山东省青岛市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
1．（2022高二下·青岛期末）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高二下·青岛期末）已知随机变量X服从正态分布，则（ ）
附：，，．
A．0.84135 B．0.97725 C．0.99865 D．0.15865
3．（2022高二下·青岛期末）在2 h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减.下面能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022高二下·青岛期末）函数与函数的图象（ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线对称
5．（2022高二下·青岛期末）已知，，，，，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022高二下·青岛期末）已知函数，曲线与直线有且仅有一个交点，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022高二下·青岛期末）已知，且，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．（2022高二下·青岛期末）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022高二下·青岛期末）已知某足球运动员每次定点射门的命中率为0.5，则下述正确的是（ ）
A．若共进行10次射门，则命中次数的数学期望等于5
B．若共进行10次射门，则命中5次的概率最大
C．若共进行5次射门，则命中次数的方差等于1
D．若共进行5次射门，则至少有两次命中的概率为
10．（2022高二下·青岛期末）非空集合关于运算满足：对于任意的、，都有，则称集合关于运算为“回归集”．下列集合关于运算为“回归集”的是（ ）
A．为，为自然数的减法
B．为，为有理数的乘法
C．为，为实数的加法
D．已知全集，集合，为，为实数的乘法
11．（2022高二下·青岛期末）关于以正方体的顶点为顶点的几何体，下述正确的是（ ）
A．若几何体为正四面体，则只有1个
B．若几何体为三棱柱，则共有12个
C．若几何体为四棱锥，则共有48个
D．若几何体为三棱锥，则共有58个
12．（2022高二下·青岛期末）已知是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意a，都满足，则下述正确的是（ ）
A． B．
C．是奇函数 D．若，则
13．（2022高二下·青岛期末）二项式 展开式中的常数项为 。（用数字作答）
14．（2022高二下·青岛期末） ．（用数字作答）
15．（2022高二下·青岛期末）设函数的定义域为R，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是 ．
16．（2022高二下·青岛期末）某同学在参加某游戏活动中遇到一道单选题目完全不会做，他随机蒙了A，B，C，D选项中的A选项，主持人告诉他B和C选项不对，此时，若他仍坚持选A，则其选对的概率为 ；若他改选D选项，则其选对的概率为 ．
17．（2022高二下·青岛期末）某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径．已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制作商能制作的瓶子的最大半径为6cm．
（1）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
（2）瓶子的半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
（3）假设每瓶饮料的利润不为负值，求瓶子的半径的取值范围．
18．（2022高二下·青岛期末）某市某次数学文化测试（满分为100分），现随机抽取1000名学生的成绩进行分析，其频率分布直方图如图所示．
（1）以样本估计总体，估计本次测试平均分（结果四舍五入保留整数）；
（2）本次考试分数的前20%为优秀等级，请估计优秀等级的最低分数（精确到0.1）；
（3）若用比例分配的分层抽样方法在分数段为的学生中抽取5人，再从这5人中任取2人，求这2人中至多有1人在分数段内的概率．
19．（2022高二下·青岛期末）某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取100件产品作为样本称出它们的质量（单位：毫克），质量值落在的产品为合格品，否则为不合格品．统计数据如下面列联表：
甲流水线 乙流水线 总计
合格品 92 96 188
不合格品 8 4 12
总计 100 100 200
（1）依据的独立性检验，能否认为产品的包装合格与流水线的选择有关联？
附：，其中．
临界值表：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（2）从抽取的200件产品中随机任取两件，记“这两件产品中至少一件为合格品”为事件B，记“这两件产品均来自甲流水线”为事件A，求；
（3）公司工程师抽取几组一小时生产的产品数据进行不合格品情况检查分析，在x（单位：百件）件产品中，得到不合格品数量y（单位：件）的情况汇总如下表所示：
（百件） 1 4 7 8 10
（件） 2 14 24 35 40
求y关于x的经验回归方程，并预测一小时生产2000件时的合格品数（精确到1）．
附：；．
20．（2022高二下·青岛期末）已知函数．
（1）讨论的单调区间；
（2）若，求a．
21．（2022高二下·青岛期末）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代…，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的，且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，．
（1）已知，，，，求；
（2）设表示该生物临近灭绝的概率，当时，证明：p是关于x的方程的最小正实根．
22．（2022高二下·青岛期末）已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若，当时，函数有极小值，求a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由题意得，，，则.
