的取值范围是____.
四、解答题
13．已知直线l经过点，其倾斜角为.
（1）求直线l的方程；
（2）求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积.
14．已知直线l过点.
（1）当直线l在两坐标轴上的截距相等时，求直线l方程；
（2）若直线l交x轴正半轴，y轴正半轴分别于A，B两点，求面积的最小值.
15．已知三角形的三个顶点.
(1)求BC边所在直线的方程；
(2)求BC边上的高所在直线方程；
(3)求BC边的中垂线所在直线方程.
16．求过点，且在轴上的截距是轴上的截距的2倍的直线的方程．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】由题意知，直接代入直线可得答案.
【详解】题意知，代入直线的截距式方程可得
．
故选:C.
【点睛】本题考查了直线方程的截距式，考查了截距的概念，属于基础题.
2．C
【分析】去掉绝对值，即可判断图象形状.
【详解】当时，方程为；
当时，方程为；
当时，方程为；
当时，方程为，
因此原方程所表示的曲线是一个以，，，为顶点的菱形．
故选：C.
【点睛】本题考查直线方程截距式的理解，属于基础题.
3．C
【分析】根据图象结合直线的两点式方程求出直线的方程，从而可求解．
【详解】由图知点，，
所以由直线方程的两点式，得直线的方程是，即．
依题意，令，得，即旅客最多可免费携带30 kg行李．
故选：C.
4．B
【分析】先求得点关于轴的对称点在反射光线所在的直线上．再由点也在反射光线所在的直线上，用两点式可求得反射光线所在直线的方程.
【详解】因为点关于轴的对称点是，
由题意知在反射光线所在的直线上．
又因为点也在反射光线所在的直线上，
所以反射光线所在直线的方程为，
即．
故选：B
【点睛】本题主要考查直线方程的求法以及对称问题，属于基础题.
5．C
【解析】由直线的方程的几种形式所适用的范围，逐一判断可得选项.
【详解】对于①：当直线的斜率不存在时，直线不能用斜截式，故①不正确；
对于②：中的b，有正，有负，或是0，所以直线与轴的交点到原点的距离为，故②不正确；
对于③：当直线的在轴、轴上的截距不为0时，才可以表示成，故③不正确；
对于④：因为中需满足，所以不过，故④正确；
对于⑤：当一条直线的斜率是正的，另一条直线的斜率是负的，由于正数大于负数，而此时斜率大的直线的倾斜角是锐角，斜率小的直线的倾斜角是钝角，不满足斜率越大，倾斜角越大，故⑤不正确；
所以错误的命题有4个，
故选：C.
6．D
【解析】两圆相交，方程相减得出公共弦方程，注意一般方程满足.
【详解】①
②
由①②可得：公共弦方程为.
公共弦方程为.
可得与轴交点为：，与轴交点为：
故公共弦所在的直线和两坐标轴所围成图形的面积为：
得，
.解得
或.
故选：D．
【点睛】此题考查通过两圆的公共弦所在直线与坐标轴围成的面积问题求参数的值，需要注意考虑公共弦所在直线不是简单地将两圆方程相减，还需考虑求得参数能否使曲线构成圆，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
7．ABD
【解析】根据斜率不存在时不能用点斜式与斜截式表示；截距为零的直线不能用截距式表示；从而可得结果.
【详解】因为直线与轴垂直时不能用点斜式与斜截式表示，所以选项AB不正确；
因为直线与坐标轴垂直时不能与截距式表示，所以选项D不正确；
C选项，过任意两个点，的直线，斜率存在时，方程为，可化为；斜率不存在时，，直线方程为也满足，故C正确；
故选：ABD.
8．AC
【解析】由题意逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【详解】直线x﹣y﹣4＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是×4×4＝8，故A正确；
当x2＝x1或y2＝y1时，式子＝无意义，故B不正确；
直线x﹣2y﹣4＝0与直线2x+y+1＝0的斜率之积为×（﹣2）＝﹣1，故线x﹣2y﹣4＝0与直线2x+y+1＝0垂直，故C正确；
经过点（1，2）且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣3＝0或y＝2x，故D错误，
故选：AC．
【点睛】结论点睛：
两条直线垂直；
截距式直线方程：，①在两坐标轴上截距都相等，②在两坐标轴上截距相反；
过两点的直线方程的表示：①时，，②时，，③时，.
