高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第二章——2.2.2直线的两点式方程B（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第二章——2.2.2直线的两点式方程B（Word版含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 422.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-16 09:21:26 | ||
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文档简介
高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第二章——2.2.2直线的两点式方程B
未命名
一、单选题
1．一束光线从点处射到y轴上一点后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程是
A． B．
C． D．
2．下列说法中不正确的是（ ）.
A．点斜式适用于不垂直于轴的任何直线.
B．斜截式适用于不垂直于轴的任何直线.
C．两点式适用于不垂直于轴和轴的任何直线.
D．截距式适用于不过原点的任何直线.
3．已知，则直线与坐标轴围成的三角形面积是
A．2 B．4 C． D．2或
4．设 的一个顶点是，的平分线方程分别为，则直线的方程为
A． B． C． D．
5．已知直线：与直线：交于点，为坐标原点，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．过点作直线l与两坐标轴的正半轴相交，所围成的三角形面积为2，则这样的直线l有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．0条
二、多选题
7．已知直线：在轴和轴上的截距相等，则的值可能是（ ）
A．1 B．
C．2 D．
8．下列说法错误的是（ ）
A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
B．直线的倾斜角的取值范围是
C．过，两点的所在直线的方程为
D．经过点且在轴和轴上截距相等的直线方程为
三、填空题
9．过点,的直线方程（一般式）为___________.
10．经过点，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l的方程为_________．
11．已知圆和点，则过点且与圆相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________________．
12．坐标平面内过点，且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为___________.
四、解答题
13．已知三角形的三个顶点.
（1）求BC边所在直线的方程；
（2）求BC边上的高所在直线方程.
14．已知直线平行于直线，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程.
15．过点作直线 分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点.
(1)当△AOB面积最小时，求直线 的方程；
(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线 的方程.
16．过点作直线分别交轴、轴的正半轴于，两点．
(1)当取最小值时，求出最小值及直线的截距式方程；
(2)当取最小值时，求出最小值及直线的截距式方程．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】由反射定律得点A关于y轴的对称点，又因为B点也在直线上，根据截距式可得直线方程．
【详解】由题得点关于y轴的对称点在反射光线所在的直线上，再根据点也在反射光线所在的直线上，由截距式求得反射光线所在直线的方程为，即，故选B.
【点睛】本题直线方程可由两点式或截距式求出，找到点A的对称点是突破口，属于基础题．
2．D
【分析】由直线方程有意义分析可得各种形式的适用条件，从而得出答案.
【详解】解:点斜式中斜率必须存在，因此直线不垂直于轴，A正确；
斜截式中斜率必须存在，因此直线不垂直于轴，B正确；
两点式中分母不能为零，即两点的横坐标不能相等，纵坐标也不能相等，即直线不能垂直于轴，C正确；
截距式中两截距必须存在且都不为0，因此直线必须不过原点，也不能与坐标轴平行，D错误．
故选：D．
【点睛】本题考查直线方程的四种形式的适用范围，属于基础题．解题时只要从各方程有意义即可分析．
3．A
【分析】利用，求出m值，然后求出直线与坐标轴的交点，即可求解三角形的面积．
【详解】因为，
所以，解得．
所以直线方程为它与坐标轴的交点为与．
直线与坐标轴围成的三角形面积是．
故选:A．
【点睛】本题考查直线的平行关系的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力,属于基础题.
4．B
【分析】分析题意，求出A关于x＝0，y＝x，的对称点的坐标，都在直线BC上，利用两点式方程求解即可．
【详解】∵∠B、∠C的平分线分别是x＝0，y＝x，∴AB与BC对于x＝0对称，AC与BC对于y＝x对称．A（-3， 1）关于x＝0的对称点A'（3，1）在直线BC上，
A关于y＝x的对称点A''（1，-3）也在直线BC上．由两点式，所求直线BC的方程：y＝2x-5．
故选B．
【点睛】本题是基础题，考查点关于直线对称点的求法，直线方程的求法，考查计算能力，发现问题解决问题的能力，常考题型．
5．A
【分析】将两直线的一般式中的常数项均变为，验证，的坐标是否均满足该直线的方程即可判断.
【详解】直线：，直线：，
两式相减可得.
因为点，的坐标都满足该直线的方程，故点，都在该直线上.
所以直线的方程为.
故选：.
【点睛】本题考查了求过两点的直线方程，同时还需要求解两条直线的交点坐标，考查了转化思想和分析问题，解决问题的能力.
6．A
【分析】设直线的截距式方程，根据直线过点，可得，根据面积公式，得，联立方程组，求解后即可判断.
【详解】根据题意设方程 ，
已知直线过过点，可得 ①，
根据直线与坐标轴围成的三角形面积为2，可知 ②，
联立①②解得 ，即满足条件的直线方程为
故选A.
