综合测试三答案
选择题
1.答案D 2. [答案] C 3. [答案] B 4. [答案] A 5. [答案] B
6. [答案] A 7. [答案] D 8. [答案] C 9. [答案] A 10. [答案] C
二.填空题
11. [答案] 12. [答案] －3 13. [答案]
14. [答案] y＝x＋1 15. [答案] 4
[解析] 设球的半径为r，根据题意可得8πr2＋3×πr3＝6πr3，解得r＝4.
三.解答题
16. [解析] 解：由得
即反射点M的坐标为(－1,2)．
又取直线x－2y＋5＝0上一点P(－5,0)，设点P关于直线l的对称点为P′(x0，y0)．
由PP′的中点Q的坐标为，
又Q点在l上，∴3×－2×＋7＝0.
联立解得
即P′点坐标为.
反射光线过M(－1,2)和P′.
根据直线的两点式方程，可得
反射光线所在的方程为29x－2y＋33＝0.
17. [解析]令过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0交点的圆系方程为：
x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ(2x＋y＋4)＝0，
即x2＋y2＋2(1＋λ)x－(4－λ)y＋1＋4λ＝0.
r＝
＝.当λ＝时，rmin＝，
所求方程为2＋2＝.
18. [解析] 如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.
因为平行四边形的对角线互相平分，
故＝，＝，
从而
N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
因此所求轨迹为圆(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但应除去两点：和(点P在OM所在直线上时的情况)
19. [解析] (1)由于三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱锥，则
AA1⊥平面ABC，∵BC?平面ABC，∴AA1⊥BC.而AA1∩AB＝A，只需BC⊥平面A1ABB1，即AB⊥BC，就有“平面A1BC⊥平面A1ABB1”．
在平行四边形ACDE中，
∵AE＝2，AC＝4，∠E＝60°.
过点B作BH垂直AC于H，则BH＝.
若AB⊥BC，有BH2＝AH×CH，∵AC＝4，∴AH＝1或3.
两种情况下，B为ED的中点或与点D重合．
(2)三棱柱ABC—A1B1C1全面积等于侧面积与两个底面积之和．
显然其底面积和平面ACC1A1的面积为定值，只需保证侧面ABB1A1和侧面B1C1CB面积之和最小即可．
过点B作BF垂直AC于F，则BF＝.
令AF＝x，则侧面ABB1A1和侧面B1C1CB面积之和等于4×(AB＋BC)＝4[＋]．
其中＋表示动点(x,0)到定点(0，－)和(4，)的距离之和，当且仅当x＝2时取得最小值．
所以三棱柱的全面积的最小值为
2×＋42＋4×2
＝4＋8＋16.
20. [解析] (1)∵各小组的频率之和为1.00，第一、三、四、五小组的频率分布别是0.30,0.15,0.10,0.05.
∴第二小组的频率为：
1．00－(0.30＋0.15＋0.10＋0.05)＝0.40.
∴落在59.5～69.5的第二小组的小长方形的高＝＝＝0.04，则补全的频率分布直方图如图所示．
(2)设九年级两个班参赛的学生人数为x人．
∵第二小组的频数为40人，频率为0.40，
∴＝0.40，解得x＝100.
所以这两个班参赛的学生人数为100人．
(3)因为0.3×100＝30,0.4×100＝40,0.15×100＝15，0.10×100＝10,0.05×100＝5，
即第一、第二、第三、第四、第五小组的频数分别为30,40,15,10,5，所以九年级两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第二小组内．
21. [解析] 解法一：(1)由已知可得CC1＝3，CE＝C1F＝＝2，EF2＝AB2＋(AE－BF)2，EF＝C1E＝＝，于是有EF2＋C1E2＝C1F2，CE2＋C1E2＝CC，
所以C1E⊥EF，C1E⊥CE.
又EF∩CE＝E，所以C1E⊥平面CEF.
又CF?平面CEF，故CF⊥C1E.
(2)在△CEF中，由(1)可得EF＝CF＝，CE＝2，
于是有EF2＋CF2＝CE2，所以CF⊥EF，
又由(1)知CF⊥C1E，且EF∩C1E＝E，
所以CF⊥平面C1EF.
又C1F?平面C1EF，故CF⊥C1F.
于是∠EFC1即为二面角E－CF－C1的平面角，
由(1)知△C1EF是等腰直角三角形，所以∠EFC1＝45°，即所求二面角E－CF－C1的大小为45°.
高一数学必修2.3综合测试(三)
一.选择题
1．执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，
则P的取值范围是 （ ）
A、 B、
C、 D、
1．过直线y＝x上的一点作圆(x－5)2＋(y－1)2＝2的两条切线l1、l2，当直线l1、l2关于y＝x对称时，它们之间的夹角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
3.期中考试后，班长算出了全班40名同学的数学成绩的平均分为M.如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数加在一起，算出这41个分数的平均值为N，那么M:N为( )
A．40:41 B．1:1 C．41:40 D．2:1
4.对任意实数λ，直线l1：x＋λy－m－λn＝0与圆C：x2＋y2＝r2总相交于两不同点，则直线l2：mx＋ny＝r2与圆C的位置关系是( )
A．相离 B．相交
C．相切 D．不能确定
5.已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB＝CD＝2.则四面体ABCD的体积的最大值为( )
A. B.
C．2 D.
6.a、b为不重合的直线，α，β为不重合的平面，给出下列4个命题：
①a∥α且a∥b?b∥α； ②a⊥α且a⊥b?b∥α；
③a⊥α且a⊥b?b⊥α； ④a⊥β且α⊥β?a∥α.
其中正确命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
7.在区间[0,10]内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间[0,10]内的概率是( )
A. B. C. D.
8.已知k∈Z，＝(k,1)，＝(2,4)，若||≤，则△ABC是直角三角形的概率是( )
A. B.
C. D.
9.点P(m－n，－m)到直线＋＝1的距离等于( )
A. B.
C. D.
10.棱长都为2的直平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，∠BAD＝60°，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成角的正弦值为( )
A. B.
C. D.
二.填空题
11. 将直线l：x＋2y－1＝0向左平移3个单位，再向上平移2个单位后得到直线l′，则直线l与l′之间的距离为____．
12. 若点P(m,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离为4，且点P在不等式2x＋y<3表示的平面区域内，则m＝________.
13. 6．(2011·浙江文，8)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )
14.在一次实验中，测得(x，y)的四组值分别是A(1,2)，B(2,3)，C(3,4)，D(4,5)，则y与x之间的回归直线方程为( )
15.圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如下图所示)，则球的半径是________cm.
三.解答题
16.光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．
17. 求过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点且面积最小的圆的方程．
18. 设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作?MONP，求点P的轨迹．
19.如下图，侧棱垂直于底面的三棱柱ABC—A1B1C1的底面ABC位于平行四边形ACDE中，AE＝2，AC＝AA1＝4，∠E＝60°，点B在线段DE上．
(1)当点B在何处时，平面A1BC⊥平面A1ABB1；
(2)点B在线段DE上运动的过程中，求三棱柱ABC—A1B1C1全面积最小值．
20.在育民中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级两个班参赛的学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05，第二小组的频数是40.
(1)求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
(2)求这两个班参赛的学生人数是多少？
(3)这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第几小组内？
21.如下图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，点E在侧棱AA1上，点F在侧棱BB1上，且AE＝2，BF＝.
(1)求证：CF⊥C1E；
(2)求二面角E－CF－C1的大小
