上海市吴淞中学2013届高三下学期第二次月考数学试题

吴淞中学2013届高三下学期第二次月考数学试题
一、 填空题：
1． 已知全集U=R，集合，则集合= ．
2．（文）已知，， 则= ．
(理)直线为参数)与曲线为参数)的交点个数为 ．

3．函数的反函数 ．
4．“”是“直线和直线平行”的 ．
5．若复数满足则 ．
6．（文）设满足约束条件：；则的取值范围为
（理）设连续掷两次骰子得到的点数分别为 ，
则直线与圆相交的概率是 ．
7．右图是一个算法的程序框图，该算法所输出的结果是 ．
8、一个正三棱柱的底面的边长为6，侧棱长为4，则这个棱柱的
表面积为 ．
若关于的方程有解，则的
取值范围是 ．
10.已知抛物线上一点到其焦点的距离为， 的左顶点为，若双曲线一条渐近线与直线平行，则实数等于 ． 　
11.已知，若，，
则的值为 ．
12．右图是一个阶矩阵，依照该矩阵中元素的规律，则元 素
100在此矩阵中总共出现了 次．
13．对于任意的平面向量，定义新运算：．若为平面向量，，则下列运算性质一定成立的所有序号是 ．
①； ②；
③； ④．
14.（理）方程的正根从小到大地依次排列为，则（1） （2） （3） （4）正确的结论为___________（文）已知函数.项数为的等差数列满足，且公差.若，则当值为___________有.二、 选择题：
15．设均为非零实数，则“”是“”的什么条件？（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
16．设不等式组，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）
（A） （B） （C） （D）
17．(文）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（理）设，，随机变量取值的概率均为，随机变量取值的概率也均为，若记分别为的方差，则（ ）
A． B．
C． D．与的大小关系与的取值有关
18．设，，若直线与圆相切，则的取值范围是（ ）
（A） （Ｂ）
（Ｃ）　　　 （Ｄ）
三、解答题：
19．已知是底面边长正四棱柱，为与的交点。（1）设与底面所成的角为，求该棱柱的侧面积;（2）(理)若点到平面的距离为，求四棱柱的体积。 (文)设高, 求四面体的体积。

20．已知向量且.
（1）求角的大小.（6分）
（2）若且的面积为，求这三角形的周长.（8分）
21.记函数在区间D上的最大值与最小值分别为与。
设函数（），，
令，记。
（1）若函数在上单调递减，求的取值范围；
（2）当时，求关于的表达式；
22．已知函数,若成等差数列。
（1）求数列的通项公式；（3分）
（2）设是不等式整数解的个数，求；（5分）
（3）记数列的前n项和为，是否存在正数，对任意正整数，使恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由。（8分）
23．已知点是直角坐标平面内的动点，点到直线的距离为，到点的距离为，且．(1)求动点P所在曲线C的方程；(2)直线过点F且与曲线C交于不同两点A、B(点A或B不在x轴上)，分别过A、B点作直线的垂线，对应的垂足分别为，试判断点F与以线段为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况)；(3)记，，(A、B、是(2)中的点)，问是否存在实数，使成立．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(理）若上述问题中直线、点、曲线C：，则使等式成立的的值仍保持不变．请给出你的判断 (填写“不正确”或“正确”)(限于时间，这里不需要举反例，或证明)．
吴淞中学2013届高三第二学期第二次月考
一、 填空题：
1． 已知全集U=R，集合，则集合=________
2．（文）已知，， 则= ．
(理)直线为参数)与曲线为参数)的交点个数为______。2