9．
【分析】利用两点式方程可求直线方程.
【详解】∵直线过点,，∴，∴，
化简得.
故答案为：.
10．
【分析】求出边BC的中点，再借助直线两点式方程即可求出方程.
【详解】在中，，则边BC的中点D，
则有直线AD的方程为：，整理得：，
所以边上的中线所在的直线方程为：.
故答案为：y=x+1
11．①④
【分析】分别由直线的斜率公式、直线在轴上的截距、直线的截距式方程、两点式方程的变形式逐一核对得出答案．
【详解】对于①，因为直线经过两点，，时，所以直线的斜率为，故①正确；
对于②，截距不是距离，是点的纵坐标，其值可正可负．故②不正确；
对于③，经过原点的直线在两坐标轴上的截距都是0，不能表示为，故③不正确；
对于④，此方程即直线的两点式方程变形，即，故④正确．
故答案为：①④.
12．m＞12
【分析】由题可表示出△AOB的面积，然后利用基本不等式及已知条件可求.
【详解】∵直线与x轴，y轴交点的坐标分别是，，
，
当k＞0时，，
当且仅当时取等号.
∴当S△AOB＝m＞0时，在k＞0时，k有两值；
当k＜0时，，
当且仅当时取等号.
∴当0＜m＜12时，仅有两条直线使△AOB的面积为m；
当m＝12时，仅有三条直线使△AOB的面积为m；
当m＞12时，仅有四条直线使△AOB的面积为m.
故答案为：m＞12.
13．(1) ; (2) .
【解析】(1) 由斜率,再利用点斜式即可求得直线的方程；
(2) 由直线的方程，分别令为，得到纵截距与横截距，即可得到直线与两坐标轴所围成的三角形的面积.
【详解】(1)
直线的方程为：，即.
(2) 由 (1) 令，则；令，则.
所以直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为：
.
【点睛】本题考查直线的点斜式方程，直线截距的意义，三角形的面积，属于基础题.
14．（1）或；（2）最小值为4.
【解析】（1）当直线的截距为时，直接求解；当截距不为时， 设直线方程的截距式：设直线l的方程为，将点代入，解出即得直线方程；
（2）同样设直线l的方程为，问题变为已知，要求的最小值，把已知条件利用基本不等式即得．
【详解】（1）当直线的截距为时，则
当截距不为时，设直线l的方程为，
把点代入可得，解得，
故直线l的方程为或.
（2）设直线l的方程为，把点P代入可得，
则，即，当，即，时取“”
故，
所以面积的最小值为.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
15．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）直接利用直线两点式方程求解即可；
（2）先求，根据直线垂直可得BC边上的高所在直线的斜率，再利用点斜式求解即可；
（3）先求中点为，再利用点斜式求解即可.
(1)
利用点斜式可得直线方程为，
整理可得；
(2)
由，
所以BC边上的高所在直线的斜率，
所以BC边上的高所在直线方程为，
整理可得；
(3)
由中点为，
由（2）知BC边的垂直平分线的斜率，
所以BC边的垂直平分线为，
整理可得.
16．或．
【分析】当纵截距为0时，设直线方程为y=kx，代入点(5,2)求得k的值，.当纵截距不为0时，设直线的截距式方程，代入点(5,2)求解.
【详解】①当直线在两坐标轴上的截距均为0时，因为直线过点，
所以直线的方程为；
②当直线在两坐标轴上的截距均不为0时，设直线在轴上的截距为，
则在轴上的截距为，则直线的方程为，
又直线过点，
∴，
解得，
∴直线的方程为．
综上;直线的方程为或．
【点睛】本题主要考查直线的斜截式方程和截距式方程，属于基础题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页