上海市吴淞中学2013届高三下学期第一次月考数学试题

吴淞中学2013届高三下学期第一次月考数学试题
一．填空题：（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1、复数的共轭复数为　　　　　　　　　．
2、行列式中元素7的代数余子式是 ．
3、经过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的方程是　　　　　　　　　．
4、命题“若，则”的逆否命题是　　　　　　　　　．
5、已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则的单调递增区间是　　　　　　　　　．
6、的展开式中，常数项等于 ．
7、已知圆锥的母线长为，侧面积为 ，则此圆锥的体积为__________．
8、设全集U=R，A=则A B=________．
9、已知函数若函数有3个零点，则实数m的取值范围是 .
10、已知数列是以为公差的等差数列，是其前项和，若是数列中的唯一最大项，则
数列的首项的取值范围是 .
11、(理)从1，2，3，4，5中任取2个不同数作和，如果和为偶数得2分，和为奇数得1分，若表示取出后的得分，则 ．
(文) 若，则目标函数的最小值为_______________.
12、已知平面向量的夹角为， .
13、(理) 老师告诉学生小明说，“若O为△ABC所在平面上的任意一点，且有等式
，则P点的轨迹必过△ABC的垂心”，小明进一步思考
何时P点的轨迹会通过△ABC的外心，得到的条件等式应为___________________.
（用O,A,B,C四个点所构成的向量和角A,B,C的三角函数以及表示）
(文)下面有五个命题：①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是.
②终边在y轴上的角的集合是{a|a=|.
③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点.
④把函数
⑤函数
其中真命题的序号是 （写出所有）
14、已知以为周期的函数，其中。若方程恰有5个实数解，则的取值范围为 .
二．选择题：（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．
15、若复数（）为纯虚数，则等于（ ）
（A） 1 （B）0 （C）-1 （D）0或1
16、函数的部分图象如右图所示，设是图象的最高点，是图象与轴的交点，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
17、已知函数，(a>0)，若当时，存在，使得f(x1)= g(x2)，则实数a的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
18、已知数列的通项公式为，那么满足的整数有（ ）
（A）3个 （B）2个 （C）1个 （D）不存在
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置．
19、(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
已知正方体的棱长为a．
(1)求点到平面的距离；
(2)（理）求平面与平面所成的二面角(结果用
反三角函数值表示)．
（文）E为棱CD的中点，求异面直线BE与所成的角。
20、(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
设函数为实数).
(1)若为偶函数，求实数的值； (2)设，求函数的最小值.
21、(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距20海里的处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里处的乙船.
（1）求处于处的乙船和遇险渔船间的距离；
（2）设乙船沿直线方向前往处救援，其方向与成角，
求的值域.
22、(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分．
已知椭圆的上下焦点分别为，短轴两个端点为，且四边形是边长为2的正方形。
（1）求椭圆方程；
（2）设，，B为椭圆在轴上方的顶点，当AC在直线上运动时，求外接圆的圆心Q的轨迹E的方程；
（3）过点作互相垂直的直线，分别交轨迹E于M，N和R，Q.求四边形MRNQ的面积的最小值．
23、(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
根据定义在集合A上的函数，构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据，计算出；②若，则数列发生器结束工作；若，则输出，并将反馈回输入端，再计算出，并依此规律继续下去。若集合，。
（理）（1）求证：对任意，此数列发生器都可以产生一个无穷数列；
（2）若，记，求数列的通项公式；
（3）在（2）的条件下，证明：．
（文）（1）求证：对任意，此数列发生器都可以产生一个无穷数列；
（2）若，求证：数列单调递减；
（3）若，记，求数列的通项公式．
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1、复数的共轭复数为　　　　　　　　　．
2、行列式中元素7的代数余子式是 ．
3、经过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的方程是　　　　　　　　　．
4、命题“若，则”的逆否命题是　　　　　　　　　．若或，则
5、已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则的单调递增区间是　　　　　　　　　．
6、的展开式中，常数项等于 ．-160
7、已知圆锥的母线长为，侧面积为 ，则此圆锥的体积为__________．
8、设全集U=R，A=则A B=________．
9、已知函数若函数有3个零点，则实数m的取值范围是 .（0，1）
10、已知数列是以为公差的等差数列，是其前项和，若是数列中的唯一最大项，则
数列的首项的取值范围是 .
