2022-2023学年苏科版数学八年级上册1.3.6探索三角形全等的条件HL同步训练
一、单选题
1．（2022·盘龙模拟）如图，已知BC＝BD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ABD的是（ ）
A．AC＝AD B．∠ABC＝∠ABD
C．∠C＝∠D＝90° D．∠CAB＝∠DAB
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；直角三角形全等的判定（HL）；三角形全等的判定（SSS）；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：在与中，，，
A、根据边边边可得两个三角形全等；
B、根据边角边可得两个三角形全等；
C、根据直角三角形的特殊判定方法（直角边斜边）可得两个三角形全等；
D、不能判定两个三角形全等；
故答案为：D．
【分析】根据全等三角形的判定方法可知没有ASS方法，因此D项无法判定全等
2．（2021八上·浦东期末）如图，在等腰中，，，BD平分，交AC于点D，，若cm，则的周长为（ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，∠A=90°，
∴，
在Rt△ABD和Rt△EBD中，
∵，
，
∴AB=BE，
∴△DEC的周长=DE+CD+CE
=AD+CD+CE，
=AC+CE，
=AB+CE，
=BE+CE，
=BC，
∵BC=10cm，
∴△DEC的周长是10cm．
故答案为：B．
【分析】先利用“HL”证明，可得AB=BE，再利用三角形的周长公式可得△DEC的周长=DE+CD+CE=BC，再结合BC=10，即可得到答案。
3．（2021八上·重庆月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于E，若AB＝10cm，AC＝6cm，则△BED周长为（ ）
A．10cm B．12cm C．14cm. D．16cm
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解： ， ， 平分 ，
，
在 与 中，
，
，
，
，
，
在 中， ，
.
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的性质可得DC=DE，证明△ACD≌△AED，得到AE=AC=6cm，进而求出BE，然后根据勾股定理求出BC，则可将△BED的周长转化为BE+BC，据此计算.
4．（2021八上·西峰期末）如图，点E是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④.其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③④ C．②③④ D．①③
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，过E作EF⊥AD于F，
∴BE=EF，AE=AE，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL)
∴AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC＝EF＝BE，所以③错误；
∵EC＝EF，ED=ED，
∴Rt△EFD≌Rt△ECD(HL)，
∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②正确；
∴AD＝AF＋FD＝AB＋DC，所以④正确；
∴∠AED＝∠AEF＋∠FED＝∠BEC＝90°，所以①正确，
综上：①②④正确，
故答案为：A
【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得BE=EF，AE=AE，利用HL证明Rt△AEF≌Rt△AEB，利用全等三角形的对应边和对应角相等，可证得AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；由线段中点的定义可证得EC＝EF＝BE，可对③作出判断；利用HL证明Rt△EFD≌Rt△ECD，利用全等三角形的性质可得到DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，可对②作出判断；同时可推出AD＝AB＋DC，可对④作出判断；然后求出∠AED的度数，可对①作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
5．（2021八上·无棣期中）如图，长方形纸片ABC）沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么下列说法
正确的有（ ）
①△EBD是等腰三角形，EB=ED；
②折叠后∠ABE和∠CBD一定相等；
③折叠后得到的图形是轴对称图形
④△EBA和△EDC一定是全等三角形，
A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的判定；轴对称的性质
【解析】【解答】解：①由平行线的性质和折叠的性质得：∠DBE=∠BDE，
∴EB=ED，
∴△EBD是等腰三角形，故①正确；
②∵∠ABE+2∠CBD=90°，
∴∠ABE和∠CBD不一定相等（除非都是30°），故②错误；
③折叠后得到的图形是轴对称图形，故③正确；
④∵AB=CD，EB=ED，
∴△EBA≌△EDC，故④正确，
∴①③④正确.
故答案为：A.
【分析】根据折叠的性质、等腰三角形的判定定理、全等三角形的判定定理，逐项进行判断，即可得出答案.