【点睛】本题考查了求直线的截距式方程，考查了直线方程形式的灵活应用，当题目中涉及直线与坐标轴的两个截距，求直线时，可选用截距式进行求解.
7．AD
【分析】当时不符合题意，再讨论直线过原点时求出的值，当直线不过原点时，求出横截距和纵截距列方程即可求解.
【详解】当时，直线为不符合题意，所以，
若直线过原点，则，解得；
若直线不过原点，令可得；令可得；
所以在轴上的截距为，在轴上的截距为，
所以，可得，
综上所述：的值可能是1或.
故选：AD.
8．ACD
【分析】根据直线垂直的充要条件判断A，由直线方程得出斜率再求倾斜角判断B，根据两点式直线方程可判断C，由满足条件的直线知D正误.
【详解】当时，两直线方程分别为和，此时也满足直线相互垂直，故说法错误；
直线的斜率，则，即，，故说法正确；
当或时，直线方程为或，此时直线方程不成立，故C说法错误；
若直线过原点，则直线方程为，此时也满足条件，故D说法错误.
故选：ACD
9．
【分析】利用两点式方程可求直线方程.
【详解】∵直线过点,，∴，∴，
化简得.
故答案为：.
10．或
【分析】分截距为零和截距不为零两种情况求解即可.
【详解】设直线l在y轴上的截距为a，则在x轴上的截距为．
当时，直线l过点，
又直线l过点，故直线l的斜率，
故直线l的方程为，即；
当时，直线l的方程为，即，
∴直线l过点，
∴，
∴，
∴直线l的方程为．
综上可知，直线l的方程为或．
故答案为：或.
11．
【分析】易知点在圆上，圆心与的连线的斜率的负倒数为所求直线的斜率，写出直线方程，求截距后计算三角形面积.
【详解】易知点在圆上，圆心与的连线的斜率为．
设切线斜率为，则．
所以过点A且与圆O相切的切线方程为，即．易知切线在两坐标轴上的截距分别为5，，所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为．
【点睛】本题主要考查了直线和圆相切的位置关系，直线方程的求法，属于中档题.
12．或.
【解析】按照截距是否为0分两种情况讨论，可求得结果.
【详解】当直线在在两坐标轴上截距相等且为0时，直线的方程为；
当直线在在两坐标轴上截距相等且不为0时，设直线的方程为，
又直线过点，则，解得，所以直线的方程为；
所以直线l的方程为或.
故答案为：或.
【点睛】易错点睛：本题考查了直线方程的截距式，但要注意：截距式，只适用于不过原点或不垂直于x轴、y轴的直线，表示与x轴、y轴相交，且x轴截距为a，y轴截距为b的直线，考查学生分类讨论思想，属于基础题.
13．（1）（2）
【分析】（1）由已知条件结合直线的两点式方程的求法求解即可；
（2）先求出直线BC的斜率，再求出BC边上的高所在直线的斜率，然后利用直线的点斜式方程的求法求解即可.
【详解】解：（1），，直线BC的方程为，即.
（2），
直线BC边上的高所在的直线的斜率为，
又，
直线BC边上的高的方程为: ，
即BC边上的高所在直线方程为.
【点睛】本题考查了直线的两点式方程的求法，重点考查了直线的位置关系及直线的点斜式方程的求法，属基础题.
14．或
【解析】设，求出直线在两坐标轴上的截距，利用面积公式可解得结果.
【详解】设，
当时，；
当时，.
∵直线与两坐标轴围成的三角形面积为，
∴.
∴.
∴直线的方程为或.
【点睛】本题考查了两条直线平行，考查了截距的概念，考查了三角形的面积公式，属于基础题.
15．（1）；（2）
【分析】由题意设，，其中，为正数，可设直线的截距式为，代点可得，
（1）由基本不等式可得，由等号成立的条件可得和的值，由此得到直线方程，
（2），由基本不等式等号成立的条件可得直线的方程．
【详解】由题意设，，其中，为正数，可设直线的截距式为，直线过点，，
（1）由基本不等式可得，解得：，当且仅当，即且时，上式取等号，
面积，则当，时，面积最小，此时直线的方程为，即，
（2）由于，当且仅当，即且时取等号，
所以当，时，的值最小，此时直线的方程为，即．
【点睛】本题考查直线的截距式方程，涉及不等式求最值，属于中档题．
16．(1).
(2).
【分析】（1）设,直线方程为,可推出,则,结合基本不等式即可得出结论;
（2）由(1)可得,则可推出,结合基本不等式即可求解.
(1)
解：根据题意可设直线l的方程为,则,
直线l过点,,
又(当且仅当,即时取等号),
,即,
的最小值为8,此时直线l的截距式方程为.
