2022-2023学年苏科版数学八年级上册1.3.6探索三角形全等的条件HL同步训练
一、单选题
1．（2022·盘龙模拟）如图，已知BC＝BD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ABD的是（ ）
A．AC＝AD B．∠ABC＝∠ABD
C．∠C＝∠D＝90° D．∠CAB＝∠DAB
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在与中，，，
A、根据边边边可得两个三角形全等；
B、根据边角边可得两个三角形全等；
C、根据直角三角形的特殊判定方法（直角边斜边）可得两个三角形全等；
D、不能判定两个三角形全等；
故答案为：D．
【分析】根据全等三角形的判定方法可知没有ASS方法，因此D项无法判定全等
2．（2021八上·浦东期末）如图，在等腰中，，，BD平分，交AC于点D，，若cm，则的周长为（ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，∠A=90°，
∴，
在Rt△ABD和Rt△EBD中，
∵，
，
∴AB=BE，
∴△DEC的周长=DE+CD+CE
=AD+CD+CE，
=AC+CE，
=AB+CE，
=BE+CE，
=BC，
∵BC=10cm，
∴△DEC的周长是10cm．
故答案为：B．
【分析】先利用“HL”证明，可得AB=BE，再利用三角形的周长公式可得△DEC的周长=DE+CD+CE=BC，再结合BC=10，即可得到答案。
3．（2021八上·西峰期末）如图，点E是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④.其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③④ C．②③④ D．①③
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，过E作EF⊥AD于F，
∴BE=EF，AE=AE，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL)
∴AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC＝EF＝BE，所以③错误；
∵EC＝EF，ED=ED，
∴Rt△EFD≌Rt△ECD(HL)，
∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②正确；
∴AD＝AF＋FD＝AB＋DC，所以④正确；
∴∠AED＝∠AEF＋∠FED＝∠BEC＝90°，所以①正确，
综上：①②④正确，
故答案为：A
【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得BE=EF，AE=AE，利用HL证明Rt△AEF≌Rt△AEB，利用全等三角形的对应边和对应角相等，可证得AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；由线段中点的定义可证得EC＝EF＝BE，可对③作出判断；利用HL证明Rt△EFD≌Rt△ECD，利用全等三角形的性质可得到DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，可对②作出判断；同时可推出AD＝AB＋DC，可对④作出判断；然后求出∠AED的度数，可对①作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
4．（2019八上·哈尔滨月考）根据下列各图中所作的“边相等、角相等”标记，其中不能使该图中两个三角形全等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】A、此图形表示的是两角及一角的对边对应相等，利用AAS可得出两三角形全等；
B、此图形表示的两角及夹边对应相等，利用ASA可得出两三角形全等；
C、此图形表示的是两边及一边的对角对应相等的两三角形不一定全等；
D、此图形表示的是两直角三角形的斜边与一直角边对应相等，利用HL可得出两三角形全等，
故答案为：C．
【分析】A、利用AAS可得出两三角形全等；B、利用ASA可得出两三角形全等；C、表示的是SSA，两三角形不一定全等；D、两直角三角形满足HL，可得出两直角三角形全等．
5．（2021八上·宜兴期中）如图，在 和 中， ， ， ，过A作 ，垂足为F， 交 的延长线于点G，连接 .若四边形 的面积为12， ，则 的长是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：过点A作 于H，如图所示：
在 与 中，
，
， ，
又 ，
即 ，
，
又 ， ，
在 和 中，
，
同理： ，
，
，
，
，
，
解得： .
故答案为：C.
【分析】过点A作AH⊥BC于H，易证△ABC≌△ADE，得到AD=AB，S△ABC=S△ADE，结合三角形的面积公式可得AF=AH，证明△AFG≌△AHG，△ADF≌△ABH，推出S四边形DGBA=S四边形AFGH=12，然后根据△AFG的面积公式可得FG.
二、填空题
6．（2021八上·杭州期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝8cm，则△BED的周长是 .
【答案】8cm
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴CD＝DE，
在△ACD和△AED中， ，
∴△ACD≌△AED（HL），
∴AC＝AE，
∴△BED的周长＝DE+BD+BE，
＝BD+CD+BE，
＝BC+BE，
＝AC+BE，
＝AE+BE，
＝AB，
∵AB＝8cm，
∴△BED的周长是8cm.
