第十三章 轴对称
13.3 等腰三角形
13.3.1等腰三角形
第2课时
一、教学目标
【知识与技能】
会证明等腰三角形的判定定理,解决简单问题.
【过程与方法】
发展学生的归纳猜想能力,提高学生证明文字命题的能力,培养举一反三、灵活变换的能力.
【情感、态度与价值观】
体会数学源于实际,运用于实际的应用价值,领悟数学中的转化思想,欣赏数学的几何美、对称美.
二、课型
新授课
三、课时
第2课时，共2课时。
四、教学重难点
【教学重点】
等腰三角形判定定理及其应用.
【教学难点】
1.等腰三角形判定定理的探索和应用；
2.等腰三角形判定与性质的区别.
五、课前准备
教师：课件、三角尺、直尺、圆规等。
学生：三角尺、直尺、圆规。
六、教学过程
（一）导入新课
如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？（出示课件2）
（二）探索新知
1.创设情境，探究等腰三角形的判定
教师问1：上节课我们学习了等腰三角形的性质，现在大家来回忆一下，等腰三角形有哪些性质？
老师指定学生回答：1.等腰三角形的两个底角相等，2.等要三角形的顶角的平分线、底边的中线、底边上的高互相重合（三线合一）.
教师问2：如图，已知AC＝BD，是否能根据等边对等角得到这两条边所对的角∠ABC＝∠DAB呢？如果不可以，那是为什么呢？
学生回答：不能根据等边对等角得到这两条边所对的角∠ABC＝∠DAB，因为不在同一个三角形内，等边对等角是指在同一个三角形内的边角关系.
教师问3：我们已经知道了等腰三角形的性质，那么满足了什么样的条件就能说一个三角形是等腰三角形呢.我们一起探究下边的问题：
在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
学生讨论后猜想：这个三角形的两条相等.
教师问4：我们如何证明猜想是否正确呢？
师生共同探究后得到如下问题：
已知一个锐角AOB和一条线段CD，请作一个三角形CDE，使得∠C＝∠D＝∠AOB.(教师板书题目)
学生在作业纸上进行作图，同时教师一边作图一边讲解,得到如下图形.
教师问5：请同学们用直尺测量出你所画出的三角形CDE中CE和DE的长度，你能发现什么？
学生回答：动手测量这两条线段的长度后，发现CE＝DE.
教师问6：那么大家的这个结论是否成立呢？
学生回答：应该可以证明.
教师问7：现在我们把这个问题一般化，那就可以变成：如图，在△ABC中, ∠B=∠C,那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系 (出示课件4）
学生回答：会相等.
教师问8：请你们证明这个猜想.
师生共同解答如下：（出示课件5）
证明：过A作AD平分∠BAC交BC于点D.
在△ABD与△ACD，
∠1=∠2，
∠B=∠C，
AD=AD，
∴ △ABD ≌ △ACD（AAS）.
∴AB=AC.
总结点拨：（出示课件6）
等腰三角形的判定方法：
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”，这又是一个判定两条线段相等的根据之一）.
应用格式：
在△ABC中，∵∠B=∠C， ( 已知 )
∴ AC=AB. ( 等角对等边 )
即△ABC为等腰三角形.
教师问9：如图，位于海上A，B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A＝∠B，如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点(不考虑风浪因素)
学生回答：能同时到达.
教师问10：为什么能同时到达呢？说说你的依据是什么？
学生给出回答：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC(等角对等边).∴△ABC是等腰三角形.又因为两艘救生船以同样的速度同时出发，所以能同时到达.
例1：求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．（出示课件8）
师生共同解答如下：
已知： 如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．
求证：AB=AC．
证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），
∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠1=∠2，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC（等角对等边）．
例2：已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.
求证：AB=AD.（出示课件10）
师生共同解答如下：
证明：∵ AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC.
∵ BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD.
例3：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．（出示课件12）
师生共同解答如下：
证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°.
∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACD.
∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠EAC，
∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．
总结点拨：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，它的前提条件是“在同一个三角形中”．
例4：已知等腰三角形底边长为a,底边上的高的长为h，求作等腰△ABC.使底边BC=a，底边上的高为h.（出示课件15）
师生共同解答如下：
作法：
1.作线段AB=a.
2.作线段AB的垂直平分线MN，交AB 于点D.
3.在MN上取一点C，使DC=h.
4.连接AC，BC，则△ABC即为所求.
例5：如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.
探究EF，BE，FC之间的关系.（出示课件16）
师生共同解答如下：
解：EF=BE+CF.
理由如下：∵ EF∥BC,
∴∠EOB=∠CBO，∠FOC=∠BCO.
∵ BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠CBO＝∠ABO，∠BCO＝∠ACO，
∴∠EOB＝∠ABO ，∠FOC＝∠ACO，
∴BE＝OE，CF=OF，
∴ EF=EO+FO＝BE+CF.
总结点拨：判定线段之间的数量关系，一般做法是通过证明线段所在的两个三角形全等或利用同一个三角形中“等角对等边”，运用转化思想，解决问题.
（三）课堂练习（出示课件20-26）
1.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD,CE分别是∠ABC,∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2.一个三角形的一个外角为130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍.这个三角形是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
3.如图，直线a、b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
4.如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则∠DBC=_____，
∠BDC=_____，图中的等腰三角形有____________________________.
5.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为_____.
6.如图，上午10 时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°，∠NBC=80°.求从B处到灯塔C的距离.
7.
（A类）已知如图，四边形ABCD中，AB=BC，AD=CD，求证：∠A=∠C．
（B类）已知如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C，
求证：AD=CD．
8.在△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？
参考答案：
1.A
2.C
3.D
4.36° 72° △ABC、△DBA、△BCD
5.9
6.解：∵∠NBC=∠A+∠C，
∴∠C=80°– 40°= 40°，
∴ ∠C = ∠A，∴ BA=BC(等角对等边).
∵AB=20×(12–10)=40(海里),
∴BC=40海里.
答：B处距离灯塔C为40海里.
7.证明：（A类）连接AC，
∵AB=BC，AD=CD，
∴∠BAC=∠BCA，∠DAC=∠DCA，
∴∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA，即BAD=∠BCD；
（B类）连接AC，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
又∵∠BAD=∠BCD，即∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA，
∴∠DAC=∠DCA，∴AD=CD．
8.3种“补出”方法：
方法1：量出∠C度数，画出∠B＝∠C， ∠B与∠C的边相交得到顶点A．
方法2：作BC边上的垂直平分线，与∠C的一边相交得到顶点A．
方法3：对折．
（四）课堂小结
今天我们学了哪些内容:
等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).
（五）课前预习
预习下节课（13.3.2）79页到80页的相关内容。
知道等边三角形的性质与判定
七、课后作业
1、教材80页练习1,2
2、如图,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为D,DE∥AC.求证:△BDE是等腰三角形.
八、板书设计：
九、教学反思：
本节是等腰三角形的判定,在探索等腰三角形的判定定理时,首先要求学生写出已知和求证,独立思考后再在小组内讨论,最后与课本规范的证明过程对比.这种学生自主学习的形式代替老师的讲解,能使学生的印象更加深刻.
在教学过程中，采取分小组合作探究学习的方式，强调学生形成积极主动的学习态度，关注学生的学习兴趣和体验，充分体现“数学教学主要是数学活动的教学”这一教学思想.注意引导学生对解题思路和方法进行总结，切实提高学生分析问题、解决问题的能力.第十三章 轴对称
13.3 等腰三角形
13.3.1 等腰三角形
第1课时
一、教学目标
【知识与技能】
掌握等腰三角形的性质,会运用性质进行证明和计算.
【过程与方法】
经历观察实验、猜想证明,发展合情推理能力和演绎推理能力.
【情感、态度与价值观】
通过同学间的合作与交流,体会在解决问题过程中与他人合作的益处,数学知识在生活中的用途.