(2)
解：由（1）可知,,则,
(当且仅当,即时取等号).
的最小值为4,此时直线l的截距式方程为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
未命名
一、单选题
1．一束光线从点处射到y轴上一点后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程是
A． B．
C． D．
2．下列说法中不正确的是（ ）.
A．点斜式适用于不垂直于轴的任何直线.
B．斜截式适用于不垂直于轴的任何直线.
C．两点式适用于不垂直于轴和轴的任何直线.
D．截距式适用于不过原点的任何直线.
3．已知，则直线与坐标轴围成的三角形面积是
A．2 B．4 C． D．2或
4．设 的一个顶点是，的平分线方程分别为，则直线的方程为
A． B． C． D．
5．已知直线：与直线：交于点，为坐标原点，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．过点作直线l与两坐标轴的正半轴相交，所围成的三角形面积为2，则这样的直线l有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．0条
二、多选题
7．已知直线：在轴和轴上的截距相等，则的值可能是（ ）
A．1 B．
C．2 D．
8．下列说法错误的是（ ）
A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
B．直线的倾斜角的取值范围是
C．过，两点的所在直线的方程为
D．经过点且在轴和轴上截距相等的直线方程为
三、填空题
9．过点,的直线方程（一般式）为___________.
10．经过点，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l的方程为_________．
11．已知圆和点，则过点且与圆相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________________．
12．坐标平面内过点，且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为___________.
四、解答题
13．已知三角形的三个顶点.
（1）求BC边所在直线的方程；
（2）求BC边上的高所在直线方程.
14．已知直线平行于直线，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程.
15．过点作直线 分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点.
(1)当△AOB面积最小时，求直线 的方程；
(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线 的方程.
16．过点作直线分别交轴、轴的正半轴于，两点．
(1)当取最小值时，求出最小值及直线的截距式方程；
(2)当取最小值时，求出最小值及直线的截距式方程．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】由反射定律得点A关于y轴的对称点，又因为B点也在直线上，根据截距式可得直线方程．
【详解】由题得点关于y轴的对称点在反射光线所在的直线上，再根据点也在反射光线所在的直线上，由截距式求得反射光线所在直线的方程为，即，故选B.
【点睛】本题直线方程可由两点式或截距式求出，找到点A的对称点是突破口，属于基础题．
2．D
【分析】由直线方程有意义分析可得各种形式的适用条件，从而得出答案.
【详解】解:点斜式中斜率必须存在，因此直线不垂直于轴，A正确；
斜截式中斜率必须存在，因此直线不垂直于轴，B正确；
两点式中分母不能为零，即两点的横坐标不能相等，纵坐标也不能相等，即直线不能垂直于轴，C正确；
截距式中两截距必须存在且都不为0，因此直线必须不过原点，也不能与坐标轴平行，D错误．
故选：D．
【点睛】本题考查直线方程的四种形式的适用范围，属于基础题．解题时只要从各方程有意义即可分析．
3．A
【分析】利用，求出m值，然后求出直线与坐标轴的交点，即可求解三角形的面积．
【详解】因为，
所以，解得．
所以直线方程为它与坐标轴的交点为与．
直线与坐标轴围成的三角形面积是．
故选:A．
【点睛】本题考查直线的平行关系的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力,属于基础题.
4．B
【分析】分析题意，求出A关于x＝0，y＝x，的对称点的坐标，都在直线BC上，利用两点式方程求解即可．
【详解】∵∠B、∠C的平分线分别是x＝0，y＝x，∴AB与BC对于x＝0对称，AC与BC对于y＝x对称．A（-3， 1）关于x＝0的对称点A'（3，1）在直线BC上，
A关于y＝x的对称点A''（1，-3）也在直线BC上．由两点式，所求直线BC的方程：y＝2x-5．
故选B．
【点睛】本题是基础题，考查点关于直线对称点的求法，直线方程的求法，考查计算能力，发现问题解决问题的能力，常考题型．
5．A
【分析】将两直线的一般式中的常数项均变为，验证，的坐标是否均满足该直线的方程即可判断.
【详解】直线：，直线：，
两式相减可得.
因为点，的坐标都满足该直线的方程，故点，都在该直线上.
所以直线的方程为.
故选：.
【点睛】本题考查了求过两点的直线方程，同时还需要求解两条直线的交点坐标，考查了转化思想和分析问题，解决问题的能力.
6．A
【分析】设直线的截距式方程，根据直线过点，可得，根据面积公式，得，联立方程组，求解后即可判断.
【详解】根据题意设方程 ，
已知直线过过点，可得 ①，
根据直线与坐标轴围成的三角形面积为2，可知 ②，
联立①②解得 ，即满足条件的直线方程为
故选A.
