13.3.2等边三角形性质和判定 课件(共30张PPT)

(共30张PPT)
13.3.2等边三角形的性质与判定
人教版八年级上册
知识回顾
等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.
等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）.
问2：等腰三角形有哪些性质？
问1：等腰三角形的定义？
有两边相等的三角形叫等腰三角形
教学目标
1.掌握等边三角形的定义，等边三角形与等腰三角形的关系.
探索等边三角形的性质和判定.
2.探索并掌握等边三角形性质的证明过程，熟练地运用等边三角形的性质解决问题.
新知导入
等边三角形的性质
知识点 1
小明设计一个窗框，他想先用有四根长度分别为10cm，10cm，10cm，6cm的木条，制作一个模型，你能帮他设计出几种形状的三角形？
图1
图2
新知探究
图1
图2
问1：按等腰三角形的定义，图1和图2是否为等腰三角形？
发现：按等腰三角形的定义，虽然它们都是等腰三角形，但图2三角形不只有2条边相等，为了区别，我们将三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
答：图1和图2中都有2条边相等，所以它们都是等腰三角形。
等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形
新知探究
等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形
三角形按边分类：
三角形
不等边三角形
等腰三角形
等边三角形
所以，等边三角形是特殊的等腰三角形，且具有等腰三角形的一切性质。
新知探究
等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等.（等边对等角）
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
等边三角形的性质1：
几何语言：
如图，在△ABC中，
∵AB=BC=AC，
∴∠A=∠B=∠C=60°.
A
B
C
B
新知探究
结论：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
已知：AB=AC=BC ，
求证：∠A= ∠B=∠C= 60°.
证明： ∵AB=AC.
∴∠B=∠C .(等边对等角)
同理 ∠A=∠C .
∴∠A=∠B=∠C.
∵ ∠A+∠B+∠C=180°,
∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 °.
新知探究
等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）.
等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线相互重合.
等边三角形的性质2：
A
B
C
D
E
F
新知探究
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线（底边上的中线、底边上的高）所在的直线.
轴对称性：
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴.
A
B
C
课堂小结
等边三角形的性质1：
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
等边三角形的性质2：
等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线相互重合.
轴对称性：
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴.
新知典例
例1 如图△ABC是等边三角形，BD是角平分线，延长BC至E，使CE＝CD．
求证：△BED是等腰三角形．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BD是角平分线，
∴∠DBC＝ ∠ABC＝30°．（三线合一）
∵CD＝CE，
∴∠E＝∠CDE，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE，
∴∠E＝∠CDE＝ ∠ACB＝30°，
∴∠DBC＝∠E，
∴BD＝DE，
∴△BED是等腰三角形．
课堂练习
1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△CAP和△CBQ都是等边三角形，BQ和CP交于点H，
求证：BQ⊥CP．
证明：∵△CAP和△CBQ都是等边三角形，
∴∠CAP＝∠CBQ＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCP＝∠ACB﹣∠ACP＝30°，
在△BCH中，∠BHC＝180°﹣∠BCH﹣∠CBH＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴BQ⊥CP．
新知探究
等边三角形的判定
知识点 2
图形 等腰三角形
判 定
三个角都相等的三角形是等边三角形
等边三角形
从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形
从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形
三条边都相等的三角形是等边三角形
小明认为还有第三种方法“两条边相等且有一个角是60°的三角形也是等边三角形”，你同意吗？
等边三角形的判定方法：
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
新知探究
判定方法1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
几何语言：如图，在△ABC中，
∵∠A=∠B=∠C,∴△ABC是等边三角形.
A
B
C
思考：如果一个三角形中，有两个60°的角，这个三角形是等边三角形吗？
是，有两个角为60°，第三个角也一定是60°，符合判定1，所以是等边三角形。
新知探究
判定方法2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
几何语言：如图，在△ABC中，AB=AC
∵∠A=60°,∴△ABC是等边三角形.
A
B
C
这个角可以是顶角也可以是底角
课堂总结
判定方法3：三条边都相等的三角形是等边三角形.
A
B
C
几何语言：如图，在△ABC中，
∵AB=CB=AC,∴△ABC是等边三角形.
板书设计
例2 如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB．
求证：△ADE是等边三角形．
证明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
即∠C＝30°．
∵AD⊥AC，AE⊥AB．
∴∠ADC＝∠AEB＝60°，
∴∠ADC＝∠AEB＝∠EAD＝60°，
∴△ADE是等边三角形．
新知典例
例3 如图，已知D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，且BE＝CF，∠BDE＝30°，
求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BED和△CFD都是直角三角形，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC（等角对等边）．
∵∠BDE＝30°，DE⊥AB，
∴∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
课堂练习
2. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，∠A＝60°．
求证：△ABD是等边三角形．
证明：∵AB∥DC，∠A＝60°，
∴∠ADC＝120°，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝ ＝60°＝∠A，
∴△ADB是等边三角形．
当堂小测
1．如图，△ABC是等边三角形，a∥b，若∠1＝32°，则∠2的度数是（　　）
A．64° B．58°
C．32° D．28°
D
当堂小测
2．如图，△ABC中，AB＝BC，∠C＝60°，AD是BC上的高，DE∥AC，图中与BD（BD除外）相等的线段共有（　　）条．
A．1 B．2 C．3 D．4
D
当堂小测
3．如图，在△ABC中，D为AB上一点，AD＝DC＝BC，且∠A＝30°，AD＝5，则AB＝　　．
10
解：∵AD＝DC，
∴∠ACD＝∠A＝30°，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝60°，
∵CD＝CB，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD＝CD，
∴BD＝AD＝5，
∴AB＝AD+BD＝10，
当堂小测
4．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝5，BE平分∠ABD，AE∥BD交BE于E．则△ABE的周长是　 　．
15
解：∵在△ABC中，∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝120°，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE＝60°＝∠DBE，
∵AE∥BD，
∴∠EAB＝∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB+BE+AE＝15，
∴△ABE的周长是15．
当堂小测
5．如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
解：（1）△ODE是等边三角形；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°；
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，
∴△ODE为等边三角形．
脑筋急转
6．如图，点D、E、F分别在等边三角形ABC的边AB、BC、CA的延长线上，且BD＝CE＝AF，
说明△DEF为等边三角形．
解：∵BD＝CE＝AF，
∴BE＝CF＝AD，
∵∠ABC＝∠BCA＝∠CAB＝60°，
∴∠DBE＝∠ECF＝∠FAD＝120°，
∴△AFD≌△BDE（SAS）
∴FD＝DE；
同理△CEF≌△BDE（SAS），
∴EF＝DE，
∴FD＝DE＝EF，
即△DEF为等边三角形．
课堂总结
等边
三角形
定义
性质
三边都相等的三角形
三个内角都相等，并且每一个角都等于60°
每条边上的中线、高和所对角的平分线相互重合
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴
课堂总结
等边三角形的判定
定义法
判定方法1
判定方法2
三边相等的三角形是等边三角形
三个角都相等的三角形是等边三角形
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
谢谢
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