6．（2021八上·宜兴期中）如图，在 和 中， ， ， ，过A作 ，垂足为F， 交 的延长线于点G，连接 .若四边形 的面积为12， ，则 的长是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：过点A作 于H，如图所示：
在 与 中，
，
， ，
又 ，
即 ，
，
又 ， ，
在 和 中，
，
同理： ，
，
，
，
，
，
解得： .
故答案为：C.
【分析】过点A作AH⊥BC于H，易证△ABC≌△ADE，得到AD=AB，S△ABC=S△ADE，结合三角形的面积公式可得AF=AH，证明△AFG≌△AHG，△ADF≌△ABH，推出S四边形DGBA=S四边形AFGH=12，然后根据△AFG的面积公式可得FG.
二、填空题
7．（2021八上·杭州期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝8cm，则△BED的周长是 .
【答案】8cm
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴CD＝DE，
在△ACD和△AED中， ，
∴△ACD≌△AED（HL），
∴AC＝AE，
∴△BED的周长＝DE+BD+BE，
＝BD+CD+BE，
＝BC+BE，
＝AC+BE，
＝AE+BE，
＝AB，
∵AB＝8cm，
∴△BED的周长是8cm.
故答案为：8cm.
【分析】由角平分线的性质可得CD＝DE，证明△ACD≌△AED，得到AC＝AE，则可将△BED的周长转化为AB，据此解答.
8．（2020八上·兴化月考）如图，OP平分∠AOB，PA OA，PB OB，垂足分别为点A、B.下列结论中，一定成立的是 （填序号）
①PA＝PB；②OA＝OB；③OP垂直平分AB；④AB垂直平分OP
【答案】①②③
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解： OP平分∠AOB，PA OA，PB OB，
AP=PB，故①正确；
OP=OP，
，
OA=OB，故②正确；
OP垂直平分AB，故③正确；
则AB垂直平分OP不一定成立，故错误；
所以正确的有①②③.
故答案为：①②③.
【分析】首先根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出AP=PB，进而利用HL判断出Rt△AOP≌Rt△BOP，根据全等三角形的对应边相等得出OA=OB，从而利用到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上及两点确定一条直线得出OP垂直平分AB，而题干中的条件判断不出AB垂直平分OP一定成立，从而即可一一判断得出答案.
9．（2020八上·泰州月考）阅读后填空：
已知：如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC、DB相交于点O.
求证：OA＝OD.
分析：要证OA＝OD，可证 ABO≌ DCO；
要证 ABO≌ DCO，可先证 ABC≌ DCB得出AB＝DC这个结论；
而用 可证 ABC≌ DCB（填SAS或AAS或HL）.
【答案】HL
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠A＝∠D＝90°，
∴在Rt ABC和Rt DCB中，
∴Rt ABC≌Rt DCB（HL），
∴∠ACB＝∠DBC，
∴OB＝OC，
故答案为：HL.
【分析】根据HL定理推出Rt ABC≌Rt DCB，求出∠ACB＝∠DBC，再根据等角等边求出即可.
10．（2021八上·连云港期末）如图，正方形 的边长为2， 为坐标原点， 和 分别在 轴、 轴上，点 是 边的中点，过点 的直线 交线段 于点 ，连接 ，若 平分 ，则 的值为 ．
【答案】1或3
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】①如图，作AG⊥EF交EF于点G，连接AE，
∵AF平分∠DFE，
∴DA=AG=2，
在Rt△ADF和Rt△AGF中，
∴ Rt△ADF≌Rt△AGF (HL)
∴DF=FG，
∴点E是BC边的中点，
∴BE=CE=1 ，
∵在 Rt△FCE中，EF2= FC2+CE2，
即(DF+1)2=(2-DF)2+1，
解得：DF= ，
∴点F ( ，2)
把点F的坐标代入 得：2= k，解得k=3
②当点F与点C重合时，
∵四边形ABCD是正方形，∴AF平分∠DFE
∴F (2， 2)
把点F的坐标代入 得： 2=2k，解得k=1
故答案为：1或3
【分析】①作AG⊥EF交EF于点G，连接AE，利用角平分线的定义可知DA=AG=2，利用HL证明Rt△ADF≌Rt△AGF，利用全等三角形的性质可证得DF=FG，可得到BE的长；再利用勾股定理求出AE，GE的长，在 Rt△FCE中，利用勾股定理求出DF的长，可得到点F的坐标；将点F的坐标代入函数解析式可求出k的值；②当点F与点C重合时，利用正方形的性质可得到点F的坐标，将点F的坐标代入函数解析式，建立关于k的方程，解方程求出k的值；综上所述可得到k的值.
