高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第二章——2.2直线的方程B（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第二章——2.2直线的方程B（Word版含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 598.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-16 09:23:25 | ||
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文档简介
高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第二章——2.2直线的方程A
未命名
一、单选题
1．经过两点、的直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．直线恒过一定点，则此定点为（ ）
A． B． C． D．
3．已知点，．若直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知过定点作直线与两坐标轴围成的三角形面积为，这样的直线有（ ）条
A． B． C． D．
5．已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况是（ ）
A．无论，，如何，总有唯一交点 B．存在，，使之有无穷多个交点
C．无论，，如何，总是无交点 D．存在，，使之无交点
6．在平面直角坐标系中，是坐标原点，设函数的图象为直线，且与轴、轴分别交于、两点，给出下列四个命题：
①存在正实数，使的面积为的直线仅有一条；
②存在正实数，使的面积为的直线仅有二条；
③存在正实数，使的面积为的直线仅有三条；
④存在正实数，使的面积为的直线仅有四条．
其中，所有真命题的序号是．
A．①②③ B．③④ C．②④ D．②③④
二、多选题
7．（多选）直线：不过第二象限，则的可取值为（ ）
A． B． C． D．
8．下列说法正确的是（ ）
A．直线一定经过第一象限
B．经过点，倾斜角为的直线方程为
C．经过两点，的直线方程为
D．截距相等的直线都可以用方程表示
三、填空题
9．过点(1，2)且与直线y=-2x垂直的点斜式方程是________．
10．将直线绕其与x轴的交点逆时针旋转后得到直线，则在y轴上的截距为________．
11．过点的直线分别与轴、轴的正半轴交于、两点，则（为坐标原点）面积取得最小值时直线方程为____________.
12．若△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，则直线BC的方程为________.
四、解答题
13．已知在第一象限的中，，，，，求：
(1)AB边所在直线的方程；
(2)AC边与BC边所在直线的方程．
14．已知的顶点坐标为，，．
（1）试判断的形状；
（2）求边上的高所在直线的方程．
15．已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为，，.
(1)求平行四边形ABCD的顶点D的坐标.
(2)求边AB的高所在直线方程.
16．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点在原点，且该抛物线经过点，其焦点在轴上.
（Ⅰ）求过点且与直线垂直的直线的方程；
（Ⅱ）设过点的直线交抛物线于，两点，，求的最小值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】求出直线的两点式方程，再化为一般方程可得答案.
【详解】经过两点、的直线的方程为，即.
故选：D.
2．D
【解析】法一：利用分离参数法；法二：令参数，得到一条直线，令，得到另一条直线，解出两条直线的交点，再代入原方程验证即可.
【详解】解：法一：直线可变形为：，若该方程对任意都成立，
则，即，直线恒过点，
故选：D.
法二：在方程中，令得：，即，
令得：，将代入得，
将代入，得恒成立，
∴直线恒过点，
故选：D.
3．A
【分析】直线l过定点P（1，1），且与线段AB相交，利用数形结合法，求出PA、PB的斜率，
从而得出l的斜率的取值范围,即得解
【详解】设直线过定点，则直线可写成，
令解得直线必过定点．
，．直线与线段相交，
由图象知，或，解得或，
则实数的取值范围是．
故选：A
【点睛】本题考查了直线方程的应用，过定点的直线与线段相交的问题，考查了学生综合分析、数形结合的能力，属于中档题．
4．B
【分析】设直线的方程为，求出直线与两坐标轴的交点坐标，由已知条件可得出关于的方程，判断出方程根的个数，即可得解.
【详解】由题意可知，直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，即.
在直线的方程中，令，可得；令，可得.
所以，直线交轴于点，交轴于点.
由题意可得，即.
①当时，可得，即，；
②当时，可得，即，.
综上所述，符合条件的直线有条.
故选：B.
【点睛】本题考查直线与坐标轴围成的三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题.
5．A
【分析】根据在直线可得，从而可得有唯一交点，从而可得正确的选项.
【详解】因为与是直线（为常数）上两个不同的点，
所以即，
故既在直线上，也在直线上.
因为与是两个不同的点，故、不重合，
故无论，，如何，总有唯一交点.
故选：A.
6．D
【详解】∵直线与轴，轴交点的坐标分别是：，，∴，当时，，∵，当且仅当时取等号，∴，当且仅当时取等号，∴当，在时，有两个值；当时，，∵，当且仅当时取等号，∴，当且仅当时取等号，当时，在时，有两个值；∴当时，仅有一条直线使的面积为，故①不正确；当时，仅有两条直线使的面积为，故②正确；当时，仅有三条直线使的面积为，故③正确；当时，仅有四条直线使的面积为，故④正确；综上所述，真命题的序号是②③④，故选D.
7．BCD
【分析】分别检验、是否符合题意，当时，直线：，由求得的范围，即可得正确选项.
【详解】当即时，直线：不过第二象限，所以符合题意，
当即时，直线：过第二象限，所以不符合题意，
当时，直线：，
若直线不过第二象限，所以，即，解得：，
结合选项可得的可取值为：，，，
故选：BCD.
8．AC
【分析】求出直线过的定点可判断A；当时可判断B；由直线的点斜式方程以及斜率公式可判断C；当横纵截距都等于时可判断D，进而可得正确选项.
【详解】对于A：由可得，
由可得，所以该直线恒过定点，该直线一定经过第一象限，故选项A正确；
对于B：当时，直线的斜率不存在，所以不能写成的形式，故选项B不正确；
对于C：因为，所以过点，两点的直线斜率为，所以直线的方程为，故选项C正确；
对于D：当直线的横纵截距都等于时，直线的方程为，不可以用方程表示，故选项D不正确；
故选：AC.
9．y-2= (x-1)
【分析】由垂直关系计算出所求方程的直线斜率，按要求写出方程.
【详解】设所求直线的斜率为k，因直线y=-2x的斜率为-2，又两直线垂直，
所以有-2·k=-1，即k=，
所以直线的点斜式方程为y-2= (x-1)．
故答案为：y-2= (x-1)
10．
【分析】根据的方程可以求出的倾斜角，及与轴的交点坐标，根据与倾斜角的关系确定的倾斜角，利用直线点斜式写出方程即可判断直线在y轴上的截距.
【详解】易知的倾斜角为，所以的倾斜角为，又由题意知过点，所以的方程为，即，从而可知在y轴上的截距为．
故答案为：
11．
【解析】设直线的方程为，求出点、的坐标，结合已知条件求出的取值范围，然后求出的面积关于的表达式，利用基本不等式可求出面积的最小值，利用等号成立求出的值，即可得出所求直线的方程.
【详解】易知直线的斜率存在且不为零，
设直线的方程为，即.
在直线的方程中，令，可得；令，可得.
所以，点、.
由已知条件可得，解得.
的面积为.
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，直线的方程为，即.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于将三角形的面积利用斜率有关的代数式表示，并结合基本不等式求出三角形面积的最小值，同时不要忽略了斜率的取值范围的求解.
12．6x－5y－9＝0
【解析】先计算AC边所在直线方程为2x＋y－11＝0，设B（x0，y0），AB的中点M为，根据解得答案.
【详解】由AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0可以知道kAC＝－2，
又A（5，1），AC边所在直线方程为2x＋y－11＝0，
联立直线AC与直线CM方程得 解得
顶点C的坐标为C（4，3）.设B（x0，y0），AB的中点M为 ，
由M在直线2x－y－5＝0上，得2x0－y0－1＝0，
B在直线x－2y－5＝0上，得x0－2y0－5＝0，
联立 解得 所以顶点B的坐标为（－1，－3）.
于是直线BC的方程为6x－5y－9＝0.
