第6章 平行四边形专项测评试题(含解析)

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青岛版八年级数学下册第6章平行四边形专项测评
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个 ( http: / / www.21cnjy.com )题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。www-2-1-cnjy-com
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、已知锐角∠AOB，如图．
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（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交射线OB于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P，连接CP，DP；
（3）作射线OP交CD于点Q．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　　）
A．四边形OCPD是菱形 B．CP=2QC
C．∠AOP=∠BOP D．CD⊥OP
2、已知菱形两条对角线的长分别为8和10，则这个菱形的面积是（　　　）
A．20 B．40 C．60 D．80
3、在中，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4、如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开,若测得AB的长为3.6km，则M、C两点间的距离为（　　）21*cnjy*com
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A．1.8km B．3.6km C．3km D．2km
5、如图，四边形ABCD是平行四边形，过点 ( http: / / www.21cnjy.com )A作AM⊥BC于点M，交BD于点E，过点C作CN⊥AD于点N，交BD于点F，连接CE，当EA=EC，且点M为BC的中点时，AB：AE的值为（ ）
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A．2 B． C． D．
6、矩形ABCD的对角线交于点O，∠AOD=120°，AO=3，则BC的长度是（　　　）
A．3 B． C． D．6
7、已知：在△ABC中，A ( http: / / www.21cnjy.com )C=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至点F，使得EF=DE，那么四边形AFCD一定是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形
8、如图，在菱形中，，连接，，若，则的长为（　　）
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A． B．8 C． D．16
9、如图，菱形ABCD的对角线AC， ( http: / / www.21cnjy.com )BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA=6，OH=4，则菱形ABCD的面积为（　　）【出处：21教育名师】
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A．24 B．48 C．72 D．96
10、如图，菱形ABCD的 ( http: / / www.21cnjy.com )对角线AC、BD相交于点O，点P是对角线BD上一点，过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别是点E、F，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则PE+PF的长为（　　）
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A． B．3 C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、在平行四边形ABCD中，对角线AC长为8cm，，，则它的面积为______cm2．
2、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．如果∠CBE＝25°，那么∠CDA＝______°．
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3、如图，在平行四边形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是平行四边形ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为 _____．
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4、将两个直角三角板如图放置，其中AB ( http: / / www.21cnjy.com )＝AC，∠BAC＝∠ECD＝90°，∠D＝60°．如果点A是DE的中点，CE与AB交于点F，则∠BFC的度数为 _____°．
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5、如图，在矩形中，，点在边上，联结．如果将沿直线翻折，点恰好落在线段上，那么 的值为_________．
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三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、图①、图②都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，△ABC为格点三角形．请仅用无刻度的直尺在网格中完成下列作图，不写作法
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(1)在图①中，画出△ABC中AB边上的中线CM；
