高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第二章——2.3直线的交点坐标与距离公式（Word版含解析）

高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第二章——2.3直线的交点坐标与距离公式
未命名
一、单选题
1．直线x－2y＋3＝0与2x－y＋3＝0的交点坐标为（ ）
A．(－1，1) B．(1，－1)
C．(1，1) D．(－1，－1)
2．设，直线过定点，直线过定点，则=（ ）
A． B． C． D．1
3．在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则三角形PQR周长等于（ ）
A． B． C． D．
4．在直角坐标平面内，与点距离为2，且与点距离为3的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
5．已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（ ）
A． B． C． D．
6．已知直线：，：，直线垂直于，，且垂足分别为A，B，若，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．8
二、多选题
7．对于直角坐标平面内的任意两点，，定义它们之间的一种“距离”：，则下列说法正确的是（ ）
A．若点C是线段AB的中点，则
B．在中，若，则
C．在中，
D．在正方形ABCD中，有
8．（多选）已知两点到直线的距离相等，则的值为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．点到直线的距离为______.
10．已知直线ax＋2y－1＝0与直线2x－5y＋c＝0垂直相交于点(1，m)，则a＝________，c＝________，m＝________.
11．在平面直角坐标系中，从点发出的光线射向x轴，经x轴反射到直线上，再反射经过点，则光线由P到Q经过的路程长为______．
12．在平面直角坐标系中，已知直线与点，若直线上存在点满足，（为坐标原点），则实数的取值范围是________
四、解答题
13．在直线上求一点P，使它到原点的距离与到直线的距离相等．
14．在中，已知，.
（1）若直线过点，且点，到的距离相等，求直线的方程；
（2）若的角平分线所在的直线方程为，求直线的方程.
15．已知三角形的三个顶点A( 5，0)，B(3， 3)，C(0，2).
（1）求BC边所在直线的方程；
（2）求△ABC的面积.
16．在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴，y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合，如图所示．将矩形折叠，使点A落在线段DC上．
（1）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程；
（2）在（1）的条件下，若时，求折痕长的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】联立两直线方程求解.
【详解】由
解得
所以直线x－2y＋3＝0与2x－y＋3＝0的交点坐标为(－1，1)
故选：A
2．A
【分析】分析可得两条直线过的两定点分别为，，利用两点间距离公式即得解
【详解】对于，当时，，即过定点，即.
对于，其方程可以写成，由，
得直线过定点，即.
所以.
故选:A
3．A
【分析】建立如图所求的直角坐标系，得，设，求出关于直线的对称点坐标，关于轴对称性坐标，由反射性质四点共线，求得直线方程，由在直线上可求得，然后计算即得．
【详解】建立如图所求的直角坐标系，得，直线方程为，的重心为，
设，关于直线的对称为，
则，解得，则，
易知关于轴的对称点为，根据光线反射原理知四点共线，
∴直线的方程为，即，又直线过，
∴，解得或（舍去），，
∴，，
．
故选：A．
【点睛】关键点点睛：本题考查直线方程的应用，解题关键是利用对称性，把的三边转化为到同一条直线上，利用直线方程求得点位置，然后得路程的最小值．
4．C
【分析】根据直线是否存在斜率，分类讨论，利用点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】当直线不存在斜率时，设为，由题意可知：且，
没有实数使得两个式子同时成立；
当直线存在斜率时，设直线方程为：，
点到该直线的距离为2，所以有，
点到该直线的距离为3，所以有，
由得：或，
当时，代入中，得，
该方程的判别式，该方程有两个不相等的实数根，
当时，代入中，得，
该方程的判别式，该方程有两个相等的实数根，
所以这样的直线共有三条，
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题的关键是解方程组.
5．D
【分析】根据题意可知，点既在双曲线的一支上，又在函数的图象上，即可求出点的坐标，得到的值．
【详解】因为，所以点在以为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，由可得，，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，所以，
由，解得，即．
故选：D.
【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
6．C
【分析】根据条件设出直线l3的方程，求出点A，B坐标，用m表示出，再借助几何意义即可计算得解.
【详解】因直线垂直于，，则设直线l3的方程为：，
由得点，由得点，而，，
于是得，
而表示动点到定点与的距离的和，
显然，动点在直线上，点与在直线两侧，因此，，
当且仅当点M是直线与线段EF：的交点，即原点时取“=”，此时m=0，
从而得取最小值，
所以，当直线l3方程为：时，取最小值.