故答案为：6x－5y－9＝0
【点睛】本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.
13．(1)
(2)直线的方程为：，直线的方程为：
【分析】（1）根据两点的坐标求得直线的方程.
（2）结合直线、的倾斜角和斜率，求得直线和直线的方程.
（1）因为，，所以轴，所以AB边所在直线的方程为．
（2）因为，所以，所以直线AC的方程为，即因为，所以，所以直线BC的方程为，即.
14．（1）直角三角形；（2）.
【分析】(1)先求直线的斜率,再根据斜率关系即可判断;
(2)由得边上高线所在直线的斜率为,进而根据点斜式求解即可.
【详解】解：（1）,，
，
，
为直角三角形
（2）因为，
所以，边上高线所在直线的斜率为
直线的方程是，即
15．(1)
(2)
【分析】（1）结合中点坐标公式求得正确答案.
（2）结合点斜式求得求边AB的高所在直线方程.
(1)
的顶点，，，则对角线AC中点为.
于是得对角线BD的中点是，设，因此有，，
解得：.
所以平行四边形ABCD的顶点.
(2)
依题意，直线AB的斜率，
则边AB上的高所在直线的斜率为，于是有：，
即.
所以边AB上的高所在直线的方程为.
16．（Ⅰ）.（Ⅱ）12.
【详解】试题分析：（I）设抛物线方程为，由点在上，得，从而得点的坐标为，又直线的斜率为1，从而其垂线的斜率为-1，根据点斜式可得结果；（II）直线的方程是，.将代入，有，利用求根公式求得，由知 ，化简得，根据两点间距离公式，可化为，利用基本不等式求解即可.
试题解析：（Ⅰ）设抛物线方程为，由点在上，得.从而点的坐标为.又直线的斜率为1，从而其垂线的斜率为-1，因此所求直线方程为.
（Ⅱ）设点和的坐标为和，直线的方程是，.
将代入，有，解得.
由知 ，化简得.
因此 .
所以 ，当且仅当时取等号，即的最小值为12.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
未命名
一、单选题
1．经过两点、的直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．直线恒过一定点，则此定点为（ ）
A． B． C． D．
3．已知点，．若直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知过定点作直线与两坐标轴围成的三角形面积为，这样的直线有（ ）条
A． B． C． D．
5．已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况是（ ）
A．无论，，如何，总有唯一交点 B．存在，，使之有无穷多个交点
C．无论，，如何，总是无交点 D．存在，，使之无交点
6．在平面直角坐标系中，是坐标原点，设函数的图象为直线，且与轴、轴分别交于、两点，给出下列四个命题：
①存在正实数，使的面积为的直线仅有一条；
②存在正实数，使的面积为的直线仅有二条；
③存在正实数，使的面积为的直线仅有三条；
④存在正实数，使的面积为的直线仅有四条．
其中，所有真命题的序号是．
A．①②③ B．③④ C．②④ D．②③④
二、多选题
7．（多选）直线：不过第二象限，则的可取值为（ ）
A． B． C． D．
8．下列说法正确的是（ ）
A．直线一定经过第一象限
B．经过点，倾斜角为的直线方程为
C．经过两点，的直线方程为
D．截距相等的直线都可以用方程表示
三、填空题
9．过点(1，2)且与直线y=-2x垂直的点斜式方程是________．
10．将直线绕其与x轴的交点逆时针旋转后得到直线，则在y轴上的截距为________．
11．过点的直线分别与轴、轴的正半轴交于、两点，则（为坐标原点）面积取得最小值时直线方程为____________.
12．若△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，则直线BC的方程为________.
四、解答题
13．已知在第一象限的中，，，，，求：
(1)AB边所在直线的方程；
(2)AC边与BC边所在直线的方程．
14．已知的顶点坐标为，，．
（1）试判断的形状；
（2）求边上的高所在直线的方程．
15．已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为，，.