11．（2020八上·衢州期中）两个全等的直角三角尺按如图所示的方式放置，其中两个直角三角尺的短直角边分别在∠AOB的两边上，长直角边交于点P，连结OP，且OM=ON，若∠AOB=60°，OM=6cm，则线段OP= cm．
【答案】212（或43）
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△OMP和Rt△ONP中，
，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP，
∴∠MOP=∠NOP=∠AOB=30°，
∴MP=OP，
∵OP2-MP2=OM2，
∴OP2-（OP）2=62，
∴OP=cm.
故答案为：
【分析】先证出Rt△OMP≌Rt△ONP，得出∠MOP=∠NOP=∠AOB=30°，从而得出MP=OP，再根据勾股定理求出OP的长即可.
12．（2020八上·乐陵期末）如图， 中， 、 的角平分线 、 交于点P，延长 、 ，则下列结论中正确的有 ．（将所有正确序号填在横线上）
① 平分 ；② ，③ ；④若 ， ，则 ．
【答案】①②③④
【知识点】三角形的外角性质；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；多边形内角与外角；角平分线的判定
【解析】【解答】解：①作PD⊥AC于D．
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，
∴PM=PN，PM=PD，
∴PM=PN=PD，
∴点P在∠ACF的角平分线上，故①符合题意；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°，
∴∠ABC+∠MPN=180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM=∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD=∠CPN，
∴∠MPN=2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC=180°，②符合题意；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE=2∠PAM，
∵∠CAE=∠ABC+∠ACB，∠PAM= ∠ABC+∠APB，
∴∠ACB=2∠APB，③符合题意；
④∵Rt△PAM≌Rt△PAD（已证），
∴AD=AM，
∵Rt△PCD≌Rt△PCN（已证），
∴CD=CN，
∴AM+CN=AD+CD=AC，④符合题意；
故答案为：①②③④．
【分析】①作PD⊥AC于D，由角平分线的性质可得PM=PN，PM=PD，即得PM=PN=PD，再根据角平分线的判定即证；②利用四边形内角和可求∠ABC+∠MPN=180°，先证Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），可得∠APM=∠APD，AD=AM，同理Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），可得∠CPD=∠CPN，CD=CN，从而得∠MPN=2∠APC，即得∠ABC+2∠APC=180°；③由角平分线的定义可得∠CAE=2∠PAM，利用三角形外角的性质可得∠CAE=∠ABC+∠ACB，∠PAM= ∠ABC+∠APB，即得∠ACB=2∠APB，据此判断即可；④由②知AD=AM，CD=CN，从而得出AM+CN=AD+CD=AC，据此判断即可.
三、解答题
13．（2020八上·秦淮月考）已知：如图，∠A =∠D = 90° ， BE
= EC . 求证： △ABC ≌ △DCB .
【答案】证明：在△ABE 和△DCE 中
∴△ABE ≌△DCE （ AAS）
∴ AB = DC
∵∠A =∠D = 90°
∴在 Rt△ABC 和 Rt△DCB 中
∴ Rt△ABC ≌ Rt△DCB （ HL ）
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】先由等腰三角形的性质得出∠ACB=∠DBC，再由AAS证明△ABE ≌△DCE得到AB=DC，再由HL证明△ABC≌△DCB即可.
