13.3.1等腰三角形的判定 课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
13.3.1等腰三角形的判定
人教版八年级上册
知识回顾
等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.
等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）.
等腰三角形有哪些性质？
教学目标
1.掌握等腰三角形的判定方法，并运用其进行证明和计算.
2.掌握等腰三角形相关定理的运用，例如“等边对等角”和“等角对等边”
新知导入
我们知道，等腰三角形的两个底角相等，也就是如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等. 反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
猜想：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边相等
答：相等
接下来就要验证猜想
新知探究
等腰三角形的判定
知识点 1
如图，在△ABC中， ∠B=∠C. 求证：AB=AC.
A
B
C
D
　　证明：过A 点作AD⊥BC，垂足为D.
∴∠ADB = ∠ADC = 90°
　　 在△BAD 和△CAD 中，
∠B =∠C，
∠ADB = ∠ADC = 90°，
AD = AD，
∴ △ABD ≌△ACD ．
∴ AB = AC ．
新知探究
等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.
几何语言：如图，在△ABC中，
∵∠B=∠C，（已知）
∴AB=AC.（ ）
即△ABC为等腰三角形.
A
B
C
注意：应用“等角对等边”的前提条件是在同一个三角形中.
等角对等边
新知典例
例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.
A
B
C
D
E
1
2
已知： 如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．
求证：AB=AC．
证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），
∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠1=∠2，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC（等角对等边）．
课堂练习
1.如图，AC和BD相交于O点，且AB ∥ DC，OA = OB. 求证：OC = OD.
证明：∵OA=OB，
∴∠A=∠B，（ ）
又∵AB∥DC，
∴∠C=∠A=∠D=∠B，
∴OC=OD. （ ）
等边对等角
等角对等边
新知探究
由平行及角平分线识别等腰三角形
知识点 2
例2 已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.
求证：AB=AD.
B
A
D
C
证明：∵ AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC.
∵ BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD.（ ）
总结：平分角+平行=等腰三角形
等角对等边
课堂练习
如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
B
C
A
D
E
解：是
由折叠可知，∠EBD=∠CBD.
∵AD∥BC，∴∠EDB=∠CBD，
∴∠EDB=∠EBD，
∴BE=DE，（ ）
即△EBD是等腰三角形.
等角对等边
注意：折叠也是构成角平分线的一种形式
课堂小结
“角平分线+平行线构成等腰三角形”模型及应用
图2
图3
图4
1
2
1
2
1
2
图1 已知AC∥BD，BC平分∠ABD.等腰三角形为 .
图2 已知AD∥BC，AD平分∠CAE.等腰三角形为 .
△ABC
△ABC
图3 已知ED∥BC，BD平分∠ABC.等腰三角形为 .
△BED
图4 已知ED∥BC，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB.等腰三角形为 .
△BDF和△CEF
新知探究
例3 已知等腰三角形底边长为a,底边上的高的长为h，求作等腰△ABC.使底边BC=a，底边上的高为h.
a
h
作法：
1.作线段AB=a.
2.作线段AB的垂直平分线MN，交AB 于点D.
3.在MN上取一点C，使DC=h.
4.连接AC，BC，则△ABC即为所求.
A
B
C
M
N
D
利用尺规作图作等腰三角形
知识点 3
课堂练习
已知等腰三角形的底边长为a，顶角的平分线长为b，求作这个等腰三角形．
（尺规作图，保留作图痕迹，不用证明）
解：
作图：
①画射线AE，在射线上截取AB＝a，
②作AB的垂直平分线，垂足为O，再截取CO＝b，
③再连接AC、CB，△ABC即为所求．
课堂小测
1．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：
①△BDF和△CEF都是等腰三角形；
②DE＝BD+CE；
③△ADE的周长等于AB与AC的和；
④BF＝CF．
其中正确的有（　　）
A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①
A
课堂小测
2．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，点D、E在AB上，如果BC＝BD，∠CED＝∠CDE，那么图中的等腰三角形共有（　　）个．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
解：∵∠ACB＝90°，∠B＝36°，
∴∠A＝54°，
∵BC＝BD，
∴∠CDB＝∠DCB＝72°，
∴∠ECB＝36°，∠ACE＝54°，
∴CE＝BE，AE＝CE，
∴△BCD，△CDE，△CEB，△ACE都是等腰三角形，
B
课堂小测
3．如图，将一张长方形纸片ABCD按图中方式进行折叠，若AE＝3，AB＝4，BE＝5，则重叠部分的面积是　 　．
10
解：∵长方形纸片ABCD按图中那样折叠
∴∠1＝∠2，
而∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴ED＝EB，
又∵AE＝3，AB＝4，BE＝5，
∴DE＝5，
∴重叠部分△BDE的面积＝
DE×AB＝
×5×4＝10．
课堂小测
4．在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法正确的有 　 　个．
3
课堂小测
5．如图：△ABC的边AB的延长线上有一个点D，过点D作DF⊥AC于F，交BC于E，且BD＝BE，求证：△ABC为等腰三角形．
证明：∵DF⊥AC，
∴∠DFA＝∠EFC＝90°．
∴∠A＝∠DFA﹣∠D，∠C＝∠EFC﹣∠CEF，
∵BD＝BE，
∴∠BED＝∠D．
∵∠BED＝∠CEF，
∴∠D＝∠CEF．
∴∠A＝∠C．
∴△ABC为等腰三角形．
脑筋急转
6．如图，在△ABC中，∠A＝60°．BE，CF交于点P，且分别平分∠ABC，∠ACB．
（1）求∠BPC的度数；
（2）连接EF，求证：△EFP是等腰三角形．
（1）解：∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠ABE＝∠CBE＝
ABC，
∴∠CBE+∠BCF＝
∠ABC+
ACB＝
＝60°，
∴∠BPC＝180°﹣（∠CBE+∠BCF）＝180°﹣60°＝120°；
脑筋急转
6．如图，在△ABC中，∠A＝60°．BE，CF交于点P，且分别平分∠ABC，∠ACB．
（1）求∠BPC的度数；
（2）连接EF，求证：△EFP是等腰三角形．
在△FBP和△QBP中，
∴△FBP≌△QBP（SAS），
∴FP＝QP，∠BFP＝∠BQP，
∵∠A＝60°，∠FPE＝∠BPC＝120°，
∴∠AFP+∠AEP＝360°﹣60°﹣120°＝180°，
∴∠BFP+∠CEP＝180°，
∵∠CQP+∠BQP＝180°，
∴∠CEP＝∠CQP，
在△CQP和△CEP中，
∴△CQP≌△CEP（AAS），
∴EF＝QP，
∵FP＝EP，
∴△EFP是等腰三角形．
证明：在BC上截取BQ＝BF，连接PQ，
课堂总结
等腰
三角形
判定
综合应用
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）
将等腰三角形的性质和判定综合应用在解决实际问题中
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
兼职招聘：
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin