4.6 利用相似三角形测高 教案

[初中数学]
《利用相似三角形测高》
一、教材分析
(1.1)教材地位和作用：
本节课的内容是《探索三角形相似的条件》之后的复习与应用，它将生活中一些无法直接测量物体高度的实际问题转化为数学问题，利用学生已有的相似三角形的知识采用不同的方法给予解决。通过对此问题的解决方案的探究，巩固相似三角形的判定和定义性质，渗透数形结合和建模的思想，从而提高学生解决实际问题的能力，增强应用意识。
(1.2)教学目标
根据数学课程标准的要求和教学内容的特点，及学生的认知水平，确定本节课的教学目标如下：
（1）知识目标：通过测量旗杆的高度，综合运用三角形相似的判定定理和相似三角形的定义解决问题，加深对相似三角形的理解和认识。
（2）能力目标：通过设计测量旗杆高度的方案，学会由实物图形抽象成几何的方法，加强数形结合和建模的思想，提高解决实际问题的能力。
（3）情感目标：通过探索学习，体会数学来源于生活，又服务于生活，激发学习数学的兴趣。
(1.3)教学重点，难点
根据以上的教材分析和教学目标剖析，我确定：
（1）重点：理解用不同方法构造相似三角形测高的原理。
（2）难点：1、如何在操作步骤中发掘三角形相似的条件。(如：利用太阳光是
平行光线得到同位角相等；利用直立得到直角；利用镜面反射得到反射角=入射角；)
2、没有相似三角形时如何构造相似三角形（例如：标杆测量法）
二、学法分析
(2.1)学情分析
（1）学生的知识技能基础：学生在前面几节课中，学习了相似三角形的判定和性质，初步理解了相似三角形的特征，掌握了两个三角形相似的条件，具备解决实际问题的基本知识。
（2）学生活动经验基础：学生在相关知识的学习过程和实际生活中，已经经历了一些测量活动，解决过一些简单的实际问题，获得了一些数学活动经验。
(2.2)学法指导
倡导“问题探究法、自主学习法、合作探究法”，使学生逐步养成善于观察，乐于思考，勇于表达，勤于动手，的学习习惯。
三、教法分析
在教学中，不仅要使学生“知其然”，而且要使学生“知其所以然”。因此，采用引导发现、启发讨论相结合的教学方法，教师通过精心设置的一个个问题链，激发学生的求知欲，使学生在教师的引导下，通过自主探索，合作交流，展示说明等方式进行学习，让学生积极参与其中。
在教学过程中争取体现：
（1）通过贴近生活的例子，对旧知识的变式作为引入
（2）通过设计问题链，化难为易
（3）以学生为主体，调动学生的积极性，师生互动多
（4）引导一题多解，变式训练，培养优生的思维能力
（5）注重数学方法的归纳
四、教学过程
（4.1）课前小测，回顾旧知
内容：课前小测
1、如图，添加条件 ，则ABC～ADE。
2、定义：三角分别相等,三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
如图，可推出△ABC∽△ADE
（边的关系）
设计意图：通过两道小测，带学生分别回顾相似三角形的判定、定义性质，为新课的学习做好铺垫。
（4.2）创设问题，导入新课
问题1：对于难以直接测量的长度，你之前学过怎样的方法？
问题2：学校的旗杆有多高？你能利用学过的知识测量它吗？
教师点拨：
例如：之前曾做过题目：求池塘两点之间的距离。我们当时介绍测量的方法是：在鱼塘外面的空地上找一个点，通过构造全等三角形的方法，测得ED的长度就是池塘两点的距离。但假如：池塘两点之间的距离AB很大很大时，为了方便测量，我们可以如何优化方法呢？由此引出：当所测的长度难以测量时，我们可利用相似三角形对应边成比例的原理，来进行测量。引入新课。
设计意图：用已经接触过的情景入手，承上启下，过渡自然，化难为易，又可以让学生快速明确
本节课的重点：测高的原理是利用相似三角形对应边成比例的性质。
（4.3）探究例题，感悟新知
例题（一）：利用“阳光下的影子”来测量旗杆的高度（方法一）
（1）如图，太阳光下，小亮直立于旗杆影子的顶端，小亮的影子是_______，旗杆的影子是______；