故答案为：8cm.
【分析】由角平分线的性质可得CD＝DE，证明△ACD≌△AED，得到AC＝AE，则可将△BED的周长转化为AB，据此解答.
7．（2020八上·兴化月考）如图，OP平分∠AOB，PA OA，PB OB，垂足分别为点A、B.下列结论中，一定成立的是 （填序号）
①PA＝PB；②OA＝OB；③OP垂直平分AB；④AB垂直平分OP
【答案】①②③
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解： OP平分∠AOB，PA OA，PB OB，
AP=PB，故①正确；
OP=OP，
，
OA=OB，故②正确；
OP垂直平分AB，故③正确；
则AB垂直平分OP不一定成立，故错误；
所以正确的有①②③.
故答案为：①②③.
【分析】首先根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出AP=PB，进而利用HL判断出Rt△AOP≌Rt△BOP，根据全等三角形的对应边相等得出OA=OB，从而利用到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上及两点确定一条直线得出OP垂直平分AB，而题干中的条件判断不出AB垂直平分OP一定成立，从而即可一一判断得出答案.
8．（2020八上·乐陵期末）如图， 中， 、 的角平分线 、 交于点P，延长 、 ，则下列结论中正确的有 ．（将所有正确序号填在横线上）
① 平分 ；② ，③ ；④若 ， ，则 ．
【答案】①②③④
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；多边形内角与外角；角平分线的判定
【解析】【解答】解：①作PD⊥AC于D．
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，
∴PM=PN，PM=PD，
∴PM=PN=PD，
∴点P在∠ACF的角平分线上，故①符合题意；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°，
∴∠ABC+∠MPN=180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM=∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD=∠CPN，
∴∠MPN=2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC=180°，②符合题意；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE=2∠PAM，
∵∠CAE=∠ABC+∠ACB，∠PAM= ∠ABC+∠APB，
∴∠ACB=2∠APB，③符合题意；
④∵Rt△PAM≌Rt△PAD（已证），
∴AD=AM，
∵Rt△PCD≌Rt△PCN（已证），
∴CD=CN，
∴AM+CN=AD+CD=AC，④符合题意；
故答案为：①②③④．
【分析】①作PD⊥AC于D，由角平分线的性质可得PM=PN，PM=PD，即得PM=PN=PD，再根据角平分线的判定即证；②利用四边形内角和可求∠ABC+∠MPN=180°，先证Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），可得∠APM=∠APD，AD=AM，同理Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），可得∠CPD=∠CPN，CD=CN，从而得∠MPN=2∠APC，即得∠ABC+2∠APC=180°；③由角平分线的定义可得∠CAE=2∠PAM，利用三角形外角的性质可得∠CAE=∠ABC+∠ACB，∠PAM= ∠ABC+∠APB，即得∠ACB=2∠APB，据此判断即可；④由②知AD=AM，CD=CN，从而得出AM+CN=AD+CD=AC，据此判断即可.
9．（2022八下·埇桥期中）如图，，只需添加一个条件 ，就可以判定．
【答案】AC=BD（答案不唯一，BC=AD、∠ABC=∠DAB、∠BAC=∠ABD均可）
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】若添加AC=BD，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
，
∴；
若添加BC=AD，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
，
∴；
若添加∠CAB=∠DBA，
在△ABC和△BAD中，
，
∴；
若添加∠CBA=∠DAB，
在△ABC和△BAD中，
，
∴；
故答案为：AC=BD（答案不唯一，BC=AD、∠ABC=∠DAB、∠BAC=∠ABD均可）．
【分析】由于∠ACB=∠BDA=90°，AB为公共边，要使△ACB≌△BDA全等，可根据AAS、HL添加条件即可.
10．（2021八上·武昌期中）如图，在 ABC中，AH是高，AE BC，AB＝AE，在AB边上取点D，连接DE，DE＝AC，若 ，BH＝1，则BC＝ .
【答案】2.5
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，
∵EF⊥AB，AH⊥BC，
∴∠EFA＝∠AHB＝∠AHC＝90°，
∵AE BC，
∴∠EAF＝∠B，
在 与 中，
∴ ，
∴ ， ，
在 与 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
又∵BH＝1，
∴CH＝1.5，
∴BC＝BH＋CH＝2.5.
故答案为：2.5.
