初中数学苏科版七年级上册6.4-6.5 同步练习
一、单选题
1．（2021七上·东台期末）如图， ， ，表示点 到直线 距离的是线段（ ）的长度
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵ED⊥AB，
∴点D到直线AB距离的是线段DE的长度.
故答案为：B.
【分析】点到直线的距离，即过这一点做目标直线的垂线，由这一点至垂足的距离，据此解答.
2．（2020七上·扬州期末）点P为直线外一点，点A、B在直线l上，若PA=4cm，PB=5cm，则点P到直线l的距离是（ ）
A．4cm B．小于4cm C．不大于4cm D．5cm
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】依据垂线段最短，∵P为直线外一点，点A、B在直线l上，若PA=4cm，PB=5cm，∴点P到直线l的距离不大于4cm，故答案为C.
【分析】依据点到直线的距离垂线段最短，即可求解..
3．（2020七上·东台期末）下列图形中，线段 的长表示点A到直线 距离的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：线段AD的长表示点A到直线BC距离的是图D，
故答案为：D.
【分析】点到直线的距离是指垂线段的长度.
4．（2019七上·淮安期末）若直线l外一点P与直线l上三点的连线段长分别为2cm，3cm，4cm，则点P到直线l的距离是
A．2cm B．不超过2cm C．3cm D．大于4cm
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：由垂线段最短，得
点P到直线l的距离小于或等于2cm，
故答案为：B.
【分析】根据垂线段最短，可得答案.
5．（2019七上·秦淮期末）若直线l上一点P和直线l外一点Q的距离为8 cm，则点Q到直线l的距离是（ ）
A．等于8 cm B．小于或等于8 cm
C．大于8 cm D．以上三种都有可能
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：根据题意，点P到l的距离为P到直线l的垂线段的长度，其垂足是P到直线l上所有点中距离最小的点；
而不能明确PQ与l是否垂直，则点P到l的距离应小于等于PQ的长度，即不大于8cm.
故答案为：B.
【分析】根据点到直线的距离的定义与垂线段最短的性质，易得答案.
6．（2017七下·无锡开学考）如图，表示点D到AB所在直线的距离的是（ ）
A．线段AD的长度 B．线段AE的长度
C．线段BE的长度 D．线段DE的长度
【答案】D
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵DE⊥AB，
∴表示点D到AB所在直线的距离的是线段DE的长度，
故答案为：D．
【分析】根据点到直线的距离知，点D到直线AB的垂线段的长就是点D到AB所在直线的距离。
二、填空题
7．（2020七上·建邺期末）如图，已知ON⊥l，OM⊥l，所以OM与ON重合，其理由是 .
【答案】过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【知识点】垂线的概念
【解析】【解答】∵OM⊥l，ON⊥l，
∴OM与ON重合（平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直），
故答案为：平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
【分析】平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，据此可得结论．
8．（2019七上·扬中期末）在体育课上某同学立定跳远的情况如图所示，l表示起跳线，在测量该同学的实际立定跳远成绩时，应测量图中线段PC的长，理由是 .
【答案】直线外一点与直线上各点连接的所以线段中，垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：根据直线外一点与直线上各点连接的所以线段中，垂线段最短，即为线段PC的长，
故答案为：直线外一点与直线上各点连接的所以线段中，垂线段最短
【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短即可得出答案.
9．（2017七下·如皋期中）如图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是PB，理由是 ．
【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
∵PB⊥AD，
∴PB最短。
故答案为：垂线段最短。
【分析】根据题意可知，运用的知识点是垂线段最短。
三、解答题
10．如图，过点A作BC的垂线，并指出那条线的长度是表示点A到BC的距离？
【答案】解：过点A作BC的垂线，交CB的延长线于E，
根据点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫点到直线的距离．
可得AE的长度即为点A到BC的距离．
答：AE的长度即为点A到BC的距离．
【知识点】点到直线的距离
【解析】【分析】根据点到直线的距离的定义，过点A作BC的垂线，交CB的延长线于E，即可得到答案．
11．如图，点A表示小雨家，点B表示小樱家，点C表示小丽家，她们三家恰好组成一个直角三角形，其中AC⊥BC，AC=900米，BC=1200米，AB=1500米．
（1）试说出小雨家到街道BC的距离以及小樱家到街道AC的距离．
（2）画出表示小丽家到街道AB距离的线段．
【答案】解：（1）∵AC=900米，BC=1200米，AB=1500米，
∴AC⊥BC，
∴小雨家到街道BC的距离为：900m，小樱家到街道AC的距离为：1200m；
（2）如图所示：CD即为小丽家到街道AB距离．
【知识点】点到直线的距离
【解析】【分析】（1）利用点到直线的距离定义分别得出答案；
（2）过点C作CD⊥AB进而得出答案．
12．如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．
（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；
（2）计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据．
【答案】解：（1）∵两点之间线段最短，
∴连接AD，BC交于H，则H为蓄水池位置，它到四个村庄距离之和最小．
（2）过H作HG⊥EF，垂足为G．
“过直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短”是把河水引入蓄水池H中开渠最短的根据．
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【分析】（1）由两点之间线段最短可知，连接AD、BC交于H，则H为蓄水池位置；
（2）根据垂线段最短可知，要做一个垂直EF的线段．
13．如图，要把水渠中的水引到C点，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并说明理由．
【答案】解：如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，
在D处开沟，则沟最短．
因为直线外一点与直线上各点连线的所有线段中，垂线段最短．
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【分析】根据点到直线的垂线段距离最短解答．
14．如图，点O是直线AB上一点，∠AOC=40°，OD平分∠AOC，∠COE=70°．
（1）请你说明DO⊥OE；
（2）OE平分∠BOC吗？为什么？
【答案】解：（1）∵OD平分∠AOC，
∴∠DOC=∠AOC=20．
∵∠COE=70°，
∴∠DOE=90°，
∴DO⊥OE．
（2）OE平分∠BOC．
理由：∵∠AOC+∠COE+∠BOE=180°，