（2）小亮直立于旗杆影子的顶端处，测得小亮的影子长是3米，旗杆的影子长是9米，小亮的高度是1.7米，求出旗杆的高。
教师点拨：
① 太阳离我们很远，所以太阳发出的光，我们可以看作是平行光
② 旗杆与地面垂直（常识），小亮直立底面，也即小亮垂直底面。
③ 变式训练（根据人不同的站法）
例题（二）：利用“镜子的反射”来测量旗杆的高度（方法二）
如图，在离旗杆底端D点6m处的E点放一个平面镜，小明沿DE退到B点，正好从镜子中看到旗杆顶端C，若BE=2m，小明的眼睛离地面的距离为1.6m，请你帮助小明计算一下旗杆的高度。
教师点拨：
① 物理知识：镜面反射，有“入射角=反射角”，进而推出∠AEB=∠CED。给出规范的书写表达。
② 用眼睛去对准位置的，所以测量的应该是眼睛离地面的距离。
例题（三）：利用“标杆”来测量旗杆的高度（方法三）
如图，在小明与旗杆之间的地面上直立一根2米的标杆EF，小明适当调整自己的位置使得旗杆的顶端A、旗杆的顶端F与眼睛D恰好在一条直线上，量得小明的眼睛离地面的高CD为1.6米，小明脚到标杆底端的距离CE为0.5米，小明脚到旗杆底端的距离CB为8米。请你根据数据求旗杆的高度。
教师点拨：（突破难点）
① 引导学生回顾例题（一）（二）测高的原理：利用相似三角形，从而想到构造相似三角形。
② 如何添加辅助线，能构造相似三角形？法一：过点D作DG⊥AB，交EF于H；法二：延长AD与地面交于点G。法三：过点D作DG⊥AB，过F点作FH⊥AB；等等
③ 构造出相似三角形后，引导学生通过对应边成比例列式来检验：在已知数据下能否求得旗杆的高度。即检验各种辅助线方法的可行性。
④ 操作时为什么要A、F、D三点共线？不共线就构造不了相似三角形。怎样操作才共线？用眼睛去对准，使看到旗杆顶端与标杆顶端是重合的。因此DC用的是眼睛到地面的距离1.6米而不是人的高度1.7米。
设计意图：
通过测量旗杆的高度的三种不同的方法，综合运用三角形相似的判定定理和相似三角形的定义解决问题，发展应用意识，加深学生对相似三角形的理解和认识。
（4.4）课堂总结，知识升华
内容1：上述三种方法，你认为各有哪些优缺点？
教师点拨：
①从测量所需要的工具与测量数据来看：选“影子”，只需要本人，而且可以少测量一个数据-身高。
②从测量所需要的空间大小来看：选“标杆”，利用空间相对少一些。
③从计算的难易程度来说：选“影子”或者“镜子”，因为“标杆法”的数学模型找不到直接的相似三角形，需要作辅助线。
内容2：课堂归纳小结
方法点拨：
原理 操作过程
测高 相似三角形的性质（各边成比例）如： （知三边求一边） 构造相似三角形（分点用图归纳）
设计意图：归纳小结能帮助学生回顾梳理思路，使得对本节课有个系统全面的认识。
（4.5）巩固练习，应用新知
（1）如图，高4 m的旗杆在水平地面上的影子长6 m，此时测得附近一个建筑物的影子长24 m，则该建筑物的高度是 。
（2）小明欲测量一古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与古塔的影子的顶端重叠，此时他距离古塔18m，已知小明的身高是1.6m，他的影长为2m，则古塔的高度为 .
（3）小红想测量教学楼前的一棵树的高度，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图示），她先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面上的影长为2.6m，请你帮她算一下树高是多少？
设计意图：学以致用，通过由浅入深的题目，让学生体会利用三角形相似的判定定理和相似三角形的定义解决问题的思路，加深对本节课的理解。
五、教学寄语
数学源于生活，又服务于生活，如果你无悔于数学，那数学就可以助你到达胜利的彼岸。
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