(1)求平行四边形ABCD的顶点D的坐标.
(2)求边AB的高所在直线方程.
16．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点在原点，且该抛物线经过点，其焦点在轴上.
（Ⅰ）求过点且与直线垂直的直线的方程；
（Ⅱ）设过点的直线交抛物线于，两点，，求的最小值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】求出直线的两点式方程，再化为一般方程可得答案.
【详解】经过两点、的直线的方程为，即.
故选：D.
2．D
【解析】法一：利用分离参数法；法二：令参数，得到一条直线，令，得到另一条直线，解出两条直线的交点，再代入原方程验证即可.
【详解】解：法一：直线可变形为：，若该方程对任意都成立，
则，即，直线恒过点，
故选：D.
法二：在方程中，令得：，即，
令得：，将代入得，
将代入，得恒成立，
∴直线恒过点，
故选：D.
3．A
【分析】直线l过定点P（1，1），且与线段AB相交，利用数形结合法，求出PA、PB的斜率，
从而得出l的斜率的取值范围,即得解
【详解】设直线过定点，则直线可写成，
令解得直线必过定点．
，．直线与线段相交，
由图象知，或，解得或，
则实数的取值范围是．
故选：A
【点睛】本题考查了直线方程的应用，过定点的直线与线段相交的问题，考查了学生综合分析、数形结合的能力，属于中档题．
4．B
【分析】设直线的方程为，求出直线与两坐标轴的交点坐标，由已知条件可得出关于的方程，判断出方程根的个数，即可得解.
【详解】由题意可知，直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，即.
在直线的方程中，令，可得；令，可得.
所以，直线交轴于点，交轴于点.
由题意可得，即.
①当时，可得，即，；
②当时，可得，即，.
综上所述，符合条件的直线有条.
故选：B.
【点睛】本题考查直线与坐标轴围成的三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题.
5．A
【分析】根据在直线可得，从而可得有唯一交点，从而可得正确的选项.
【详解】因为与是直线（为常数）上两个不同的点，
所以即，
故既在直线上，也在直线上.
因为与是两个不同的点，故、不重合，
故无论，，如何，总有唯一交点.
故选：A.
6．D
【详解】∵直线与轴，轴交点的坐标分别是：，，∴，当时，，∵，当且仅当时取等号，∴，当且仅当时取等号，∴当，在时，有两个值；当时，，∵，当且仅当时取等号，∴，当且仅当时取等号，当时，在时，有两个值；∴当时，仅有一条直线使的面积为，故①不正确；当时，仅有两条直线使的面积为，故②正确；当时，仅有三条直线使的面积为，故③正确；当时，仅有四条直线使的面积为，故④正确；综上所述，真命题的序号是②③④，故选D.
7．BCD
【分析】分别检验、是否符合题意，当时，直线：，由求得的范围，即可得正确选项.
【详解】当即时，直线：不过第二象限，所以符合题意，
当即时，直线：过第二象限，所以不符合题意，
当时，直线：，
若直线不过第二象限，所以，即，解得：，
结合选项可得的可取值为：，，，
故选：BCD.
8．AC
【分析】求出直线过的定点可判断A；当时可判断B；由直线的点斜式方程以及斜率公式可判断C；当横纵截距都等于时可判断D，进而可得正确选项.
【详解】对于A：由可得，
由可得，所以该直线恒过定点，该直线一定经过第一象限，故选项A正确；
对于B：当时，直线的斜率不存在，所以不能写成的形式，故选项B不正确；
对于C：因为，所以过点，两点的直线斜率为，所以直线的方程为，故选项C正确；
对于D：当直线的横纵截距都等于时，直线的方程为，不可以用方程表示，故选项D不正确；
故选：AC.
9．y-2= (x-1)
【分析】由垂直关系计算出所求方程的直线斜率，按要求写出方程.
