第7章 实数同步练习试卷(含解析)

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青岛版八年级数学下册第7章实数同步练习
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目 ( http: / / www.21cnjy.com )指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。21cnjy.com
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、下列各数中，是无理数的是（ ）
A．11 B．2π C．-0.5 D．0
2、下列各数为无理数的是（ ）
A． B． C．－1.232332333 D．
3、如图，在平面直角坐标系中，，，以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴正半轴于点C，点C表示的实数介于（ ）2·1·c·n·j·y
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A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
4、下列命题中假命题是（　　）
A．有一个外角等于120°的等腰三角形是等边三角形
B．等腰三角形的两边长是3和7，则其周长为17
C．一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形
D．直角三角形的三条边的比是3：4：5
5、若，则下列关于的范围正确的是（ ）
A． B． C． D．
6、下列命题是真命题的是（　　）
A．三角形的外角大于与它相邻的内角
B．立方根等于它本身的数是±1
C．两个无理数的和还是无理数
D．大于0且小于π的整数有3个
7、如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D、E分别是边AB、AC上的点，把△ADE沿DE折叠，点A恰好落在BC上的点F处，若点F为BC的中点，则的值是（　　）【来源：21·世纪·教育·网】
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A． B． C． D．
8、下列说法不正确的是（ ）
A．是的一个平方根 B．的立方根是
C．的平方根是 D．的值是
9、下列说法：①如果一个实数的立方根等于它本身，这个数只有0或1；②的算术平方根是；③的立方根是；④的算术平方根是9；其中，不正确的有（ ）2-1-c-n-j-y
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=6，DB=8，AE⊥BC于点E，则AE=（ ）【出处：21教育名师】
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A．6 B．8 C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、若a是的整数部分，b是它的小数部分，则a﹣b＝_____．
2、某户外遮阳棚如图1，其截面结构示意图如图2所示．支撑柱AB⊥地面，AB=120，P是支撑柱AB上一动点，伞杆CP可绕着中点E旋转，CD=CP=40cm，斜拉杆AE可绕点A旋转，AE=CP．若∠APE=30°，则BP=_____cm；伞展开长PD=300cm，若A，C，D在同一直线上，某时太阳光线恰好与地面垂直，则PD落到地面的阴影长为 _____cm．21教育名师原创作品
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3、如图，点A、B在x轴上，点C在y轴的正半轴上，且AC＝BC＝，OC＝1，P为线段AB上一点，则PC 2+PA PB的值为 _____．
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4、a是不为1的数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数为；已知，是的差倒数，是的差倒数，……以此类推，则____________．
5、计算：______．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、按要求解答：
(1)若，求出n的值．
(2)先化简，再求值：，其中
2、如图，△ABC中，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC=45°，∠BAC=60°，D为BC上一点，∠ADC=60°，AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F，AE、CF相交于点G．
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(1)求∠DAC的度数；
(2)求证：DF=FG；
(3)若DC=2，求线段EG的长．
3、在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，P是边AD上一点，将△ABP沿着直线BP翻折得到△A'BP．
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(1)如图1，当A'在BC上时，连接AA'，求AA'的长；
