第十四章 整式的乘法与因式分解
14.3 因式分解
14.3.2 公式法
第1课时
一、教学目标
【知识与技能】
灵活运用平方差公式进行因式分解.
【过程与方法】
经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程,感受逆向思维的意义.
【情感、态度与价值观】
培养良好的推理能力,体会“化归”与“换元”的思想方法,形成灵活的应用能力.
二、课型
新授课
三、课时
第1课时,共2课时。
四、教学重难点
【教学重点】
运用平方差公式进行因式分解.
【教学难点】
观察多项式的特点，判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法，并完整地进行分解.
五、课前准备
教师：课件、直尺、矩形图片等。
学生：三角尺、练习本、铅笔、钢笔。
六、教学过程
（一）导入新课
如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？
（二）探索新知
1.创设情境，探究运用平方差公式分解因式
教师问1：完成下列题目.
（1）（x+2）(x-2);（2）（y+5）(y-5)
学生回答：
（1）（x+2）(x-2)=x2－4;（2）（y+5）(y-5)=y2－25
教师问2：同学们回忆什么是因式分解？
学生回答：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式.
教师问3：因式分解与整式乘法的关系是什么？
学生回答：因式分解与整式乘法的关系是互为逆运算.
请观察下列多项式：x2－4和y2－25.完成下列问题：
教师问4：它们有什么共同特点吗？
学生回答：都是两个数的差，并且这两个数都是一个数的平方.
教师问6：能否进行因式分解？你会想到什么公式？
学生回答：能进行因式分解，会想到平方差公式.
师生共同总结：①他们有两项，且都是两个数的平方差；②会联想到平方差公式.
教师问7：多项式a2–b2有什么特点？你能将它分解因式吗？（出示课件4）
学生回答：是a，b两数的平方差的形式，(a＋b)(a－b)＝a2－b2
调换位置后：a2－b2＝(a＋b)(a－b)
教师问8：观察平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)的项、指数、符号有什么特点？
师生讨论最后得出下列结论：
(1)左边是二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反；
(2)右边是两个多项式的积，一个因式是两数的和，另一个因式是这两数的差；
(3)在乘法公式中，“平方差”是计算结果，而在分解因式中，“平方差”是能得到分解因式的多项式.
教师总结：
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
由此可知如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式.
警示：避免出现4a2＝(4a)2这一类错误.
例1：分解因式：（出示课件6）
（1）4x2-9；（2）（x+p）2-(x+q)2
师生共同解答如下：
解：（1）原式=（2x）2-32=（2x+3）（2x-3）
（2）原式=[（x+p）+（x+q）]×[（x+p）-（x+q）]
=（2x+p+q）（p-q）
总结点拨：（出示课件7）
公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
例2：分解因式：（出示课件9）
（1）x4-y4 ；（2）a3b-ab
师生共同解答如下：
解：(1)原式＝(x2)2–(y2)2
＝(x2+y2)(x2–y2)
＝(x2+y2)(x+y)(x–y);
总结点拨：分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解，直到不能分解为止.
(2)原式＝ab(a2–1)
＝ab(a+1)(a–1).
总结点拨：分解因式时，一般先用提公因式法进行分解，然后再用公式法.最后进行检查.
总结点拨：（出示课件10）
分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．
例3：已知x2–y2＝–2，x＋y＝1，求x–y，x，y的值．（出示课件12）
师生共同解答如下：
解：∵x2–y2＝(x＋y)(x–y)＝–2，
x＋y＝1①，
∴x–y＝–2②.
联立①②组成二元一次方程组，解得：
总结点拨：在与x2–y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.
例4：计算下列各题：（出示课件14）
(1)1012–992； (2)53.52×4–46.52×4.
师生共同解答如下：
解：(1)原式＝(101＋99)(101–99)＝400；
(2)原式＝4×(53.52–46.52)
＝ 4× (53.5＋46.5)(53.5–46.5)
＝4×100×7=2800.
总结点拨：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.
例5：求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2–(2n–1)2一定能被8整除．（出示课件16）
师生共同解答如下：
证明：原式=(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1)=4n 2=8n，
∵n为整数，∴8n被8整除，
即多项式(2n+1)2–(2n–1)2一定能被8整除．
总结点拨：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除．
（三）课堂练习（出示课件19-23）
1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )
A．a2＋(–b)2 B．5m2–20mn
C．–x2–y2 D．–x2＋9
2. 将多项式x–x3因式分解正确的是( )
A．x(x2–1) B．x(1–x2)
C．x(x+1)(x–1) D．x(1+x)(1–x)
3.若a+b=3，a–b=7，则b2–a2的值为( )
A．–21 B．21 C．–10 D．10
4.把下列各式分解因式：
(1)16a2–9b2=_________________;
(2)(a+b)2–(a–b)2=_________________;
(3) 因式分解：2x2–8=_________________;
(4) –a4+16=_________________.
