第7章 实数专题训练题(含解析)

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青岛版八年级数学下册第7章实数专题训练
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应 ( http: / / www.21cnjy.com )的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。21世纪教育网版权所有
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、比较大小：﹣（ ）﹣．
A．＜ B．＞ C．＝ D．≤
2、下列四个数中，是无理数的为（ ）
A．0 B． C．-2 D．0.5
3、如图1，在数轴对应的点可能是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
4、如图，在中，，点D是AB的中点，连接CD，若，，则CD的长度是（ ）
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A．1.5 B．2 C．2.5 D．5
5、下列各数中，是无理数的是（　　）
A．﹣2 B． C． D．3.14
6、如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A． B． C． D．
7、以下列各组数为三角形的边长，不能构成直角三角形的是( )
A．1、1、 B．5、12、13 C．3、5、7 D．6、8、10
8、如图，在四边形ABCD中，，分别以AB，BC，CD，DA为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲，S乙，S丙，S丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（ ）
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A． B．
C． D．
9、下列计算正确的是（ ）
A．﹣2﹣4＝ B．﹣2m （﹣2n）＝2mn（m＞0，n＞0）
C．（﹣2xy2）3＝﹣6x3y6 D．＝﹣4
10、《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题： ( http: / / www.21cnjy.com )“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？若设折断处离地面x尺，则下面所列方程正确的是（ ）
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A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、若“*”表示一种新运算，它的意义是： ，例，计算____________．
2、如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，点P在AB上运动，则OP的最小值是___．
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3、如图，正方形的边长为3，E是上一点，，连接与相交于点F，过点F作，交于点G，连接，则点E到的距离为_____．【出处：21教育名师】
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4、设一列数，，，，……中任意三个相邻数之和都是50，已知，，则______．
5、如图是由边长为的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从所走的路程为___．
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三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，点D在直线AB上，连接CD，在CD 的右侧作CE⊥CD，CD＝CE．【版权所有：21教育】
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(1)如图1，①点D在AB边上，线段BE和线段AD数量关系是 　 　，位置关系是 　 　；
②直接写出线段AD，BD，DE之间的数量关系 　 　．
(2)如图2，点D在B右侧．AD，BD，DE之间的数量关系是 　 　，若AC＝BC＝2，BD＝1，直接写出DE的长 　 　．21教育名师原创作品
(3)拓展延伸，如图3，∠DCE＝∠DBE＝90，CD＝CE，BC＝，BE＝1，请直接写出线段EC的长．
2、计算：．
3、在平面直角坐标系中，已知点A在第一象限，点B在y轴的正半轴上，BO=a，AO=b，AB=c，且有．
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(1)请判断△ABO的形状，并说明理由；
(2)如图1，AO⊥AC，且AO=AC，点D为OC的中点，BC和AD交于点E，求证：BE=AE+EC；
(3)如图2，P点在点B的上方运动，以AP为边在第一象限内作一个等边△APF，延长FB交x轴于点G，已知点A（，1），求此时BG的长度．21cnjy.com
4、如图，点C在线段BD上，AC⊥BD，CA＝CD，点E在线段CA上，且满足DE＝AB，连接DE并延长交AB于点F．
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(1)求证：DE⊥AB；
(2)若已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，请借助本题提供的图形，用面积法证明勾股定理．
5、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=20，BC=15，CD⊥AB于点D．求：
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(1)的长；
(2)的长．
-参考答案-
一、单选题
1、B
【解析】
【分析】
直接利用负实数比较大小的方法，进而将两数平方比较即可．
【详解】
解：∵（ ）2＝2.1，（ ）2＝＝2.25，
∴2.25＞2.1，
∴ ＞ ．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了实数大小比较，正确将两数平方再比较大小是解题关键．
2、B
【解析】
【分析】
根据无限不循环小数是无理数对各选项进行判断即可．
【详解】
解：A、C、D中均为有理数，不符合题意；
B中为无理数，符合题意，
故选：B．
【点睛】
本题考查了无理数．解题的关键在于理解无理数．
3、C
【解析】
【分析】
直接估算无理数的大小，进而得出答案．
【详解】
解：∵＜＜，
∴3＜＜4，
∴在数轴对应的点可能是C点．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了实数与数轴，正确得出的取值范围是解题关键．
4、C
【解析】
【分析】
先利用勾股定理可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得．
【详解】
解：在中，，，，
，
点是的中点，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．2·1·c·n·j·y
5、B
【解析】
【分析】
根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）得出即可．
【详解】
解：A、-2是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
B、是无理数，故本选项符合题意；
C、是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
D．3.14是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．21*cnjy*com
6、C
【解析】
【分析】
由矩形的性质可得OA=OC=OB=OD=，再由三角形的面积和差关系求解即可.