【分析】过E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，由垂直的概念得∠EFA＝∠AHB＝∠AHC＝90°，由平行线的性质得∠EAF＝∠B，证△ABH≌△EAF，△ACH≌△EDF，得AH=EF，S△ABH=S△EAF，S△ACH=S△EDF=S△EAF+S△ADE，则S△ABH=2S△ADE，S△ACH=3S△ADE，结合三角形的面积公式可得，由BH的值可得CH，然后根据BC＝BH＋CH进行计算.
三、综合题
11．（2021八上·乐陵期中）如图所示，点B，E，C，F在同一条直线上，能否由 ， 来证明AC∥DE？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列四个条件中再选择一个合适的条件，使AC∥DE成立，并说明理由．供选择的四个条件：① ；② ；③AB∥DF；④ ．
【答案】解：由AC=DE，BE=FC无法证明 ，
选择条件②AB=DF进行证明，
∵BE=FC，
∴BE+CE=FC+CE，
∴BC=FE，
在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SSS），
∴∠ACB=∠DFE，
∴ ；
选择条件④ ，
∵ ，
∴三角形ABC和三角形DFE都是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DFE中
，
∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL），
∴∠ACB=∠DFE，
∴ ．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】利用三角形全等的判定及性质求解即可。
12．（2021八上·罗庄期中）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E 点，∠ADC+∠B=180°． 求证：
（1）BC=CD；
（2）2AE=AB+AD．
【答案】（1）证明：过C作CF⊥AD于F，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，
∴CF＝CE，
∵∠ADC＋∠CBE＝180°，∠ADC＋∠FDC＝180°，
∴∠CBE＝∠FDC，
在△FDC和△EBC中，
∵ ，
∴△FDC≌△EBC（AAS），
∴CD＝BC；
（2）∵△FDC≌△EBC，
∴DF＝BE，
在Rt△AFC和Rt△AEC中，
∵ ，
∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL），
∴AF＝AE，
∴AB＋AD＝AE＋BE＋AD＝AE＋DF＋AD＝AE＋AF＝2AE．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）过C作CF⊥AD于F，根据角平分线的性质可得CF=CE，再利用等角的补角的性质可得∠CBE=∠FDC，再利用“AAS”证明△FDC≌△EBC，即可得到CD=BC；
（2）根据△FDC≌△EBC可得DF=BE，再利用“HL”证明Rt△AFC≌Rt△AEC得到AF=AE，最后利用线段的和差计算及等量代换可得AB＋AD＝AE＋BE＋AD＝AE＋DF＋AD＝AE＋AF＝2AE．
13．（2021八上·澄海期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AH⊥BC于点H，D为AH上一点，且BD=AC，直线BD与AC交于点E，连接EH．
（1）求证：DH=CH；
（2）判断BE与AC的位置关系，并证明你的结论；
（3）求∠BEH的度数．
【答案】（1）证明： AH⊥BC，∠ABC＝45°，
（2）解： 理由如下：
而
（3）解：如图，过H作交于F，
即
而
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）先判断三角形ABC为等腰直角三角形，再根据HL证出， 即可得出结论；
（2）根据对顶角和等量代换即可得出 即可得出结论；
（3）过H作交于F，先利用同角或等角的余角相等得出结论即可判断出 即可得出答案。
14．（2021八上·宜春期末）如图，在四边形ABCD中，和互补，CD＝CB，于E．
（1）求证：AC平分；
（2）试猜想AB，AD，AE的数量关系并证明你的猜想．
【答案】（1）证明：过点C作于F
∵在四边形中
∴
∵
∴
∵，
∴
在和中
∴
∴
∵，
∴平分.
