上海金山中学2012-2013高二下学期期末考试数学试题（理科）

金山中学2013-2013高二下学期期末考试数学试题（理科）
（考试时间：120分钟　满分：150分　）
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1. 直线的倾斜角为________．
2．复数（其中为虚数单位）为纯虚数,则实数_______．
3.的展开式中常数项是_________（用数字作答）．
4．双曲线方程为，则它的右焦点坐标为___________．
5. 已知圆柱的底面圆的半径与球的半径相同，若圆柱与球的表面积相等，则它们的体积之比= (用数值作答)．
6. 将5,6,7,8四个数填入中的空白处以构成三行三列方阵，若要求每一行从
左到右、每一列从上到下依次增大，则满足要求的填法种数为___________。
7．若直线与抛物线仅有一个公共点，则实数 .
8．在北纬圈上有甲乙两地，它们的纬度圈上的弧长等于（是地球的半径），则甲乙两地的球面距离为__________．
9．在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离为 ______ ．
10. 袋中有3个白球，2个红球和若干个黑球（球的大小均相同），从中任取2个球，设每取得一个黑球得0分，每取得一个白球得1分，每取得一个红球得2分，已知得0分的概率为，则袋中黑球的个数为____________．
11．已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且．若的面积为9，则 ．
12. 一个口袋中装有2个白球和3个红球，每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖．摸球三次，记中奖的次数为，则_______．
13. 已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，那么点到点的距离与点到轴距离之和最小值是________________.
14. 在平面直角坐标系中，设点，定义，其中为坐标原点．对于下列结论：
（1）符合的点的轨迹围成的图形的面积为2；
（2）设点是直线：上任意一点，则；
（3）设点是直线：上任意一点，则“使得最小的点有无数个”的充要条件是“”；
（4）设点是椭圆上任意一点，则．
其中正确的结论序号为__________________．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．已知直线和平面，那么下列命题中的真命题是 （ ）
(A)若，则 (B)若，则
(C)若，则 (D)若，则
16．某中学高二年级的一个研究性学习小组拟完成下列两项调查：
①从某社区430户高收入家庭，980户中等收入家庭，290户低收入家庭中任意选出170户调查社会购买力的某项指标；
②从本年级12名体育特长生中随机选出5人调查其学习负担情况；
则该研究性学习小组宜采用的抽样方法分别是 （ ）