故答案为：B.
【分析】 先求出集合A和B，再进行交集运算即可得答案.
2．【答案】A
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为随机变量X服从正态分布，
所以，，
所以，
故答案为：A
【分析】根据随机变量X服从正态分布，利用3δ原则求解出答案.
3．【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：在在2 h内，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且为增函数，排除A，D，
停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，排除C．
能反映血液中药物含量随时间变化的图象是B．
故答案为：B．
【分析】 根据在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减即可得出答案.
4．【答案】C
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：在同一坐标系中，作出函数与函数的图象，如图所示：
由图象知：函数与函数的图象关于原点对称，
故答案为：C
【分析】 由题意，利用指数函数的图象和性质，函数图象的对称性，得出答案.
5．【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为，故，即，故求解有，即，又，解得.故
故答案为：D
【分析】 由题意，利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性和特殊点，求得实数a的取值范围 .
6．【答案】A
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】解：令，
，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，当且仅当时，取等号，
所以当时，函数只有一个零点，
即当时，曲线与直线有且仅有一个交点，
所以当时，曲线与直线没有交点，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用导数可得直线 为曲线y=f(x)在x=1处的切线，问题转化为y=kx(x≤0)与直线无交点，由此可得实数k的取值范围.
7．【答案】B
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】因为，
令，可得，
令，可得，
所以，
若为奇数，则，解得，符合；
若为偶数，则，无整数解，不符合，
综上，.
故答案为：B.
【分析】令，可得，令，可得，对n分奇偶讨论求解出n的值.
8．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】构造函数，则，
在上恒成立，则在上单调递减，故，则，
，则，
由对于函数，恒成立，
所以， 即在上恒成立.
所以，（注： ）
所以，
故答案为：C
【分析】 构造函数得出a， b大小，又c<0即得出答案.
9．【答案】A,B
【知识点】二项分布
【解析】【解答】设表示运动员命中次数为次，由题意可知，随机变量服从二项分布，若进行10次射门，则，
，若进行5次射门，则，
；
对于A，由二项分布期望公式得数学期望为，A符合题意；
由二项式系数性质知中最大，则命中5次的概率最大，B符合题意；
对于C，由二项分布方差公式知，命中次数的方差等于，C不符合题意；
对于D，至少命中两次的概率，D不符合题意.
故答案为：AB.
【分析】由题意可知，随机变量服从二项分布，利用二项分布的性质逐项进行判断，可得答案.
10．【答案】B,C
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】对于A选项，若，为自然数的减法，则，A不满足条件；
对于B选项，若，对任意的、，则，B满足条件；
对于C选项，若，对任意的、，则，C满足条件；
对于D选项，已知全集，集合，，取，，
则，D不满足条件.
故答案为：BC.
【分析】结合实数的运算以及特殊值法逐项进行判断，可得答案.
11．【答案】B,C,D
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征
【解析】【解答】对于A，如图四面体， 均为正四面体，所以A不符合题意；
对于B，在正方体中，以正方体的顶点为顶点的三棱柱有三棱柱，，，共12个，所以B符合题意；
对于C，在正方体中，四点共面的情况有六个表面和六个对角面共12种情况，以每个面作为底面，其余的四个点中的任意一个点为顶点可构成四棱锥，所以共有个，所以C符合题意；
对于D，在正方体中的8个顶点中任取4个点有种，其中四点共面的有六个表面和六个对角面共12种情况，所以共有70-12=58个三棱锥，所以D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】根据正方体的性质和棱柱、棱锥的定义，结合计数原理和组合数进行分析计算，可得答案.