又∵∠AOC=40°，∠COE=70°，
∴∠BOE=70°，
∴∠BOE=∠COE，
∴OE平分∠BOC．
【知识点】垂线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义求得∠COD=20°，再根据垂线的定义证明；
（2）求得∠BOC的度数，根据角平分线的定义即可求得OE平分∠BOC．
15．如图．
（1）量一量，小明家P到公路AB的距离为多少cm．
（2）已知这个图的比例尺为1：10000，求小明家到公路的实际距离．
【答案】解：（1）过P作PD⊥AB于D，
量出PD=1.5cm，
则小明家P到公路AB的距离是1.5cm．
（2）∵这个图的比例尺为1：10000，
∴小明家到公路的实际距离是1.5cm÷=15000cm=150m，
答：小明家到公路的实际距离是150m．
故答案为：1.5．
【知识点】点到直线的距离
【解析】【分析】（1）过P作PD⊥AB于D，量出PD的长即可；
（2）根据比例尺= 求出即可．
16．如图，有两堵围墙，有人想测量地面上两堵围墙内所形成的∠AOB的度数，但人又不能进入围墙，只能站在墙外，请问该如何测量？
【答案】解：如图，延长AO，先测量出∠BOC的度数， 然后根据∠AOB与∠BOC是邻补角即可求解，
∠AOB=180°﹣∠BOC．
【知识点】点到直线的距离
【解析】【分析】延长∠AOB的一边，然后根据邻补角的和等于180°即可求解．
17．在同一平面内有四条直线
（1）这四条直线的交点个数可能有哪些？
（2）请你画出两种交点个数是4的图形．
【答案】解：（1）这四条直线的交点个数可能是：0，1，2，4，5，6；
（2）作图如下：
【知识点】点到直线的距离
【解析】【分析】（1）根据两直线的位置即确定；
（2）四条直线两两相交有6个交点，交点的个数是4，即6个中的三个重合．
18．如图，在三角形△ABC中，∠BCA=90°，BC=3，AC=4，AB=5．点P是线段AB上的一动点，求线段CP的最小值是多少？
【答案】解：当CP垂直AB时有最小值，
因为：∠BCA=90°，BC=3，AC=4，AB=5，
∴S△ABC=BC AC=AB CP，
即×3×4=×5CP，
解得CP=2.4，
答：CP的最小值是2.4．
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【分析】根据垂线段最短判断出当CP垂直AB时有最小值，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．
19．已知：点P是直线MN外一点，点A、B、C是直线MN上三点，分别连接PA、PB、PC．
（1）通过测量的方法，比较PA、PB、PC的大小，直接用“＞”连接；
（2）在直线MN上能否找到一点D，使PD的长度最短？如果有，请在图中作出线段PD，并说明它的理论依据；如果没有，请说明理由．
【答案】解：（1）通过测量可知，PA＞PB＞PC；
（2）过点P作PD⊥MN，则PD最短（垂线段最短）．
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【分析】（1）根据测量可直接得出结论；
（2）过点P作PD⊥MN，根据点到直线距离的定义可得出结论．
20．如图，已知：点A、点B及直线l．
（1）请画出从点A到直线l的最短路线，并写出画图的依据．
（2）请在直线l上确定一点O，使点O到点A与点O到点B的距离之和最短，并写出
画图的依据．
【答案】解：（1）如图所示：点E为所求，根据垂线段最短；
（2）如图所示：根据两点之间线段最短．
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【分析】（1）过A作AE⊥l；
（2）连接AB，与l交点就是O．
四、综合题
21．（2019七上·江阴期末）如图，在直线MN的异侧有A、B两点，按要求画图取点，并注明画图取点的依据．
（1）在直线MN上取一点C，使线段AC最短．依据是 ．
（2）在直线MN上取一点D，使线段AD＋BD最短．依据是 ．
【答案】（1）垂线段最短
（2）两点之间，线段最短
【知识点】两点之间线段最短；垂线段最短及其应用
【解析】【解答】(1)过A作AC⊥MN，根据垂线段最短，
故答案为：垂线段最短；
(2)连接AB交MN于D，根据是两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短．
【分析】（1）根据直线外一点与直线上各点连接的所有线中，垂线段最短，故过A作AC⊥MN，带你C就是所求的点；
（2）根据连接两点的所有线中，线段最短，故)连接AB交MN于D，点D就是所求的点。
22．（2016七上·吴江期末）已知∠AOC=∠BOD=α（0°＜α＜180°）
（1）如图1，若α=90°
①写出图中一组相等的角（除直角外） ，理由是
②试猜想∠COD和∠AOB在数量上是相等、互余、还是互补的关系，并说明理由；
（2）如图2，∠COD+∠AOB和∠AOC满足的等量关系是 ；当α= °，∠COD和∠AOB互余．
【答案】（1）AOD=∠BOC；同角的余角相等
（2）互补；45
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：（1）①∵∠AOC=∠BOD=90°，
∴∠AOD+∠AOB=∠BOC+∠AOB=90°，
∴∠AOD=∠BOC；②∵∠AOD=∠BOD﹣∠AOB=90°﹣∠AOB，
∴∠COD=∠AOD+∠AOC=90°﹣∠AOB+90°，
∴∠AOB+∠COD=180°，
∴∠COD和∠AOB互补；（2）由（1）可知∠COD+∠AOB=∠BOD+∠AOC=α+α=2α，
所以，∠COD+∠AOB=2∠AOC，
若∠COD和∠AOB互余，则2∠AOC=90°，
所以，∠AOC=45°，
即α=45°．
故答案为：（1）AOD=∠BOC，同角的余角相等；（2）互补，45．
【分析】（1）①根据同角的余角相等解答；
②表示出∠AOD，再求出∠COD，然后整理即可得解；
（2）根据（1）的求解思路解答即可。
23．（2021七上·邗江期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足为O，若∠BOF=38°.
（1）求∠AOC的度数；
（2）过点O作射线OG，使∠GOE=∠BOF，求∠FOG的度数.
【答案】（1）解：∵OF⊥CD，∠BOF＝38°，
∴∠BOD＝90° 38°＝52°，
∴∠AOC＝52°
（2）解：由（1）知：∠BOD＝52°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=26°，
此时∠GOE=∠BOF=38°，
分两种情况：
如图：
此时∠FOG=∠BOF+∠BOE-∠GOE=38°+26°-38°=26°；
如图：
此时∠FOG=∠BOF+∠BOE+∠GOE=38°+26°+38°=102°；
综上：∠FOG的度数为26°或102°.
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；垂线的概念
【解析】【分析】 (1)本题先由 OF⊥CD，∠BOF＝38°，根据余角的定义即可进步 求出∠AOC的度数，和为90°的两个角互为余角.
(2)本题过点O作射线OG，使∠GOE=∠BOF，此时注意分类讨论，进步求出∠FOG的度数.
24．（2020七上·大丰期末）如图，直线AB、CD相交于O，OE⊥CD，且∠BOD的度数是∠AOD的5倍.
求：
（1）∠AOD、∠BOD的度数；
（2）∠BOE的度数.
【答案】（1）解：设∠AOD=x，则∠BOD=5x，
∵∠AOD+∠BOD=180 ，
∴x+5x=180 ，
x=30 ，
∴∠AOD=30 ，∠BOD=5x=150
（2）解：∵OE⊥CD，
∴∠DOE=90 ，
∴∠BOE=∠BOD-∠DOE=150 -90 =60
【知识点】角的运算
【解析】【分析】(1)设∠AOD=x，则∠BOD=5x，列得x+5x=180 ，解出x即可得到答案；（2）根据OE⊥CD，求出∠DOE=90 ，再用∠BOD-∠DOE即可得到∠BOE的度数.