(2)在图②中，画出△ABC中AC边上的高BN，并直接写出△ABC的面积．
2、如图，在四边形中，，，分别是、的中点．
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(1)若，求的长；
(2)求证：．
3、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边AB，AC的中点，BC＝BD，点F在ED的延长线上，且BF//CD．21教育名师原创作品
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(1)求证：四边形CBFD为菱形；
(2)连接CF，与BD相交于点O，若CF＝4，求AC的长．
4、在数学活动课上，老师出示了以下两个问题，请你解答老师提出的问题：
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(1)如图①，在中，，垂足为E，F是CD边上一点，连接EF，BF，若，试判断DF与CF的数量关系，并加以证明．21cnjy.com
(2)如图②，若F是边CD上一点，连接BF，将沿着边BF所在的直线折叠，点C的对应点为，连接并延长交AB于点G，若，试判断DF与CF的数量关系，并加以证明．
5、已知正方形，是的中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．（保留画图痕迹，不写画法）
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(1)在图①中，画，垂足为；
(2)在图②中，画，垂足为．
-参考答案-
一、单选题
1、A
【解析】
【分析】
根据作图信息可以判断出OP平分，由此可以逐一判断即可．
【详解】
解：由作图可知，平分
∴OP垂直平分线段CD
∴∠AOP=∠BOP，CD⊥OP
故选项C，D正确；
由作图可知，
∴是等边三角形，
∴
∵OP垂直平分线段CD
∴
∴CP=2QC
故选项B正确，不符合题意；
由作图可知，,不能确定四边形OCPD是菱形，故选项A符合题意，
故选：A
【点睛】
本题考查了基本作图，解题的关键是熟练掌握作图的依据．
2、B
【解析】
【分析】
根据菱形的面积公式求解即可．
【详解】
解：这个菱形的面积＝×10×8＝40．
故选：B．
【点睛】
本题考查了菱形的面积问题，掌握菱形的面积公式是解题的关键．
3、B
【解析】
【分析】
利用平行四边形的对角相等即可选择正确的选项．
【详解】
解：四边形是平行四边形，
，
，
，
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是记住平行四边形的性质，属于中考基础题．
4、A
【解析】
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可求解．
【详解】
解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵M点是AB的中点，AB＝3.6km，
∴CM＝AB＝1.8km．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查直角三角形斜边上的中线，掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键．
5、B
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质、垂直的定义、平行线的判定定理可以推知AE∥CF；然后由全等三角形的判定定理ASA推知△ADE≌△CBF；最后根据全等三角形的对应边相等知AE=CF，所以对边平行且相等的四边形是平行四边形；连接AC交BF于点O，根据EA=EC推知 ABCD是菱形，根据菱形的邻边相等知AB=BC；然后结合已知条件“M是BC的中点，AM⊥BC”证得△ADE≌△CBF（ASA），所以AE=CF，从而证得△ABC是正三角形；最后在Rt△BCF中，求得CF：BC=，利用等量代换知（AE=CF，AB=BC）AB：AE=．
【详解】
解：连接AC，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD；
∴∠ADE=∠CBD，
∵AD=BC，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE=CF，
又∵AM⊥BC，
∴AM⊥AD；
∵CN⊥AD，
∴AM∥CN，
∴AE∥CF；
∴四边形AECF为平行四边形，
∵EA=EC，
∴ AECF是菱形，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵M是BC的中点，AM⊥BC，
∴AB=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°，∠CBD=30°；
在Rt△BCF中，CF：BC=，
又∵AE=CF，AB=BC，
∴AB：AE=．
故选：B．
【点睛】
本题综合考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质等知识点，证得 ABCD是菱形是解题的难点．21世纪教育网版权所有
6、C
【解析】
【分析】
画出图形，由条件可求得△AOB为等边三角形，则可求得AC的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可求得BC的长．www.21-cn-jy.com
【详解】
解：如下图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OA=AC，OB=BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=2，
∴AC=2OA=4，
∴BC2=AC2-AB2=36-9=27，
∴BC=．
故选：D．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．21·世纪*教育网
7、B
【解析】
【分析】
先证明四边形ADCF是平行四边形，再证明AC=DF即可．
【详解】
解：∵E是AC中点，
∴AE=EC，
∵DE=EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AD=DB，AE=EC，
∴DE=BC，
∴DF=BC，
∵CA=CB，
∴AC=DF，