12．【答案】A,C,D
【知识点】函数的奇偶性；函数的值
【解析】【解答】令，则，A符合题意；
令，则，则，B不符合题意；
令，则，所以，
又令，则，
所以是奇函数，C符合题意；
令，则，
所以，D符合题意；
故答案为：ACD
【分析】 对a， b取特殊值，代入已知表达式，逐项进行判断，即可得答案.
13．【答案】240
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】在二项式 中，
通项公式得 ，由12﹣3r＝0，得r＝4，
∴常数项为 .
故答案为：240．
【分析】根据二项式定理，写出二项展开式的通项，即可求出特定项的系数.
14．【答案】1
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】
.
故答案为：1
【分析】 利用对数换底公式、运算法则直接求解出答案.
15．【答案】
【知识点】函数的图象；二次函数的性质
【解析】【解答】因，则，又当时，，
当时，，，
当时，由，解得或，
当时，，，
显然，当时，，如图，
对任意，都有，必有，
所以m的取值范围是.
故答案为：
【分析】 作出函数在(0， 2]上的图象，求出函数在(1， 2]上的解析式，令此时的，求出两根，结合图象即可求出 m的取值范围 .
16．【答案】；
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】由题意得：选A符合题意的概率，
B和C选项不对，则选A、D符合题意的概率为1，
所以在B和C选项不对，即选A、D符合题意的概率为1的前提下，选A符合题意的概率，
若他改选D选项，则其选对的概率为.
故答案为：，
【分析】先求得选A正确的概率，再求得B和C选项不对，即选A、D正确的概率为1，根据条件概率的求法，可得他仍坚持选A，则其选对的概率，进而可得改选D，求出选对的概率.
17．【答案】（1）解：由题知：每瓶饮料的利润为：
，，
所以，
令，解得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
又，
所以，当时，每瓶饮料的利润最大；
（2）解：由（1）知：当时，每瓶饮料的利润最小；
（3）解：由，
解得，
故所求瓶子的半径取值范围是.
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【分析】(1)由题意可得每瓶饮料的利润是 ， 利用导数的正负可得函数f (r)的单调性，进而求出f (r)最大时r的值；
(2)由(1)中函数f (r)的单调性可求出f(r)最小时r的值；
(3)令f(r)≥0求出r的取值范围即可得瓶子的半径的取值范围．
18．【答案】（1）解：由题意，平均分为：；
（2）解：优秀等级最低分约为样本数据的80%分位数，
80分以下的学生所占的比例为，
90分以下的学生所占的比例为，
所以，80%分位数一定位于内 ，
由
可以估计 优秀等级最低分约为82.5；
（3）解：用分层抽样的方法在分数段为 的学生中抽取一个容量为5的样本，
则分数段中抽取的学生数为：人，
分数段中抽取的学生数为：人，
则从5人中任意抽取2人的样本空间的样本点个数为，
记事件“这2人中至多有1人在分数段内”为C，
记事件“这2人中有1人在分数段内”为，
记事件“这2人中没有人在分数段内”为，则，且与互斥，
所以.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图求出平均数；
(2)由题意可得优秀等级最低分约为样本数据的80%分位数，从而确定80%分位数一定位于[80， 90)内，求解即可得优秀等级的最低分数；
(3)分求出分数段在[60， 70)， [70， 80)中抽取的学生数，再求2人中至多有1人在分数段[60， 70)内的概率.
19．【答案】（1）解：根据列联表可得
依据的独立性检验，不能认为产品的包装合格与装流水线的选择有关联
（2）解：解：由题知：
（3）解：由已知可得：，，
，
，
所以，
所以，
当（百件）时，件
所以估计一小时生产2000件时的不合格品数约为83件
【知识点】线性回归方程；独立性检验的基本思想；条件概率与独立事件
【解析】【分析】(1)由列联表计算出卡方，即可判断出不能认为产品的包装合格与装流水线的选择有关联；
(2)利用条件概率及古典概型的概率公式计算可得 的值；
(3)由所给数据求出， ，， 即可求出，从而得到回归直线方程，再令x=20，即可预测 一小时生产2000件时的合格品数 .
20．【答案】（1）解：因为，若，则，在上单调递增
若，令，解得.
