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专题07 一元二次方程根与系数的关系
1．已知m，n是一元二次方程2x2+4x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式2m2+5m+n的值等于（ ）
A．2019 B．2018 C．2021 D．2020
【详解】解：根据题意，得2m2+4m﹣2021＝0，
∴2m2+4m＝2021，
∵m+n＝＝﹣2，
∴2m2+5m+n＝2m2+4m+m+n =2021﹣2＝2019，
故选：A．
2．下列一元二次方程中，两个根分别是﹣2和3的是（ ）
A．x2+x﹣6＝0 B．x2﹣x﹣6＝0 C．x2﹣5x+6＝0 D．x2+5x+6＝0
【详解】解：题干中两根之和为﹣2+3＝1，﹣2×3＝﹣6，
A、a＝1，b＝1，c＝﹣6，该方程两根之和为1，故该选项错误；
B、a＝1，b＝﹣1，c＝﹣6，该方程两根之和为，，故该选项正确；
C、a＝1，b＝﹣5，c＝6，该方程两根之和为1，故该选项错误；
D、a＝1，b＝5，c＝6，该方程两根之和为1，故该选项错误．
故选：B．
3．已知一元二次方程x2-4x-2=0的两根分别为x1，x2，则的值为（ ）
A．2 B．-1 C． D．-2
【详解】解：根据根与系数的关系得，
x1+x2=4，x1·x2=-2
∴
=-2．
故选D ．
4．一元二次方程的一个根是，则另一个根是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：设方程的另一个根为，
根据题意得：，
解得：．
故选：A．
5．已知关于的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值为（ ）
A．7 B． C．6 D．
【详解】解：∵一元二次方程的两根分别记为，，
∴+=2，
∵，
∴=3，
∴·=-a=-3，
∴a=3，
∴．
故选B．
6．若关于x的一元二次方程的两个实数根互为倒数，则k=（ ）
A．1 B．-1
C． D．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
此方程根的判别式，且，
解得且，
又关于的一元二次方程的两个实数根互为倒数，
，
解得或（舍去），
经检验，是所列分式方程的解，
故选：B．
7．若和是关于x的方程的两根，且，则b的值是（ ）
A．－3 B．3 C．－5 D．5
【详解】解：∵和是关于x的方程的两根，
∴，
∴
∴
故选：C
8．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（ ）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
【详解】解：解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
故选A
9．若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（ ）
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
【详解】解:∵关于x的一元二次方程有两个实数根,
∴,
∴
∵是方程的两个实数根,
∵，
又
∴
把代入整理得,
解得,
故选A
10．若一元二次方程的解为a、b，则一次函数的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【详解】解：∵方程的两个实数根分别是a、b，
∴a+b=-2、ab=-3， 则一次函数的解析式为y=-2x+3，
∴该一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
11．若x1，x2是方程x2﹣3x＋2＝0的两个根，则x12＋x22＝________．
【详解】解：根据题意得x1＋x2＝3，x1 x2＝2，
则x12＋x22＝（x1＋x2）2﹣2x1x2＝9﹣4＝5，
故答案为：5．
12．已知a，b是方程的两个实数根，则_________．
【详解】解：根据题意得a+b=1．ab=-4，
把x=a代入x2-x-4=0，得a2-a=4，
∴a2-2a-b+2020
=a2-a-a-b+2020
=4-1+2020
=2023．
故答案为：2023
13．关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m=__________．
【详解】解：根据题意得x1+x2=-2m，x1x2=，
∵x12+x22=，
∴（x1+x2）2-2x1x2=，
∴4m2-m=，
∴m1=-，m2=，
∵Δ=16m2-8m＞0，
∴m＞或m＜0时，
∴m=不合题意，
故答案为：．
14．已知方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根是x1，x2，则x1+x2＝________，x1 x2＝________，(x1﹣1)(x2﹣1)＝________，x1﹣x2＝________．
【详解】解：∵方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根是x1，x2，
∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣1，
∴（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝﹣1﹣3+1＝﹣3，
x1﹣x2＝．
故答案为：3，﹣1，﹣3，．
15．已知是方程x2+2021x+1＝0的两个根，则_____．
【详解】解：∵α，β是方程x2+2021x+1＝0的两个根，
∴α2+2021α+1＝0，β2+2021β+1＝0，αβ＝1，
∴（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）
＝（α2+2021α+1+α）（β2+2021β+1+β）
＝（0+α）（0+β）
＝αβ
＝1．
故答案是：1．
16．设是关于x的方程的两个根，且，则_______．
【详解】
解：由根与系数的关系可得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴;
故答案为：2．
17．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为____.
【详解】
∵x1+x2=-2，x1.x2=k-1,
=4-3(k-1)
=13,
K=-2.
故答案为:-2.
