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专题06 解一元二次方程（公式法、因式分解法、换元法）
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 根据判别式判断一元二次方程根的情况
1．下列关于x的方程说法正确的是（ ）
A．没有实数根；
B．有实数根；
C．有两个相等的实数根；
D．（其中m是实数）一定有实数根.
2．下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．x2+2＝0 B．x2＝2x
C．（x﹣1）（x﹣2）＝0 D．（x﹣1）2＝0
3．关于x的一元二次方程2x2﹣bx+b﹣3＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
4．无论p为何值，关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝p2的根的情况（ ）
A．一定有两个不相等的实数根
B．一定有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能确定
5．对一元二次方程x2x﹣1＝0的描述正确的是（ ）
A．常数项为1 B．没有实数根
C．有两个不等的实数根 D．有两个相等的实数根
考查题型二 根据一元二次方程根的情况求参数
6．已知关于的方程有实数根，则的取值范围是：（ ）
A．且 B． C． D．
7．对于一元二次方程，满足，且有两个相等的实数根，则（ ）
A． B． C． D．
8．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
9．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为（ ）
A．3 B．－1 C．3或－1 D．－3
10．方程x2-（k2-4）x+k+1=0的两个实数根互为相反数，则k的值是（ ）
A．4或-4 B．2或-2 C．2 D．-2
考查题型三 公式法解一元二次方程
11．以为根的一元二次方程可能是（ ）
A． B． C． D．
12．用公式法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0时，计算b2﹣4ac的结果为（ ）
A．17 B．14 C．11 D．8
13．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为，下列判断一定正确的是（ ）
A．a＝﹣1 B．c＝1 C．ac＝1 D．
14．小明在解方程x2﹣4x＝2时出现了错误，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝24（第二步）
∴（第三步）
∴（第四步）
小明解答过程开始出错的步骤是（ ）
A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步
15．用公式法解方程，下列代入公式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考查题型四 因式分解法解一元二次方程
16．方程的解是（ ）
A． B． C．， D．，
17．已知等腰三角形ABC的边长分别是m，n，4，且m，n是关于x的方程x2-6x+a+1=0的两根,则a的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．7或8
18．已知4x2+4（m﹣2）x+m是一个关于x的完全平方式，则常数m的值是（ ）
A．4或9 B．1或4 C．1或9 D．1或16
考查题型五 换元法解一元二次方程
19．如果（x+2y）2+3（x+2y）﹣4＝0，那么x+2y的值为（ ）
A．1 B．﹣4 C．1或﹣4 D．﹣1或3
20．(m2+n2)(m2+n2 2) 8=0，则m2+n2=（ ）
A．4 B．2 C．4或 2 D．4或2
21．若实数x、y满足，则x+y的值为（ ）
A．-1或-2； B．-1或2； C．1或-2； D．1或2；
22．已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，那么x2﹣2x+1的值为（ ）
A．﹣1或3 B．﹣3或1 C．3 D．1
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专题06 解一元二次方程（公式法、因式分解法、换元法）
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 根据判别式判断一元二次方程根的情况
1．下列关于x的方程说法正确的是（ ）
A．没有实数根；
B．有实数根；
C．有两个相等的实数根；
D．（其中m是实数）一定有实数根.
【详解】解：A、移项得：，，故方程有两个不相等的实数根，说法错误；
B、中，，故方程没有实数根，说法错误；
C、中，，故方程没有实数根，说法错误；
D、中，，故方程有两个不相等的实数根，正确；
故选：D．
2．下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．x2+2＝0 B．x2＝2x
C．（x﹣1）（x﹣2）＝0 D．（x﹣1）2＝0
【详解】A.∵a=1， b=0， c=2，
∴ =b2- 4ac=02-4×1×2=-8<0
∴方程x2 + 2= 0没有实数根，选项A不符合题意；
B.原方程化为一般形式为x2-2x= 0，
∵a=1， b=-2， c=0，
∴ =b2- 4ac=(-2)2-4×1×0= 4>0
∴方程x2 = 2x有两个不相等的实数根，选项B不符合题意；
C.原方程化为一般形式为x2-3x+2= 0，
∴a=1， b=-3， c=2，
∴△=b2- 4ac=(-3)2-4×1×2= 1>0
∴方程(x-1)(x-2) = 0有两个不相等的实数根，选项C不符合题意；
D.原方程化为一般形式为x2 -2x+1=0，
∵a= 1， b=-2， c=1，
∴△=b2- 4ac=(-2)2-4×1×1=0，
∴方程(x-1)2 = 0有两个相等的实数根，选项D符合题意．
故选： D．
3．关于x的一元二次方程2x2﹣bx+b﹣3＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【详解】解：关于x的一元二次方程2x2﹣bx+b﹣3＝0，
∵Δ＝（﹣b）2﹣8（b﹣3）
＝b2﹣8b+24
＝（b2﹣8b+16）+8
＝（b﹣4）2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
4．无论p为何值，关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝p2的根的情况（ ）
A．一定有两个不相等的实数根
B．一定有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能确定
【详解】解：原方程可变形为x2 5x p2＋6＝0．
Δ＝（ 5）2 4×1×（ p2＋6）＝4p2＋1．
∵p2≥0，
∴4p2＋1＞0，即Δ＞0，