∴四边形ADCF是矩形；
故选：B．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了矩形的判定、等腰三角形的性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理；熟记对角线相等的平行四边形是矩形是解决问题的关键．【版权所有：21教育】
8、C
【解析】
【分析】
如图，设AC，BD交于O，根据菱形的性质得到AC⊥BD，AC=2AO，OD=BD=4，∠DAO=∠DAB=30°，求得AD=2OD=8，根据勾股定理即可得到结论．21*cnjy*com
【详解】
解：如图，设AC，BD交于O，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC=2AO，OD=BD=4，∠DAO=∠DAB=30°，
∴AD=2OD=8，
∴，
∴AC=2AO=，
故选：C．
【点睛】
此题考查了菱形的性质，掌握菱形的四边相等，对角线互相垂直且平分是解题的关键，
9、B
【解析】
【分析】
由菱形的性质得OA=OC=6， ( http: / / www.21cnjy.com )OB=OD，AC⊥BD，则AC=12，再由直角三角形斜边上的中线性质求出BD的长度，然后由菱形的面积公式求解即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=6，OB=OD，AC⊥BD，
∴AC=12，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD=90°，
∴BD=2OH=2×4=8，
∴菱形ABCD的面积=
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，菱形的面积公式等知识；熟练掌握菱形的性质，求出BD的长是解题的关键．
10、D
【解析】
【分析】
根据菱形的面积以及的长，求得的长，勾股定理求得边长，进而根据菱形的面积等于，即可求得答案．
【详解】
解：∵四边形是菱形
∴，
OA＝4，S菱形ABCD＝24，
即
中，
连接
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PE⊥AB，PF⊥AD，
S菱形ABCD＝24，
故选D
【点睛】
本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
二、填空题
1、20
【解析】
【分析】
根据S ABCD=2S△ABC，所以求S△ABC可得解．作BE⊥AC于E，在直角三角形ABE中求BE从而计算S△ABC．
【详解】
解：如图，过B作BE⊥AC于E．
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在直角三角形ABE中，
∠BAC=30°，AB=5，
∴BE=AB=，
S△ABC=AC BE=10，
∴S ABCD=2S△ABC=20(cm2)．
故答案为：20．
【点睛】
本题综合考查了平行四边形的性质， ( http: / / www.21cnjy.com )含30度的直角三角形的性质等．先求出对角线分成的两个三角形中其中一个的面积，然后再求平行四边形的面积，这样问题就比较简单了．2·1·c·n·j·y
2、130
【解析】
【分析】
由直角三角形斜边中线的性质可得，即可得，由同角的余角相等可得，再根据三角形的内角和定理可求解．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
解：，是边的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：130．
【点睛】
本题主要考查直角三角形斜边上的中线，三角形的内角和定理，解题的关键是求解．
3、2
【解析】
【分析】
延长BF交CD的延长线于H，可证E ( http: / / www.21cnjy.com )F是△BCH的中位线，由中垂线的性质可得BC＝CH＝8，可求DH＝3，由“ASA”可证△ABF≌△GFH，可得AB＝GH＝5，可求解．2-1-c-n-j-y
【详解】
解：如图，延长BF交CD的延长线于H，
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∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝5，AB∥CD，
∴∠H＝∠ABF，
∵EF∥AB，
∴EF∥CD，
∵E是边BC的中点，
∴EF是△BCH的中位线，
∴BF＝FH，
∵∠BFC＝90°，
∴CF⊥BF，
∴CF是BH的中垂线，
∴BC＝CH＝8，
∴DH＝CH﹣CD＝3，
在△ABF和△GHF中，
，
∴△ABF≌△GFH（ASA），
∴AB＝GH＝5，
∴DG＝GH﹣DH＝2，
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．21·cn·jy·com
4、120
【解析】
【分析】
先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AC=AD=AE=DE，由∠D=60°，得到△ACD是等边三角形，那么∠ACD=60°，∠ACF=30°，再由三角形的外角性质可求出∠BFC的度数．
【详解】
解：∵∠DCE=90°，点A是DE的中点，
∴AC=AD=AE=DE，
∵∠D=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴∠ACF=∠DCE-∠ACD=30°，
∵∠FAC=90°，
∴∠BFC=∠FAC+∠ACF=90°+30°=120°
故答案为：120
【点睛】
本题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角和定理等知识，求出∠ACF =30°是解题的关键．
5、
【解析】
【分析】
先根据翻折的性质得出AD′=AD=5，DP=PD′，，然后在Rt△ABF中由勾股定理求出BD′=4，D′C=1，设DP=x，则D′P=x，PC=3-x，在RtCD′P中，由勾股定理求出列方程求出x即可，然后利用三角形的面积公式求出S△ADP和的面积即可．
【详解】
解：∵AB=3，BC=5，
∴DC=3，AD=5，
又∵将△ADP折叠使点D恰好落在BC边上的点D′，
∴AD′=AD=5，DP=PD′，
在Rt△ABD′中，AB=3，AD′=5，