18．已知实数，满足条件，，则________．
【详解】
由实数a，b满足条件a2﹣7a+2＝0，b2﹣7b+2＝0，且a≠b，∴可把a，b看成是方程x2﹣7x+2＝0的两个根，∴a+b＝7，ab＝2，∴．
故答案为．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=11，求k的值．
【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根，
∴△≥0，即[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）=﹣8k+5≥0，
解得k≤；
（2）由根与系数的关系可得x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2+k﹣1，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（2k﹣1）2﹣2（k2+k﹣1）=2k2﹣6k+3，
∵x12+x22=11，
∴2k2﹣6k+3=11，解得k=4，或k=﹣1，
∵k≤，
∴k=4（舍去），
∴k=﹣1．
20．已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为，，且，求m的值．
【详解】
试题分析：（1）要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明原来的一元二次方程的△的值大于0即可；
（2）根据根与系数的关系可以得到关于m的方程，从而可以求得m的值．
试题解析：（1）证明：∵，∴△=[﹣（m﹣3）]2﹣4×1×（﹣m）=m2﹣2m+9=（m﹣1）2+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根；
（2）∵，方程的两实根为，，且，∴ ， ，∴，∴（m﹣3）2﹣3×（﹣m）=7，解得，m1=1，m2=2，即m的值是1或2．
21．关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1、x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1+x2＝1﹣x1x2，求k的值．
【详解】
试题分析：（1）方程有两个实数根，可得代入可解出的取值范围；
（2）由韦达定理可知，列出等式，可得出的值．
试题解析：(1)∵Δ＝4(k－1)2－4k2≥0，∴－8k＋4≥0，∴k≤；
(2)∵x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2，∴2(k－1)＝1－k2，
∴k1＝1，k2＝－3.
∵k≤，∴k＝－3.
22．关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2．
（1）求m的取值范围．
（2）若2（x1+x2）+ x1x2+10=0．求m的值.
【详解】
（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2．∴ ⊿≥0．
即 32-4（m-1）≥0，解得,m≤．
（2）由已知可得 x1+x2=3 x1x2=m-1
又2（x1+x2）+ x1x2+10=0 ∴2×（-3）+m-1+10=0 ∴m=-3
23．阅读理解：
材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”.
材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx +c= 0(a≠0)的两根分别为，，则有，．
问题解决：
（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ；
（2）若，是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根，是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解．求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
（3）若A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．
【详解】
解：（1）∵，
∴，2，3是“和谐三数组”；
故答案为：，2，3（答案不唯一）；
（2）证明：∵，是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根，
∴，，
∴，
∵是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解，
∴，∴，
∴=，
∴x1 ，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
（3）∵A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数的图象上，
∴，，，
∵三点的纵坐标y1，y2，y3恰好构成“和谐三数组”，
∴或或，
即或或，
解得：m=﹣4或﹣2或2．
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专题07 一元二次方程根与系数的关系
1．已知m，n是一元二次方程2x2+4x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式2m2+5m+n的值等于（ ）
A．2019 B．2018 C．2021 D．2020
2．下列一元二次方程中，两个根分别是﹣2和3的是（ ）
A．x2+x﹣6＝0 B．x2﹣x﹣6＝0 C．x2﹣5x+6＝0 D．x2+5x+6＝0
3．已知一元二次方程x2-4x-2=0的两根分别为x1，x2，则的值为（ ）
A．2 B．-1 C． D．-2
4．一元二次方程的一个根是，则另一个根是（ ）
A． B． C． D．
5．已知关于的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值为（ ）
A．7 B． C．6 D．
6．若关于x的一元二次方程的两个实数根互为倒数，则k=（ ）
A．1 B．-1
C． D．
7．若和是关于x的方程的两根，且，则b的值是（ ）
A．－3 B．3 C．－5 D．5
8．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（ ）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
9．若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（ ）
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
10．若一元二次方程的解为a、b，则一次函数的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．若x1，x2是方程x2﹣3x＋2＝0的两个根，则x12＋x22＝________．
12．已知a，b是方程的两个实数根，则_________．
13．关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m=__________．
14．已知方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根是x1，x2，则x1+x2＝________，x1 x2＝________，(x1﹣1)(x2﹣1)＝________，x1﹣x2＝________．
15．已知是方程x2+2021x+1＝0的两个根，则_____．
16．设是关于x的方程的两个根，且，则_______．
17．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为____.
18．已知实数，满足条件，，则________．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=11，求k的值．
20．已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为，，且，求m的值．
21．关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1、x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1+x2＝1﹣x1x2，求k的值．
22．关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2．
（1）求m的取值范围．
（2）若2（x1+x2）+ x1x2+10=0．求m的值.
23．阅读理解：
材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”.
材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx +c= 0(a≠0)的两根分别为，，则有，．
问题解决：
（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ；
（2）若，是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根，是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解．求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
（3）若A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．
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