高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第二章——2.2.3直线的一般式方程B（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第二章——2.2.3直线的一般式方程B（Word版含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 445.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-16 09:22:27 | ||
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文档简介
高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第二章——2.2.3直线的一般式方程B
未命名
一、单选题
1．下列有关直线的说法中正确的是（ ）．
A．直线的斜率为 B．直线的斜率为
C．直线过定点 D．直线过定点
2．已知直线：的横截距与纵截距相等，则的值为（ ）
A．1 B． C．或2 D．2
3．如果AB>0且BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
4．“”是“直线与直线相互垂直”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．设，为不同的两点，直线.记，则下列结论中正确的个数是（ ）
①不论为何值，点都不在直线上；
②若，则过的直线与直线相交；
③若，则直线经过的中点.
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个.
6．已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况是（ ）
A．无论，，如何，总有唯一交点 B．存在，，使之有无穷多个交点
C．无论，，如何，总是无交点 D．存在，，使之无交点
二、多选题
7．如果，，那么直线经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．下列说法正确的是（ ）
A．直线必过定点
B．直线在轴上的截距为
C．直线的倾斜角为60°
D．过点且垂直于直线的直线方程为
三、填空题
9．过点，且与直线垂直的直线方程为______.
10．过点且与直线垂直的直线方程为______．（用一般式表示）
11．已知圆C：，点P是圆C上的动点，点，当最大时，所在直线的方程是______.
12．直线,当变动时,所有直线都通过定点______.
四、解答题
13．已知直线过点和两点
（1）求出该直线的直线方程(用点斜式表示)
（2）将（1）中直线方程化成斜截式，一般式以及截距式且写出直线在x轴和y轴上的截距.
14．已知圆C：（x+2）2+y2＝5，直线l：mx﹣y+1+2m＝0，m∈R.
（1）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；
（2）若直线与圆交于两点，求弦AB的中点M的轨迹方程.
15．已知直线l分别交梯形两底、于M、N，若l恰平分梯形的面积，求证：直线l恒过一定点.
16．求满足下列条件的直线方程：
(1)经过，且与直线平行；
(2)在轴上的截距与在轴上的截距之差为3，且垂直于过与两点的直线．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】讨论和两种情况可得.
【详解】直线可化为．
当时，直线的方程可化为，其斜率为，过定点；
当时，直线的方程为，其斜率不存在，过点(，
所以A，B，C不正确，D正确．
故选：D.
2．C
【解析】由直线方程，分别令，，然后根据直线横截距与纵截距相等求解.
【详解】由题意得：，由直线：，
令，得
令，得
因为直线：的横截距与纵截距相等，
所以，即，
解得或，
故选：C
3．C
【分析】根据给定条件，确定直线的斜率和纵截距的取值即可判断作答.
【详解】因AB>0且BC<0，则直线Ax＋By＋C＝0的斜率，纵截距，
所以直线Ax＋By＋C＝0必过第一、二、四象限，不经过第三象限.
故选：C
4．A
【分析】直线与直线相互垂直得到，再利用充分必要条件的定义判断得解.
【详解】因为直线与直线相互垂直，
所以，
所以.
所以时，直线与直线相互垂直，所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分条件；
当直线与直线相互垂直时，不一定成立，所以“”是“直线与直线相互垂直”的非必要条件.
所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分非必要条件.
故选：A
【点睛】方法点睛：充分必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
5．C
【分析】①通过分母不为0，确定，可以判断①的对错；②③通过对条件整理变形，利用直线的相关性质判断.
【详解】因为，分母不为0，所以，所以不论为何值，点都不在直线上，①正确；
当时，设，（），则，为直线上的两个点，显然直线与直线平行，故过的直线与直线不会相交，②错误；
当时，设，整理得：，因为，，所以的中点坐标为，故若，则直线经过的中点.③正确；正确的个数为2个
故选：C
6．A
【分析】根据在直线可得，从而可得有唯一交点，从而可得正确的选项.
【详解】因为与是直线（为常数）上两个不同的点，
所以即，
故既在直线上，也在直线上.
因为与是两个不同的点，故、不重合，
故无论，，如何，总有唯一交点.
故选：A.