14．（2021八上·乐陵期中）如图所示，点B，E，C，F在同一条直线上，能否由 ， 来证明AC∥DE？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列四个条件中再选择一个合适的条件，使AC∥DE成立，并说明理由．供选择的四个条件：① ；② ；③AB∥DF；④ ．
【答案】解：由AC=DE，BE=FC无法证明 ，
选择条件②AB=DF进行证明，
∵BE=FC，
∴BE+CE=FC+CE，
∴BC=FE，
在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SSS），
∴∠ACB=∠DFE，
∴ ；
选择条件④ ，
∵ ，
∴三角形ABC和三角形DFE都是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DFE中
，
∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL），
∴∠ACB=∠DFE，
∴ ．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】利用三角形全等的判定及性质求解即可。
15．（2021八上·镇原期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：BE＝CF.
【答案】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.
∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE＝CF.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】由角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE＝DF，由等腰三角形的三线合一可得BD=CD，然后根据HL定理可证Rt△BDE≌Rt△CDF，再根据全等三角形的对应边相等可求解.
16．（2020八上·南京期中）如图，在 中，点 、 在边 上， ， ，垂足为 ， ，垂足为 ， 与 交于点 ，且 .
（1）求证： ；
（2）连接 ，并延长 交 于点 ，求证：过点 、 的直线垂直平分线段 .
【答案】（1）证明： ， ，
，
，
，即 ，
在 和 中， ，
，
，
；
（2）证明：如图，延长 交 于点 ，
由（1）已证： ，
，
，
又 ，
，即 ，
在 和 中， ，
，
，即 平分 ，
， （等腰三角形的三线合一），
即过点 、 的直线垂直平分 .
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）由垂直的定义得∠BNE=∠CMD=90°，由BD=CE得BE=CD，由HL证明△BNE≌△MDC，根据全等三角形的对应角相等得∠NED=∠MDC，最后根据等角对等边即可得出结论；
（2） 延长AP交BC于点Q，由全等三角形的性质可得∠B=∠C，则AB=AC，由BN=CM可得AN=AM，利用HL证明△ANP≌△AMP，得到∠PAN=∠PAM，由等腰三角形的性质可得AQ⊥BC，BQ=CQ，据此证明.
1 / 12022-2023学年苏科版数学八年级上册1.3.6探索三角形全等的条件HL同步训练
一、单选题
1．（2022·盘龙模拟）如图，已知BC＝BD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ABD的是（ ）
A．AC＝AD B．∠ABC＝∠ABD
C．∠C＝∠D＝90° D．∠CAB＝∠DAB
2．（2021八上·浦东期末）如图，在等腰中，，，BD平分，交AC于点D，，若cm，则的周长为（ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm
3．（2021八上·重庆月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于E，若AB＝10cm，AC＝6cm，则△BED周长为（ ）
A．10cm B．12cm C．14cm. D．16cm
4．（2021八上·西峰期末）如图，点E是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④.其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③④ C．②③④ D．①③
5．（2021八上·无棣期中）如图，长方形纸片ABC）沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么下列说法
正确的有（ ）
①△EBD是等腰三角形，EB=ED；
②折叠后∠ABE和∠CBD一定相等；
③折叠后得到的图形是轴对称图形
④△EBA和△EDC一定是全等三角形，
A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④
6．（2021八上·宜兴期中）如图，在 和 中， ， ， ，过A作 ，垂足为F， 交 的延长线于点G，连接 .若四边形 的面积为12， ，则 的长是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．
二、填空题
7．（2021八上·杭州期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝8cm，则△BED的周长是 .
8．（2020八上·兴化月考）如图，OP平分∠AOB，PA OA，PB OB，垂足分别为点A、B.下列结论中，一定成立的是 （填序号）
①PA＝PB；②OA＝OB；③OP垂直平分AB；④AB垂直平分OP
9．（2020八上·泰州月考）阅读后填空：
已知：如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC、DB相交于点O.
求证：OA＝OD.
分析：要证OA＝OD，可证 ABO≌ DCO；
要证 ABO≌ DCO，可先证 ABC≌ DCB得出AB＝DC这个结论；
而用 可证 ABC≌ DCB（填SAS或AAS或HL）.