∴无论p为何值，原方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
5．对一元二次方程x2x﹣1＝0的描述正确的是（ ）
A．常数项为1 B．没有实数根
C．有两个不等的实数根 D．有两个相等的实数根
【详解】解：x2x﹣1＝0，
∵＝b2﹣4ac＝（）2﹣4（﹣1）＝（）2+1＞0，
∴方程有两个不等的实数根．
故选：C．
考查题型二 根据一元二次方程根的情况求参数
6．已知关于的方程有实数根，则的取值范围是：（ ）
A．且 B． C． D．
【详解】解：当m≠1时，
∵关于的方程有实数根，
∴，
解得：，
∴且．
当m=1时，方程是一元一次方程，此时方程有解x=；
综上，m的取值范围为：
故选：A．
7．对于一元二次方程，满足，且有两个相等的实数根，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵a b＋c＝0，
∴b＝a＋c，
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝，
∴a＝c，
∴b＝2a＝2c，
∴，
故选项B、C、D错误，选项A正确，
故选：A．
8．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴．
故选：A．
9．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为（ ）
A．3 B．－1 C．3或－1 D．－3
【详解】a=k-1，b=4，c=k-1
（k-3）（k+1）=0
k=3或k=-1
∵k-1≠0
∴k≠1
故k=3或k=-1
故选：C
10．方程x2-（k2-4）x+k+1=0的两个实数根互为相反数，则k的值是（ ）
A．4或-4 B．2或-2 C．2 D．-2
【详解】解：∵方程x2-（k2-4）x+k+1=0的两实数根互为相反数，
∴k2-4=0，∴k=±2；
当k=2，方程变为：x2+1=0，Δ=-4＜0，方程没有实数根，所以k=2舍去；
当k=-2，方程变为：x2-3=0，Δ=12＞0，方程有两个不相等的实数根；
∴k=-2．
故选：D．
考查题型三 公式法解一元二次方程
11．以为根的一元二次方程可能是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：A．此方程的根为x=，符合题意；
B．此方程的根为x=，不符合题意；
C．此方程的根为x=，不符合题意；
D．此方程的根为x=，不符合题意；
故选：A．
12．用公式法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0时，计算b2﹣4ac的结果为（ ）
A．17 B．14 C．11 D．8
【详解】解：由一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0可知：，
∴；
故选A．
13．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为，下列判断一定正确的是（ ）
A．a＝﹣1 B．c＝1 C．ac＝1 D．
【详解】解：根据一元二次方程的求根公式可得：，，
∵关于x的一元二次方程的两根分别为，，
∴，
∴,,
∴则，，
故选：D．
14．小明在解方程x2﹣4x＝2时出现了错误，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝24（第二步）
∴（第三步）
∴（第四步）
小明解答过程开始出错的步骤是（ ）
A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步
【详解】解：∵x2﹣4x＝2，即x2﹣4x-2=0，
∴a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2（第一步）
∴＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝24＞0（第二步），
∴（第三步），
∴（第四步）
∴小明解答过程开始出错的步骤是第三步，
故选C．
15．用公式法解方程，下列代入公式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】解：方程可化为
由求根公式可得：
故选：B
考查题型四 因式分解法解一元二次方程
16．方程的解是（ ）
A． B． C．， D．，
【详解】解：，
，
，
或，
，
故选：D．
17．已知等腰三角形ABC的边长分别是m，n，4，且m，n是关于x的方程x2-6x+a+1=0的两根,则a的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．7或8
【详解】解：①当m=n时，
∵m，n是关于x的方程x2-6x+a+1=0的两根，
∴Δ=（-6）2-4（a+1）=0，
解得，a=8，
∴关于x的方程为x2-6x+9=0，
解得：m=n=3，
∵m+n＞4，
∴m，n，4为边能组成三角形；
②m=4或n=4时，
∴4是关于x的方程x2-6x+a+1=0的根，
∴42-6×4+a+1=0，
解得：a=7，
∴关于x的方程为x2-6x+8=0，
解得：m=2，n=4，
∵m+n＞4，
∴m，n，4为边能组成三角形；
综上所述：a的值为7或8．
故选：D．
18．已知4x2+4（m﹣2）x+m是一个关于x的完全平方式，则常数m的值是（ ）
A．4或9 B．1或4 C．1或9 D．1或16
【详解】解：∵4x2+4（m﹣2）x+（m﹣2）2＝[2x+（m﹣2）]2＝4x2+4（m﹣2）x+m，
∴（m﹣2）2＝m，
即m2﹣5m+4＝0，
∴m＝1或m＝4，
故选：B．
考查题型五 换元法解一元二次方程
19．如果（x+2y）2+3（x+2y）﹣4＝0，那么x+2y的值为（ ）
A．1 B．﹣4 C．1或﹣4 D．﹣1或3
【详解】
设，则原方程变形为，解得或.
故选：.
20．(m2+n2)(m2+n2 2) 8=0，则m2+n2=（ ）
A．4 B．2 C．4或 2 D．4或2
【详解】
解：设y=m2+n2，
原方程变形为y（y-2）﹣8=0．
整理得，y2-2y﹣8=0，
（y-4）（y+2）=0，
解得y1=4，y2=-2，
∵m2+n2≥0，
∴m2+n2的值为4，
故选A．
21．若实数x、y满足，则x+y的值为（ ）
A．-1或-2； B．-1或2； C．1或-2； D．1或2；
【详解】
t=x+y，则由原方程，得
t（t-3）+2=0，
整理，得
（t-1）（t-2）=0．
解得t=1或t=2，
所以x+y的值为1或2．
故选D．
22．已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，那么x2﹣2x+1的值为（ ）
A．﹣1或3 B．﹣3或1 C．3 D．1
【详解】
解：设x2﹣2x+1＝a，
∵（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，
∴a2+2a﹣3＝0，
解得：a＝﹣3或1，
当a＝﹣3时，x2﹣2x+1＝﹣3，
即（x﹣1）2＝﹣3，此方程无实数解；
当a＝1时，x2﹣2x+1＝1，此时方程有解，
故选：D．
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