17．关于二项式有下列命题：
（1）该二项展开式中非常数项的系数和是1；（2）该二项展开式中第六项为；
（3）该二项展开式中系数最大的项是第1007项；
（4）当时，除以2014的余数是2013．
其中正确命题有 （ ）
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
18.函数的图像与方程的曲线有着密切的联系，如把抛物线的图像绕原点沿逆时针方向旋转就得到函数的图像.若把双曲线绕原点按逆时针方向旋转一定角度后，能得到某一个函数的图像，则旋转角可以是 （ ）
（A）　　　 （B）　　　 （C）　　　 （D）
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．（本小题满分12分，第（1）题6分，第（2）题6分）
已知是复数，均为实数（为虚数单位），且复数在复平面上对应的点在第一象限，（1）求复数；（2）求实数的取值范围．
解：
20．（本小题满分14分，第（1）题6分，第（2）题8分）
如图，已知是底面边长为1的正四棱柱，高．求
（1）异面直线与所成角的大小；
（2）求直线与平面所成的角．（结果用反三角函数值表示）
解：
21. （本小题满分14分，第（1）题8分，第（2）题6分）
在平面直角坐标系中，已知,,,,,若实数 使得，其中为坐标原点．
（1）求点的轨迹方程，并讨论点的轨迹类型；
（2）当时，记点的轨迹与轴正半轴的交点为，点是轴上的一个定点，若的最小值为，求实数的取值范围.
解：
22．（本小题满分16分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题6分）
如图，已知四面体中，，且两两互相垂直，点是的中心．
（1）求二面角的大小（用反三角函数表示）；
（2）过作，垂足为，求绕直线旋转一周所形成的几何体的体积；
（3）将绕直线旋转一周，则在旋转过程中，直线与直线所成角记为，求的取值范围．
解：
23. （本小题满分18分，第（1）题6分，第（2）题6分，第（3）题6分）
如图，曲线是以原点为中心,为焦点的椭圆的一部分.曲线是以为顶点，为焦点的抛物线的一部分,是曲线和的交点且为钝角，若，.
（1）求曲线和的方程；
（2）设点是上一点，若，求的面积；
（3）过作一条与轴不垂直的直线，分别与曲线依次交于四点，若为中点、为中点，问是否为定值？若是求出定值；若不是,请说明理由.
解：
参考答案
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1. 直线的倾斜角为________．
2．复数（其中为虚数单位）为纯虚数,则实数___2____．
3.的展开式中常数项是___15______（用数字作答）．
4．双曲线方程为，则它的右焦点坐标为___________．
们的体积之比= (用数值作答)．
6. 将5,6,7,8四个数填入中的空白处以构成三行三列方阵，若要求每一行从
左到右、每一列从上到下依次增大，则满足要求的填法种数为______6_____。
7．若直线与抛物线仅有一个公共点，则实数 0或 .
8．在北纬圈上有甲乙两地，它们的纬度圈上的弧长等于（是地球的半径），则甲乙两地的球面距离为__________．
9．在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离为 ______ ．
10. 率为，则袋中黑球的个数为____________．
11．已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且．若的面积为9，则 ．
12. 一个口袋中装有2个白球和3个红球，每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖．摸球三次，记中奖的次数为，则_______．
13. 已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，那么点到点的距离与点到轴距离之和最小值是________________.
14. 在平面直角坐标系中，设点，定义，其中为坐标原点．对于下列结论：
（1）符合的点的轨迹围成的图形的面积为2；
（2）设点是直线：上任意一点，则；
（3）设点是直线：上任意一点，则“使得最小的点有无数个”的充要条件是“”；
（4）设点是椭圆上任意一点，则．
其中正确的结论序号为_____（1）、（3）、（4）_____________．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．已知直线和平面，那么下列命题中的真命题是 （ A ）
(A)若，则 (B)若，则
(C)若，则 (D)若，则
16．某中学高二年级的一个研究性学习小组拟完成下列两项调查：
①从某社区430户高收入家庭，980户中等收入家庭，290户低收入家庭中任意选出170户调查社会购买力的某项指标；
②从本年级12名体育特长生中随机选出5人调查其学习负担情况；
则该研究性学习小组宜采用的抽样方法分别是 （ D ）
(A)①用系统抽样，②用随机抽样 (B)①用系统抽样，②用分层抽样
(C)①用分层抽样，②用系统抽样 (D)①用分层抽样，②用随机抽样
17．关于二项式有下列命题：
（1）该二项展开式中非常数项的系数和是1；（2）该二项展开式中第六项为；
（3）该二项展开式中系数最大的项是第1007项；
（4）当时，除以2014的余数是2013．
其中正确命题有 ( C )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
18.函数的图像与方程的曲线有着密切的联系，如把抛物线的图像绕原点沿逆时针方向旋转就得到函数的图像.若把双曲线绕原点按逆时针方向旋转一定角度后，能得到某一个函数的图像，则旋转角可以是 （ C ）
（A）　　　 （B）　　　 （C）　　　 （D）
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．（本小题满分12分，第（1）题6分，第（2）题6分）
已知是复数，均为实数（为虚数单位），且复数在复平面上对应的点在第一象限，（1）求复数；（2）求实数的取值范围．
解：（1）设
又 所以．
（2）由（1），，所以 ，
解之得．
20．（本小题满分14分，第（1）题6分，第（2）题8分）
如图，已知是底面边长为1的正四棱柱，高．求
（1）异面直线与所成角的大小；
（2）求直线与平面所成的角．（结果用反三角函数值表示）
解：（1）连，∵ ，
∴ 异面直线与所成角为，记，

∴ 异面直线与所成角为．
（2）易知是直线所成的角，在中，，所以．
21. （本小题满分14分，第（1）题8分，第（2）题6分）
在平面直角坐标系中，已知,,,,,若实数 使得，其中为坐标原点．
（1）求点的轨迹方程，并讨论点的轨迹类型；
（2）当时，记点的轨迹与轴正半轴的交点为，点是轴上的一个定点，若的最小值为，求实数的取值范围.
解：（1）

①当时，方程为， 轨迹为一条直线；
②当时，方程为，轨迹为圆；
③当时，方程为，轨迹为椭圆；
④当时，方程为，轨迹为双曲线。
（2），
因为，所以由题意得，解之得．

22．（本小题满分16分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题6分）
如图，已知四面体中，，且两两互相垂直，点是的中心．
（1）求二面角的大小（用反三角函数表示）；
（2）过作，垂足为，求绕直线旋转一周所形成的几何体的体积；
（3）将绕直线旋转一周，则在旋转过程中，直线与直线所成角记为，求的取值范围．
解：（1）取中点，连接和，则即为二面角的平面角，，，所以，因此，所以二面角的大小为．
（2）过作，经计算得，由此得，所以绕直线旋转一周所形成的几何体的体积．
（3）取中点，连接，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，设，则，，所以，在平面上，点的轨迹方程为，令，则，所以，于是．
23. （本小题满分18分，第（1）题6分，第（2）题6分，第（3）题6分）
如图，曲线是以原点为中心,为焦点的椭圆的一部分.曲线是以为顶点，为焦点的抛物线的一部分,是曲线和的交点且为钝角，若，.
（1）求曲线和的方程；
（2）设点是上一点，若，求的面积；
（3）过作一条与轴不垂直的直线，分别与曲线依次交于四点，若为中点、为中点，问是否为定值？若是求出定值；若不是,请说明理由.
解： （1）设椭圆方程为，则，
得.
设，则，，
两式相减得，由抛物线定义可知，则或 （舍去）

(2) 过点作直线垂直于轴，过点作直线于点，由题意知为抛物线 的准线，则.在直角三角形中，，所以，从而.在中，设，则，，由余弦定理得，解得，所以
.
得
，则，，同理将直线代入得，则，，
所以。