10．（2021八上·连云港期末）如图，正方形 的边长为2， 为坐标原点， 和 分别在 轴、 轴上，点 是 边的中点，过点 的直线 交线段 于点 ，连接 ，若 平分 ，则 的值为 ．
11．（2020八上·衢州期中）两个全等的直角三角尺按如图所示的方式放置，其中两个直角三角尺的短直角边分别在∠AOB的两边上，长直角边交于点P，连结OP，且OM=ON，若∠AOB=60°，OM=6cm，则线段OP= cm．
12．（2020八上·乐陵期末）如图， 中， 、 的角平分线 、 交于点P，延长 、 ，则下列结论中正确的有 ．（将所有正确序号填在横线上）
① 平分 ；② ，③ ；④若 ， ，则 ．
三、解答题
13．（2020八上·秦淮月考）已知：如图，∠A =∠D = 90° ， BE
= EC . 求证： △ABC ≌ △DCB .
14．（2021八上·乐陵期中）如图所示，点B，E，C，F在同一条直线上，能否由 ， 来证明AC∥DE？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列四个条件中再选择一个合适的条件，使AC∥DE成立，并说明理由．供选择的四个条件：① ；② ；③AB∥DF；④ ．
15．（2021八上·镇原期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：BE＝CF.
16．（2020八上·南京期中）如图，在 中，点 、 在边 上， ， ，垂足为 ， ，垂足为 ， 与 交于点 ，且 .
（1）求证： ；
（2）连接 ，并延长 交 于点 ，求证：过点 、 的直线垂直平分线段 .
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；直角三角形全等的判定（HL）；三角形全等的判定（SSS）；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：在与中，，，
A、根据边边边可得两个三角形全等；
B、根据边角边可得两个三角形全等；
C、根据直角三角形的特殊判定方法（直角边斜边）可得两个三角形全等；
D、不能判定两个三角形全等；
故答案为：D．
【分析】根据全等三角形的判定方法可知没有ASS方法，因此D项无法判定全等
2．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，∠A=90°，
∴，
在Rt△ABD和Rt△EBD中，
∵，
，
∴AB=BE，
∴△DEC的周长=DE+CD+CE
=AD+CD+CE，
=AC+CE，
=AB+CE，
=BE+CE，
=BC，
∵BC=10cm，
∴△DEC的周长是10cm．
故答案为：B．
【分析】先利用“HL”证明，可得AB=BE，再利用三角形的周长公式可得△DEC的周长=DE+CD+CE=BC，再结合BC=10，即可得到答案。
3．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解： ， ， 平分 ，
，
在 与 中，
，
，
，
，
，
在 中， ，
.
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的性质可得DC=DE，证明△ACD≌△AED，得到AE=AC=6cm，进而求出BE，然后根据勾股定理求出BC，则可将△BED的周长转化为BE+BC，据此计算.
4．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，过E作EF⊥AD于F，
∴BE=EF，AE=AE，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL)
∴AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC＝EF＝BE，所以③错误；
∵EC＝EF，ED=ED，
∴Rt△EFD≌Rt△ECD(HL)，
∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②正确；
∴AD＝AF＋FD＝AB＋DC，所以④正确；
∴∠AED＝∠AEF＋∠FED＝∠BEC＝90°，所以①正确，
综上：①②④正确，
故答案为：A
【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得BE=EF，AE=AE，利用HL证明Rt△AEF≌Rt△AEB，利用全等三角形的对应边和对应角相等，可证得AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；由线段中点的定义可证得EC＝EF＝BE，可对③作出判断；利用HL证明Rt△EFD≌Rt△ECD，利用全等三角形的性质可得到DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，可对②作出判断；同时可推出AD＝AB＋DC，可对④作出判断；然后求出∠AED的度数，可对①作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
5．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的判定；轴对称的性质
【解析】【解答】解：①由平行线的性质和折叠的性质得：∠DBE=∠BDE，
∴EB=ED，
∴△EBD是等腰三角形，故①正确；
②∵∠ABE+2∠CBD=90°，
∴∠ABE和∠CBD不一定相等（除非都是30°），故②错误；
③折叠后得到的图形是轴对称图形，故③正确；
④∵AB=CD，EB=ED，
∴△EBA≌△EDC，故④正确，
∴①③④正确.