（2）解：
证明：由（1）可得
∴
在和中
∴，
∴
∵，
∴.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）过点C作于F，证出，得出，即可得出结论；
（2）由（1）可得，得出，证出，得出，即可得出结论。
15．（2022七下·海陵期末）如图，∠MON=90°，点A、B分别在射线OM、ON上，点C在∠MON内部．
（1）若OA=OB，
①如图1，若CA⊥OM，CB⊥ON．求证：CA=CB．
②如图2，若∠ACB=90°．求证：OC平分∠ACB．
（2）如图3，点A、B 分别在射线OM、ON上运动，点C随之运动，且∠ACB=90°，AC=BC．P为OM上一定点，当点C运动到何处时，PC的长度最短？
请用尺规作图作出PC最短时C点的位置（保留作图痕迹，不要写作法），并请简要说明理由．
【答案】（1）证明：①连接OC，
∵ CA⊥OM，CB⊥ON，
∴∠CAO=∠CBO=90°，
在Rt△AOC和Rt△BOC中
∴Rt△AOC≌Rt△BOC（HL）
∴CA=BC；
②连接OC，过点O作OD⊥CB交CB的延长线于点D，OE⊥AC于点E，
∴∠BDO=∠AEO=∠ACB=90°，
∴四边形CEOD是矩形，
∴∠BOD+∠BOE=90°，
∵∠AOE+∠BOE=90°，
∴∠AOE=∠BOD，
在△AOE和△BOD中
∴△AOE≌△BOD（AAS）
∴OD=OE
在Rt△EOC和Rt△COD中
∴Rt△EOC≌Rt△COD（HL）
∴∠EOC=∠DOC，
∴ OC平分∠ACB .
（2）解：如图
∵垂线段最短，
∴当点C运动到CP⊥OA于点P时，PC的长最短，
∴过点P作OC的垂线段.
【知识点】垂线的概念；垂线段最短及其应用；直角三角形全等的判定-HL；尺规作图-垂线；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）①连接OC，利用垂直的定义可证得∠CAO=∠CBO；再利用HL证明Rt△AOC≌Rt△BOC，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论；②连接OC，过点O作OD⊥CB交CB的延长线于点D，OE⊥AC于点E，利用垂直的定义可证得∠BDO=∠AEO=∠ACB，根据有三个角是直角的四边形是矩形，可证得四边形CEOD是矩形；利用余角的性质，可证得∠AOE=∠BOD，利用AAS证明△AOE≌△BOD，利用全等三角形的对应边相等，可证得OD=OE；利用HL证明Rt△EOC≌Rt△COD，利用全等三角形的对应角相等，可证得结论.
（3）利用垂线段最短，可知当点C运动到CP⊥OA于点P时，PC的长最短，利用尺规作图，过点P作OC的垂线段即可.
1 / 12022-2023学年苏科版数学八年级上册1.3.6探索三角形全等的条件HL同步训练
一、单选题
1．（2022·盘龙模拟）如图，已知BC＝BD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ABD的是（ ）
A．AC＝AD B．∠ABC＝∠ABD
C．∠C＝∠D＝90° D．∠CAB＝∠DAB
2．（2021八上·浦东期末）如图，在等腰中，，，BD平分，交AC于点D，，若cm，则的周长为（ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm
3．（2021八上·西峰期末）如图，点E是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④.其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③④ C．②③④ D．①③
4．（2019八上·哈尔滨月考）根据下列各图中所作的“边相等、角相等”标记，其中不能使该图中两个三角形全等的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021八上·宜兴期中）如图，在 和 中， ， ， ，过A作 ，垂足为F， 交 的延长线于点G，连接 .若四边形 的面积为12， ，则 的长是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．
二、填空题
6．（2021八上·杭州期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝8cm，则△BED的周长是 .
7．（2020八上·兴化月考）如图，OP平分∠AOB，PA OA，PB OB，垂足分别为点A、B.下列结论中，一定成立的是 （填序号）
①PA＝PB；②OA＝OB；③OP垂直平分AB；④AB垂直平分OP
8．（2020八上·乐陵期末）如图， 中， 、 的角平分线 、 交于点P，延长 、 ，则下列结论中正确的有 ．（将所有正确序号填在横线上）
① 平分 ；② ，③ ；④若 ， ，则 ．
9．（2022八下·埇桥期中）如图，，只需添加一个条件 ，就可以判定．
10．（2021八上·武昌期中）如图，在 ABC中，AH是高，AE BC，AB＝AE，在AB边上取点D，连接DE，DE＝AC，若 ，BH＝1，则BC＝ .