5.若将(2x)n–81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x–3)，则n的值是_____________.
6.已知4m+n=40，2m–3n=5．求(m+2n)2–(3m–n)2的值．
7.如图，在边长为6.8 cm正方形钢板上，挖去4个边长为1.6 cm的小正方形，求剩余部分的面积．
8.(1)992–1能否被100整除吗？
(2)n为整数，(2n+1)2–25能否被4整除？
参考答案：
1.D
2.D
3.A
4.(1)(4a+3b)(4a–3b);(2)4ab;(3)2(x+2)(x–2);(4)(4+a2)(2+a)(2–a)
5.4
6.解：原式=(m+2n+3m – n)(m+2n – 3m+n)
=(4m+n)(3n – 2m)
= –(4m+n)(2m – 3n)，
当4m+n=40，2m–3n=5时，
原式= – 40×5= –200．
7.解：根据题意，得
6.82–4×1.62
＝6.82– (2×1.6)2
＝6.82–3.22
＝(6.8＋3.2)(6.8 – 3.2)
＝10×3.6
＝36 (cm2)
答：剩余部分的面积为36 cm2.
8.解：(1)因为 992–1=(99+1)(99–1)=100×98，
所以992–1能被100整除.
(2)原式=(2n+1+5)(2n+1–5)
=(2n+6)(2n–4)
=2(n+3) ×2(n–2)
=4(n+3)(n–2).
所以，(2n+1)2–25能被4整除.
（四）课堂小结
今天我们学了哪些内容:
平方差公式：
a2－b2＝(a＋b)(a＋b)
一提二看三检查，分解要彻底.
（五）课前预习
预习下节课（14.3.2）117页到118页的相关内容。
知道运用完全平方公式分解因式的方法.
七、课后作业
1、教材117页练习1,2
2、用因式分解法证明499-714能被2400整除.
八、板书设计：
九、教学反思：
本节内容是用平方差公式因式分解,平方差公式比较简单,但是变化很多,通过练习要养成先提公因式的习惯,结果要注意到是否进行到每一个多项式因式都不能再分解为止,因式分解是一个重要的内容,也是难点,要根据学生的接受能力,注意到计算题在练习方面的巩固及题型的多样化,应指导学生多加练习.
本节课是因式分解的第二节课，主要是研究用平方差公式以及用提公因式法对多项式进行因式分解的方法.
由于因式分解和整式的乘法是对多项式从相反的方向进行了恒等变形，因此提出的第1个问题帮助学生回忆因式分解的概念，为第2个问题的顺利解决奠定了基础.课题的引入简单而紧扣主题.第十四章 整式的乘法与因式分解
14.3 因式分解
14.3.2 公式法
第2课时
一、教学目标
【知识与技能】
1.在掌握了因式分解意义的基础上，会运用平方差公式和完全平方公式对比较简单的多项式进行因式分解.
【过程与方法】
1.经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程,感受逆向思维的意义,掌握因式分解的基本步骤.
2.在运用公式法进行因式分解的同时，培养学生的观察、比较和判断能力以及运算能力，用不同的方法分解因式可以提高综合运用知识的能力.
【情感、态度与价值观】
1.培养学生逆向思维的意识,同时培养学生团队合作、互帮互助的精神.
2.进一步体验“整体”的思想，培养“换元”的意识.
二、课型
新授课
三、课时
第2课时，共2课时。
四、教学重难点
【教学重点】
运用完全平方公式法进行因式分解.
【教学难点】
观察多项式的特点，判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法，并完整地进行分解.
五、课前准备
教师：课件、直尺、矩形图片等。
学生：三角尺、练习本、铅笔、钢笔。
六、教学过程
（一）导入新课
我们知道，因式分解与整式乘法是反方向的变形，我们学习了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？（出示课件2）
（二）探索新知
1.创设情境，探究运用完全平方公式分解因式
教师问1：什么叫因式分解？（出示课件4）
学生回答：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式.