3．函数的反函数 y=
4．“”是“直线和直线平行”的 ．(充要条件 ）
5．若复数满足则 ．
6．（文）设满足约束条件：；则的取值范围为
【解析】的取值范围为
约束条件对应四边形边际及内的区域：
则
（理）设连续掷两次骰子得到的点数分别为 ，
则直线与圆相交的概率是 _
7．下图是一个算法的程序框图，该算法所输出的结果是
8、一个正三棱柱的底面的边长为6，侧棱长为4，则这个棱柱的表面积为 ．
9．若关于的方程有解，则的取值范围是 ．
10．已知抛物线上一点到其焦点的距离为， 的左顶点为，若双曲线一条渐近线与直线平行，则实数等于 ．　
11.已知，若，，则的值为________。
12．右图是一个阶矩阵，依照该矩阵中元素的规律，则元
素100在此矩阵中总共出现了________次。（6）
13．对于任意的平面向量，定义新运算：．若为平面向量，，则下列运算性质一定成立的所有序号是 ．
①； ②；
③； ④．
_____________（写出所有正确命题的编号）①③
14.（理）方程的正根从小到大地依次排列为，则（1） （2） （3） （4）正确的结论为____(2)_______（文）已知函数.项数为的等差数列满足，且公差.若，则当值为___________有.( )
二、 选择题：
15．设均为非零实数，则“”是“”的什么条件？（ B ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
16．设不等式组，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ D ）
（A） （B） （C） （D）
【解析】题目中表示的区域如图正方形所示，而动点D可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此，故选D。
【答案】D
17．(文）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（B）
（A） （B）
（C） （D）
（理）设，，随机变量取值的概率均为，随机变量取值的概率也均为，若记分别为的方差，则（ A ）
A． B．
C． D．与的大小关系与的取值有关
18．设，，若直线与圆相切，则的取值范围是（ D ）
（A） （Ｂ）
（Ｃ）　　　（Ｄ）
【命题意图】本试题主要考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，重要不等式，一元二次不等式的解法，并借助于直线与圆相切的几何性质求解的能力.
【解析】∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离为，所以，设，
则，解得.
三、解答题：
19．已知是底面边长正四棱柱，为与的交点。（1）设与底面所成的角为，求该棱柱的侧面积;（2）(理)若点到平面的距离为，求四棱柱的体积。 (文)设高, 求四面体的体积。

解:(1) 连，底面于，∴ 与底面所成的角为，即,则,则.⑵ 建立如图空间直角坐标系，有 设平面的一个法向量为，∵ ，取得∴ 点到平面的距离为，则。则.(文) 连，则所求四面体的体积
20．已知向量
且.
（1）求角的大小.（6分）
（2）若且的面积为，求这三角形的周长.（8分）
…………………（6分）
……………………………………（8分）
…………………………………………（10分）
……………………………………（12分）
…………………………………………………………………（14分）
21.记函数在区间D上的最大值与最小值分别为与。
设函数（），，
令。
（1）若函数在上单调递减，求的取值范围；（2）当时，求关于的表达式；
（1）由题意
（2）当时，，，
显然g(x)在上单调递减，在上单调递增，
又此时 故， 从而：=
22．已知函数,若成等差数列。
（1）求数列的通项公式；
（2）设是不等式整数解的个数，求；
（3）记数列的前n项和为，是否存在正数，对任意正整数，使恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由。
（1）由题可知得
（2）原式化简：
其中整数个数
（3）由题意，，
又恒成立，，，
所以当取最大值，取最小值时，取到最大值
又，，所以
解得
进一步思考问题：若上述问题中直线、点、曲线C：，则使等式成立的的值仍保持不变．请给出你的判断 (填写“不正确”或“正确”)(限于时间，这里不需要举反例，或证明)．
解　(1) 设动点为，依据题意，有
，化简得．
　　因此，动点P所在曲线C的方程是：．
(2) 点F在以MN为直径的圆的外部．
理由：由题意可知，当过点F的直线的斜率为0时，不合题意，故可设直线：，如图所示．联立方程组，可化为，
则点的坐标满足．
又、，可得点、．
点与圆的位置关系，可以比较点到圆心的距离与半径的大小来判断，也可以计算点与直径形成的张角是锐角、直角、钝角来加以判断．