当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增.
（2）解：若，则在上单调递增，且，所以，当时，，不合题意.
若，结合（1）可知，所以，即，令，，则，
当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，所以.
综上：.
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)由题意可得 ，据此分类讨论a≤0和a >0两种情况即可确定 的单调区间；
(2)由(1)知，若a≤0，不合题意；若a > 0，求导，可得 的单调性，求出a=1，从而确定实数a的值.
21．【答案】（1）解：由题知：，
（2）解：因为
所以，p是方程的正实根
令，则
令，所以当时，
所以在区间上单调递增
又因为，
当时，
所以存在，使得
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增；
又因为，
所以在上存在唯一零点，
综上，所以p是方程的最小正实根
【知识点】利用导数研究函数的单调性；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】 (1)由题意利用数学期望的计算公式进行计算即可得 ；
(2)由题意构造函数 ，利用导数研究函数的单调性，然后结合零点存在定理即可证得 p是方程的最小正实根 .
22．【答案】（1）解：由题知：，
令，解得，
当时，；当时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为
（2）解：
由（1）知：在上单调递增，
所以
（i）当，即时，，
所以，则
令，所以，
令，得；令，得；
所以在区间单调递减，在区间单调递增；
又因为，，所以；
所以在上单调递减，无极值
（ii）当，即时，，
所以，则，
令，所以，
因为，所以
①当，即时，则，
所以在区间单调递增，所以
所以在上单调递增，无极值
②当，即时，
令，得，
所以当时，，在区间单调递减；
当时，，在区间单调递增；
又因为，，
所以存在使得
所以在上单调递减，在上单调递增
所以在上有极小值
（iii）当时，因为在上单调递增，且，，
所以存在使得，
所以当时，；当时，，
所以函数，
所以，
设，则，
所以在上单调递减
所以，即当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在上有极小值，
综上，a的取值范围是
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】 (1) 由题知：， 据此讨论函数的符号即可确定 的单调区间；
(2) ，由(1)知： f (x)在[1， e]上单调递增，所以 ，据此分类讨论求解实数a的取值范围.
1 / 1山东省青岛市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
1．（2022高二下·青岛期末）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由题意得，，，则.
故答案为：B.
【分析】 先求出集合A和B，再进行交集运算即可得答案.
2．（2022高二下·青岛期末）已知随机变量X服从正态分布，则（ ）
附：，，．
A．0.84135 B．0.97725 C．0.99865 D．0.15865
【答案】A
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为随机变量X服从正态分布，
所以，，
所以，
故答案为：A
【分析】根据随机变量X服从正态分布，利用3δ原则求解出答案.
3．（2022高二下·青岛期末）在2 h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减.下面能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：在在2 h内，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且为增函数，排除A，D，
停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，排除C．
能反映血液中药物含量随时间变化的图象是B．
故答案为：B．
【分析】 根据在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减即可得出答案.
4．（2022高二下·青岛期末）函数与函数的图象（ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线对称
【答案】C
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：在同一坐标系中，作出函数与函数的图象，如图所示：
由图象知：函数与函数的图象关于原点对称，
故答案为：C
【分析】 由题意，利用指数函数的图象和性质，函数图象的对称性，得出答案.
5．（2022高二下·青岛期末）已知，，，，，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为，故，即，故求解有，即，又，解得.故
故答案为：D
【分析】 由题意，利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性和特殊点，求得实数a的取值范围 .
6．（2022高二下·青岛期末）已知函数，曲线与直线有且仅有一个交点，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】解：令，
，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，当且仅当时，取等号，
所以当时，函数只有一个零点，
即当时，曲线与直线有且仅有一个交点，
所以当时，曲线与直线没有交点，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用导数可得直线 为曲线y=f(x)在x=1处的切线，问题转化为y=kx(x≤0)与直线无交点，由此可得实数k的取值范围.
7．（2022高二下·青岛期末）已知，且，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】因为，
令，可得，
令，可得，
所以，
若为奇数，则，解得，符合；
若为偶数，则，无整数解，不符合，
综上，.