(2)如图2，当AP＝6时，连接A'D，求A'D的长．
4、一个多位自然数分解为末三位与末三位以前的数，让末三位数减去末三位以前的数，所得的差能被7整除，则原多位数一定能被7整除．
(1)判断864192（能/不能）被7整除；
(2)证明任意一个三位以上的自然数都满足上述规律；
(3)一个自然数t可以表示为的形式，（其中p＞q且为正整数），这样的数叫做“平方差数”，在t的所有表示结果中，当最小时，称是t的“平方差分解”，并规定，例如，，，则．已知一个五位自然数，末三位数，末三位以前的数为（其中1≤x≤8，1≤y≤9且为整数），n为“平方差数”，交换这个五位自然数的十位和百位上的数字后所得的新数能被7整除，求的最大值．
5、（1）因式分解：；
（2）计算：
-参考答案-
一、单选题
1、B
【解析】
【分析】
根据无理数的概念进行判断即可得到答案．
【详解】
解：A.11是整数，属于有理数，故选项A不符合题意；
B. 2π是无理数，故选项B符合题意；
C.-0.5是小数，属于有理数，故选项C不符合题意；
D.0是整数，属于有理数，故选项A不符合题意；
故选：B
【点睛】
本题主要考查了无理数的定义：无限不循 ( http: / / www.21cnjy.com )环小数是无理数；我们学习的无理数有三种类型：π，2π等；开方开不尽的数以及0.1010010001 这样有规律的数．
2、B
【解析】
【分析】
我们将无限不循环小数称为无理数，π是无理数．
【详解】
∵π是无理数，且无理数除以2结果还是无理数，
∴是无理数，
故选：B．
【点睛】
本题考查无理数的概念，能够熟练掌握无理数概念是解决本题的关键．
3、B
【解析】
【分析】
先根据点A，B的坐标求出OA，O ( http: / / www.21cnjy.com )B的长度，再根据勾股定理求出AB的长，即可得出OC的长，再比较无理数的大小确定点C表示的实数介于哪个区间即可．
【详解】
解：∵点A，B的坐标分别为，，
∴，，
在中，由勾股定理得：
，
∴ ，
∴，
∴点C的坐标为，
∵即，
∴，
即点C的表示的实数介于2和3之间，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了坐标轴上表示无理数的方法及勾股定理，无理数大小比较的方法，熟练掌握无理数的表示及比较大小的方法是解题关键．
4、D
【解析】
【分析】
根据等边三角形的判定定理，等腰三角形的定义，直角三角形的判定，直角三角形的三边关系，逐项判定，即可求解．
【详解】
解：A、因为该等腰三角形的一个外角 ( http: / / www.21cnjy.com )等于120°，所以它的一个内角等于60°，而有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形，则该选项是真命题，不符合题意；
B、若以3为腰，则等腰三角形的三边长是3、3、7，而 ，不能够够成三角形，则舍去；若以7为腰，则等腰三角形的三边长是3、7、7，则其周长为 ，则该选项是真命题，不符合题意；
C、如图，在三角形ABC中，CD是AB边的中线，且 ，则CD=AD=BD，故∠A=∠ACD，∠B=∠BCD，所以∠A+∠B=∠ACD+∠BCD=∠ACB，所以∠ACB=90°，即三角形ABC是直角三角形，
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则该选项是真命题，不符合题意；
D、例如直角三角形的三条边的长是 ，但不满足三条边的比是3：4：5，则该选项是假命题，符合题意；
故选：D
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的判定定理，等腰 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的定义，直角三角形的判定，直角三角形的三边关系，熟练掌握等边三角形的判定定理，等腰三角形的定义，直角三角形的判定，直角三角形的三边关系是解题的关键．21*cnjy*com
5、C
【解析】
【分析】
因为的平方等于7，，所以．
【详解】
解：∵，且，，，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查无理数的估算，掌握估算无理数的方法是解决本题的关键．
6、D
【解析】
【分析】
根据三角形外角性质可判断A，根据立方根等于它本身列方程，两边立方得，再因式分解得出方程的解可判断B，列举反例可判断C，根据实数范围确定具体的整数，然后查出个数可判断D．
【详解】
A. 三角形的外角大于与任何一个和它不相邻的内角，故选项A不是真命题；
B. 立方根等于它本身的数，，两边立方得，因式分解得，解得x=±1，0，故选项B不是真命题；
C.两个无理数的和不一定是无理数例如2+与-，它们之和是有理数，故选项C不是真命题；
D. 大于0且小于π的整数为1,2,3,共有3个整数，故选项D是真命题．
故选D．
【点睛】
本题考查真假命题的识别，掌握证明需要证明，假命题需举反例是解题关键．
7、D
【解析】
【分析】
过点F作FG⊥BD于点G，设FG=BG=1，BF=，设CE=a，则AE=EF=AC-CE=2-a，根据勾股定理求出a的值，进而可以解决问题．
【详解】
解：如图，过点F作FG⊥BD于点G，
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Rt△ABC中，∠C=90°，