25．（2019七下·大丰期中）如图，两直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，如果∠AOC：∠AOD＝7：11，
（1）求∠COE
（2）若OF⊥OE，求∠COF．
【答案】（1）解：∵∠AOC：∠AOD=7：11，
∠AOC+∠AOD=180°，∴∠AOC=70°，∠AOD=110°，
∴∠BOD=70°．
∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=35°，
∴∠COE=180°﹣35°=145°．
（2）解：∵∠DOE=35°，OF⊥OE，∴∠FOD=55°，
∴∠FOC=180°﹣55°=125°．
【知识点】角的运算
【解析】【分析】（1）首先依据∠AOC：∠AOD=7：11，∠AOC+∠AOD=180°可求得∠AOC、∠AOD的度数，然后可求得∠BOD的度数，依据角平分线的定义可求得∠DOE的度数，最后可求得∠COE的度数；（2）先求得∠FOD的度数，然后依据邻补角的定义
26．（2019七上·沭阳期末）如图，直线AB与CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD.
（1）图中与∠AOF互余的角是 ，与∠COE互补的角是 ；（把符合条件的角都写出来）
（2）如果∠AOC= ∠EOF，求∠EOF的度数.
【答案】（1）∠EOD；∠BOF
（2）解：∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴∠EOB=90°，∠FOD=90°，
又∵∠AOC= ∠EOF，
设∠AOC=x，则∠BOD=x，∠EOF=4x，
根据题意可得：4x+x+90+90=360°，
解得：x=36°.
∴∠EOF=4x=144°
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；垂线的概念
【解析】【解答】（1）解：图中与∠AOF互余的角是：∠AOC、∠BOD；
图中与∠COE互补的角是：∠EOD、∠BOF
【分析】（1）根据互余及互补的定义，结合图形进行判断即可；（2）设∠AOC=x，则∠BOD=x，∠EOF=4x，根据周角为360度，即可解出x.
27．（2018七上·无锡月考）如图，C 为线段 AD 上一点，B 为 CD 的中点，AD=13cm，BD=3cm.
（1）图中共有 条线段；
（2）求AC的长；
（3）若点
E 在线段AD上，且 BE=2cm，求AE的长.
【答案】（1）6
（2）解：∵B 为 CD 的中点，AD=13cm，BD=3cm，
∴CB=BD=3cm，即CD=6cm，
∴AC=13-6=7cm
（3）解：由上一问可知AB=AC+CB=7+3=10cm
当点E在点B左侧时，AE=AB-BE=10-2=8cm，
当点E在点B右侧时，AE=AB+BE=10+2=12cm，
∴AE=8或AE=12
【知识点】直线、射线、线段；线段上的两点间的距离
【解析】【解答】（1）图中共有线段6条，分别是AC、AB、AD、CB、CD、BD，
【分析】（1）根据线段的定义不重不漏地数出即可.（2）先利用中点的定义求出CB进而可得CD的长，再根据AC=AD-CD即可求出答案.（3）由（2）知 AB=10cm，由题意分两种情况：①当点E在点B左侧时， ，②当点E在点B右侧时，根据图形求出答案即可.
28．（2018七上·无锡月考）如图，直线AB与CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD。
（1）图中与∠COE互补的角是 ； (把符合条件的角都写出来)
（2）如果∠AOC = ∠EOF ，求∠AOC的度数。
【答案】（1）
（2）解：设∠AOC=x，则∠EOF=5x，
∵∠AOC=∠BOD(对顶角相等)，
∴∠EOF+∠BOD=∠EOF+∠AOC=5x+x=360° 2×90°，
即6x=180°，
解得∠AOC=x=30°.
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】(1)∵∠COE+∠EOD=180°，
∴∠EOD与∠COE互补，
又∠EOD=90°+∠BOD，∠BOF=90°+∠BOD，
∴∠BOF=∠EOD，
∴∠BOF与∠COE互补，
∴与∠COE互补的角是：∠EOD，∠BOF；
【分析】（1）由邻补角的定义可知∠EOD与∠COE互补，再根据等角点补角相等可得∠BOF与∠COE互补；（2） 设∠AOC=x，则∠EOF=5x， 由对顶角相等可得∠AOC=∠BOD，由图可知5x+x=360° 2×90°， 解方程可得∠AOC=x=30°.
29．（2016七下·盐城开学考）如图，一副三角板的两个直角顶点重合在一起．
（1）若∠EON=110°，求∠MOF的度数；
（2）比较∠EOM与∠FON的大小，并写出理由；
（3）求∠EON+∠MOF的度数．
【答案】（1）解：∵∠EOF=90°，∠EON=110°，
∴∠FON=20°，
∵∠MON=90°，
∴∠MOF=70°
（2）解：∠EOM=∠FON，
∵∠EOM+∠MOF=∠FON+∠MOF=90°，
∴∠EOM=∠FON
（3）解：∵∠EON+∠MOF=∠EOM+∠MOF+∠FON+∠MOF，
∴∠EON+∠MOF=∠EOF+∠MON=180°
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【分析】（1）根据∠EOF和∠MON都为90°进行计算；（2）利用同角的余角相等可以得结论；（3）将∠EON拆开各角的和，再重新相加即可．
30．（2017七上·宜兴期末）如图，C为线段AB的中点，D在线段CB上，且DA=8，DB=6．求：
（1）AC的长；
（2）CD的长．
【答案】（1）解：∵DA=8，DB=6，
∴AB=AD+DB=14，
∵C为线段AB的中点，
∴AC= AB= ×14=7
（2）解：∵DA=8，AC=7，
∴CD=AD﹣AC=8﹣7=1
【知识点】线段上的两点间的距离
【解析】【分析】（1）根据线段的和与差得出AC= AB；（2）根据线段的和与差得CD=AD﹣AC．
31．（2017七上·姜堰期末）如图，P是线段AB上任一点，AB=12cm，C，D两点分别从P，B同时向A点运动，且C点的运动速度为2cm/s，D点的运动速度为3cm/s，运动的时间为ts．
（1）若AP=8cm，
①运动1s后，求CD的长；
②当D在线段PB运动上时，试说明AC=2CD；
（2）如果t=2s时，CD=1cm，试探索AP的值．
【答案】（1）解：①由题意可知：CP=2×1=2cm，DB=3×1=3cm
∵AP=8cm，AB=12cm
∴PB=AB﹣AP=4cm
∴CD=CP+PB﹣DB=2+4﹣3=3cm
②∵AP=8，AB=12，
∴BP=4，AC=8﹣2t，
∴DP=4﹣3t，
∴CD=DP+CP=2t+4﹣3t=4﹣t，
∴AC=2CD
（2）解：当t=2时，
CP=2×2=4cm，DB=3×2=6cm，
当点D在C的右边时，如图所示：
由于CD=1cm，
∴CB=CD+DB=7cm，
∴AC=AB﹣CB=5cm，
∴AP=AC+CP=9cm，
当点D在C的左边时，如图所示：
∴AD=AB﹣DB=6cm，
∴AP=AD+CD+CP=11cm
综上所述，AP=9或11
【知识点】线段上的两点间的距离
【解析】【分析】（1）①先求出PB、CP与DB的长度，然后利用CD=CP+PB﹣DB即可求出答案．②用t表示出AC、DP、CD的长度即可求证AC=2CD；（2）当t=2时，求出CP、DB的长度，由于没有说明D点在C点的左边还是右边，故需要分情况讨论．
32．（2017七上·南京期末）如图1，点 为线段 上一点，过点 作射线 ，使 ，将一直角三角板的直角顶点放在点 处，一边 在射线 上，另一边 在线段 的下方.