【详解】
解：∵AB=3，BC=4，
∴矩形ABCD的面积为3×4=12，
BD=AC=，
∴OA=OC=OB=OD=，
∴，
∵，
∴，
∴.
故选：C.
【点睛】
本题考查了矩形的性质，三角形的面积关系，正确理解并掌握矩形的性质是解题的关键.
7、C
【解析】
【分析】
根据勾股定理的逆定理对四个答案进行逐一判断即可．
【详解】
解：A、∵ 12+12=()2 ，∴能构成直角三角形；
B.. ∵ 52+122=132 ，∴能构成直角三角形；
C..：∵ 32+52≠72 ，∴不能构成直角三角形；
D.：∵ 62+82=102 ，∴能构成直角三角形．
故选C.
【点睛】
本题考查的是用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，即若三角形的三边符合a2+b2=c2，则此三角形是直角三角形．21·cn·jy·com
8、D
【解析】
【分析】
连接AC，根据勾股定理可得甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，依此即可求解．
【详解】
解：连接AC，
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由勾股定理得AB2+BC2=AC2，AD2+CD2=AC2，
∴甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明4个正方形的面积之间的关系．
9、D
【解析】
【分析】
分别根据负指数幂，同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方以及立方根的法则计算即可．
【详解】
解：A、，故错误；
B、，故错误；
C、，故错误；
D、，故正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了负指数幂，同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方以及立方根，解题的关键是掌握各自的运算法则．
10、D
【解析】
【分析】
根据题意结合勾股定理列出方程即可．
【详解】
解：设折断处离地面x尺，
根据题意可得：x2+32=（10-x）2，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．
二、填空题
1、-13
【解析】
【分析】
根据新定义列式计算即可．
【详解】
解：∵，
∴
=-15+2
=-13．
故答案为：-13．
【点睛】
本题考查了新定义，以及有理数的四则混合运算，根据新定义列出算式是解答本题的关键．
2、3
【解析】
【分析】
根据“点到直线的最短距离是垂线段的长度”知当时，的值最小．连接，在直角三角形中由勾股定理即可求得的长度．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
解：当时，的值最小，
则，
如图所示，连接，
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在中，，，
则根据勾股定理知，
即的最小值为3，
故答案为：3．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理、垂径定理．解题的关键是注意两点之间，垂线段最短．
3、
【解析】
【分析】
本题首先经过分析可得，由全等三角形的性质和边角关系可得为等腰直角三角形，进而为等腰直角三角形，由勾股定理及等腰直角三角形的性质即可求解．
【详解】
如图，作，连接，
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在正方形ABCD中，，
在和中，
，
，
，，
，
在四边形ABGF中，，
又，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
为等腰直角三角形，
，
，，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，三角形全等，等腰直 ( http: / / www.21cnjy.com )角三角形的判定，勾股定理，直角三角形中锐角三角函数，题目综合性强，理清思路，准确作出辅助线是解题的关键．www.21-cn-jy.com
4、15
【解析】
【分析】
根据题意求出的值，可得（n为正整数），即可求出的值．
【详解】
解：∵一列数，，，，……中任意三个相邻数之和都是50，
∵
则
解得
故答案为：15．
【点睛】
此题考查了与实数运算有关的规律题，解题的关键是能够找出与实数运算有关的规律并求解．
5、
【解析】
【分析】
由图形可知、都是直角边为1、2的直角三角形的斜边，利用勾股定理求解即可得．
【详解】
解：折线分为、两段，
由图形可知，、都是直角边为1、2的直角三角形的斜边，
由勾股定理得：，
则小明沿图中所示的折线从所走的路程为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．
三、解答题
1、 (1)①BE＝AD，BE⊥AD；②AD2+BD2＝DE2
(2)AD2+BD2＝DE2，
(3)
【解析】
【分析】
（1）①证△ACD≌△BCE（SAS），得AD＝BE，∠A＝∠CBE＝45°，则∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，即可得出BE⊥AD；21*cnjy*com
②由①得AD＝BE，∠ABE＝90°，在Rt△BDE中，由勾股定理得BE2+BD2＝DE2，即可得出结论；
（2）连接BE，证△ACD≌△BCE（S ( http: / / www.21cnjy.com )AS），得∠A＝∠CBE＝45°，则∠DBE＝90°，再由勾股定理得BE2+BD2＝DE2，则AD2+BD2＝DE2，进而求解即可；
（3）过C作CA⊥CB交DB于A，证△ACD≌△BCE（ASA），得AD＝BE＝1，AC＝BC，则AB＝BC＝2，再由勾股定理求出DE的长，即可求解．
(1)
解：①∵∠ACB＝90°，BC＝AC，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
∵CE⊥CD，
∴∠DCE＝90°＝∠ACB，
∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD，
即∠ACD＝∠BCE，
∵AC＝BC，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠A＝∠CBE＝45°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，
∴BE⊥AD，
故答案为：BE＝AD，BE⊥AD；