∴BD′==4，
∴D′C=5-4=1，
设DP=x，则D′P=x，PC=3-x，
在Rt△CD′P中，D′P2=D′C2+PC2，即x2=12+（3-x）2，解得x=，
即DP的长为，
∵AD=5，
∴S△ADP=×DP×AD=××5=，=3×5-=，
∴=，
故答案为：．
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【点睛】
本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，也考查了矩形的性质以及勾股定理．
三、解答题
1、 (1)见解析
(2)图见解析，
【解析】
【分析】
（1）连接DE，交AB与点M，由菱形的判定与性质可知M是AB的中点，根据三角形中线的定义即可得到结论；
（2）连接PQ，交AO于点N，由菱形的判定与性质可知N是AO的中点，根据等边三角形的性质，即可知，即可得出结论．
(1)
如图，线段CM即为所求；
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(2)
如图，线段BN即为所求．
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如图可知为边长是3的等边三角形，N为AO的中点．
∴．
∴．
【点睛】
本题考查了作图-应用与设计，等边三角形的性质，菱形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
2、 (1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）直接利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案；
（2）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明 再利用等腰三角形的性质可得结论.
(1)
解： ， 为的中点，
(2)
证明：如图，连接
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， 是的中点，
是的中点，
【点睛】
本题考查的是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的三线合一的性质，掌握“直角三角形斜边上的中线的性质”是解本题的关键.
3、 (1)见解析
(2)AC的长为
【解析】
【分析】
（1）先证四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后证出，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得，，再由等边三角形的性质得，，然后由含角的直角三角形的性质得，，进而得出．
(1)
解：证明：，分别是边，的中点，
是的中位线，
，
，
四边形是平行四边形，
，是边的中点，
，
又，
，
平行四边形为菱形；
(2)
解：连接，交于于，如图，
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由（1）得：四边形为菱形，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定与性质，证出．
4、 (1)，理由见解析
(2)，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）延长AD，BF相交于 ( http: / / www.21cnjy.com )点M，根据等边对等角可得，由垂直及等量代换可得，再由等角对等边及等量代换得出，根据平行四边形的性质及全等三角形的判定可得，由全等三角形的性质即可证明；
（2）延长DG，CB相交于 ( http: / / www.21cnjy.com )点N，根据平行四边形的性质及全等三角形的判定定理可得，由全等三角形的性质及等量代换得出，由翻折的性质可得，，，根据等边对等角得出，利用等量代换得出，根据等角对等边及等量代换即可证明．
(1)
，证明如下：
如图，延长AD，BF相交于点M，
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∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
(2)
，证明如下：
如图所示：延长DG，CB相交于点N，
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∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵折叠到，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
题目主要考查平行四边形的性质，全等三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．21教育网
5、 (1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）连接点P与正方形的对角线的交点，并延长交AB于一点，即为点Q；
（2）连接BD，交AP于点F，连接CF并延长交AD于点E，连接BE交AP于一点即为点H．
(1)
解：如图，即为所求．
． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)
解：连接BD，交AP于点F，连接CF并延长交AD于点E，连接BE交AP于一点即为点H，
∵四边形ABCD是正方形，BD为对角线，
∴∠ADB=∠CDB，AD=CD，
∵DF=DF，
∴△ADF≌△CDF，
∴∠DAF=∠DCF，
∵∠ADP=∠CDE=90°，
∴△ADP≌△CDE，
∴DE=DP，
∴AE=DP，
∵AB=AD，∠BAE=∠ADP=90°，
∴△ABE≌△DAP，
∴∠ABE=∠DAP，
∵∠BAH+∠DAP=90°，
∴∠ABE+∠BAH=90°，
∴∠AHB=90°，即
如图，即为所求．
． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
此题考查了利用正方形的性质作垂线，全等三角形的判定及性质，熟记正方形的性质是解题的关键．
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