第6章 平行四边形专题攻克试卷(含解析)

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青岛版八年级数学下册第6章平行四边形专题攻克
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的 ( http: / / www.21cnjy.com )位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。www.21-cn-jy.com
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组4位同学拟定的方案，其中正确的是( )21·世纪*教育网
A．测量对角线是否互相平分 B．测量一组对角是否都为直角
C．测量对角线长是否相等 D．测量3个角是否为直角
2、在平行四边形ABCD中，∠A ∶∠ B ∶∠ C ∶∠ D的值可以是（ ）
A．1∶2∶3∶4 B．1∶2∶2∶1 C．2∶2∶1∶1 D．1∶2∶1∶2
3、如图，在给定的正方形中，点从点出发，沿边方向向终点运动， 交于点，以，为邻边构造平行四边形，连接，则的度数的变化情况是（ ）21*cnjy*com
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A．一直减小 B．一直减小后增大 C．一直不变 D．先增大后减小
4、已知点D、E、F分别为各边的中点，若的周长为24cm，则的周长为（ ）．
A．6cm B．12cm C．24cm D．48cm
5、如图，在 ABCD中，点E ( http: / / www.21cnjy.com )在边BC上，连接AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD于点M．AF⊥BC，垂足为F．BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，连接AC、NE.若AE=BN，AN=CE，则下列结论中正确的有（ ）个．【版权所有：21教育】
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①；②是等腰直角三角形；③是等腰直角三角形；④；⑤．
A．1 B．3 C．4 D．5
6、如图，在菱形中，点、分别是、的中点，如果，那么菱形的周长是（ ）
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A．16 B．24 C．28 D．32
7、已知锐角∠AOB，如图．
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（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交射线OB于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P，连接CP，DP；
（3）作射线OP交CD于点Q．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　　）
A．四边形OCPD是菱形 B．CP=2QC
C．∠AOP=∠BOP D．CD⊥OP
8、如图，在△ABC中，点D、E分别是AB ( http: / / www.21cnjy.com )、AC的中点，AC=10，点F是DE上一点．DF＝1．连接AF，CF．若∠AFC＝90°，则BC的长是（　　）
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A．18 B．16 C．14 D．12
9、如图，在中，，于E，DE交AC于点F，M为AF的中点，连接DM，若，则的大小为（ ）．
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A．112° B．108° C．104° D．98°
10、如图，已知在正方形中，厘米，，点在边上，且厘米，如果点P在线段BC上以2厘米／秒的速度由B点向C点运动，同时，点在线段上由点向点运动，设运动时间为t秒，当ΔBPE与ΔCQP全等时，的值为（　　）
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第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、在Rt中，，CD是斜边AB上的中线，已知，，则的周长等于______．
2、中，已知AB＝CD＝4，BC＝6，则当AD＝________时，四边形ABCD是平行四边形．
3、长方形纸片按图中方式折叠，其中为折痕，如果折叠后在一条直线上，那么的大小是________度．
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4、如图， ABCO的顶点A，B，C在⊙O上，若AB＝2，则 ABCO的周长是_______．
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5、如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，连接CE，过点E作，垂足为点F．若，，则正方形ABCD的面积为______．
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三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、在正方形ABCD中，点E是CD边上任意一点．连接AE，过点B作BF⊥AE于F．交AD于H．
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(1)如图1，过点D作DG⊥AE于G，求证：△AFB≌△DGA；
(2)如图2，点E为CD的中点，连接DF，求证：FH+FE＝DF；
(3)如图3，AB＝1，连接EH，点P为EH的中点，在点E从点D运动到点C的过程中，点P随之运动，请直接写出点P运动的路径长．
2、如图，小正方形的边长为1，△ABP的顶点都在格点上，请利用网格作图或计算．
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(1)△ABP的面积为 ；
(2)过点P画直线PM∥AB，且M为格点；
(3)在直线AP上作出点N，使得点N到A、B、P三点的距离之和最小．
3、如图，在矩形ABCD中，