7．ABC
【分析】确定直线在轴、轴上截距的正负，数形结合可知直线所经过的象限.
【详解】直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，
如下图所示：
由图象可知，直线经过第一、二、三象限.
故选：ABC.
8．ABD
【分析】将方程化为点斜式，即可判断A；令，得出在轴上的截距，进而判断B；将一般式方程化为斜截式，得出斜率，进而得出倾斜角，从而判断C；由两直线垂直得出斜率，最后由点斜式得出方程，进而判断D.
【详解】可化为，则直线必过定点，故A正确；
令，则，即直线在轴上的截距为，故B正确；
可化为，则该直线的斜率为，即倾斜角为，故C错误；
设过点且垂直于直线的直线的斜率为
因为直线的斜率为，所以，解得
则过点且垂直于直线的直线的方程为，即，故D正确；
故选：ABD
【点睛】本题主要考查了求直线过定点，求直线的倾斜角，由两直线垂直求直线方程，属于中档题.
9．
【分析】先由垂直关系求出所求直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程
【详解】解：因为所求直线与直线垂直，
所以所求直线的斜率为，
因为所求直线过点，
所以所求直线方程为，即，
故答案为：
【点睛】此题考查两直线的位置关系，考查直线方程的求法，属于基础题
10．
【分析】与直线垂直的直线方程可设为，再将点的坐标代入运算即可得解.
【详解】解：与直线垂直的直线方程可设为，
又该直线过点，则，
则，
即过点且与直线垂直的直线方程为，
故答案为：.
11．
【分析】设，在中，由余弦定理，得，利用基本不等式可以找到PM，易得此时，可得PM的斜率，从而求得PM的方程.
【详解】设，则，在中，由余弦定理，得
，当且仅当时，等号成立，此时最大，且，
故，又，所以，故所在直线的方程为
，即.
故答案为：.
【点睛】本题考查点斜式求直线的方程，涉及到余弦定理、基本不等式、圆等知识，考查学生的计算能力以及逻辑推理能力，是一道中档题.
12．(3,1)
【解析】将直线方程变形为,得到,解出,即可得到定点坐标.
【详解】由,得,
对于任意,式子恒成立,则有,
解出,
故答案为:(3,1).
【点睛】本题考查直线过定点问题,直线一定过两直线 的交点.
13．（1）；（2）答案见解析.
【解析】（1）先求斜率，再利用点斜式写出直线方程；
（2）由，得，可化为，从而可得答案
【详解】解；（1）直线AB的斜率为
故直线AB的点斜式方程为：或.
（2）由，得，可化为，
当时，，当时，，
所以斜截式：，
一般式：，
截距式：，
在x轴上的截距为；在y轴上的截距为
14．（1）相交，理由见解析；（2）
【分析】（1）根据直线方程确定直线恒过的定点，结合点与圆的位置关系，即可容易判断直线与圆的位置关系；
（2）根据中点在直线上，结合，即可得到点的轨迹方程，注意讨论斜率是否存在.
【详解】（1）直线：，也即，
故直线恒过定点，
又，故点在圆内，
此时直线一定与圆相交.
（2）设点，
当直线斜率存在时，，
又，，
即，
化简可得：；
当直线斜率不存在时，显然中点的坐标为也满足上述方程.
故点的轨迹方程为：.
【点睛】本题考查直线恒过定点的求解，点与圆的位置关系以及动点的轨迹方程，属综合中档题.
15．证明见解析
【分析】建立直角坐标系，设，，，.设，（其中a、b、c、h为常数，、为参变量），根据梯形的面积公式可得，由恒等式思想可得证.
【详解】证明：建立如图所示的直角坐标系，设，，，则.
设，（其中a、b、c、h为常数，、为参变量），
则梯形的面积，梯形的面积.
依题意，，，则.①
又直线l的方程：，.②
①-②消去，得.
对的任意实数值，上式恒成立.
（常数）
故直线l恒过定点.
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，设所求直线为，进而将A的坐标代入解出b，最后得到答案；
（2）根据题意先求出直线MN的斜率，进而得到所求直线的斜率，并设为点斜式，然后根据截距关系求出答案.
（1）
解：设所求直线的方程为，将的坐标代入，得，则所求直线的方程为.
（2）
解：由题意得，所求直线的斜率.
设所求直线的斜截式方程为.
当时，，当时，，由，得，
故所求直线的方程为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
未命名
一、单选题
1．下列有关直线的说法中正确的是（ ）．
A．直线的斜率为 B．直线的斜率为
C．直线过定点 D．直线过定点
2．已知直线：的横截距与纵截距相等，则的值为（ ）
A．1 B． C．或2 D．2
3．如果AB>0且BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
4．“”是“直线与直线相互垂直”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．设，为不同的两点，直线.记，则下列结论中正确的个数是（ ）
①不论为何值，点都不在直线上；
②若，则过的直线与直线相交；
③若，则直线经过的中点.
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个.
6．已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况是（ ）
A．无论，，如何，总有唯一交点 B．存在，，使之有无穷多个交点
C．无论，，如何，总是无交点 D．存在，，使之无交点
二、多选题
7．如果，，那么直线经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．下列说法正确的是（ ）
A．直线必过定点
B．直线在轴上的截距为
C．直线的倾斜角为60°
D．过点且垂直于直线的直线方程为
三、填空题
9．过点，且与直线垂直的直线方程为______.
10．过点且与直线垂直的直线方程为______．（用一般式表示）
11．已知圆C：，点P是圆C上的动点，点，当最大时，所在直线的方程是______.
12．直线,当变动时,所有直线都通过定点______.
四、解答题
13．已知直线过点和两点
（1）求出该直线的直线方程(用点斜式表示)
（2）将（1）中直线方程化成斜截式，一般式以及截距式且写出直线在x轴和y轴上的截距.
14．已知圆C：（x+2）2+y2＝5，直线l：mx﹣y+1+2m＝0，m∈R.
（1）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；
（2）若直线与圆交于两点，求弦AB的中点M的轨迹方程.
15．已知直线l分别交梯形两底、于M、N，若l恰平分梯形的面积，求证：直线l恒过一定点.
16．求满足下列条件的直线方程：
(1)经过，且与直线平行；
(2)在轴上的截距与在轴上的截距之差为3，且垂直于过与两点的直线．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】讨论和两种情况可得.
【详解】直线可化为．
当时，直线的方程可化为，其斜率为，过定点；
当时，直线的方程为，其斜率不存在，过点(，
所以A，B，C不正确，D正确．
故选：D.
2．C
【解析】由直线方程，分别令，，然后根据直线横截距与纵截距相等求解.
【详解】由题意得：，由直线：，
令，得
令，得
因为直线：的横截距与纵截距相等，
所以，即，
解得或，
故选：C
3．C
【分析】根据给定条件，确定直线的斜率和纵截距的取值即可判断作答.
【详解】因AB>0且BC<0，则直线Ax＋By＋C＝0的斜率，纵截距，
所以直线Ax＋By＋C＝0必过第一、二、四象限，不经过第三象限.
故选：C
4．A
【分析】直线与直线相互垂直得到，再利用充分必要条件的定义判断得解.
【详解】因为直线与直线相互垂直，
所以，
所以.
所以时，直线与直线相互垂直，所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分条件；
当直线与直线相互垂直时，不一定成立，所以“”是“直线与直线相互垂直”的非必要条件.
所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分非必要条件.
故选：A
【点睛】方法点睛：充分必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
5．C
【分析】①通过分母不为0，确定，可以判断①的对错；②③通过对条件整理变形，利用直线的相关性质判断.
【详解】因为，分母不为0，所以，所以不论为何值，点都不在直线上，①正确；
当时，设，（），则，为直线上的两个点，显然直线与直线平行，故过的直线与直线不会相交，②错误；
当时，设，整理得：，因为，，所以的中点坐标为，故若，则直线经过的中点.③正确；正确的个数为2个
故选：C
6．A
【分析】根据在直线可得，从而可得有唯一交点，从而可得正确的选项.
【详解】因为与是直线（为常数）上两个不同的点，
所以即，
故既在直线上，也在直线上.
因为与是两个不同的点，故、不重合，
故无论，，如何，总有唯一交点.
故选：A.
7．ABC
【分析】确定直线在轴、轴上截距的正负，数形结合可知直线所经过的象限.
【详解】直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，
如下图所示：
由图象可知，直线经过第一、二、三象限.