11、(理)从1，2，3，4，5中任取2个不同数作和，如果和为偶数得2分，和为奇数得1分，若表示取出后的得分，则 ．
(文) 若，则目标函数的最小值为_______________. 4
12、已知平面向量的夹角为， .
13、(理) 老师告诉学生小明说，“若O为△ABC所在平面上的任意一点，且有等式
，则P点的轨迹必过△ABC的垂心”，小明进一步思考
何时P点的轨迹会通过△ABC的外心，得到的条件等式应为___________________.
（用O,A,B,C四个点所构成的向量和角A,B,C的三角函数以及表示）
(文)下面有五个命题：①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是.
②终边在y轴上的角的集合是{a|a=|.
③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点.
④把函数
⑤函数
其中真命题的序号是 （写出所有）
14、已知以为周期的函数，其中。若方程恰有5个实数解，则的取值范围为 .
二．选择题
（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．
15、若复数（）为纯虚数，则等于（A ）
（A） 1 （B）0 （C）-1 （D）0或1
16、函数的部分图象如右图所示，设是图象的最高点，是图象与轴的交点，则（ C ）
（A） （B） （C） （D）
17、已知函数，(a>0)，若当时，存在，使得f(x1)= g(x2)，则实数a的取值范围是（ D ）
（A） （B） （C） （D）
18、已知数列的通项公式为，那么满足的整数有（ B ）
（A）3个 （B）2个 （C）1个 （D）不存在
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置．
19、(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
已知正方体的棱长为a．
(1)求点到平面的距离；
(2)（理）求平面与平面所成的二面角(结果用反三角函数值表示)．
（文）E为棱CD的中点，求异面直线BE与所成的角。
解 (1)按如图所示建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为、、
、，向量，，．
设是平面的法向量，于是，有
，即．
令得．于是平面的一个法向量是
．
因此，到平面的距离．(也可用等积法求得)
(2) 由(1)知，平面的一个法向量是．又因，故平面的一个法向量是． 分
设所求二面角的平面角为(结合图形可知二面角是锐角，即为锐角)，则
．
所以，平面与平面所成的二面角为．
20、(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
设函数为实数).
(1)若为偶函数，求实数的值； (2)设，求函数的最小值.
答案：解：(1)由已知；
(2)，
当时，，由得，从而，
故在时单调递增，的最小值为；
当时，，故当时，单调递增，当时，单调递减，则的最小值为；
由，知的最小值为.
21、(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距20海里的处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里处的乙船.
（Ⅰ）求处于处的乙船和遇险渔船间的距离；
（Ⅱ）设乙船沿直线方向前往处救援，其方向与成角，
求的值域.
解：（Ⅰ）连接BC,由余弦定理得=202+102－2×20×10COS120°=700.
∴=10.
（Ⅱ）∵， ∴sin = ∵是锐角，∴
=
∴的值域为.
22、(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分．
已知椭圆的上下焦点分别为，短轴两个端点为，且四边形是边长为2的正方形。
（1）求椭圆方程；
（2）设，，B为椭圆在轴上方的顶点，当AC在直线上运动时，求外接圆的圆心Q的轨迹E的方程。
23、(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
根据定义在集合A上的函数，构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据，计算出；②若，则数列发生器结束工作；若，则输出，并将反馈回输入端，再计算出，并依此规律继续下去。若集合，。
（理）（1）求证：对任意，此数列发生器都可以产生一个无穷数列；
（2）若，记，求数列的通项公式；
（3）在（2）的条件下，证明：。
（文）（1）求证：对任意，此数列发生器都可以产生一个无穷数列；
（2）若，求证：数列单调递减；
（3）若，记，求数列的通项公式；