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(1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作对角线BD的垂直平分线EF分别交AD、BC于E、F点，交BD于O点．
(2)在（1）的条件下，求证：AE=CF．
4、下面是小东设计的“利用直角三角形和它的斜边中点作矩形”的尺规作图过程．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O为AC的中点．
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求作：四边形ABCD，使得四边形ABCD是矩形．
作法：①作射线BO，以点O为圆心，OB长为半径画弧，交射线BO于点D；
②连接AD，CD．
四边形ABCD是所求作的矩形．
根据小东设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：∵点O为AC的中点，
∴AO＝CO．
又∵BO＝　 　，
∴四边形ABCD是平行四边形（ 　 　）（填推理的依据）．
∵∠ABC＝90°，
∴□ABCD是矩形（ 　 　）（填推理的依据）．
5、和都是等腰直角三角形，其中，，，点是的中点，且、、三点在一条直线上．
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(1)如图1，点在线段上时，交与点，若，则　　；
(2)如图2，点在内部时，连接，求证；
(3)如图3，点在外部时，点是线段上的一点，连接，，若，，的面积为20，求当最小时，的值．【来源：21cnj*y.co*m】
-参考答案-
一、单选题
1、D
【解析】
【分析】
矩形的判定方法有：（1）有一个角是 ( http: / / www.21cnjy.com )直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；由矩形的判定方法即可求解．
【详解】
解：A、对角线是否互相平分，能判定是否是平行四边形，故不符合题意；
B、测量一组对角是否都为直角，不能判定形状，故不符合题意；
C、测量对角线长是否相等，不能判定形状，故不符合题意；
D、测量3个角是否为直角，若四边形中三个角都为直角，能判定矩形，故符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是矩形的判定、平行四边形的判定等知识；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．21教育名师原创作品
2、D
【解析】
略
3、A
【解析】
【分析】
根据题意，作交的延长线于，证明是的角平分线即可解决问题．
【详解】
解：作交的延长线于，
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∵四边形 是正方形，
∴，
，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵， ，
∴，
∵，．
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的角平分线，
∴点的运动轨迹是的角平分线，
∵，
由图可知，点P从点D开始运动，所以一直减小，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．21世纪教育网版权所有
4、B
【解析】
【分析】
根据三角形中位线的判定和性质解题即可．
【详解】
解：∵D、E、F分别为三边的中点，
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∴DE、DF、EF都是的中位线，
∴，，，
故的周长．
故选：B．
【点睛】
本题考查三角形中位线的判定和性质．掌握三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题关键．
5、C
【解析】
【分析】
证出∠NBF=∠EAF=∠MEC，再证明△NBF≌△EAF（AAS），得出BF=AF，NF=EF，证明△ANB≌△CEA得出∠CAE=∠ABN，推出∠ABF=∠FAC=45°；再证明△ANE≌△ECM得出CM=NE，由NF=NE=MC，得出AF=MC+EC，即可得出结论．2·1·c·n·j·y
【详解】
解：∵BH⊥AE，AF⊥BC，AE⊥EM，
∴∠AEB+∠NBF=∠AEB+∠EAF=∠AEB+∠MEC=90°，
∴∠NBF=∠EAF=∠MEC，
在△NBF和△EAF中，，
∴△NBF≌△EAF（AAS）；
∴BF=AF，NF=EF，
∴∠ABC=45°，∠ENF=45°，
∴△NFE是等腰直角三角形，故③正确；
∵∠ANB=90°+∠EAF，∠CEA=90°+∠MEC，
∴∠ANB=∠CEA，
在△ANB和△CEA中，，
∴△ANB≌△CEA（SAS），故①正确；
∵AN=CE，NF=EF，
∴BF=AF=FC，
又∵AF⊥BC，∠ABC=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，故②正确；
在 ABCD中，CD∥AB，且△ABC、△NFE都是等腰直角三角形，
∴∠ACD=∠BAC=90°，∠ACB=∠FNE=45°，
∴∠ANE=∠BCD=135°，
在△ANE和△ECM中，，
∴△ANE≌△ECM（ASA），故④正确；
∴CM=NE，
又∵NF=NE=MC，
∴AF=MC+EC，
∴AD=BC=2AF=MC+2EC，故⑤错误．
综上，①②③④正确，共4个，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．【出处：21教育名师】
6、D
【解析】
【分析】
根据三角形的中位线定理易得BC=2EF，那么菱形的周长等于4BC
【详解】
解：点、分别是、的中点，，
，
四边形是菱形，
菱形的周长是：．
故选：D．
【点睛】
本题考查三角形的中位线定理和菱形周长，掌握这两个知识点是关键．
7、A
【解析】
【分析】
根据作图信息可以判断出OP平分，由此可以逐一判断即可．
【详解】
解：由作图可知，平分
∴OP垂直平分线段CD
∴∠AOP=∠BOP，CD⊥OP
故选项C，D正确；
由作图可知，
∴是等边三角形，
∴
∵OP垂直平分线段CD
∴
∴CP=2QC
故选项B正确，不符合题意；
由作图可知，,不能确定四边形OCPD是菱形，故选项A符合题意，
故选：A
【点睛】
本题考查了基本作图，解题的关键是熟练掌握作图的依据．
8、D
【解析】
【分析】