三、综合题
11．（2021八上·乐陵期中）如图所示，点B，E，C，F在同一条直线上，能否由 ， 来证明AC∥DE？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列四个条件中再选择一个合适的条件，使AC∥DE成立，并说明理由．供选择的四个条件：① ；② ；③AB∥DF；④ ．
12．（2021八上·罗庄期中）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E 点，∠ADC+∠B=180°． 求证：
（1）BC=CD；
（2）2AE=AB+AD．
13．（2021八上·澄海期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AH⊥BC于点H，D为AH上一点，且BD=AC，直线BD与AC交于点E，连接EH．
（1）求证：DH=CH；
（2）判断BE与AC的位置关系，并证明你的结论；
（3）求∠BEH的度数．
14．（2021八上·宜春期末）如图，在四边形ABCD中，和互补，CD＝CB，于E．
（1）求证：AC平分；
（2）试猜想AB，AD，AE的数量关系并证明你的猜想．
15．（2022七下·海陵期末）如图，∠MON=90°，点A、B分别在射线OM、ON上，点C在∠MON内部．
（1）若OA=OB，
①如图1，若CA⊥OM，CB⊥ON．求证：CA=CB．
②如图2，若∠ACB=90°．求证：OC平分∠ACB．
（2）如图3，点A、B 分别在射线OM、ON上运动，点C随之运动，且∠ACB=90°，AC=BC．P为OM上一定点，当点C运动到何处时，PC的长度最短？
请用尺规作图作出PC最短时C点的位置（保留作图痕迹，不要写作法），并请简要说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在与中，，，
A、根据边边边可得两个三角形全等；
B、根据边角边可得两个三角形全等；
C、根据直角三角形的特殊判定方法（直角边斜边）可得两个三角形全等；
D、不能判定两个三角形全等；
故答案为：D．
【分析】根据全等三角形的判定方法可知没有ASS方法，因此D项无法判定全等
2．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，∠A=90°，
∴，
在Rt△ABD和Rt△EBD中，
∵，
，
∴AB=BE，
∴△DEC的周长=DE+CD+CE
=AD+CD+CE，
=AC+CE，
=AB+CE，
=BE+CE，
=BC，
∵BC=10cm，
∴△DEC的周长是10cm．
故答案为：B．
【分析】先利用“HL”证明，可得AB=BE，再利用三角形的周长公式可得△DEC的周长=DE+CD+CE=BC，再结合BC=10，即可得到答案。
3．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，过E作EF⊥AD于F，
∴BE=EF，AE=AE，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL)
∴AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC＝EF＝BE，所以③错误；
∵EC＝EF，ED=ED，
∴Rt△EFD≌Rt△ECD(HL)，
∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②正确；
∴AD＝AF＋FD＝AB＋DC，所以④正确；
∴∠AED＝∠AEF＋∠FED＝∠BEC＝90°，所以①正确，
综上：①②④正确，
故答案为：A
【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得BE=EF，AE=AE，利用HL证明Rt△AEF≌Rt△AEB，利用全等三角形的对应边和对应角相等，可证得AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；由线段中点的定义可证得EC＝EF＝BE，可对③作出判断；利用HL证明Rt△EFD≌Rt△ECD，利用全等三角形的性质可得到DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，可对②作出判断；同时可推出AD＝AB＋DC，可对④作出判断；然后求出∠AED的度数，可对①作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
4．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】A、此图形表示的是两角及一角的对边对应相等，利用AAS可得出两三角形全等；
B、此图形表示的两角及夹边对应相等，利用ASA可得出两三角形全等；
C、此图形表示的是两边及一边的对角对应相等的两三角形不一定全等；
D、此图形表示的是两直角三角形的斜边与一直角边对应相等，利用HL可得出两三角形全等，
故答案为：C．
【分析】A、利用AAS可得出两三角形全等；B、利用ASA可得出两三角形全等；C、表示的是SSA，两三角形不一定全等；D、两直角三角形满足HL，可得出两直角三角形全等．
5．【答案】C
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：过点A作 于H，如图所示：
在 与 中，
，
， ，
又 ，
即 ，
，
又 ， ，
在 和 中，
，
同理： ，
，
，
，
，
，
解得： .
故答案为：C.
【分析】过点A作AH⊥BC于H，易证△ABC≌△ADE，得到AD=AB，S△ABC=S△ADE，结合三角形的面积公式可得AF=AH，证明△AFG≌△AHG，△ADF≌△ABH，推出S四边形DGBA=S四边形AFGH=12，然后根据△AFG的面积公式可得FG.