故选：ABC.
8．ABD
【分析】将方程化为点斜式，即可判断A；令，得出在轴上的截距，进而判断B；将一般式方程化为斜截式，得出斜率，进而得出倾斜角，从而判断C；由两直线垂直得出斜率，最后由点斜式得出方程，进而判断D.
【详解】可化为，则直线必过定点，故A正确；
令，则，即直线在轴上的截距为，故B正确；
可化为，则该直线的斜率为，即倾斜角为，故C错误；
设过点且垂直于直线的直线的斜率为
因为直线的斜率为，所以，解得
则过点且垂直于直线的直线的方程为，即，故D正确；
故选：ABD
【点睛】本题主要考查了求直线过定点，求直线的倾斜角，由两直线垂直求直线方程，属于中档题.
9．
【分析】先由垂直关系求出所求直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程
【详解】解：因为所求直线与直线垂直，
所以所求直线的斜率为，
因为所求直线过点，
所以所求直线方程为，即，
故答案为：
【点睛】此题考查两直线的位置关系，考查直线方程的求法，属于基础题
10．
【分析】与直线垂直的直线方程可设为，再将点的坐标代入运算即可得解.
【详解】解：与直线垂直的直线方程可设为，
又该直线过点，则，
则，
即过点且与直线垂直的直线方程为，
故答案为：.
11．
【分析】设，在中，由余弦定理，得，利用基本不等式可以找到PM，易得此时，可得PM的斜率，从而求得PM的方程.
【详解】设，则，在中，由余弦定理，得
，当且仅当时，等号成立，此时最大，且，
故，又，所以，故所在直线的方程为
，即.
故答案为：.
【点睛】本题考查点斜式求直线的方程，涉及到余弦定理、基本不等式、圆等知识，考查学生的计算能力以及逻辑推理能力，是一道中档题.
12．(3,1)
【解析】将直线方程变形为,得到,解出,即可得到定点坐标.
【详解】由,得,
对于任意,式子恒成立,则有,
解出,
故答案为:(3,1).
【点睛】本题考查直线过定点问题,直线一定过两直线 的交点.
13．（1）；（2）答案见解析.
【解析】（1）先求斜率，再利用点斜式写出直线方程；
（2）由，得，可化为，从而可得答案
【详解】解；（1）直线AB的斜率为
故直线AB的点斜式方程为：或.
（2）由，得，可化为，
当时，，当时，，
所以斜截式：，
一般式：，
截距式：，
在x轴上的截距为；在y轴上的截距为
14．（1）相交，理由见解析；（2）
【分析】（1）根据直线方程确定直线恒过的定点，结合点与圆的位置关系，即可容易判断直线与圆的位置关系；
（2）根据中点在直线上，结合，即可得到点的轨迹方程，注意讨论斜率是否存在.
【详解】（1）直线：，也即，
故直线恒过定点，
又，故点在圆内，
此时直线一定与圆相交.
（2）设点，
当直线斜率存在时，，
又，，
即，
化简可得：；
当直线斜率不存在时，显然中点的坐标为也满足上述方程.
故点的轨迹方程为：.
【点睛】本题考查直线恒过定点的求解，点与圆的位置关系以及动点的轨迹方程，属综合中档题.
15．证明见解析
【分析】建立直角坐标系，设，，，.设，（其中a、b、c、h为常数，、为参变量），根据梯形的面积公式可得，由恒等式思想可得证.
【详解】证明：建立如图所示的直角坐标系，设，，，则.
设，（其中a、b、c、h为常数，、为参变量），
则梯形的面积，梯形的面积.
依题意，，，则.①
又直线l的方程：，.②
①-②消去，得.
对的任意实数值，上式恒成立.
（常数）
故直线l恒过定点.
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，设所求直线为，进而将A的坐标代入解出b，最后得到答案；
（2）根据题意先求出直线MN的斜率，进而得到所求直线的斜率，并设为点斜式，然后根据截距关系求出答案.
（1）
解：设所求直线的方程为，将的坐标代入，得，则所求直线的方程为.
（2）
解：由题意得，所求直线的斜率.
设所求直线的斜截式方程为.
当时，，当时，，由，得，
故所求直线的方程为.
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