根据直角三角形的性质求出EF，进而求出DE，根据三角形中位线定理计算，得到答案．
【详解】
解：∵∠AFC=90°，点E是AC的中点，AC=10，
∴EF=AC=×10=5，
∵DF=1，
∴DE=DF+EF=6，
∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴BC=2DE=12，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是直角三角形的性质、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．21教育网
9、C
【解析】
【分析】
根据平行四边形及垂直的性质可得为直角三角形，再由直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得，由等边对等角及三角形外角的性质得出，根据三角形内角和定理即可得出．21cnjy.com
【详解】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴为直角三角形，
∵M为AF的中点，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】
题目主要考查平行四边形的性质，直角三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形中斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角及三角形外角的性质和三角形内角和定理，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
10、D
【解析】
【分析】
分两种情况讨论：若，则，；若，则厘米，厘米；
【详解】
解：①当点的运动速度与点的运动速度都是2厘米/秒，若，，
∵厘米，厘米，
∴厘米，
∴厘米，
∴运动时间（秒）；
②当点的运动速度与点的运动速度不相等，
∴，
∵，
∴要使与全等，只要厘米，厘米即可．
∴点，运动的时间（秒），
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质以 ( http: / / www.21cnjy.com )及全等三角形的判定，解决问题的关键是掌握：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．解题时注意分类思想的运用．
二、填空题
1、##
【解析】
【分析】
过点作，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，根据等腰三角形的三线合一可得,中位线的性质求得，根据勾股定理求得，继而求得的周长．
【详解】
解：如图，过点作
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在Rt中，，CD是斜边AB上的中线，
为的中点，
又为的中点，则
在中，
的周长等于
故答案为：
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三线合一，中位线的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．2-1-c-n-j-y
2、6
【解析】
略
3、90
【解析】
【分析】
根据折叠的性质，∠1=∠2，∠3=∠4，利用平角，计算∠2+∠3的度数即可．
【详解】
如图，根据折叠的性质，∠1=∠2，∠3=∠4，
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∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴2∠2+2∠3=180°，
∴∠2+∠3=90°，
∴=90°，
故答案为：90．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，两个角的和，熟练掌握折叠的性质，灵活运用两个角的和是解题的关键．
4、8
【解析】
【分析】
证明四边形ABCO是菱形，即可得到周长．
【详解】
解：∵四边形ABCO是平行四边形，OA=OC，
∴四边形ABCO是菱形，
∴ ABCO的周长是，
故答案为：8．
【点睛】
此题考查了菱形的判定及性质定理，圆的半径相等的性质，熟记菱形的判定定理是解题的关键．
5、49
【解析】
【分析】
延长FE交AB于点M，则，，由正方形的性质得，推出是等腰直角三角形，得出，由勾股定理求出CM，故得出BC，由正方形的面积公式即可得出答案．
【详解】
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如图，延长FE交AB于点M，则，，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
∴．
故答案为：49．
【点睛】
本题考查正方形的性质以及勾股定理，掌握正方形的性质是解题的关键．
三、解答题
1、 (1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）由正方形的性质得AB＝AD，∠BAD＝90°，证明∠BAF＝∠ADG，然后由AAS证△AFB≌△DGA即可；
（2）如图2，过点D作DK⊥AE于K，DJ⊥BF交BF的延长线于J，先证△ABH≌△DAE（ASA），得AH＝DE，再证△DJH≌△DKE（AAS），得DJ＝DK，JH＝EK，则四边形DKFJ是正方形，得FK＝FJ＝DK＝DJ，则DF＝,FJ，进而得出结论；
（3）如图3，取AD的中点Q，连接PQ，延长QP交CD于R，过点P作PT⊥CD于T，PK⊥AD于K，设PT＝b，由（2）得△ABH≌△DAE（ASA），则AH＝DE，再由直角三角形斜边上的中线性质得PD＝PH＝PE，然后由等腰三角形的性质得DH＝2DK＝2b，DE＝2DT，则AH＝DE＝1﹣2b，证出PK＝QK，最后证点P在线段QR上运动，进而由等腰直角三角形的性质得QR＝DQ＝．
(1)
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°
∵DG⊥AE，BF⊥AE
∴∠AFB＝∠DGA＝90°
∵∠FAB+∠DAG＝90°，∠DAG+∠ADG＝90°
∴∠BAF＝∠ADG
在△AFB和△DGA中
∵
∴△AFB≌△DGA（AAS）．
(2)
证明：如图2，过点D作DK⊥AE于K，DJ⊥BF交BF的延长线于J