故选：C
7．ACD
【分析】对于AC，根据距离的新定义分析判断，对于B，举例判断，对于D，根据距离的新定义结合图形分析判断
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，取，则，而，不满足，故B错误；
对于C，设，则，因为
，
同理，所以，故C正确；
对于D，设正方形ABCD的边长为a，当正方形的边与坐标轴平行时，易知，如图，设AB与x轴的夹角为，由图可知
，故D正确.
故选：ACD
8．AD
【分析】利用点到直线距离公式表示两个距离，解绝对值方程，即得解
【详解】由题意得，
或
解得或
故选：AD
9．
【分析】根据点到直线距离公式，直接求解，即可得出结果.
【详解】点到直线的距离为.
故答案为：.
【点睛】本题考查求点到直线的距离，熟记公式即可，属于基础题型.
10． 5 -12 -2
【分析】由两直线垂直得到2a-10=0，再由两直线的交点为(1，m)求解.
【详解】由题意得
解得a＝5，c＝－12，m＝－2.
故答案为：5，-12，-2
11．
【分析】根据题意画出图形，设光线自点射向x轴上的点，经过反射后射向直线上的点，再经过反射后射向点，作出点关于轴的对称点,点关于直线的对称点，然后根据对称的关系可求得答案
【详解】如图，设光线自点射向x轴上的点，经过反射后射向直线上的点，再经过反射后射向点，点关于轴的对称点,点关于直线的对称点，
则，，
所以光线由P到Q经过的路程长为
,
故答案为：
12．
【分析】先设，根据，，得到，再由题意，得到，求解，即可得出结果.
【详解】由题意设，
因为点，，
所以，
整理得：①
因为直线上存在点满足，
所以方程①有解，因此，
解得.
故答案为
【点睛】本题主要考查两点间距离公式的应用，熟记公式即可，属于常考题型.
13．或
【分析】设点P的坐标为，则由题意得，解之可得t值．
【详解】设点P的坐标为，则，
解之得．
∴点P的坐标为或．
【点睛】本题考查点到直线的距离公式的应用，以及两点间的距离公式的应用，是基础题．
14．（1）或；（2）.
【分析】（1）直线过的中点或直线平行两种情况分别求出直线的方程即可；
（2）设关于的角平分线的对称点为，根据点关于直线对称求出对称点的坐标，再由，在直线上，即可求出直线的方程；
【详解】（1）∵点，到的距离相等，∴直线过线段的中点或，
①当直线过线段的中点时，直线斜率不存在，则的方程为；
②当时，则斜率，
则的方程为，即；
综上，的方程为或；
（2）设关于的角平分线的对称点为，，
解得，∴，再由，在直线上，所以
所以的方程为整理得.
15．（1）；（2）.
【分析】（1）本小题先根据两点求直线的斜率，再运用点斜式求直线方程即可；
（2）本小题先求点A到直线BC的距离就是高，再求B、C两点的距离就是底边，最后求三角形面积即可.
【详解】解：(1)∵ B(3， 3)，C(0，2)，
∴ ，
∴ BC边所在直线的方程：，即，
（2）A( 5，0)，∴点A到直线BC的距离为：
∵ B(3， 3)，C(0，2)，∴
∴
【点睛】本题考查过两点求斜率，点斜式直线方程，点到直线的距离公式，两点间距离公式，是基础题.
16．（1）；（2）.
【分析】（1）当时，此时A点与D点重合，求出折痕所在的直线方程．当时，将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为，可知：A与G关于折痕所在的直线对称，有，解得故G点坐标为，从而折痕所在的直线与OG的交点坐标即线段OG的中点M的坐标表示，即可得出结果；
（2）当时，折痕长为当时，折痕所在的直线交BC于点，交y轴于点，利用两点之间的距离公式、二次函数的单调性即可得出结果．
【详解】（1）当时，此时点A与点D重合，折痕所在的直线方程为；
当时，将矩形折叠后点A落在线段DC上的点记为，
所以点A与点G关于折痕所在的直线对称，有，
即，交点，
故点G的坐标为，
从而折痕所在的直线与OG的交点坐标线段OG的中点为，
所以折痕所在的直线方程为，即，
综上所述，折痕所在的直线方程为；
（2）当时，折痕的长为2；
当时，折痕所在的直线交BC于点，
交y轴于点，，
又因为，所以，所以
综上所述，折痕长的取值范围为．
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