（1）将图1中的直角三角板绕点 按逆时针方向旋转，使 落在射线 上（如图2），则三角板旋转的角度为 度；
（2）继续将图2中的直角三角板绕点 按逆时针方向旋转，使 在 的内部（如图3）.试求 与 度数的差；
（3）若图1中的直角三角板绕点 按逆时针方向旋转一周，在此过程中：
①当直角边 所在直线恰好垂直于 时， 的度数是 ；
②设直角三角板绕点 按每秒 的速度旋转，当直角边 所在直线恰好平分 时，求三角板绕点 旋转时间 的值.
【答案】（1）
（2）解：
（3）150 或30 ； 或
【知识点】角的运算
【解析】【解答】（1）由旋转的性质知，旋转角 。
（ 2 ）如图3， 。设 =α，由 ： =1：2可得 =2α
∵ + =180 ，
∴α+2α=180 ，
解得α=60 。
即 =60
∴ + =60 ①
∵ =90 ，
∴ 。②
由②-①，得
（ 3 ）①当直角边OM所在直线恰好垂直于OC时， 的度数时150 或30 ；
②（i）如图4，当直角边ON在 外部时，
由OD平分 ，可得 =30 。
因此三角板绕点O逆时针旋转60 。
此时三角板的运动时间为：t=60 ÷15 =4（秒）。
（ii）如图5，当直角边ON在 内部时，
由ON平分 ，可得 =30 。
因此三角板绕点O逆时针旋转240 。
此时三角板的运动时间为：t=240 ÷15 =16（秒）。
【分析】（1）利用旋转角的定义，对应点与旋转中心的连线夹角，可求出旋转角；（2）由已知求出∠ A O C =60 ，∠ A O M 用 ∠ N O C 、∠AOC的式子表示出来，再相减，得出结果；（3）须分类讨论，OM在∠ A O C 内部或外部两种情况；“O N 所在直线恰好平分 ∠ A O C”也须分类讨论：ON在 ∠ A O C 外部或ON在 ∠ A O C 内部，分别计算.
33．（2016七上·江苏期末）已知∠AOB=90°，∠COD=30°．
（1）如图1，当点O、A、C在同一条直线上时，∠BOD的度数是 ；
（2）将∠COD从图1的位置开始，绕点O逆时针方向旋转n°（即∠AOC=n°），且0＜n＜180．
①如果∠COD的一边与∠AOB的一边垂直，则n= ．
②当60＜n＜90时（如图2），作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，试求∠MON的度数 ．
【答案】（1）60°
（2）60、90、150；60°
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：（1）∠BOD=∠AOB﹣∠AOD=∠AOB﹣∠COD=90°﹣30°=60°．
故答案为：60°．（2）①∵0＜n＜180，
∴分三种情况．
a：点D在射线0B上，∠AOC=∠AOB﹣∠COD=90°﹣30°=60°；
b：点C在射线OB上，∠AOC=∠AOB=90°；
c：点D在AO的延长线上，∠AOC=180°﹣∠COD=180°﹣30°=150°．
综上得n为60、90、150．
故答案为：60、90、150．②∵∠AOC=n°，OM平分∠AOC，
∴∠AOM= n°，
∠AOD=∠AOC+∠COD=n°+30°，
∠BOD=∠AOD﹣∠AOB=n°+30°﹣90°=n°﹣60°，
∵ON平分∠BOD，
∴∠DON= ∠BOD= ×（n°﹣60°）= n°﹣30°，
∠MON=∠AOD﹣∠AOM﹣∠DON=n°+30°﹣ n°﹣（ n°﹣30°）=60°
【分析】（1）根据，∠BOD=∠AOB﹣∠AOD=∠AOB﹣∠COD，而∠AOD=∠COD=30°，代入即可求出结论；
（2）①0＜n＜180，在旋转的过程中，能够发现∠COD的一边与∠AOB的一边垂直共有三种情况，分别求出每种情况下旋转的度数即可；
②∠AOC=n°，OM平分∠AOC，根据角平分线的定义及角与角之间的关系，将直接求∠MON得度数转换成求∠AOM，∠DON的度数，再依照角的关系即可求得结论．
34．如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．
（1）“17”在射线 上；
（2）请任意写出三条射线上数字的排列规律；
（3）“2007”在哪条射线上？
【答案】（1）“17”在射线OE上；
（2）射线OA上数字的排列规律：6n-5
射线OB上数字的排列规律：6n-4
射线OC上数字的排列规律：6n-3射线OD上数字的排列规律：6n-2射线OE上数字的排列规律：6n-1射线OF上数字的排列规律：6n
（3）“2007”在射线OC上．
【知识点】直线、射线、线段
【解析】【解答】先由具体数字入手，找出规律，再利用规律解题.
【分析】此题点线结合找规律。
35．（2017七下·无锡开学考）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=120°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周．在旋转的过程中，假如第t秒时，OA、OC、ON三条射线构成相等的角，求此时t的值为多少？
（2）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转图2，使ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∵三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转，
∴第t秒时，三角板转过的角度为10°t，
当三角板转到如图①所示时，∠AON=∠CON
∵∠AON=90°+10°t，∠CON=∠BOC+∠BON=120°+90°﹣10°t=210°﹣10°t
∴90°+10°t=210°﹣10°t
即t=6；
当三角板转到如图②所示时，∠AOC=∠CON=180°﹣120°=60°
∵∠CON=∠BOC﹣∠BON=120°﹣（10°t﹣90°）=210°﹣10°t
∴210°﹣10°t=60°
即t=15；
当三角板转到如图③所示时，∠AON=∠CON= ，
∵∠CON=∠BON﹣∠BOC=（10°t﹣90°）﹣120°=10°t﹣210°
∴10°t﹣210°=30°
即t=24；
当三角板转到如图④所示时，∠AON=∠AOC=60°
∵∠AON=10°t﹣180°﹣90°=10°t﹣270°
∴10°t﹣270°=60°
即t=33．
故t的值为6、15、24、33．
（2）解：∵∠MON=90°，∠AOC=60°，
∴∠AOM=90°﹣∠AON，∠NOC=60°﹣∠AON，
∴∠AOM﹣∠NOC=（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）=30°
【知识点】角的运算
【解析】【分析】（1）根据已知条件可知，在第t秒时，三角板转过的角度为10°t，然后按照OA、OC、ON三条射线构成相等的角分四种情况讨论，即可求出t的值；
（2）根据三角板∠MON=90°可求出∠AOM、∠NOC和∠AON的关系，然后两角相加即可求出二者之间的数量关系．
1 / 1初中数学苏科版七年级上册6.4-6.5 同步练习
一、单选题
1．（2021七上·东台期末）如图， ， ，表示点 到直线 距离的是线段（ ）的长度
A． B． C． D．
2．（2020七上·扬州期末）点P为直线外一点，点A、B在直线l上，若PA=4cm，PB=5cm，则点P到直线l的距离是（ ）
A．4cm B．小于4cm C．不大于4cm D．5cm
3．（2020七上·东台期末）下列图形中，线段 的长表示点A到直线 距离的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2019七上·淮安期末）若直线l外一点P与直线l上三点的连线段长分别为2cm，3cm，4cm，则点P到直线l的距离是
A．2cm B．不超过2cm C．3cm D．大于4cm
5．（2019七上·秦淮期末）若直线l上一点P和直线l外一点Q的距离为8 cm，则点Q到直线l的距离是（ ）
A．等于8 cm B．小于或等于8 cm
C．大于8 cm D．以上三种都有可能
6．（2017七下·无锡开学考）如图，表示点D到AB所在直线的距离的是（ ）
A．线段AD的长度 B．线段AE的长度
C．线段BE的长度 D．线段DE的长度
二、填空题
7．（2020七上·建邺期末）如图，已知ON⊥l，OM⊥l，所以OM与ON重合，其理由是 .
8．（2019七上·扬中期末）在体育课上某同学立定跳远的情况如图所示，l表示起跳线，在测量该同学的实际立定跳远成绩时，应测量图中线段PC的长，理由是 .
9．（2017七下·如皋期中）如图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是PB，理由是 ．
三、解答题
10．如图，过点A作BC的垂线，并指出那条线的长度是表示点A到BC的距离？
11．如图，点A表示小雨家，点B表示小樱家，点C表示小丽家，她们三家恰好组成一个直角三角形，其中AC⊥BC，AC=900米，BC=1200米，AB=1500米．
（1）试说出小雨家到街道BC的距离以及小樱家到街道AC的距离．
（2）画出表示小丽家到街道AB距离的线段．
12．如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．
（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；
（2）计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据．
13．如图，要把水渠中的水引到C点，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并说明理由．
14．如图，点O是直线AB上一点，∠AOC=40°，OD平分∠AOC，∠COE=70°．
（1）请你说明DO⊥OE；
（2）OE平分∠BOC吗？为什么？
15．如图．
（1）量一量，小明家P到公路AB的距离为多少cm．
（2）已知这个图的比例尺为1：10000，求小明家到公路的实际距离．
16．如图，有两堵围墙，有人想测量地面上两堵围墙内所形成的∠AOB的度数，但人又不能进入围墙，只能站在墙外，请问该如何测量？
17．在同一平面内有四条直线
（1）这四条直线的交点个数可能有哪些？
（2）请你画出两种交点个数是4的图形．
18．如图，在三角形△ABC中，∠BCA=90°，BC=3，AC=4，AB=5．点P是线段AB上的一动点，求线段CP的最小值是多少？
19．已知：点P是直线MN外一点，点A、B、C是直线MN上三点，分别连接PA、PB、PC．
（1）通过测量的方法，比较PA、PB、PC的大小，直接用“＞”连接；
（2）在直线MN上能否找到一点D，使PD的长度最短？如果有，请在图中作出线段PD，并说明它的理论依据；如果没有，请说明理由．
20．如图，已知：点A、点B及直线l．
（1）请画出从点A到直线l的最短路线，并写出画图的依据．
（2）请在直线l上确定一点O，使点O到点A与点O到点B的距离之和最短，并写出
画图的依据．
四、综合题
21．（2019七上·江阴期末）如图，在直线MN的异侧有A、B两点，按要求画图取点，并注明画图取点的依据．
（1）在直线MN上取一点C，使线段AC最短．依据是 ．
（2）在直线MN上取一点D，使线段AD＋BD最短．依据是 ．
22．（2016七上·吴江期末）已知∠AOC=∠BOD=α（0°＜α＜180°）
（1）如图1，若α=90°
①写出图中一组相等的角（除直角外） ，理由是
②试猜想∠COD和∠AOB在数量上是相等、互余、还是互补的关系，并说明理由；
（2）如图2，∠COD+∠AOB和∠AOC满足的等量关系是 ；当α= °，∠COD和∠AOB互余．
23．（2021七上·邗江期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足为O，若∠BOF=38°.
（1）求∠AOC的度数；
（2）过点O作射线OG，使∠GOE=∠BOF，求∠FOG的度数.
24．（2020七上·大丰期末）如图，直线AB、CD相交于O，OE⊥CD，且∠BOD的度数是∠AOD的5倍.
求：
（1）∠AOD、∠BOD的度数；
（2）∠BOE的度数.
25．（2019七下·大丰期中）如图，两直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，如果∠AOC：∠AOD＝7：11，
（1）求∠COE
（2）若OF⊥OE，求∠COF．
26．（2019七上·沭阳期末）如图，直线AB与CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD.
（1）图中与∠AOF互余的角是 ，与∠COE互补的角是 ；（把符合条件的角都写出来）
（2）如果∠AOC= ∠EOF，求∠EOF的度数.
27．（2018七上·无锡月考）如图，C 为线段 AD 上一点，B 为 CD 的中点，AD=13cm，BD=3cm.
（1）图中共有 条线段；
（2）求AC的长；
（3）若点
E 在线段AD上，且 BE=2cm，求AE的长.
28．（2018七上·无锡月考）如图，直线AB与CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD。
（1）图中与∠COE互补的角是 ； (把符合条件的角都写出来)
（2）如果∠AOC = ∠EOF ，求∠AOC的度数。
29．（2016七下·盐城开学考）如图，一副三角板的两个直角顶点重合在一起．
（1）若∠EON=110°，求∠MOF的度数；
（2）比较∠EOM与∠FON的大小，并写出理由；
（3）求∠EON+∠MOF的度数．
30．（2017七上·宜兴期末）如图，C为线段AB的中点，D在线段CB上，且DA=8，DB=6．求：
（1）AC的长；
（2）CD的长．
31．（2017七上·姜堰期末）如图，P是线段AB上任一点，AB=12cm，C，D两点分别从P，B同时向A点运动，且C点的运动速度为2cm/s，D点的运动速度为3cm/s，运动的时间为ts．
（1）若AP=8cm，
①运动1s后，求CD的长；
②当D在线段PB运动上时，试说明AC=2CD；
（2）如果t=2s时，CD=1cm，试探索AP的值．
32．（2017七上·南京期末）如图1，点 为线段 上一点，过点 作射线 ，使 ，将一直角三角板的直角顶点放在点 处，一边 在射线 上，另一边 在线段 的下方.
（1）将图1中的直角三角板绕点 按逆时针方向旋转，使 落在射线 上（如图2），则三角板旋转的角度为 度；
（2）继续将图2中的直角三角板绕点 按逆时针方向旋转，使 在 的内部（如图3）.试求 与 度数的差；
（3）若图1中的直角三角板绕点 按逆时针方向旋转一周，在此过程中：
①当直角边 所在直线恰好垂直于 时， 的度数是 ；
②设直角三角板绕点 按每秒 的速度旋转，当直角边 所在直线恰好平分 时，求三角板绕点 旋转时间 的值.
33．（2016七上·江苏期末）已知∠AOB=90°，∠COD=30°．
（1）如图1，当点O、A、C在同一条直线上时，∠BOD的度数是 ；
（2）将∠COD从图1的位置开始，绕点O逆时针方向旋转n°（即∠AOC=n°），且0＜n＜180．
①如果∠COD的一边与∠AOB的一边垂直，则n= ．
②当60＜n＜90时（如图2），作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，试求∠MON的度数 ．
34．如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．
（1）“17”在射线 上；
（2）请任意写出三条射线上数字的排列规律；
（3）“2007”在哪条射线上？
35．（2017七下·无锡开学考）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=120°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周．在旋转的过程中，假如第t秒时，OA、OC、ON三条射线构成相等的角，求此时t的值为多少？
（2）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转图2，使ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵ED⊥AB，
∴点D到直线AB距离的是线段DE的长度.
故答案为：B.
【分析】点到直线的距离，即过这一点做目标直线的垂线，由这一点至垂足的距离，据此解答.
2．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】依据垂线段最短，∵P为直线外一点，点A、B在直线l上，若PA=4cm，PB=5cm，∴点P到直线l的距离不大于4cm，故答案为C.
【分析】依据点到直线的距离垂线段最短，即可求解..
3．【答案】D
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：线段AD的长表示点A到直线BC距离的是图D，
故答案为：D.
【分析】点到直线的距离是指垂线段的长度.
4．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：由垂线段最短，得
点P到直线l的距离小于或等于2cm，
故答案为：B.
【分析】根据垂线段最短，可得答案.
5．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：根据题意，点P到l的距离为P到直线l的垂线段的长度，其垂足是P到直线l上所有点中距离最小的点；
而不能明确PQ与l是否垂直，则点P到l的距离应小于等于PQ的长度，即不大于8cm.
故答案为：B.
【分析】根据点到直线的距离的定义与垂线段最短的性质，易得答案.
6．【答案】D
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵DE⊥AB，
∴表示点D到AB所在直线的距离的是线段DE的长度，
故答案为：D．
【分析】根据点到直线的距离知，点D到直线AB的垂线段的长就是点D到AB所在直线的距离。
7．【答案】过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【知识点】垂线的概念
【解析】【解答】∵OM⊥l，ON⊥l，
∴OM与ON重合（平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直），
故答案为：平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
【分析】平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，据此可得结论．
8．【答案】直线外一点与直线上各点连接的所以线段中，垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：根据直线外一点与直线上各点连接的所以线段中，垂线段最短，即为线段PC的长，
故答案为：直线外一点与直线上各点连接的所以线段中，垂线段最短
【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短即可得出答案.
9．【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
∵PB⊥AD，
∴PB最短。
故答案为：垂线段最短。
【分析】根据题意可知，运用的知识点是垂线段最短。
10．【答案】解：过点A作BC的垂线，交CB的延长线于E，
根据点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫点到直线的距离．
可得AE的长度即为点A到BC的距离．
答：AE的长度即为点A到BC的距离．
【知识点】点到直线的距离
【解析】【分析】根据点到直线的距离的定义，过点A作BC的垂线，交CB的延长线于E，即可得到答案．
11．【答案】解：（1）∵AC=900米，BC=1200米，AB=1500米，
∴AC⊥BC，
∴小雨家到街道BC的距离为：900m，小樱家到街道AC的距离为：1200m；
（2）如图所示：CD即为小丽家到街道AB距离．
【知识点】点到直线的距离
【解析】【分析】（1）利用点到直线的距离定义分别得出答案；
（2）过点C作CD⊥AB进而得出答案．
12．【答案】解：（1）∵两点之间线段最短，
∴连接AD，BC交于H，则H为蓄水池位置，它到四个村庄距离之和最小．
（2）过H作HG⊥EF，垂足为G．
“过直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短”是把河水引入蓄水池H中开渠最短的根据．
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【分析】（1）由两点之间线段最短可知，连接AD、BC交于H，则H为蓄水池位置；
（2）根据垂线段最短可知，要做一个垂直EF的线段．
13．【答案】解：如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，
在D处开沟，则沟最短．
因为直线外一点与直线上各点连线的所有线段中，垂线段最短．
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【分析】根据点到直线的垂线段距离最短解答．
14．【答案】解：（1）∵OD平分∠AOC，
∴∠DOC=∠AOC=20．
∵∠COE=70°，
∴∠DOE=90°，
∴DO⊥OE．
（2）OE平分∠BOC．
理由：∵∠AOC+∠COE+∠BOE=180°，
又∵∠AOC=40°，∠COE=70°，
∴∠BOE=70°，
∴∠BOE=∠COE，
∴OE平分∠BOC．
【知识点】垂线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义求得∠COD=20°，再根据垂线的定义证明；
（2）求得∠BOC的度数，根据角平分线的定义即可求得OE平分∠BOC．
15．【答案】解：（1）过P作PD⊥AB于D，
量出PD=1.5cm，
则小明家P到公路AB的距离是1.5cm．
（2）∵这个图的比例尺为1：10000，
∴小明家到公路的实际距离是1.5cm÷=15000cm=150m，
答：小明家到公路的实际距离是150m．
故答案为：1.5．
【知识点】点到直线的距离
【解析】【分析】（1）过P作PD⊥AB于D，量出PD的长即可；
（2）根据比例尺= 求出即可．
16．【答案】解：如图，延长AO，先测量出∠BOC的度数， 然后根据∠AOB与∠BOC是邻补角即可求解，
∠AOB=180°﹣∠BOC．
【知识点】点到直线的距离
【解析】【分析】延长∠AOB的一边，然后根据邻补角的和等于180°即可求解．
17．【答案】解：（1）这四条直线的交点个数可能是：0，1，2，4，5，6；
（2）作图如下：
【知识点】点到直线的距离