【详解】设所求直线的斜率为k，因直线y=-2x的斜率为-2，又两直线垂直，
所以有-2·k=-1，即k=，
所以直线的点斜式方程为y-2= (x-1)．
故答案为：y-2= (x-1)
10．
【分析】根据的方程可以求出的倾斜角，及与轴的交点坐标，根据与倾斜角的关系确定的倾斜角，利用直线点斜式写出方程即可判断直线在y轴上的截距.
【详解】易知的倾斜角为，所以的倾斜角为，又由题意知过点，所以的方程为，即，从而可知在y轴上的截距为．
故答案为：
11．
【解析】设直线的方程为，求出点、的坐标，结合已知条件求出的取值范围，然后求出的面积关于的表达式，利用基本不等式可求出面积的最小值，利用等号成立求出的值，即可得出所求直线的方程.
【详解】易知直线的斜率存在且不为零，
设直线的方程为，即.
在直线的方程中，令，可得；令，可得.
所以，点、.
由已知条件可得，解得.
的面积为.
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，直线的方程为，即.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于将三角形的面积利用斜率有关的代数式表示，并结合基本不等式求出三角形面积的最小值，同时不要忽略了斜率的取值范围的求解.
12．6x－5y－9＝0
【解析】先计算AC边所在直线方程为2x＋y－11＝0，设B（x0，y0），AB的中点M为，根据解得答案.
【详解】由AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0可以知道kAC＝－2，
又A（5，1），AC边所在直线方程为2x＋y－11＝0，
联立直线AC与直线CM方程得 解得
顶点C的坐标为C（4，3）.设B（x0，y0），AB的中点M为 ，
由M在直线2x－y－5＝0上，得2x0－y0－1＝0，
B在直线x－2y－5＝0上，得x0－2y0－5＝0，
联立 解得 所以顶点B的坐标为（－1，－3）.
于是直线BC的方程为6x－5y－9＝0.
故答案为：6x－5y－9＝0
【点睛】本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.
13．(1)
(2)直线的方程为：，直线的方程为：
【分析】（1）根据两点的坐标求得直线的方程.
（2）结合直线、的倾斜角和斜率，求得直线和直线的方程.
（1）因为，，所以轴，所以AB边所在直线的方程为．
（2）因为，所以，所以直线AC的方程为，即因为，所以，所以直线BC的方程为，即.
14．（1）直角三角形；（2）.
【分析】(1)先求直线的斜率,再根据斜率关系即可判断;
(2)由得边上高线所在直线的斜率为,进而根据点斜式求解即可.
【详解】解：（1）,，
，
，
为直角三角形
（2）因为，
所以，边上高线所在直线的斜率为
直线的方程是，即
15．(1)
(2)
【分析】（1）结合中点坐标公式求得正确答案.
（2）结合点斜式求得求边AB的高所在直线方程.
(1)
的顶点，，，则对角线AC中点为.
于是得对角线BD的中点是，设，因此有，，
解得：.
所以平行四边形ABCD的顶点.
(2)
依题意，直线AB的斜率，
则边AB上的高所在直线的斜率为，于是有：，
即.
所以边AB上的高所在直线的方程为.
16．（Ⅰ）.（Ⅱ）12.
【详解】试题分析：（I）设抛物线方程为，由点在上，得，从而得点的坐标为，又直线的斜率为1，从而其垂线的斜率为-1，根据点斜式可得结果；（II）直线的方程是，.将代入，有，利用求根公式求得，由知 ，化简得，根据两点间距离公式，可化为，利用基本不等式求解即可.
试题解析：（Ⅰ）设抛物线方程为，由点在上，得.从而点的坐标为.又直线的斜率为1，从而其垂线的斜率为-1，因此所求直线方程为.
（Ⅱ）设点和的坐标为和，直线的方程是，.
将代入，有，解得.
由知 ，化简得.
因此 .
所以 ，当且仅当时取等号，即的最小值为12.
答案第1页，共2页
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