故答案为：B.
【分析】令，可得，令，可得，对n分奇偶讨论求解出n的值.
8．（2022高二下·青岛期末）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】构造函数，则，
在上恒成立，则在上单调递减，故，则，
，则，
由对于函数，恒成立，
所以， 即在上恒成立.
所以，（注： ）
所以，
故答案为：C
【分析】 构造函数得出a， b大小，又c<0即得出答案.
9．（2022高二下·青岛期末）已知某足球运动员每次定点射门的命中率为0.5，则下述正确的是（ ）
A．若共进行10次射门，则命中次数的数学期望等于5
B．若共进行10次射门，则命中5次的概率最大
C．若共进行5次射门，则命中次数的方差等于1
D．若共进行5次射门，则至少有两次命中的概率为
【答案】A,B
【知识点】二项分布
【解析】【解答】设表示运动员命中次数为次，由题意可知，随机变量服从二项分布，若进行10次射门，则，
，若进行5次射门，则，
；
对于A，由二项分布期望公式得数学期望为，A符合题意；
由二项式系数性质知中最大，则命中5次的概率最大，B符合题意；
对于C，由二项分布方差公式知，命中次数的方差等于，C不符合题意；
对于D，至少命中两次的概率，D不符合题意.
故答案为：AB.
【分析】由题意可知，随机变量服从二项分布，利用二项分布的性质逐项进行判断，可得答案.
10．（2022高二下·青岛期末）非空集合关于运算满足：对于任意的、，都有，则称集合关于运算为“回归集”．下列集合关于运算为“回归集”的是（ ）
A．为，为自然数的减法
B．为，为有理数的乘法
C．为，为实数的加法
D．已知全集，集合，为，为实数的乘法
【答案】B,C
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】对于A选项，若，为自然数的减法，则，A不满足条件；
对于B选项，若，对任意的、，则，B满足条件；
对于C选项，若，对任意的、，则，C满足条件；
对于D选项，已知全集，集合，，取，，
则，D不满足条件.
故答案为：BC.
【分析】结合实数的运算以及特殊值法逐项进行判断，可得答案.
11．（2022高二下·青岛期末）关于以正方体的顶点为顶点的几何体，下述正确的是（ ）
A．若几何体为正四面体，则只有1个
B．若几何体为三棱柱，则共有12个
C．若几何体为四棱锥，则共有48个
D．若几何体为三棱锥，则共有58个
【答案】B,C,D
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征
【解析】【解答】对于A，如图四面体， 均为正四面体，所以A不符合题意；
对于B，在正方体中，以正方体的顶点为顶点的三棱柱有三棱柱，，，共12个，所以B符合题意；
对于C，在正方体中，四点共面的情况有六个表面和六个对角面共12种情况，以每个面作为底面，其余的四个点中的任意一个点为顶点可构成四棱锥，所以共有个，所以C符合题意；
对于D，在正方体中的8个顶点中任取4个点有种，其中四点共面的有六个表面和六个对角面共12种情况，所以共有70-12=58个三棱锥，所以D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】根据正方体的性质和棱柱、棱锥的定义，结合计数原理和组合数进行分析计算，可得答案.
12．（2022高二下·青岛期末）已知是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意a，都满足，则下述正确的是（ ）
A． B．
C．是奇函数 D．若，则
【答案】A,C,D
【知识点】函数的奇偶性；函数的值
【解析】【解答】令，则，A符合题意；
令，则，则，B不符合题意；
令，则，所以，
又令，则，
所以是奇函数，C符合题意；
令，则，
所以，D符合题意；
故答案为：ACD
【分析】 对a， b取特殊值，代入已知表达式，逐项进行判断，即可得答案.
13．（2022高二下·青岛期末）二项式 展开式中的常数项为 。（用数字作答）
【答案】240
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】在二项式 中，
通项公式得 ，由12﹣3r＝0，得r＝4，
∴常数项为 .
故答案为：240．
【分析】根据二项式定理，写出二项展开式的通项，即可求出特定项的系数.
14．（2022高二下·青岛期末） ．（用数字作答）
【答案】1
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】
.