【解析】【分析】（1）根据两直线的位置即确定；
（2）四条直线两两相交有6个交点，交点的个数是4，即6个中的三个重合．
18．【答案】解：当CP垂直AB时有最小值，
因为：∠BCA=90°，BC=3，AC=4，AB=5，
∴S△ABC=BC AC=AB CP，
即×3×4=×5CP，
解得CP=2.4，
答：CP的最小值是2.4．
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【分析】根据垂线段最短判断出当CP垂直AB时有最小值，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．
19．【答案】解：（1）通过测量可知，PA＞PB＞PC；
（2）过点P作PD⊥MN，则PD最短（垂线段最短）．
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【分析】（1）根据测量可直接得出结论；
（2）过点P作PD⊥MN，根据点到直线距离的定义可得出结论．
20．【答案】解：（1）如图所示：点E为所求，根据垂线段最短；
（2）如图所示：根据两点之间线段最短．
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【分析】（1）过A作AE⊥l；
（2）连接AB，与l交点就是O．
21．【答案】（1）垂线段最短
（2）两点之间，线段最短
【知识点】两点之间线段最短；垂线段最短及其应用
【解析】【解答】(1)过A作AC⊥MN，根据垂线段最短，
故答案为：垂线段最短；
(2)连接AB交MN于D，根据是两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短．
【分析】（1）根据直线外一点与直线上各点连接的所有线中，垂线段最短，故过A作AC⊥MN，带你C就是所求的点；
（2）根据连接两点的所有线中，线段最短，故)连接AB交MN于D，点D就是所求的点。
22．【答案】（1）AOD=∠BOC；同角的余角相等
（2）互补；45
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：（1）①∵∠AOC=∠BOD=90°，
∴∠AOD+∠AOB=∠BOC+∠AOB=90°，
∴∠AOD=∠BOC；②∵∠AOD=∠BOD﹣∠AOB=90°﹣∠AOB，
∴∠COD=∠AOD+∠AOC=90°﹣∠AOB+90°，
∴∠AOB+∠COD=180°，
∴∠COD和∠AOB互补；（2）由（1）可知∠COD+∠AOB=∠BOD+∠AOC=α+α=2α，
所以，∠COD+∠AOB=2∠AOC，
若∠COD和∠AOB互余，则2∠AOC=90°，
所以，∠AOC=45°，
即α=45°．
故答案为：（1）AOD=∠BOC，同角的余角相等；（2）互补，45．
【分析】（1）①根据同角的余角相等解答；
②表示出∠AOD，再求出∠COD，然后整理即可得解；
（2）根据（1）的求解思路解答即可。
23．【答案】（1）解：∵OF⊥CD，∠BOF＝38°，
∴∠BOD＝90° 38°＝52°，
∴∠AOC＝52°
（2）解：由（1）知：∠BOD＝52°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=26°，
此时∠GOE=∠BOF=38°，
分两种情况：
如图：
此时∠FOG=∠BOF+∠BOE-∠GOE=38°+26°-38°=26°；
如图：
此时∠FOG=∠BOF+∠BOE+∠GOE=38°+26°+38°=102°；
综上：∠FOG的度数为26°或102°.
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；垂线的概念
【解析】【分析】 (1)本题先由 OF⊥CD，∠BOF＝38°，根据余角的定义即可进步 求出∠AOC的度数，和为90°的两个角互为余角.
(2)本题过点O作射线OG，使∠GOE=∠BOF，此时注意分类讨论，进步求出∠FOG的度数.
24．【答案】（1）解：设∠AOD=x，则∠BOD=5x，
∵∠AOD+∠BOD=180 ，
∴x+5x=180 ，
x=30 ，
∴∠AOD=30 ，∠BOD=5x=150
（2）解：∵OE⊥CD，
∴∠DOE=90 ，
∴∠BOE=∠BOD-∠DOE=150 -90 =60
【知识点】角的运算
【解析】【分析】(1)设∠AOD=x，则∠BOD=5x，列得x+5x=180 ，解出x即可得到答案；（2）根据OE⊥CD，求出∠DOE=90 ，再用∠BOD-∠DOE即可得到∠BOE的度数.
25．【答案】（1）解：∵∠AOC：∠AOD=7：11，
∠AOC+∠AOD=180°，∴∠AOC=70°，∠AOD=110°，
∴∠BOD=70°．
∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=35°，
∴∠COE=180°﹣35°=145°．
（2）解：∵∠DOE=35°，OF⊥OE，∴∠FOD=55°，
∴∠FOC=180°﹣55°=125°．
【知识点】角的运算
【解析】【分析】（1）首先依据∠AOC：∠AOD=7：11，∠AOC+∠AOD=180°可求得∠AOC、∠AOD的度数，然后可求得∠BOD的度数，依据角平分线的定义可求得∠DOE的度数，最后可求得∠COE的度数；（2）先求得∠FOD的度数，然后依据邻补角的定义
26．【答案】（1）∠EOD；∠BOF
（2）解：∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴∠EOB=90°，∠FOD=90°，
又∵∠AOC= ∠EOF，
设∠AOC=x，则∠BOD=x，∠EOF=4x，
根据题意可得：4x+x+90+90=360°，
解得：x=36°.
∴∠EOF=4x=144°
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；垂线的概念
【解析】【解答】（1）解：图中与∠AOF互余的角是：∠AOC、∠BOD；
图中与∠COE互补的角是：∠EOD、∠BOF
【分析】（1）根据互余及互补的定义，结合图形进行判断即可；（2）设∠AOC=x，则∠BOD=x，∠EOF=4x，根据周角为360度，即可解出x.
27．【答案】（1）6
（2）解：∵B 为 CD 的中点，AD=13cm，BD=3cm，
∴CB=BD=3cm，即CD=6cm，
∴AC=13-6=7cm
（3）解：由上一问可知AB=AC+CB=7+3=10cm
当点E在点B左侧时，AE=AB-BE=10-2=8cm，
当点E在点B右侧时，AE=AB+BE=10+2=12cm，
∴AE=8或AE=12
【知识点】直线、射线、线段；线段上的两点间的距离
【解析】【解答】（1）图中共有线段6条，分别是AC、AB、AD、CB、CD、BD，
【分析】（1）根据线段的定义不重不漏地数出即可.（2）先利用中点的定义求出CB进而可得CD的长，再根据AC=AD-CD即可求出答案.（3）由（2）知 AB=10cm，由题意分两种情况：①当点E在点B左侧时， ，②当点E在点B右侧时，根据图形求出答案即可.
28．【答案】（1）
（2）解：设∠AOC=x，则∠EOF=5x，
∵∠AOC=∠BOD(对顶角相等)，
∴∠EOF+∠BOD=∠EOF+∠AOC=5x+x=360° 2×90°，
即6x=180°，
解得∠AOC=x=30°.
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】(1)∵∠COE+∠EOD=180°，
∴∠EOD与∠COE互补，
又∠EOD=90°+∠BOD，∠BOF=90°+∠BOD，
∴∠BOF=∠EOD，
∴∠BOF与∠COE互补，
∴与∠COE互补的角是：∠EOD，∠BOF；
【分析】（1）由邻补角的定义可知∠EOD与∠COE互补，再根据等角点补角相等可得∠BOF与∠COE互补；（2） 设∠AOC=x，则∠EOF=5x， 由对顶角相等可得∠AOC=∠BOD，由图可知5x+x=360° 2×90°， 解方程可得∠AOC=x=30°.