故答案为：A.
【分析】根据折叠的性质、等腰三角形的判定定理、全等三角形的判定定理，逐项进行判断，即可得出答案.
6．【答案】C
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：过点A作 于H，如图所示：
在 与 中，
，
， ，
又 ，
即 ，
，
又 ， ，
在 和 中，
，
同理： ，
，
，
，
，
，
解得： .
故答案为：C.
【分析】过点A作AH⊥BC于H，易证△ABC≌△ADE，得到AD=AB，S△ABC=S△ADE，结合三角形的面积公式可得AF=AH，证明△AFG≌△AHG，△ADF≌△ABH，推出S四边形DGBA=S四边形AFGH=12，然后根据△AFG的面积公式可得FG.
7．【答案】8cm
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴CD＝DE，
在△ACD和△AED中， ，
∴△ACD≌△AED（HL），
∴AC＝AE，
∴△BED的周长＝DE+BD+BE，
＝BD+CD+BE，
＝BC+BE，
＝AC+BE，
＝AE+BE，
＝AB，
∵AB＝8cm，
∴△BED的周长是8cm.
故答案为：8cm.
【分析】由角平分线的性质可得CD＝DE，证明△ACD≌△AED，得到AC＝AE，则可将△BED的周长转化为AB，据此解答.
8．【答案】①②③
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解： OP平分∠AOB，PA OA，PB OB，
AP=PB，故①正确；
OP=OP，
，
OA=OB，故②正确；
OP垂直平分AB，故③正确；
则AB垂直平分OP不一定成立，故错误；
所以正确的有①②③.
故答案为：①②③.
【分析】首先根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出AP=PB，进而利用HL判断出Rt△AOP≌Rt△BOP，根据全等三角形的对应边相等得出OA=OB，从而利用到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上及两点确定一条直线得出OP垂直平分AB，而题干中的条件判断不出AB垂直平分OP一定成立，从而即可一一判断得出答案.
9．【答案】HL
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠A＝∠D＝90°，
∴在Rt ABC和Rt DCB中，
∴Rt ABC≌Rt DCB（HL），
∴∠ACB＝∠DBC，
∴OB＝OC，
故答案为：HL.
【分析】根据HL定理推出Rt ABC≌Rt DCB，求出∠ACB＝∠DBC，再根据等角等边求出即可.
10．【答案】1或3
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】①如图，作AG⊥EF交EF于点G，连接AE，
∵AF平分∠DFE，
∴DA=AG=2，
在Rt△ADF和Rt△AGF中，
∴ Rt△ADF≌Rt△AGF (HL)
∴DF=FG，
∴点E是BC边的中点，
∴BE=CE=1 ，
∵在 Rt△FCE中，EF2= FC2+CE2，
即(DF+1)2=(2-DF)2+1，
解得：DF= ，
∴点F ( ，2)
把点F的坐标代入 得：2= k，解得k=3
②当点F与点C重合时，
∵四边形ABCD是正方形，∴AF平分∠DFE
∴F (2， 2)
把点F的坐标代入 得： 2=2k，解得k=1
故答案为：1或3
【分析】①作AG⊥EF交EF于点G，连接AE，利用角平分线的定义可知DA=AG=2，利用HL证明Rt△ADF≌Rt△AGF，利用全等三角形的性质可证得DF=FG，可得到BE的长；再利用勾股定理求出AE，GE的长，在 Rt△FCE中，利用勾股定理求出DF的长，可得到点F的坐标；将点F的坐标代入函数解析式可求出k的值；②当点F与点C重合时，利用正方形的性质可得到点F的坐标，将点F的坐标代入函数解析式，建立关于k的方程，解方程求出k的值；综上所述可得到k的值.
11．【答案】212（或43）
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△OMP和Rt△ONP中，
，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP，
∴∠MOP=∠NOP=∠AOB=30°，
∴MP=OP，
∵OP2-MP2=OM2，
∴OP2-（OP）2=62，
∴OP=cm.