②由①得：AD＝BE，∠ABE＝90°，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2+BD2＝DE2，
∴AD2+BD2＝DE2，
故答案为：AD2+BD2＝DE2；
(2)
解：如图2，连接BE，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
即∠ACD＝∠BCE，
∵AC＝BC，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠A＝∠CBE＝45°，
∵∠A+∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，
∴∠DBE＝90°，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2+BD2＝DE2，
∴AD2+BD2＝DE2，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，
∴AB＝AC＝4，
∴AD＝AB+BD＝4+1＝5，
∴DE＝＝＝，
故答案为：AD2+BD2＝DE2，；
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(3)
解：过C作CA⊥CB交DB于A，设BD与CE相交于点O，如图3所示：
则∠ACB＝90°＝∠DCE，
∴∠DCE﹣∠ACE＝∠ACB﹣∠ACE，
即∠ACD＝∠BCE，
∵∠DCO＝∠EBO＝90°，∠DOC＝∠EOB，
∴∠CDA＝∠CEB，
又∵CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（ASA），
∴AD＝BE＝1，AC＝BC
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵BC＝，
∴AB＝=BC＝2，
∴BD＝AB+AD＝3，
∵∠DBE＝90°，
∴DE＝＝＝，
∴EC＝DE＝．
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【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、等 ( http: / / www.21cnjy.com )腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、等角的余角相等等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，运用类比方法解答是解题的关键．
2、7
【解析】
【分析】
先计算开方和幂的运算，再计算加减即可；
【详解】
解：原式，
．
【点睛】
此题考查的是算术平方根、立方根、绝对值、有理数的乘方，解题的关键是掌握相应的运算法则．
3、 (1)是等边三角形，理由见解析
(2)见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用完全平方公式，可得，从而得到，即可求解；
（2）连接，在上截取，使得，连接，先证得△AOC为等腰直角三角形，可得，，从而得到，进而得到，可得到是等边三角形，可证得，即可求证；
（3）根据，都是等边三角形，可证得，从而得到，进而得到，可得到，再由，可得，然后根据直角三角形的性质，即可求解．
(1)
解：是等边三角形，理由如下：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴是等边三角形；
(2)
解：如图1中，连接，在上截取，使得，连接，
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∵AO⊥AC，且AO=AC，
∴△AOC为等腰直角三角形，
∵点D为OC的中点，
∴，AD=OD=CD，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
(3)
解：∵，都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，
∵，，，
∴．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的判定和性质，直角三角形的性质，坐标与图形，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键．21教育网
4、 (1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）先证明，可得∠BAC=∠CDE，从而得到∠CDE+∠ABC=90°，进而得到∠BFD=90°，即可求证； 21·世纪*教育网
（2）根据，可得DE=AB=c，CE=BC=a，然后设EF=x，则DF=c+x，可得 ，，再由，即可求证．
(1)
证明：∵AC⊥BD，
∴△ABC和△DCE都是直角三角形，
∵CA＝CD，DE＝AB，
∴ ，
∴∠BAC=∠CDE，
∵∠BAC+∠ABC=90°，
∴∠CDE+∠ABC=90°，
∴∠BFD=90°，
∴DE⊥AB；
(2)
解：∵，
∴DE=AB=c，CE=BC=a，
设EF=x，则DF=c+x，
∵DE⊥AB，
∴ ，，
∵，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，证明勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，利用面积法证明勾股定理是解题的关键．2-1-c-n-j-y
5、 (1)CD的长是12；
(2)BD的长为9．
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理求出AB的长，根据三角形的面积公式，代入计算即可求出CD的长；
（2）在Rt△BCD中，直接根据勾股定理可求出BD的长．
(1)
解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=15，AC=20，
由勾股定理可得，AB==25，
∵S△ABC=AC BC=AB CD，
∴AC BC=AB CD，
∵AC=20，BC=15，AB=25，
∴20×15=25CD，
∴CD=12，
∴CD的长是12；
(2)
解：∵CD⊥AB于点D，
∴∠CDB=90°，
在Rt△BCD中，∠CDB=90°，BC=15，CD=12，
由勾股定理可得，BD==9，
∴BD的长为9．
【点睛】
本题考查了勾股定理和三角形的面积公式，掌握直角三角形面积的不同表示方法及勾股定理的综合应用是本题的关键．www-2-1-cnjy-com
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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