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由题意知∠BAH＝∠ADE＝90°，AB＝AD＝CD
∵BF⊥AE
∴∠AFB＝90°
∵∠DAE+∠EAB＝90°，∠EAB+∠ABH＝90°
∴∠DAE＝∠ABH
在△ABH和△DAE中
∵
∴△ABH≌△DAE（ASA）
∴AH＝DE
∵点E为CD的中点
∴DE＝EC＝ CD
∴AH＝DH
∴DE＝DH
∵DJ⊥BJ，DK⊥AE
∴∠J＝∠DKE＝∠KFJ＝90°
∴四边形DKFJ是矩形
∴∠JDK＝∠ADC＝90°
∴∠JDH＝∠KDE
在△DJH和△DKE中
∵
∴△DJH≌△DKE（AAS）
∴DJ＝DK，JH＝EK
∴四边形DKFJ是正方形
∴FK＝FJ＝DK＝DJ
∴DF＝FJ
∴
∴FH+FE＝FJ﹣HJ+FK+KE＝2FJ＝DF．
(3)
解：如图3，取AD的中点Q，连接PQ，延长QP交CD于R，过点P作PT⊥CD于T，PK⊥AD于K，设PT＝bwww-2-1-cnjy-com
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由（2）得△ABH≌△DAE（ASA）
∴AH＝DE
∵∠EDH＝90°，点P为EH的中点
∴PD＝EH＝PH＝PE
∵PK⊥DH，PT⊥DE
∴∠PKD＝∠KDT＝∠PTD＝90°
∴四边形PTDK是矩形
∴PT＝DK＝b，PK＝DT
∵PH＝PD＝PE，PK⊥DH，PT⊥DE
∴PT是△DEH的中位线
∴DH＝2DK＝2b，DE＝2DT
∴AH＝DE＝1﹣2b
∴PK＝ DE＝﹣b，QK＝DQ﹣DK＝﹣b
∴PK＝QK
∵∠PKQ＝90°
∴△PKQ是等腰直角三角形
∴∠KQP＝45°
∴点P在线段QR上运动，△DQR是等腰直角三角形
∴QR＝DQ＝
∴点P的运动轨迹的长为．
【点睛】
本题考查了三角形全等，正方形的判定与性质，直角三角形斜边的中线，等腰三角形的性质等知识．解题的关键在于对知识的综合灵活运用．21·cn·jy·com
2、 (1)9
(2)见解析
(3)见解析
【解析】
【分析】
（1）用△ABP所在的长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可；
（2）利用平行线的判定画出图形即可；
（3）运用垂线段最短进行解答即可
(1)
解：
(2)
解：如图：直线PM即为所求
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(3)
解：如图：点N即为所求；
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【点睛】
本题主要考查了基本作图、平行线的判定和性质、垂线段最短等知识，掌握数形结合的思想是解答本题的关键
3、 (1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）利用尺规作出图形即可．
（2）利用全等三角形的性质证明即可．
(1)
解：如图，直线EF即为所求作．
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(2)
证明：在矩形ABCD中，AD=BC，∠ADB=∠DBC，
∵EF为BD的垂直平分线，
∴∠EOD=∠FOB=90°，OB=OD，
在△EOD与△FOB中，
，
∴△EOD≌△FOB（ASA），
∴ED=BF，
∴AD-ED=BC-BF，即AE=CF．
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图，线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【来源：21·世纪·教育·网】
4、 (1)补全图形见解析
(2)OD，对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【解析】
【分析】
（1）根据题意画图即可；
（2）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，得到四边形ABCD是矩形，再结合一个角是直角，即可得证．21*cnjy*com
(1)
解：如图，四边形ABCD即为所求．
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(2)
证明：∵点O为AC的中点，
∴AO＝CO．
又∵BO＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∵∠ABC＝90°，
∴ ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
故答案为：OD，对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【点睛】
本题考查矩形的判定、平行四边形的判定，对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．
5、 (1)
(2)见解析；
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据等腰直角三角形的性质可得答案；
（2）在BG上取点H，使GH＝GF，连接AH，CH，由平行四边形的判定与性质得AH＝CF，再根据全等三角形的判定与性质可得结论；
（3）根据平行四边形的判定与性质、全等三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的判定与性质得AE＝HF＝GF GH＝GF BG＝13 10＝3，∠EAC＝∠FHC，再由平行线的性质及三角形面积公式可得答案．
(1)
解：是等腰直角三角形
，
，
，
，
，
，，
，
．
(2)
证明：在上取点，使，连接，，
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，，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
．
(3)
解：在上取点使，连接，，延长交于点，
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，，
四边形为平行四边形，
，
，，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】
此题是三角形综合题目，掌握平行四边形判定与性质、全等三角形的判定与性质是解决此题关键．
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