故答案为：1
【分析】 利用对数换底公式、运算法则直接求解出答案.
15．（2022高二下·青岛期末）设函数的定义域为R，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】函数的图象；二次函数的性质
【解析】【解答】因，则，又当时，，
当时，，，
当时，由，解得或，
当时，，，
显然，当时，，如图，
对任意，都有，必有，
所以m的取值范围是.
故答案为：
【分析】 作出函数在(0， 2]上的图象，求出函数在(1， 2]上的解析式，令此时的，求出两根，结合图象即可求出 m的取值范围 .
16．（2022高二下·青岛期末）某同学在参加某游戏活动中遇到一道单选题目完全不会做，他随机蒙了A，B，C，D选项中的A选项，主持人告诉他B和C选项不对，此时，若他仍坚持选A，则其选对的概率为 ；若他改选D选项，则其选对的概率为 ．
【答案】；
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】由题意得：选A符合题意的概率，
B和C选项不对，则选A、D符合题意的概率为1，
所以在B和C选项不对，即选A、D符合题意的概率为1的前提下，选A符合题意的概率，
若他改选D选项，则其选对的概率为.
故答案为：，
【分析】先求得选A正确的概率，再求得B和C选项不对，即选A、D正确的概率为1，根据条件概率的求法，可得他仍坚持选A，则其选对的概率，进而可得改选D，求出选对的概率.
17．（2022高二下·青岛期末）某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径．已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制作商能制作的瓶子的最大半径为6cm．
（1）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
（2）瓶子的半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
（3）假设每瓶饮料的利润不为负值，求瓶子的半径的取值范围．
【答案】（1）解：由题知：每瓶饮料的利润为：
，，
所以，
令，解得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
又，
所以，当时，每瓶饮料的利润最大；
（2）解：由（1）知：当时，每瓶饮料的利润最小；
（3）解：由，
解得，
故所求瓶子的半径取值范围是.
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【分析】(1)由题意可得每瓶饮料的利润是 ， 利用导数的正负可得函数f (r)的单调性，进而求出f (r)最大时r的值；
(2)由(1)中函数f (r)的单调性可求出f(r)最小时r的值；
(3)令f(r)≥0求出r的取值范围即可得瓶子的半径的取值范围．
18．（2022高二下·青岛期末）某市某次数学文化测试（满分为100分），现随机抽取1000名学生的成绩进行分析，其频率分布直方图如图所示．
（1）以样本估计总体，估计本次测试平均分（结果四舍五入保留整数）；
（2）本次考试分数的前20%为优秀等级，请估计优秀等级的最低分数（精确到0.1）；
（3）若用比例分配的分层抽样方法在分数段为的学生中抽取5人，再从这5人中任取2人，求这2人中至多有1人在分数段内的概率．
【答案】（1）解：由题意，平均分为：；
（2）解：优秀等级最低分约为样本数据的80%分位数，
80分以下的学生所占的比例为，
90分以下的学生所占的比例为，
所以，80%分位数一定位于内 ，
由
可以估计 优秀等级最低分约为82.5；
（3）解：用分层抽样的方法在分数段为 的学生中抽取一个容量为5的样本，
则分数段中抽取的学生数为：人，
分数段中抽取的学生数为：人，
则从5人中任意抽取2人的样本空间的样本点个数为，
记事件“这2人中至多有1人在分数段内”为C，
记事件“这2人中有1人在分数段内”为，
记事件“这2人中没有人在分数段内”为，则，且与互斥，
所以.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图求出平均数；
(2)由题意可得优秀等级最低分约为样本数据的80%分位数，从而确定80%分位数一定位于[80， 90)内，求解即可得优秀等级的最低分数；
(3)分求出分数段在[60， 70)， [70， 80)中抽取的学生数，再求2人中至多有1人在分数段[60， 70)内的概率.