29．【答案】（1）解：∵∠EOF=90°，∠EON=110°，
∴∠FON=20°，
∵∠MON=90°，
∴∠MOF=70°
（2）解：∠EOM=∠FON，
∵∠EOM+∠MOF=∠FON+∠MOF=90°，
∴∠EOM=∠FON
（3）解：∵∠EON+∠MOF=∠EOM+∠MOF+∠FON+∠MOF，
∴∠EON+∠MOF=∠EOF+∠MON=180°
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【分析】（1）根据∠EOF和∠MON都为90°进行计算；（2）利用同角的余角相等可以得结论；（3）将∠EON拆开各角的和，再重新相加即可．
30．【答案】（1）解：∵DA=8，DB=6，
∴AB=AD+DB=14，
∵C为线段AB的中点，
∴AC= AB= ×14=7
（2）解：∵DA=8，AC=7，
∴CD=AD﹣AC=8﹣7=1
【知识点】线段上的两点间的距离
【解析】【分析】（1）根据线段的和与差得出AC= AB；（2）根据线段的和与差得CD=AD﹣AC．
31．【答案】（1）解：①由题意可知：CP=2×1=2cm，DB=3×1=3cm
∵AP=8cm，AB=12cm
∴PB=AB﹣AP=4cm
∴CD=CP+PB﹣DB=2+4﹣3=3cm
②∵AP=8，AB=12，
∴BP=4，AC=8﹣2t，
∴DP=4﹣3t，
∴CD=DP+CP=2t+4﹣3t=4﹣t，
∴AC=2CD
（2）解：当t=2时，
CP=2×2=4cm，DB=3×2=6cm，
当点D在C的右边时，如图所示：
由于CD=1cm，
∴CB=CD+DB=7cm，
∴AC=AB﹣CB=5cm，
∴AP=AC+CP=9cm，
当点D在C的左边时，如图所示：
∴AD=AB﹣DB=6cm，
∴AP=AD+CD+CP=11cm
综上所述，AP=9或11
【知识点】线段上的两点间的距离
【解析】【分析】（1）①先求出PB、CP与DB的长度，然后利用CD=CP+PB﹣DB即可求出答案．②用t表示出AC、DP、CD的长度即可求证AC=2CD；（2）当t=2时，求出CP、DB的长度，由于没有说明D点在C点的左边还是右边，故需要分情况讨论．
32．【答案】（1）
（2）解：
（3）150 或30 ； 或
【知识点】角的运算
【解析】【解答】（1）由旋转的性质知，旋转角 。
（ 2 ）如图3， 。设 =α，由 ： =1：2可得 =2α
∵ + =180 ，
∴α+2α=180 ，
解得α=60 。
即 =60
∴ + =60 ①
∵ =90 ，
∴ 。②
由②-①，得
（ 3 ）①当直角边OM所在直线恰好垂直于OC时， 的度数时150 或30 ；
②（i）如图4，当直角边ON在 外部时，
由OD平分 ，可得 =30 。
因此三角板绕点O逆时针旋转60 。
此时三角板的运动时间为：t=60 ÷15 =4（秒）。
（ii）如图5，当直角边ON在 内部时，
由ON平分 ，可得 =30 。
因此三角板绕点O逆时针旋转240 。
此时三角板的运动时间为：t=240 ÷15 =16（秒）。
【分析】（1）利用旋转角的定义，对应点与旋转中心的连线夹角，可求出旋转角；（2）由已知求出∠ A O C =60 ，∠ A O M 用 ∠ N O C 、∠AOC的式子表示出来，再相减，得出结果；（3）须分类讨论，OM在∠ A O C 内部或外部两种情况；“O N 所在直线恰好平分 ∠ A O C”也须分类讨论：ON在 ∠ A O C 外部或ON在 ∠ A O C 内部，分别计算.
33．【答案】（1）60°
（2）60、90、150；60°
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：（1）∠BOD=∠AOB﹣∠AOD=∠AOB﹣∠COD=90°﹣30°=60°．
故答案为：60°．（2）①∵0＜n＜180，
∴分三种情况．
a：点D在射线0B上，∠AOC=∠AOB﹣∠COD=90°﹣30°=60°；
b：点C在射线OB上，∠AOC=∠AOB=90°；
c：点D在AO的延长线上，∠AOC=180°﹣∠COD=180°﹣30°=150°．
综上得n为60、90、150．
故答案为：60、90、150．②∵∠AOC=n°，OM平分∠AOC，
∴∠AOM= n°，
∠AOD=∠AOC+∠COD=n°+30°，
∠BOD=∠AOD﹣∠AOB=n°+30°﹣90°=n°﹣60°，
∵ON平分∠BOD，
∴∠DON= ∠BOD= ×（n°﹣60°）= n°﹣30°，
∠MON=∠AOD﹣∠AOM﹣∠DON=n°+30°﹣ n°﹣（ n°﹣30°）=60°
【分析】（1）根据，∠BOD=∠AOB﹣∠AOD=∠AOB﹣∠COD，而∠AOD=∠COD=30°，代入即可求出结论；
（2）①0＜n＜180，在旋转的过程中，能够发现∠COD的一边与∠AOB的一边垂直共有三种情况，分别求出每种情况下旋转的度数即可；
②∠AOC=n°，OM平分∠AOC，根据角平分线的定义及角与角之间的关系，将直接求∠MON得度数转换成求∠AOM，∠DON的度数，再依照角的关系即可求得结论．
34．【答案】（1）“17”在射线OE上；
（2）射线OA上数字的排列规律：6n-5
射线OB上数字的排列规律：6n-4
射线OC上数字的排列规律：6n-3射线OD上数字的排列规律：6n-2射线OE上数字的排列规律：6n-1射线OF上数字的排列规律：6n
（3）“2007”在射线OC上．
【知识点】直线、射线、线段
【解析】【解答】先由具体数字入手，找出规律，再利用规律解题.
【分析】此题点线结合找规律。
35．【答案】（1）解：∵三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转，
∴第t秒时，三角板转过的角度为10°t，
当三角板转到如图①所示时，∠AON=∠CON
∵∠AON=90°+10°t，∠CON=∠BOC+∠BON=120°+90°﹣10°t=210°﹣10°t
∴90°+10°t=210°﹣10°t
即t=6；
当三角板转到如图②所示时，∠AOC=∠CON=180°﹣120°=60°
∵∠CON=∠BOC﹣∠BON=120°﹣（10°t﹣90°）=210°﹣10°t
∴210°﹣10°t=60°
即t=15；
当三角板转到如图③所示时，∠AON=∠CON= ，
∵∠CON=∠BON﹣∠BOC=（10°t﹣90°）﹣120°=10°t﹣210°
∴10°t﹣210°=30°
即t=24；
当三角板转到如图④所示时，∠AON=∠AOC=60°
∵∠AON=10°t﹣180°﹣90°=10°t﹣270°
∴10°t﹣270°=60°
即t=33．
故t的值为6、15、24、33．
（2）解：∵∠MON=90°，∠AOC=60°，
∴∠AOM=90°﹣∠AON，∠NOC=60°﹣∠AON，
∴∠AOM﹣∠NOC=（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）=30°
【知识点】角的运算
【解析】【分析】（1）根据已知条件可知，在第t秒时，三角板转过的角度为10°t，然后按照OA、OC、ON三条射线构成相等的角分四种情况讨论，即可求出t的值；
（2）根据三角板∠MON=90°可求出∠AOM、∠NOC和∠AON的关系，然后两角相加即可求出二者之间的数量关系．
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