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专题12 四边形与圆
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 已知圆内接四边形求角度
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为( )
A． B． C． D．
【详解】
根据平行四边形的性质可知∠B=∠AOC，
根据圆内接四边形的对角互补可知∠B+∠D=180°，
根据圆周角定理可知∠D=∠AOC，
因此∠B+∠D=∠AOC+∠AOC=180°，
解得∠AOC=120°，
因此∠ADC=60°．
故选C
2．如图，点A，B，C，D四点均在圆O上，∠AOD=68°，AO//DC，则∠B的度数为（ ）
A．40° B．60° C．56° D．68°
【详解】
解：连接AD，
∵∠AOD=68°，OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD=56°，
∵AO∥DC，
∴∠ODC=∠AOD=68°，
∴∠ADC=124°，
∵点A、B、C、D四个点都在⊙O上，
∴∠B=180°-∠ADC=56°，
故选C．
3．如图，四边形内接于，，为中点，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【详解】
∵为中点，
∴,
∴∠ADB=∠ABD，AB=AD，
∵，
∴∠CBD=∠ADB=∠ABD，
∵四边形内接于，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴3∠ADB+60°=180°，
∴=40°，
故选：A．
4．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，则∠ADC的度数是（ ）
A．70° B．110° C．130° D．140°
【详解】
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣70°=110°，
故选：B．
5．如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（ ）
A．125° B．130° C．135° D．140°
【详解】
解：连接OA，OB，OC，
∵，
∴∠BOC=2∠BDC=100°，
∵，
∴∠BOC=∠AOC=100°，
∴∠ABC=∠AOC=50°，
∴∠ADC=180°-∠ABC=130°.
故选B.
考查题型二 求正多边形的中心角
6．若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【详解】
解： 内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，
正n边形的中心角为，
，
n的值为6，
故选：C．
7．若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的中心角是（ ）
A．45° B．60° C．72° D．90°
【详解】
解：因为正多边形的边长与半径相等，所以正多边形为正六边形，因此这个正多边形的中心角为60°．
故选B．
8．正十边形的中心角是（ ）
A．18° B．36° C．72° D．144°
【详解】
正十边形的每个中心角相等，且其和是360°，故一个中心角的度数为：360°÷10=36°
故选：B
9．如图，的内接正六边形的边长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
图，连接OB、OC，
由题意得：，
正六边形是的内接正六边形，
中心角，
又，
是等边三角形，
，
则的长为，
故选：B．
10．如图，螺母的外围可以看作是正六边形ABCDEF，已知这个正六边形的半径是2，则它的周长是（）
A．6 B．12 C．12 D．24
【详解】
解：如图，为正六边形的中心，为正六边形的半径，
为等边三角形，
正六边形ABCDEF的周长为
故选：
考查题型三 已知正多边形的中心角求边数
11．一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是（ ）
A．8 B．12 C．3 D．6
【详解】
解：，解得．
这个正多边形的边数为12．
故选：B．
12．如图，点，，在上，若，，分别是内接正三角形．正方形，正边形的一边，则（ ）
A．9 B．10 C．12 D．15
【详解】
分别连接OB、OA、OC，如图所示
∵是内接正三角形的一边
∴∠BOC=
同理，可得：∠AOB=90°
∴∠AOC=∠BOC ∠AOB=30°
∵是正边形的一边
∴
∴n=12
故选：C．
13．一个半径为3的圆内接正n边形的中心角所对的弧等于，则 n的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【详解】
设圆内接正n边形的中心角的度数为
由弧长公式得：
解得
即圆内接正n边形的中心角的度数为
则
故选：B．
14．设边长为的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为、、，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
如图所示,标上各点，AO为R，OB为r，AB为h，
从图象可以得出AB=AO+OB，即，A正确；
∵三角形为等边三角形，
∴∠CAO=30°，
根据垂径定理可知∠ACO=90°，
∴AO=2OC，即R=2r，B正确；
在Rt△ACO中，利用勾股定理可得：AO2=AC2+OC2，即，
由B中关系可得：，解得，则，
所以C错误，D正确；
故选：C．
15．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【详解】
∵在正六边形ABCDEF中，∠BCD＝＝120°，BC＝CD，
∴∠CBD＝（180°﹣120°）＝30°，
故选A．
考查题型四 正多边形与圆
16．如图，点为正六边形对角线上一点，，，则的值是（ ）
A．20 B．30
C．40 D．随点位置而变化
【详解】
解：连接AC、AD、CF，AD与CF交于点M，可知M是正六边形的中心，
∵多边形是正六边形，
∴AB=BC，∠B=∠BAF= 120°，
∴∠BAC=30°，
∴∠FAC=90°，
同理，∠DCA=∠FDC=∠DFA=90°，
∴四边形ACDF是矩形，
，，
，
故选：B．
17．如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB=2，则的长是（ ）
A．π B．π C．2π D．π
【详解】连接OA、OB，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴AB=BC=DC=AD，
∴，
∴∠AOB=×360°=90°，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：2AO2=（2）2，
解得：AO=2，
∴的长为=π，
故选A．
18．已知圆的半径是，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，等边三角形的边长是2，高为3，因而等边三角形的面积是3，∴正六边形的面积=18，故选C．
19．如图，ABCDEF为⊙O的内接正六边形，AB=a，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【详解】∵正六边形的边长为a，
∴⊙O的半径为a，
∴⊙O的面积为π×a2=πa2，
∵空白正六边形为六个边长为a的正三角形，
∴每个三角形面积为×a×a×sin60°=a2，
∴正六边形面积为6×a2=a2，
∴阴影面积为（πa2﹣a2）×=（﹣）a2，
故选B．
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专题12 四边形与圆
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 已知圆内接四边形求角度
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为( )
A． B． C． D．
2．如图，点A，B，C，D四点均在圆O上，∠AOD=68°，AO//DC，则∠B的度数为（ ）
A．40° B．60° C．56° D．68°
3．如图，四边形内接于，，为中点，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，则∠ADC的度数是（ ）
A．70° B．110° C．130° D．140°
5．如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（ ）
A．125° B．130° C．135° D．140°
考查题型二 求正多边形的中心角
6．若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的中心角是（ ）
A．45° B．60° C．72° D．90°
8．正十边形的中心角是（ ）
A．18° B．36° C．72° D．144°
9．如图，的内接正六边形的边长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，螺母的外围可以看作是正六边形ABCDEF，已知这个正六边形的半径是2，则它的周长是（）
A．6 B．12 C．12 D．24
考查题型三 已知正多边形的中心角求边数
11．一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是（ ）
A．8 B．12 C．3 D．6
12．如图，点，，在上，若，，分别是内接正三角形．正方形，正边形的一边，则（ ）
A．9 B．10 C．12 D．15
13．一个半径为3的圆内接正n边形的中心角所对的弧等于，则 n的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
14．设边长为的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为、、，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
15．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
考查题型四 正多边形与圆
16．如图，点为正六边形对角线上一点，，，则的值是（ ）
A．20 B．30
C．40 D．随点位置而变化
17．如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB=2，则的长是（ ）
A．π B．π C．2π D．π
18．已知圆的半径是，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
19．如图，ABCDEF为⊙O的内接正六边形，AB=a，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
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