7.2.2 定理与证明
导学案
学习目标：
1.掌握公理和定理的概念.
2.感受证明命题的思路和书写格式.
3.提高证明过程的条理性和逻辑性.
学习重难点：
重点：公理、定理的概念.
难点：证明的过程
一、情境导入
如图,小明从A地到B地有①号,②号两条路供选择,小明为了尽快到达不假思索地选择①号,小亮问小明:“为什么不选择另一条 ”答:“因为走①号路节省时间.”“为什么节省时间呢 ”，“因为走直路比走弯路过去来得近”，“为什么会近呢 ”，“在所有连接两点的线中,线段最短。”这是一个不争的事实.
二、知识讲解
1.公理、定理、证明的概念
1.公认的真命题称为公理，除了公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断.
2.演绎推理的过程称为证明，经过证明的真命题称为定理，每个定理都只能用公理定义和已经证明为真的命题来证明.
注意 定理都是真命题，但真命题不一定是定理，只有那些经过推理证明是正确的，具有很大使用价值的真命题才叫做定理.
公理与定理的异同
相同点:①都是真命题;②都可以作为证明其他命题的依据.
不同点:公理的真实性是通过长期实践被证实的，不需要推理证明，而定理的正确性需要经过推理论证.
本套教科书选用九条基本事实（公理）作为证明的出发点和依据，我们已经认识了其中的八条，它们是:
1.两点确定一条直线.
2.两点之间线段最短.
3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行(简述为:同位角相等，两直线平行).
5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
8.三边分别相等的两个三角形全等.
2.证明过程
真命题的一般证明过程如下
(1)根据题设、结论，结合图形写出已知、求证;
(2)经过分析找出由已知推出结论的途径;
(3)写出证明过程，并注明依据.
例如
已知:如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角.
求证: ∠AOC=∠BOD.
证明：∵直线AB与直线CD相交于点O，
∴∠AOB和∠COD都是平角(平角的定义).
∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角(补角的定义).
∴∠AOC=∠BOD (同角的补角相等).
三、例题精讲
1.公理与定理
例1下列说法错误的是( )
A.定理是真命题
B.公理一定不是假命题
C.公理与定理没有区别
D.定义、定理、公理、公式等都是进行推理论证的依据
方法总结
定理都是真命题，但真命题不一定是定理；公理和定理都可以作为判断其它命题的依据.
变式训练
下列命题中，是定理的是( )
①能被3整除的数一定能被6整除;②对顶角相等;③同角的补角相等;④三角形的任意两边之和大于第三边.
A.①②③ B.②③④ C.③④ D.①③④
2.证明的过程
例2 完成定理：“三角形任意两边之和大于第三边”
已知：如图△ABC.
求证：AB+AC＞BC；AB+BC＞AC；BC+AC＞BC；
方法总结
要证明命题是正确的.必须从条件出发，根据定义、公理和学过的定理一步步推理，直到得到结论.一般是“∵……∴……”的形式.
变式训练
已知∠α的余角为∠β，∠β的补角是∠α的4倍，
求证:∠a= ∠B.
深入探究
命题:如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且AD= BE，∠A=∠FED，则△ABC≌△EDF.判断这个命题是真命题还是假命题.如果是真命题，请给出证明;如果是假命题，请添加一个适当的条件使它成为真命题，并加以证明.
我的收获
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________7.2 定义与命题（1）
学习目标：
了解定义、命题、真命题、假命题、定理的含义
会区分命题的条件和结论
一、学习过程：情景引入
自学指导：独立完成下列问题，小组内完成统一（5分钟）
2.如图表示某地的一个灌溉系统 图中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K处均有一化工厂，如果他们向河中处理污水，下游河水便会受到污染。
如果B处水流受到污染，那么____处水流便受到污染;
如果C处水流受到污染，那么____处水流便受到污染；
如果D处水流受到污染，那么____处水流便受到污染；
二、新知学习：自学指导：阅读165页内容，完成下列问题（10分钟）
1.上面“如果……那么……”都是对事情进行判断的句子 _________________________,叫做命题。例如：熊猫没有翅膀. 对顶角相等. 你还须能举出这样的例子吗？
2.举出一些不是命题的句子
3.观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？
（1）如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等。
（2）如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形。
（3）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等。
结论：每个命题都由________和_________两部分组成. ________是已知的事项，_________是由已知事项推断出的事项.
4.下列各命题的条件是什么？结论是什么？
如果两个角相等，那么它们是对顶角。
如果a>b,b>c,那么a=c。
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
全等三角形的面积相等.
上述命题中哪些是正确的？哪些是不正确的？你怎么知道它们是不正确的？ 结论：正确的命题称为________,不正确的命题称为________.
要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为________
三、巩固练习：判断下列句子哪些是命题？
1.动物都需要水 2.猴子是动物的一种 3.玫瑰花是动物 4.美丽的天空
5.三个角对应相等的两个三角形一定全等 6.负数都小于零 7.你的作业做完了吗？8.所有的质数都是奇数 9.过直线l外一点作l的平行线 10.如果a>b, a>c, 那么b=c
6.当n为正整数时，代数式(n2－5n＋5)2的值都等于1吗？
7.如图，从点O出发作出四条射线OA、OB、OC、OD，已知OA⊥OC，OB⊥OD.
(1)若∠BOC＝30°，则∠AOB= °，∠COD= °；
(2)若∠BOC＝54°，则∠AOB= °，∠COD= °
(3)由(1)、(2)你发现了什么？
(4)你能肯定上述的发现吗？
当堂检测
1.下列结论中你能肯定的是（ ）
A.今天下雨，明天必然还下雨
B.三个连续整数的积一定能被6整除
C.小明在数学竞赛中一定能获奖
D.两张相片看起来佷像，则肯定照的是同一个人
2.下列问题用到推理的是（ ）
A.根据a=10，b=10,得到a=b
B.观察得到三角形有三个角
C.老师告诉我们关于金字塔的许多奥秘
D.由经验可知过两点有且只有一条直线
3.顺次连接等腰梯形四边中点，所得到的四边形是 （ ）
A.平行四边形 B.矩形 C.正方形 D.菱形
4.某超级市场失窃，大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走，三个嫌疑犯被警察局传讯，警察局已经掌握了以下事实：①罪犯不在A,B,C三人之外；②C作案时总得有A作从犯；③B不会开车.
在此案中肯定的作案对象是（ ）
A．嫌疑犯A B．嫌疑犯B
C．嫌疑犯C D．嫌疑犯A和C
5.下列命题的条件是什么？结论是什么？
（1）如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等；
条件：
结论：
（2）如果一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形；
条件：
结论：
（3）直角三角形的两锐角互余；
条件：
结论：
（4）两直线平行，同位角相等.
条件：
结论：
6.有红、黄、蓝三个箱子，一个苹果放入其中某个箱子内，并且：
（1）红箱子盖上写着：“苹果在这个箱子里”；
（2）黄箱子盖上写着：“苹果不在这个箱子里”；
（3）蓝箱子盖上写着：“苹果不在红箱子里”；
已知(1),(2),(3)中只有一句是真的，苹果在哪个箱子里？