∵AC=BC，
∴∠B=45°，
∵FG⊥BD，
∴∠FGB=90°，
∴∠BFG=45°，
∴FG=BG，
设FG=BG=1，
∴BF=，
∵点F为BC的中点，
∴CF=BF=，
∴AC=BC=2，
设CE=a，则AE=EF=AC-CE=2-a，
在Rt△CEF中，根据勾股定理，得
EF2=CE2+CF2，
∴（2-a）2=a2+（）2，
解得a=，
∴CE=a=，
则．
故选：D．
【点睛】
本题考查了翻折变换，等腰直角三角形，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
8、D
【解析】
【分析】
根据平方根、立方根、算术平方根的定义解答即可．
【详解】
解：A、3是9的一个平方根，选项正确，不符合题意；
B、（－3）3的立方根是－3，选项正确，不符合题意；
C、（－4）2的平方根是±4，选项正确，不符合题意；
D、的值是2，选项错误，符合题意，
故选：D．
【点睛】
本题考查平方根、立方根、算术平方根的定义，理解各自定义并能正确求解是解答的关键．
9、D
【解析】
【分析】
分别根据算术平方根的定义、立方根的定义及平方根的定义对各小题进行逐一判断即可．
【详解】
解：①如果一个实数的立方根等于它本身，这个数有0或1或，所以①错误；
②的算术平方根是，故②错误；
③的立方根是，故③错误；
④的算术平方根是3，故④错误；
所以不正确的有4个．
故选：D．
【点睛】
本题考查了立方根，平方根和算术平方根的定义，熟知算术平方根的定义、立方根的定义及平方根的定义是解答此题的关键．21世纪教育网版权所有
10、C
【解析】
【分析】
利用菱形的性质即可计算得出BC的长，再根据面积法即可得到AE的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，且AC=6，DB=8，
∴CO=AC=3，BO=BD=4，AO⊥BO，
∴BC==5，
∵S菱形ABCD=AC BD=BC AE，
∴AE=，
故选：C．
【点睛】
本题考查了菱形的性质以及勾股定理的运用，关键是掌握菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直平分．21·世纪*教育网
二、填空题
1、##
【解析】
【分析】
先估算出的范围，再求出a、b的值，最后代入求出即可．
【详解】
解：∵2＜＜3，
又∵a是的整数部分，b是它的小数部分，
∴a＝2，b＝﹣2，
∴a﹣b＝2﹣（﹣2）＝4﹣．
故答案为：4﹣．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小和求代数式的值，能估算出的范围是解此题的关键．
2、
【解析】
【分析】
先证明∠PAC=90°，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得AP，即可求得BP的长；在Rt△ACP和Rt△PDA中，利用勾股定理求得AC=35，进一步计算即可求解．【版权所有：21教育】
【详解】
解：连接AC，
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∵AE=CP，点E为CP的中点，
∴AE=PE=CE，
∴∠EAP=∠EPA，∠EAC=∠ECA，
∵∠EAP+∠EPA+∠EAC+∠ECA=180°，
∴∠PAC=90°，
∵∠APE=30°，CP=40cm，
∴AC=CP=20，
∴AP=60，
∴BP=AB- AP=120-60=60(cm)；
设AC=x，
∵A，C，D在同一直线上，
∴AD⊥AB，
在Rt△ACP和Rt△PDA中，
CP2-AC2=PD2-AD2，即(40)2-x2=3002-(40)2，
解得：x=35，
∴AD=35=75(cm)，
太阳光线恰好与地面垂直，则PD落到地面的阴影长为(cm)；
故答案为：；．
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【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
3、5
【解析】
【分析】
由勾股定理可求AO＝BO＝2，设点P（x，0），由勾股定理和两点之间距离公式可求解．
【详解】
解：∵AC＝BC＝，OC＝1，
∴AO＝BO＝＝＝2，
设点P（x，0），则PA＝x+2，PB＝2﹣x，PC2= x2+1，
∴PC2+PA PB＝x2+1+（x+2）（2﹣x）＝5，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了勾股定理，坐标与图形性质，利用点的坐标表示线段的长是解题的关键．
4、
【解析】
【分析】
根据题目中的新定义，可以求得a1＝3时的a2，a3，a4，从而发现数字的变化特点，进而可以求得a2018的值．
【详解】
解：由题意可得
故答案为：．
【点睛】
本题考查数字的变化类、倒数的计算问题，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出相应项的数据．【来源：21cnj*y.co*m】
5、6
【解析】
【分析】
应用负整数指数幂和开平方运算的法则即可求解．
【详解】
解：
=
=6
故答案为：6
【点睛】
考查了负整数指数幂、算术平方根的运算法则，熟练掌握运算法则是正确解答的关键．
三、解答题
1、 (1)
(2)，
【解析】
【分析】