二、课型
新授课
三、课时
第1课时，共2课时。
四、教学重难点
【教学重点】
理解并掌握等腰三角形的定义，探索等腰三角形的性质和判定方法；能够用等腰三角形的知识解决相应的数学问题.
【教学难点】
等腰三角形性质和判定的探索和应用.
五、课前准备
教师：课件、三角尺、直尺、圆规等。
学生：三角尺、直尺、圆规。
六、教学过程
（一）导入新课
出示等腰三角形示例，学生观看回顾相关知识（出示课件2）
我们知道有两边相等的三角形叫等腰三角形,请同学们按下面的要求操作,如图,把一张长方形的纸按图中虚线对折,然后沿着虚线剪开,再把它展开,得到一个等腰三角形,通过折叠你发现了等腰三角形的那些性质 （出示课件3）
（二）探索新知
1.师生互动，探究等腰三角形的性质
教师问1:把一张长方形的纸片按图中虚线对折，并按教材要求剪去阴影部分，再把它展开，观察AC和AB有什么关系？
学生动手操作后回答：AC=AB。
教师问2：上述过程得到的△ABC有什么特点？(出示课件5-6)
学生回答：两条边AC与AB相等，是一个等腰三角形.
教师问3：△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？（出示课件7）
学生回答：△ABC 是轴对称图形，折痕AD所在的直线是它的对称轴.
(3)回顾：什么是等腰三角形，等腰三角形中学过哪些重要线段？
教师问4：把活动1中剪出的△ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段，填入下表：
重合的线段 重合的角
学生观察讨论后并完成下表（出示课件8）
重合的线段 重合的角
AB与AC ∠B 与∠C
BD与CD ∠BAD 与∠CAD
AD与AD ∠ADB 与∠ADC
教师问5：观察上表，由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？
说一说你的猜想.
学生猜想1：等腰三角形的两个底角相等.
教师问6：如何证明我们的猜想是否正确呢？
师生共同解答如下：
已知：△ABC中，AB=AC,
求证：∠B=∠C.
教师问7：如何证明两个角相等呢？
学生讨论后回答：可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证.
教师问8：这里只有一个三角形，全等三角形需要两个三角形. 如何构造两个全等的三角形？（出示课件9）
师生共同讨论后解答如下：（出示课件10）
方法一：作底边上的中线.
证明：作底边的中线AD，则BD=CD.
在△BAD和△CAD中
AB=AC ( 已知 )，
BD=CD ( 已作 )，
AD=AD (公共边)，
∴ △BAD≌ △CAD (SSS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
教师问9：还有其他的证法吗？
师生讨论后得到如下答案：（出示课件11）
方法二：作顶角的平分线
证明：作顶角的平分线AD，
则∠BAD=∠CAD.
在△BAD和△CAD中
AB=AC ( 已知 ),
∠BAD=∠CAD ( 已作 ),
AD=AD (公共边),
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
教师问10：由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B= ∠C之外，你还可以得到哪些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？
学生小组内讨论后得到如下答案：（出示课件12）
解：∵△BAD≌ △CAD，由全等三角形的性质易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.
又∵ ∠ADB+∠ADC=180°，
∴ ∠ADB=∠ADC= 90° ，
即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线 .
总结点拨：（出示课件13）
性质1:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
如图,在△ABC中,
∵AB=AC(已知),
∴∠B=∠C(等边对等角).
性质2:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.
（出示课件14）
数学语言：
如图, 在△ABC中,
∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)，
∴BD=CD, AD⊥BC.（等腰三角形三线合一）
∵AB=AC, BD=CD (已知)，
∴∠1=∠2, AD⊥BC.（等腰三角形三线合一）
∵AB=AC, AD⊥BC(已知)，
∴BD=CD, ∠1=∠2.（等腰三角形三线合一）
教师问11：画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？
学生作图如下：
教师问12：如果是底角的平分线和他所对的腰上的高、中线具有这个性质吗？
学生作图并且比较后回答：不具有三线合一的性质.