6．【答案】8cm
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴CD＝DE，
在△ACD和△AED中， ，
∴△ACD≌△AED（HL），
∴AC＝AE，
∴△BED的周长＝DE+BD+BE，
＝BD+CD+BE，
＝BC+BE，
＝AC+BE，
＝AE+BE，
＝AB，
∵AB＝8cm，
∴△BED的周长是8cm.
故答案为：8cm.
【分析】由角平分线的性质可得CD＝DE，证明△ACD≌△AED，得到AC＝AE，则可将△BED的周长转化为AB，据此解答.
7．【答案】①②③
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解： OP平分∠AOB，PA OA，PB OB，
AP=PB，故①正确；
OP=OP，
，
OA=OB，故②正确；
OP垂直平分AB，故③正确；
则AB垂直平分OP不一定成立，故错误；
所以正确的有①②③.
故答案为：①②③.
【分析】首先根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出AP=PB，进而利用HL判断出Rt△AOP≌Rt△BOP，根据全等三角形的对应边相等得出OA=OB，从而利用到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上及两点确定一条直线得出OP垂直平分AB，而题干中的条件判断不出AB垂直平分OP一定成立，从而即可一一判断得出答案.
8．【答案】①②③④
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；多边形内角与外角；角平分线的判定
【解析】【解答】解：①作PD⊥AC于D．
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，
∴PM=PN，PM=PD，
∴PM=PN=PD，
∴点P在∠ACF的角平分线上，故①符合题意；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°，
∴∠ABC+∠MPN=180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM=∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD=∠CPN，
∴∠MPN=2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC=180°，②符合题意；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE=2∠PAM，
∵∠CAE=∠ABC+∠ACB，∠PAM= ∠ABC+∠APB，
∴∠ACB=2∠APB，③符合题意；
④∵Rt△PAM≌Rt△PAD（已证），
∴AD=AM，
∵Rt△PCD≌Rt△PCN（已证），
∴CD=CN，
∴AM+CN=AD+CD=AC，④符合题意；
故答案为：①②③④．
【分析】①作PD⊥AC于D，由角平分线的性质可得PM=PN，PM=PD，即得PM=PN=PD，再根据角平分线的判定即证；②利用四边形内角和可求∠ABC+∠MPN=180°，先证Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），可得∠APM=∠APD，AD=AM，同理Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），可得∠CPD=∠CPN，CD=CN，从而得∠MPN=2∠APC，即得∠ABC+2∠APC=180°；③由角平分线的定义可得∠CAE=2∠PAM，利用三角形外角的性质可得∠CAE=∠ABC+∠ACB，∠PAM= ∠ABC+∠APB，即得∠ACB=2∠APB，据此判断即可；④由②知AD=AM，CD=CN，从而得出AM+CN=AD+CD=AC，据此判断即可.
9．【答案】AC=BD（答案不唯一，BC=AD、∠ABC=∠DAB、∠BAC=∠ABD均可）
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】若添加AC=BD，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
，
∴；
若添加BC=AD，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
，
∴；
若添加∠CAB=∠DBA，
在△ABC和△BAD中，
，
∴；
若添加∠CBA=∠DAB，
在△ABC和△BAD中，
，
∴；
故答案为：AC=BD（答案不唯一，BC=AD、∠ABC=∠DAB、∠BAC=∠ABD均可）．
【分析】由于∠ACB=∠BDA=90°，AB为公共边，要使△ACB≌△BDA全等，可根据AAS、HL添加条件即可.
10．【答案】2.5
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，
∵EF⊥AB，AH⊥BC，
∴∠EFA＝∠AHB＝∠AHC＝90°，
∵AE BC，
∴∠EAF＝∠B，
在 与 中，
∴ ，
∴ ， ，
在 与 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
又∵BH＝1，
∴CH＝1.5，
∴BC＝BH＋CH＝2.5.
故答案为：2.5.
【分析】过E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，由垂直的概念得∠EFA＝∠AHB＝∠AHC＝90°，由平行线的性质得∠EAF＝∠B，证△ABH≌△EAF，△ACH≌△EDF，得AH=EF，S△ABH=S△EAF，S△ACH=S△EDF=S△EAF+S△ADE，则S△ABH=2S△ADE，S△ACH=3S△ADE，结合三角形的面积公式可得，由BH的值可得CH，然后根据BC＝BH＋CH进行计算.
