数学人教A版（2019）必修第一册5.1.2弧度制 课件（共16张ppt）

(共16张PPT)
弧度制
新课程标准 核心素养
1.掌握弧度与角度的互化，熟悉特殊角的弧度数． 数学运算
2.掌握弧度制中扇形的弧长和面积公式及公式的简单应用． 数学运算
3.根据弧度制与角度制的互化以及弧度制条件下扇形的弧长和面积公式，体会引入弧度制的必要性． 逻辑推理
引入
中国：
一般的民航飞机的飞行高度为8000～10000米。
国际：
飞机正常飞行高度在26000英尺至33000英尺之间。
度量高度可以用米、厘米、英尺、等不同的单位度量;度量重量可以用千克、磅等不同的单位度量;不同的单位制能给解决问题带来方便。
角的度量是否也能用不同的单位制呢？
1.角的度量与角度制：
从开始学习角，我们对角的大小的度量就一直是以度作为单位的，
这种度量角大小的方法，称为角度制。
用来度量角的单位都是“ ”(度)，它的度量依据是，把一个圆周
等分成360份，每一份所对的圆心角的大小称为1度(1 )
角度制有它的弱点，比如，它的进位制是60进位制的，1 =60’，
1’=60”。在实数范围内研究时不太方便
有没有其它度量角大小的更好的方法呢？
2.角的度量与弧度制：
在半径不同的两个同心圆中，比较120 的圆心角所对的弧长的关系.
120
A
B
A'
B'
两个同心圆的圆心记作o，120 的圆心角 所对的两段弧为 ， .
半径大，弧长大；半径小，弧长小.
AB
A'B'
这两个等式的右边不包含半径，表示弧长与半径的比值不依赖于半径，这个比值是一个常数，
且只与圆心角有关.
同一圆心角所对的弧长与其所在圆的半径的比值是一个常数.
这个常数为圆心角的弧度数.这个比值随α的确定而唯一确定．
因此可以用弧长和半径的比值表示圆心角．
当弧长与半径相等时比值为1，此时的圆心角叫做“1弧度的角”，记作:“1rad”
这种以弧度为单位度量角的制度，称作“弧度制”。
根据上述规定：在半径为r的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角为α rad，那么有：
α
l
r
=
用弧度制表示的角是一个实数（比值），按旋转的方向分为
正、负、零，即：正角是一个正数、负角是一个负数、零角是零。
请你说说弧度制与角度制有哪些不同？
第一，弧度制以线段长度来度量角，角度制是“以角量角”；
第二，弧度制是十进制，角度制是六十进制；
第四，无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一
个与半径大小无关的定值，等等
第三，1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角的大小，而1°的角是周角的 ；
3.弧度与角度的换算公式
(1)周角的弧度数是2π，而在角度制下的度数是360°，于是360°＝2π rad，即
π=180°，
1rad= ≈57.3°
1°＝
(2)常用特殊角的弧度数
0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
0 ____ ____ ____ ____ ____ ____ π ____ ____
π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
5π
6
3π
4
3π
2
2π
(3)角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起____________关系：每一个角都有唯一的一个________(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，任一个实数也都有唯一的一个______(即弧度数等于这个实数的角)与它对应
一一对应
实数
角
例1.把下列角度化成弧度：
（1）22°30′； （2）－210°； （3）1 200°
－210°=－210°× =－
π
180
7π
6
1 200°=1 200°× =
π
180
20π
3
π
180
45°
2
×
=
π
8
把下列弧度化成角度：
(1) ； (2) ； (3) ．
(1)
π
12
× =15°
180°
π
(2)－ × =－240°
4π
3
180°
π
(3) × =54°
3π
10
180°
π
用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．
x
y
o
x
y
o
60°
225°
30°
210°
写出与 终边相同的角的集合.
π
4
{β｜β＝45°＋k·360°，k∈Z}
{β｜β＝ ＋2kπ，k∈Z}
π
4
首尾呼应
4.弧度制下的扇形的弧长与面积公式
l= r
α
l=
nπr
180
圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别是 ，
S=
nπr2
360
将n°转换为弧度，
得 ，
S= rl
1
2
S= αr2
1
2
例2．已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解：设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l＋2r＝40，所以l＝40－2r，
2．如果α＝－2，则α的终边所在的象限为(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
－1 125°=－1 440°+315°=－8π+
7π
4
α＝ ＋2kπ，k∈Z
π
3
α
3
＝ ＋ ，k∈Z
π
9
2kπ
3
α
3
0≤ <2π ,
π
9
2kπ
3
＋
0≤ <2π ,
o
5.已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，
那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？
解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R.
所以扇形的中心角是2(π－1) rad.
合( )
360(π－1)
π
扇形面积是(π－1)R2.