第一章 勾股定理微专题1 利用勾股定理解决折叠与展开问题 北师大版数学八年级上册微专题(含答案)

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北师大版数学八年级上册微专题
微专题1　利用勾股定理解决折叠与展开问题
类型一　利用勾股定理解决平面图形的折叠问题
1. 如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为( )
A.1cm B.1.5cm C.2cm D.3cm
2. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝5cm，BC＝10cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为( )
A.cm B. cm C.cm D.cm
3. 如图，将长方形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB＝9，BC＝6，则FC′的长为( )
A. B.4 C. D.5
4. 如图，长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
5. 如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为　 　.
6. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是　 　cm2.
7. 如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将它的锐角A翻折，使得点A落在BC边的中点D处，折痕交AC边于点E，交AB边于点F，则DE的长为　 　.
8. 为了欢庆国庆，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级(1)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品.陈莉同学制作手工作品的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长BC＝20cm，宽AB＝16cm的长方形纸片ABCD，②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的F处，请你根据①②步骤解答下列问题：计算EC，FC的长.
类型二　利用勾股定理解决立体图形的展开问题
9. 如图，一圆柱体的底面周长为30cm，高AB为8cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是( )
A.15cm B.17cm C.18cm D.30cm
10. 如图所示，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为　 cm.
11. 在一块长为2米，宽为1米的长方形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且＞AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处到达C处需要走的最短路程是　 　米.
12. 一位同学要用彩带装饰一个长方体礼盒.长方体高6cm，底面是边长为4cm的正方形，从顶点A到顶点C′如何贴彩带用的彩带最短 最短长度是多少
13. 我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何 ”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，求问题中葛藤的最短长度.
14. 如图，一个长方体形状的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处.
(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；
(2)当AB＝4，BC＝4，CC1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长的平方.
参 考 答 案
1. A 2. D 3. D 4. D
5. 7　6. 6　7. 　
8. 解：因为△ADE与△AFE关于AE对称，所以△ADE≌△AFE.所以DE＝FE，AD＝AF.因为BC＝20cm，AB＝16cm，所以CD＝16cm，AD＝AF＝20cm. 在Rt△ABF中，由勾股定理得BF＝12cm. 所以FC＝20－12＝8cm. 因为四边形ABCD是长方形，所以∠C＝90°. 设CE＝x，则DE＝EF＝16－x，在Rt△CEF中，由勾股定理得(16－x)2＝64＋x2. 解得x＝6. 所以EC＝6cm. 即EC＝6cm，FC＝8cm.
9. B
10. 15　11. 2.6　
12. 解：把长方体的面DCC′D′沿棱C′D′展开至面ABCD上，如图.构成长方形ABC′D′，则点A到点C′的最短距离为AC′的长度，连接AC′交DC于点O，易证△AOD≌△C′OC.∴OD＝OC.即O为DC的中点，由勾股定理，得AC′2＝AD′2＋D′C′2＝82＋62＝100，∴AC′＝10cm. 即从顶点A沿直线到DC中点O，再沿直线到顶点C′，贴的彩带最短，最短长度为10cm.
13. 解：展开后如图，∵BC＝20尺，AC＝5×3＝15(尺)，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝152＋202＝625，∴AB＝25尺. 答：葛藤的最短长度为25尺.
14. 解：(1)如图，木柜的表面展开图是两个长方形ABC1′D1和ACC1A1. 蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图所示的AC1′和AC1两种.
(2)①蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C′1，设爬过的路径的长为l1，则l12＝42＋(4＋5)2＝97；
②蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，设爬过的路径的长为l2，则l22＝52＋(4＋4)2＝89. ∵l12＞l22，∴最短路径的长的平方是89.
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