教师问2：我们已经学过哪些因式分解的方法？
学生回答：提公因式法、平方差公式：a2–b2=(a+b)(a–b)
教师问3：把下列各式分解因式：(1)ax4－a；(2)16m4－n4.
学生回答：
(1)ax4－a=a(x2+1)(x+1)(x-1)；
(2)16m4－n4=(4m2+n)(2m+n)(2m-n).
教师问4：结合上题思考因式分解要注意什么问题？
学生回答：①一提二看三检查；②分解要彻底.
教师问5：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式？请写出来.
学生回答：完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2
教师讲解：这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解.
教师问6：你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？（出示课件5）
学生讨论后拼出下图：
教师问7：这个大正方形的面积可以怎么求？
学生回答：（a+b）2=a2+2ab+b2
教师问8：将上面的等式倒过来看，能得到什么呢？
学生回答：a2+2ab+b2=（a+b）2 （出示课件6）
教师问：观察这两个多项式：a2+2ab+b2；a2–2ab+b2，请回答下列各题：（出示课件7）
(1)每个多项式有几项？
学生回答：三项
(2)每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
学生回答：这两项都是数或式的平方，并且符号相同.
(3)中间项和第一项，第三项有什么关系？
学生回答：是第一项和第三项底数的积的±2倍.
教师讲解：我们把a +2ab+b 和a –2ab+b 这样的式子叫做完全平方式.
教师问9：把下列各式分解因式：
(1)a2＋2ab＋b2；(2)a2－2ab＋b2.
学生回答：(1)a2＋2ab＋b2=（a+b）2；(2)a2－2ab＋b2=（a-b）2.
教师问10：将整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式.同样道理，把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式.能不能用语言叙述呢？
学生回答后，师生共同讨论后解答如下：两个数的平方和，加上(或减去)这两数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
即a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
教师问11：下列各式是不是完全平方式？如果是，请分解因式.
(1)a2－4a＋4；(2)x2＋4x＋4y2；(3)4a2＋2ab＋b2；
(4)a2－ab＋b2；(5)x2－6x－9；(6)a2＋a＋0.25.
学生讨论后回答如下：(1)a2－4a＋4；是，原式=（a-2）2
(2)x2＋4x＋4y2；不是
(3)4a2＋2ab＋b2；是，原式=（2a+b）2
(4)a2－ab＋b2；不是
(5)x2－6x－9；不是
(6)a2＋a＋0.25.是，原式=（a+0.5）2
教师问12：根据学方差公式分解因式的经验和方法，分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？
学生讨论后回答，师生共同归纳如下：①三项式；②两项为两个数的平方和的形式；③第三项为加(或减)这两个数的积的2倍.
总结点拨：（出示课件8）
完全平方式: a 2ab+b
完全平方式的特点：
1.必须是三项式(或可以看成三项的)；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间有两底数之积的±2倍.
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.（出示课件9）
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
例1：分解因式：（出示课件12）
(1)16x2+24x+9； (2)–x2+4xy–4y2.
师生共同解答如下：
（1）分析：(1)中， 16x2=(4x)2， 9=3 ，24x=2·4x·3，
所以16x2+24x+9是一个完全平方式，
即16x2 + 24x +9= (4x)2+2·4x·3+ 32.
解： (1)16x2+ 24x +9
= (4x)2 + 2·4x·3 + 32
= (4x + 3)2；
(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为–(x2–4xy+4y2)，然后再利用公式分解因式.
(2)–x2+ 4xy–4y2
=–(x2–4xy+4y2)
=–(x–2y)2.
例2：如果x2–6x+N是一个完全平方式，那么N是( )（出示课件15）
A . 11 B. 9 C. –11 D. –9
师生共同解答如下：
解析：根据完全平方式的特征，中间项–6x=2x×(–3)，故可知N=(–3)2=9.
答案：B
总结点拨：（出示课件16）
本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征， 根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．
例3：把下列各式分解因式：（出示课件18）
(1)3ax2+6axy+3ay2 ； (2)(a+b)2–12(a+b)+36.
师生共同解答如下：
分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解因式；(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m，则原式化为m2–12m+36.
解: (1)原式=3a(x2+2xy+y2)
=3a(x+y)2；
(2)原式=(a+b)2–2·(a+b) ·6+62
=(a+b–6)2.
总结点拨：利用公式把某些具有特殊形式(如平方差式，完全平方式等)的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.（出示课件19）
例4：把下列完全平方式分解因式：（出示课件21）
(1)1002–2×100×99+99 ；
(2)342＋34×32＋162.