作图如下：（出示课件15）
例1：如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.
（出示课件17）
师生共同解答如下：
分析：（1）找出图中所有相等的角；∠A=∠ABD,
∠C=∠BDC=∠ABC；
（2）指出图中有几个等腰三角形？
△ABC,△ABD, △BCD.
（3）观察∠BDC与∠A、∠ABD的关系，∠ABC、∠C呢？（出示课件18）
∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD,
∠ABC= ∠BDC=2 ∠A,
∠C= ∠BDC=2 ∠A.
（4）设∠A=x ,请把△ ABC的内角和用含x的式子表示出来.
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠C=180 °，∴ x+2x+2x=180 °.
出示课件19：
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.
设∠A=x，则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.
于是在△ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° .
解得x=36 ° .
∴在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
总结点拨：在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解.
例2：等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是( )（出示课件22）
A．65°或50° B．80°或40°
C．65°或80° D．50°或80°
解析：当等腰三角形的顶角是50°，则这个三角形的底角的大小是（180°-50°）÷2=130°÷2=65°；
当等腰三角形的一个底角是50°，则这个三角形的顶角的大小是180°-50°×2=80°，所以底角是65°或50°，故选A.
总结点拨：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．
例3：已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.（出示课件24）
(1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC.
师生共同解答如下：（出示课件25）
证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G.
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BG＝CG，DG＝EG，
∴BG–DG＝CG–EG，
∴BD＝CE；
(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，
∴BD＋DF＝CE＋EF，
∴BF＝CF.
∵AB＝AC，∴AF⊥BC.
总结点拨：在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．
（三）课堂练习（出示课件30-35）
1.等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（ ）
A．30°，60° B．45°，45°
C．45°，90° D．20°，70°
2.如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC的大小为（ ）
A．40° B．30° C．70° D．50°
3.
(1)等腰三角形一个底角为45°,它的另外两个角为__________________；
(2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为____________________；
(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为___________________.
4.在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，则底角的大小为___________．
5. 如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC边上的中点，∠B = 30°，求 ∠BAD 和 ∠ADC的度数.
6. 如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC＝∠F，求证：EC∥DF.
7. A、B是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置．
参考答案：
1.B
2.A
3.(1) 45°, 90°； (2) 72°,72°或36°,108°；（3）30°，30°
4. 70°或20°
5. 解：∵AB=AC，
∴ ∠C= ∠B=30°，
∵BD = CD，∴AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC = 90°.
∴∠ BAD =90°– ∠B = 60°.
6. 证明：∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
又∵BD、CE为底角的平分线，
∴
∴∠DBC＝∠ECB.
∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F， ∴EC∥DF.
7.解答如下图：
分别以A、B、C为顶角顶点来分类讨论！共8个.
（四）课堂小结
今天我们学了哪些内容:
1.等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)
2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(三线合一)
（五）课前预习
预习下节课（13.3.1）77页到78页的相关内容。
知道等腰三角形的判定定理
七、课后作业
1、教材77页练习1,2
2、如下图所示,D为BC上一点,且AB=AC=BD,则图中∠1与∠2的关系是( )
A.∠1=2∠2
B.∠1+∠2=180°
C.∠1+3∠2=180°
D.3∠1-∠2=180°
八、板书设计：
九、教学反思：
1.本节课的是等腰三角形的性质,设计上让学生从动手实验入手,发现、猜想、证明、探究等腰三角形的性质,并逐步懂得联系生活实际.个别同学会对等边对等角以及“三线合一”的性质理解不透,应用的不是很熟练,仍然忽略两种情况的存在,还需要多尝试练习.
2.本节课通过学生动手实践，观察分析，猜想证明，完成了从感性认识到理性认识的知识发生、发展的认知过程.使学生的思维由形象直观过渡到抽象的逻辑演绎，层层展开，步步深入，最后，学生动手运用所学知识解决问题，真正实现学生为主体的教学理念.