故答案为：
【分析】先证出Rt△OMP≌Rt△ONP，得出∠MOP=∠NOP=∠AOB=30°，从而得出MP=OP，再根据勾股定理求出OP的长即可.
12．【答案】①②③④
【知识点】三角形的外角性质；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；多边形内角与外角；角平分线的判定
【解析】【解答】解：①作PD⊥AC于D．
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，
∴PM=PN，PM=PD，
∴PM=PN=PD，
∴点P在∠ACF的角平分线上，故①符合题意；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°，
∴∠ABC+∠MPN=180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM=∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD=∠CPN，
∴∠MPN=2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC=180°，②符合题意；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE=2∠PAM，
∵∠CAE=∠ABC+∠ACB，∠PAM= ∠ABC+∠APB，
∴∠ACB=2∠APB，③符合题意；
④∵Rt△PAM≌Rt△PAD（已证），
∴AD=AM，
∵Rt△PCD≌Rt△PCN（已证），
∴CD=CN，
∴AM+CN=AD+CD=AC，④符合题意；
故答案为：①②③④．
【分析】①作PD⊥AC于D，由角平分线的性质可得PM=PN，PM=PD，即得PM=PN=PD，再根据角平分线的判定即证；②利用四边形内角和可求∠ABC+∠MPN=180°，先证Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），可得∠APM=∠APD，AD=AM，同理Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），可得∠CPD=∠CPN，CD=CN，从而得∠MPN=2∠APC，即得∠ABC+2∠APC=180°；③由角平分线的定义可得∠CAE=2∠PAM，利用三角形外角的性质可得∠CAE=∠ABC+∠ACB，∠PAM= ∠ABC+∠APB，即得∠ACB=2∠APB，据此判断即可；④由②知AD=AM，CD=CN，从而得出AM+CN=AD+CD=AC，据此判断即可.
13．【答案】证明：在△ABE 和△DCE 中
∴△ABE ≌△DCE （ AAS）
∴ AB = DC
∵∠A =∠D = 90°
∴在 Rt△ABC 和 Rt△DCB 中
∴ Rt△ABC ≌ Rt△DCB （ HL ）
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】先由等腰三角形的性质得出∠ACB=∠DBC，再由AAS证明△ABE ≌△DCE得到AB=DC，再由HL证明△ABC≌△DCB即可.
14．【答案】解：由AC=DE，BE=FC无法证明 ，
选择条件②AB=DF进行证明，
∵BE=FC，
∴BE+CE=FC+CE，
∴BC=FE，
在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SSS），
∴∠ACB=∠DFE，
∴ ；
选择条件④ ，
∵ ，
∴三角形ABC和三角形DFE都是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DFE中
，
∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL），
∴∠ACB=∠DFE，
∴ ．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】利用三角形全等的判定及性质求解即可。
15．【答案】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.
∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE＝CF.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】由角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE＝DF，由等腰三角形的三线合一可得BD=CD，然后根据HL定理可证Rt△BDE≌Rt△CDF，再根据全等三角形的对应边相等可求解.
16．【答案】（1）证明： ， ，
，
，
，即 ，
在 和 中， ，
，
，
；
（2）证明：如图，延长 交 于点 ，
由（1）已证： ，
，
，
又 ，
，即 ，
在 和 中， ，
，
，即 平分 ，
， （等腰三角形的三线合一），
即过点 、 的直线垂直平分 .
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）由垂直的定义得∠BNE=∠CMD=90°，由BD=CE得BE=CD，由HL证明△BNE≌△MDC，根据全等三角形的对应角相等得∠NED=∠MDC，最后根据等角对等边即可得出结论；
（2） 延长AP交BC于点Q，由全等三角形的性质可得∠B=∠C，则AB=AC，由BN=CM可得AN=AM，利用HL证明△ANP≌△AMP，得到∠PAN=∠PAM，由等腰三角形的性质可得AQ⊥BC，BQ=CQ，据此证明.
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