师生共同解答如下：
解：(1)原式=(100–99)
=1
(2)原式＝(34＋16)2
＝2500.
总结点拨：本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算.
例5：已知:a2+b2+2a–4b+5=0，求2a2+4b–3的值.（出示课件23）
师生共同解答如下：
分析：从已知条件可以看出，a2+b2+2a–4b+5与完全平方式有很大的相似性(颜色相同的项)，因此可通过“凑”成完全平方式的方法，将已知条件转化成非负数之和等于0的形式，从而利用非负数的性质来求解.
（出示课件24）
解：由已知可得(a2+2a+1)+(b2–4b+4)=0
即(a+1)2+(b–2)2=0
∴ 2a2+4b–3=2×(–1)2+4×2–3=7
总结点拨：遇到多项式的值等于0、求另一个多项式的值，常常通过变形为完全平方公式和(非负数的和)的形式，然后利用非负数性质来解答．
（三）课堂练习（出示课件27-31）
1.下列四个多项式中，能因式分解的是( )
A．a2＋1 B．a2–6a＋9
C．x2＋5y D．x2–5y
2.把多项式4x2y–4xy2–x3分解因式的结果是( )
A．4xy(x–y)–x3 B．–x(x–2y)2
C．x(4xy–4y2–x2) D．–x(–4xy＋4y2＋x2)
3.若m＝2n＋1，则m2–4mn＋4n2的值是________．
4.若关于x的多项式x2–8x＋m2是完全平方式，则m的值为_________ ．
5. 把下列多项式因式分解.
(1)x2–12x+36; (2)4(2a+b)2–4(2a+b)+1;
(3) y2+2y+1–x2;
6. 计算：(1) 38.92–2×38.9×48.9＋48.92.
（2）20142-2014×4026+20132
7. 分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2)x2–2x＋3.
小聪和小明的解答过程如下：
他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.
8. (1)已知a–b＝3，求a(a–2b)＋b2的值；
(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．
参考答案：
1.B
2.B
3.1
4. ±4
5. 解：(1)原式=x2–2·x·6+62=(x–6)2;
(2)原式=[2(2a+b)] – 2·2(2a+b)·1+1 =(4a+2b– 1)2;
(3)原式=(y+1) –x =(y+1+x)(y+1–x).
6. 解：(1)原式＝(38.9–48.9)2
＝100.
(2)原式=20142-2×2014×2013+20132
=（2014-2013）2
=1
7. 解: (1)原式＝(2x)2＋2 2x 1＋1＝(2x+1)2
(2)原式＝ (x2–6x＋9)＝ (x–3)2
8. 解：(1)原式＝a2–2ab＋b2＝(a–b)2.
当a–b＝3时，原式＝32＝9.
(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
当ab＝2，a＋b＝5时，
原式＝2×52＝50.
（四）课堂小结
今天我们学了哪些内容:
a2±2ab＋b2＝(a±b)2
一提，二看，三检查。
（五）课前预习
预习下节课（15.1.1）的相关内容。
知道分式的定义，了解分式有意义、分式无意义，分式的值为零的条件.
七、课后作业
1、教材119页练习1,2
2、下面是某同学对多项式(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4进行因式分解的过程.
[解析] 设x2-4x=y,
原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)
=y2+8y+16(第二步)
=(y+4)2(第三步)
=(x2-4x+4)2(第四步)
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 .
A.提取公因式
B.平方差公式
C.两数和的完全平方公式
D.两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底 .(填“彻底”或“不彻底”)若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果 .
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2-2x)(x2-2x+2)+1进行因式分解.
八、板书设计：
九、教学反思：
1. 本节课应强调完全平方式标准模式的书写,这也是学生思维过程的暴露,有利于中等及中等以下学生对新知识的掌握,提高学生解题的准确率;先引导学生分析多项式特点,再让学生尝试分解因式的方式完成例题教学.
2将乘法公式反过来就得到多项式的因式分解，看似很简单的问题，对初学因式分解的学生来说，存在以下三方面的问题：①不知道用哪一个公式；②不懂得如何套用公式；③当公式中的字母a，b为多项式时，因结构复杂不知从何入手.解决这些问题可采取以下策略：①让学生掌握多项式因式分解公式并熟记这些公式；②从多项式的项数入手，分辨用哪一个公式，如果多项式是两项式，那么考虑用平方差公式，如果多项式是三项式，那么考虑用完全平方公式..