11．【答案】解：由AC=DE，BE=FC无法证明 ，
选择条件②AB=DF进行证明，
∵BE=FC，
∴BE+CE=FC+CE，
∴BC=FE，
在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SSS），
∴∠ACB=∠DFE，
∴ ；
选择条件④ ，
∵ ，
∴三角形ABC和三角形DFE都是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DFE中
，
∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL），
∴∠ACB=∠DFE，
∴ ．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】利用三角形全等的判定及性质求解即可。
12．【答案】（1）证明：过C作CF⊥AD于F，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，
∴CF＝CE，
∵∠ADC＋∠CBE＝180°，∠ADC＋∠FDC＝180°，
∴∠CBE＝∠FDC，
在△FDC和△EBC中，
∵ ，
∴△FDC≌△EBC（AAS），
∴CD＝BC；
（2）∵△FDC≌△EBC，
∴DF＝BE，
在Rt△AFC和Rt△AEC中，
∵ ，
∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL），
∴AF＝AE，
∴AB＋AD＝AE＋BE＋AD＝AE＋DF＋AD＝AE＋AF＝2AE．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）过C作CF⊥AD于F，根据角平分线的性质可得CF=CE，再利用等角的补角的性质可得∠CBE=∠FDC，再利用“AAS”证明△FDC≌△EBC，即可得到CD=BC；
（2）根据△FDC≌△EBC可得DF=BE，再利用“HL”证明Rt△AFC≌Rt△AEC得到AF=AE，最后利用线段的和差计算及等量代换可得AB＋AD＝AE＋BE＋AD＝AE＋DF＋AD＝AE＋AF＝2AE．
13．【答案】（1）证明： AH⊥BC，∠ABC＝45°，
（2）解： 理由如下：
而
（3）解：如图，过H作交于F，
即
而
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）先判断三角形ABC为等腰直角三角形，再根据HL证出， 即可得出结论；
（2）根据对顶角和等量代换即可得出 即可得出结论；
（3）过H作交于F，先利用同角或等角的余角相等得出结论即可判断出 即可得出答案。
14．【答案】（1）证明：过点C作于F
∵在四边形中
∴
∵
∴
∵，
∴
在和中
∴
∴
∵，
∴平分.
（2）解：
证明：由（1）可得
∴
在和中
∴，
∴
∵，
∴.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）过点C作于F，证出，得出，即可得出结论；
（2）由（1）可得，得出，证出，得出，即可得出结论。
15．【答案】（1）证明：①连接OC，
∵ CA⊥OM，CB⊥ON，
∴∠CAO=∠CBO=90°，
在Rt△AOC和Rt△BOC中
∴Rt△AOC≌Rt△BOC（HL）
∴CA=BC；
②连接OC，过点O作OD⊥CB交CB的延长线于点D，OE⊥AC于点E，
∴∠BDO=∠AEO=∠ACB=90°，
∴四边形CEOD是矩形，
∴∠BOD+∠BOE=90°，
∵∠AOE+∠BOE=90°，
∴∠AOE=∠BOD，
在△AOE和△BOD中
∴△AOE≌△BOD（AAS）
∴OD=OE
在Rt△EOC和Rt△COD中
∴Rt△EOC≌Rt△COD（HL）
∴∠EOC=∠DOC，
∴ OC平分∠ACB .
（2）解：如图
∵垂线段最短，
∴当点C运动到CP⊥OA于点P时，PC的长最短，
∴过点P作OC的垂线段.
【知识点】垂线的概念；垂线段最短及其应用；直角三角形全等的判定-HL；尺规作图-垂线；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）①连接OC，利用垂直的定义可证得∠CAO=∠CBO；再利用HL证明Rt△AOC≌Rt△BOC，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论；②连接OC，过点O作OD⊥CB交CB的延长线于点D，OE⊥AC于点E，利用垂直的定义可证得∠BDO=∠AEO=∠ACB，根据有三个角是直角的四边形是矩形，可证得四边形CEOD是矩形；利用余角的性质，可证得∠AOE=∠BOD，利用AAS证明△AOE≌△BOD，利用全等三角形的对应边相等，可证得OD=OE；利用HL证明Rt△EOC≌Rt△COD，利用全等三角形的对应角相等，可证得结论.
（3）利用垂线段最短，可知当点C运动到CP⊥OA于点P时，PC的长最短，利用尺规作图，过点P作OC的垂线段即可.
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