19．（2022高二下·青岛期末）某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取100件产品作为样本称出它们的质量（单位：毫克），质量值落在的产品为合格品，否则为不合格品．统计数据如下面列联表：
甲流水线 乙流水线 总计
合格品 92 96 188
不合格品 8 4 12
总计 100 100 200
（1）依据的独立性检验，能否认为产品的包装合格与流水线的选择有关联？
附：，其中．
临界值表：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（2）从抽取的200件产品中随机任取两件，记“这两件产品中至少一件为合格品”为事件B，记“这两件产品均来自甲流水线”为事件A，求；
（3）公司工程师抽取几组一小时生产的产品数据进行不合格品情况检查分析，在x（单位：百件）件产品中，得到不合格品数量y（单位：件）的情况汇总如下表所示：
（百件） 1 4 7 8 10
（件） 2 14 24 35 40
求y关于x的经验回归方程，并预测一小时生产2000件时的合格品数（精确到1）．
附：；．
【答案】（1）解：根据列联表可得
依据的独立性检验，不能认为产品的包装合格与装流水线的选择有关联
（2）解：解：由题知：
（3）解：由已知可得：，，
，
，
所以，
所以，
当（百件）时，件
所以估计一小时生产2000件时的不合格品数约为83件
【知识点】线性回归方程；独立性检验的基本思想；条件概率与独立事件
【解析】【分析】(1)由列联表计算出卡方，即可判断出不能认为产品的包装合格与装流水线的选择有关联；
(2)利用条件概率及古典概型的概率公式计算可得 的值；
(3)由所给数据求出， ，， 即可求出，从而得到回归直线方程，再令x=20，即可预测 一小时生产2000件时的合格品数 .
20．（2022高二下·青岛期末）已知函数．
（1）讨论的单调区间；
（2）若，求a．
【答案】（1）解：因为，若，则，在上单调递增
若，令，解得.
当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增.
（2）解：若，则在上单调递增，且，所以，当时，，不合题意.
若，结合（1）可知，所以，即，令，，则，
当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，所以.
综上：.
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)由题意可得 ，据此分类讨论a≤0和a >0两种情况即可确定 的单调区间；
(2)由(1)知，若a≤0，不合题意；若a > 0，求导，可得 的单调性，求出a=1，从而确定实数a的值.
21．（2022高二下·青岛期末）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代…，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的，且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，．
（1）已知，，，，求；
（2）设表示该生物临近灭绝的概率，当时，证明：p是关于x的方程的最小正实根．
【答案】（1）解：由题知：，
（2）解：因为
所以，p是方程的正实根
令，则
令，所以当时，
所以在区间上单调递增
又因为，
当时，
所以存在，使得
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增；
又因为，
所以在上存在唯一零点，
综上，所以p是方程的最小正实根
【知识点】利用导数研究函数的单调性；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】 (1)由题意利用数学期望的计算公式进行计算即可得 ；
(2)由题意构造函数 ，利用导数研究函数的单调性，然后结合零点存在定理即可证得 p是方程的最小正实根 .
22．（2022高二下·青岛期末）已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若，当时，函数有极小值，求a的取值范围．
【答案】（1）解：由题知：，
令，解得，
当时，；当时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为
（2）解：
由（1）知：在上单调递增，
所以
（i）当，即时，，
所以，则
令，所以，
令，得；令，得；
所以在区间单调递减，在区间单调递增；
又因为，，所以；
所以在上单调递减，无极值
（ii）当，即时，，
所以，则，
令，所以，
因为，所以
①当，即时，则，
所以在区间单调递增，所以
所以在上单调递增，无极值
②当，即时，
令，得，
所以当时，，在区间单调递减；
当时，，在区间单调递增；
又因为，，
所以存在使得
所以在上单调递减，在上单调递增
所以在上有极小值
（iii）当时，因为在上单调递增，且，，
所以存在使得，
所以当时，；当时，，
所以函数，
所以，
设，则，
所以在上单调递减
所以，即当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在上有极小值，
综上，a的取值范围是
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】 (1) 由题知：， 据此讨论函数的符号即可确定 的单调区间；
(2) ，由(1)知： f (x)在[1， e]上单调递增，所以 ，据此分类讨论求解实数a的取值范围.
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