（1）利用幂的乘方的逆运算将原等式化为，根据提公因式法得到，由此得到，求出n值；
（2）将原式根据完全平方公式及平方差公式去括号，再合并同类项，最后根据算术平方根的非负性及偶次方的非负性得到x、y的值代入计算即可．21*cnjy*com
(1)
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
(2)
解：
；
∵，
∴，
∴，，
当，，原式．
【点睛】
此题考查了计算能力，整式混合运算法则， ( http: / / www.21cnjy.com )正确掌握整式混合运算的法则、运算顺序以及幂的乘方的逆运算法则、算术平方根的非负性及偶次方的非负性是解题的关键．
2、 (1)
(2)见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）由三角形外角性质可求出的大小，从而即可求出的值；
（2）根据题意易证为等腰直角三角形，即得出．由，，可证，即可利用“”证明，即得出；
（3）根据含角的直角三角形的性质结合勾股定理可求出，，即得出．再次利用含角的直角三角形的性质即可求出的长．　
在中，，，
∴．
(1)
∵，
∴，
∴．
(2)
∵，且，
∴，，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴；
(3)
在中，，，
∴，
∴．
在中，
∴．
在中，，，
∴．
【点睛】
本题考查三角形外角性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，含角的直角三角形的性质以及勾股定理．利用数形结合的思想是解题的关键．www-2-1-cnjy-com
3、 (1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得，再利用勾股定理，即可求解；
（2）过点作于点M，延长交BC于点N，可得AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥BC，，AD=BC=10，再设，则，，在和中，根据勾股定理可得，，从而得到，，进而得到，再由勾股定理，即可求解．
(1)
解：根据题意得：，
∴ ；
(2)
解：如图，过点作于点M，延长交BC于点N，
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根据题意得：AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥BC，，AD=BC=10，
∴DP=4，
∵，
∴MN⊥BC，
∴MN=AB=8，AM=BN，
设，则，，
在中，由勾股定理得
，即，
在中，由勾股定理得
，即，
由①②联立得：，
把代入②得：或（舍去），
∴，，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了图形的折叠，勾股定理，熟练掌握图形折叠前后对应角相等，对应边相等是解题的关键．
4、 (1)能
(2)见解析
(3)的最大值为130
【解析】
【分析】
（1）理解定义，末三位数减去末三位以前的数，所得的差能被7整除是解题的关键；
（2）再利用参数思想和方程思想即可求证．
（3）先确定的取值范围，题干里要求把百位数字和十位数字对调，所以的范围要分段去进行讨论．再结合方程求解得出的值，再根据定义去求出的最大值．21·cn·jy·com
(1)
解：证明：864192的末三位数为192，末三位以前的数为864，
，
，
能被7整除，
故答案为：能．
(2)
解：证明：设这个多位数的末三位数为，末三位以前的数为，
则这个多位数可表示为，
根据题意得，为整数），
，
则，
可以被7整除，
可以被7整除，
任意一个三位以上的自然数都满足这个规律．
(3)
解：，，
①当时，的百位数字为5，十位数字为，个位数字为2，
调换百位数字和十位数字后所得的新数为，
根据题意可以被7整除，
整理得能被7整除，
能被7整除，
只需能被7整除即可
解得或或或，
，
或52或33或84，
根据题意，此时，
，此时，
，，此时，
，，此时，
当时，最大为106．
②当时，的百位数字为6，十位数字为，个位数字为2，
调换百位数字和十位数字后所得的新数为，
根据题意可以被7整除，
整理得可以被7整除，
可以被7整除，
只需能被7整除即可，
解得或或或或，
，
或36或87或68或39．
根据题意，，此时，
，此时，
，，此时，
，此时，
，，
当时，的最大值为130，
综上，的最大值为130．
【点睛】
此题主要考查了新定义，数的整除，实数的运算， ( http: / / www.21cnjy.com )解题的关键在于将一个代数式进行分组再分别讨论能否被7整除，结合了方程思想，分类讨论思想，综合性较强．21教育网
5、（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）先提取公因式4，再利用完全平方公式分解因式；
（2）根据负整数指数幂、零指数幂、二次根式的性质及整数指数幂定义分别计算，再计算加减法．
【详解】
解：（1）
=
=；
（2）计算：
=
=．
【点睛】
此题考查了计算能力，实数的混合运算，正确掌握提公因式的方法及负整数指数幂、零指数幂、二次根式的性质及整数指数幂的计算法则是解题的关键．www.21-cn-jy.com
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