【点睛】本题考查了求直线的截距式方程，考查了直线方程形式的灵活应用，当题目中涉及直线与坐标轴的两个截距，求直线时，可选用截距式进行求解.
7．AD
【分析】当时不符合题意，再讨论直线过原点时求出的值，当直线不过原点时，求出横截距和纵截距列方程即可求解.
【详解】当时，直线为不符合题意，所以，
若直线过原点，则，解得；
若直线不过原点，令可得；令可得；
所以在轴上的截距为，在轴上的截距为，
所以，可得，
综上所述：的值可能是1或.
故选：AD.
8．ACD
【分析】根据直线垂直的充要条件判断A，由直线方程得出斜率再求倾斜角判断B，根据两点式直线方程可判断C，由满足条件的直线知D正误.
【详解】当时，两直线方程分别为和，此时也满足直线相互垂直，故说法错误；
直线的斜率，则，即，，故说法正确；
当或时，直线方程为或，此时直线方程不成立，故C说法错误；
若直线过原点，则直线方程为，此时也满足条件，故D说法错误.
故选：ACD
9．
【分析】利用两点式方程可求直线方程.
【详解】∵直线过点,，∴，∴，
化简得.
故答案为：.
10．或
【分析】分截距为零和截距不为零两种情况求解即可.
【详解】设直线l在y轴上的截距为a，则在x轴上的截距为．
当时，直线l过点，
又直线l过点，故直线l的斜率，
故直线l的方程为，即；
当时，直线l的方程为，即，
∴直线l过点，
∴，
∴，
∴直线l的方程为．
综上可知，直线l的方程为或．
故答案为：或.
11．
【分析】易知点在圆上，圆心与的连线的斜率的负倒数为所求直线的斜率，写出直线方程，求截距后计算三角形面积.
【详解】易知点在圆上，圆心与的连线的斜率为．
设切线斜率为，则．
所以过点A且与圆O相切的切线方程为，即．易知切线在两坐标轴上的截距分别为5，，所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为．
【点睛】本题主要考查了直线和圆相切的位置关系，直线方程的求法，属于中档题.
12．或.
【解析】按照截距是否为0分两种情况讨论，可求得结果.
【详解】当直线在在两坐标轴上截距相等且为0时，直线的方程为；
当直线在在两坐标轴上截距相等且不为0时，设直线的方程为，
又直线过点，则，解得，所以直线的方程为；
所以直线l的方程为或.
故答案为：或.
【点睛】易错点睛：本题考查了直线方程的截距式，但要注意：截距式，只适用于不过原点或不垂直于x轴、y轴的直线，表示与x轴、y轴相交，且x轴截距为a，y轴截距为b的直线，考查学生分类讨论思想，属于基础题.
13．（1）（2）
【分析】（1）由已知条件结合直线的两点式方程的求法求解即可；
（2）先求出直线BC的斜率，再求出BC边上的高所在直线的斜率，然后利用直线的点斜式方程的求法求解即可.
【详解】解：（1），，直线BC的方程为，即.
（2），
直线BC边上的高所在的直线的斜率为，
又，
直线BC边上的高的方程为: ，
即BC边上的高所在直线方程为.
【点睛】本题考查了直线的两点式方程的求法，重点考查了直线的位置关系及直线的点斜式方程的求法，属基础题.
14．或
【解析】设，求出直线在两坐标轴上的截距，利用面积公式可解得结果.
【详解】设，
当时，；
当时，.
∵直线与两坐标轴围成的三角形面积为，
∴.
∴.
∴直线的方程为或.
【点睛】本题考查了两条直线平行，考查了截距的概念，考查了三角形的面积公式，属于基础题.
15．（1）；（2）
【分析】由题意设，，其中，为正数，可设直线的截距式为，代点可得，
（1）由基本不等式可得，由等号成立的条件可得和的值，由此得到直线方程，
（2），由基本不等式等号成立的条件可得直线的方程．
【详解】由题意设，，其中，为正数，可设直线的截距式为，直线过点，，
（1）由基本不等式可得，解得：，当且仅当，即且时，上式取等号，
面积，则当，时，面积最小，此时直线的方程为，即，
（2）由于，当且仅当，即且时取等号，
所以当，时，的值最小，此时直线的方程为，即．
【点睛】本题考查直线的截距式方程，涉及不等式求最值，属于中档题．
16．(1).
(2).
【分析】（1）设,直线方程为,可推出,则,结合基本不等式即可得出结论;
（2）由(1)可得,则可推出,结合基本不等式即可求解.
(1)
解：根据题意可设直线l的方程为,则,
直线l过点,,
又(当且仅当,即时取等号),
,即,
的最小值为8,此时直线l的截距式方程为.
(2)
解：由（1）可知,,则,
(当且仅当,即时取等号).
的最小值为4,此时直线l的截距式方程为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页