3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 同步练习（Word版含答案）

《第三节　从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式》同步练习
一、基础巩固
知识点1　二次函数的零点
1.函数y=x2-x-1的零点有(　　)
A.0个 B.1个
C.2个 D.无数个
2.[2022福建厦门一中高一质检]已知函数y=x2-4ax+a2(a>0)的两个零点分别为x1,x2,则x1+x2+的最小值为(　　)
A.8 B.6 C.4 D.2
3.[2022江苏南师附中高一上期末]已知函数y=x2+mx+5的两个零点在区间(0,+∞)内,则实数m的取值范围是(　　)
A.(-∞,0)
B.(-∞,-2)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
D.(2,+∞)
4.函数y=2x2+x-3在区间(-2,-)上的零点为　　　　.
5.已知a,b,c∈R,且a<0,关于x的方程ax2+bx+c=-2x的实根为1和3,若函数y=ax2+bx+c+6a只有一个零点,求a,b,c的值.
知识点2　不含参数的一元二次不等式的解法
6.[2022江苏南通如皋高一下期初]已知集合A={x|x2-2x-8<0},B={x|x>0},则A∩B=(　　)
A.{x|x>2} B.{x|0C.{x|07.在R上定义运算☉:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)>0的实数x的取值范围为(　　)
A.{x|0C.{x|x<-2或x>1} D.{x|-18.解下列不等式:
(1)6-2x≤x2-3x<18;
(2)x2-3|x|+2>0.
知识点3　含参数的一元二次不等式的解法
9.[2022江苏省泰州中学高一上期中]设m+n>0,则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集是(　　)
A.{x|x<-n或x>m} B.{x|-nC.{x|x<-m或x>n} D.{x|-m10.[2022江苏省盐城中学高一上期中]若使不等式x2+(m+2)x+2m≤0成立的任意一个x,都满足不等式2x-1≤0,则实数m的取值范围是(　　)
A.(-∞,-) B.(-∞,-]
C.(-,+∞) D.[-,+∞)
11.已知集合A={x|112.已知a∈R,解关于x的不等式(a+1)x2-(2a+3)x+2<0.
知识点4　三个“二次”之间的关系
13.[2022安徽省泾县中学高一上月考]不等式ax2-bx+c<0的解集为{x|x>1或x<-2},则函数y=ax2+bx+c的图象大致为(　　)
14.(多选)[2022江苏省海安高级中学高一下月考]不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|-1≤x≤2},则下列结论正确的是(　　)
A.a+b=0 B.a+b+c>0
C.c>0 D.b<0
15.[2022福建晋江一中高一上月考]关于x的不等式(x+b)(ax+5)>0的解集为{x|x<-1或x>3}.
(1)求关于x的不等式x2+bx-2a<0的解集;
(2)求关于x的不等式>1的解集.
知识点5　与一元二次不等式有关的恒成立或有解问题
16.[2022湖南部分学校高一联考]若对于任意的x∈[0,2],不等式x2-2x+a>0恒成立,则实数a的取值范围为(　　)
A.(-∞,1) B.(1,+∞)
C.(0,+∞) D.[1,+∞)
17.[2022江苏省扬州中学高一上期中]若“ x∈R,kx2-kx-1≥0”是假命题,则实数k的取值范围是(　　)
A.(-4,0) B.[-4,0)
C.[-4,0] D.(-4,0]
18.[2022河南信阳高二上期中]若关于x的不等式x2-m2x+m-1≥0在(-1,1)上有解,则实数m的取值范围为(　　)
A.(-∞,-1]∪[0,+∞)
B.(-∞,-1)∪(0,+∞)
C.[0,1]
D.(0,1)
19.[2022江苏省天一中学高一上期中]已知关于x的不等式-x2+4x≥a2-3a在R上有解,则实数a的取值范围是　　　　.
知识点6　一元二次不等式的实际应用
20.某文具店购进一批新型台灯,每盏最低售价为15元.若每盏按最低售价销售,每天能卖出30盏.若每盏售价每提高1元,日销售量将减少2盏.为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入,则这批台灯的销售单价x(单位:元)的取值范围是(　　)
A.(10,20) B.[15,20)
C.(15,20) D.[10,20)
21.[2022河北唐山高一上期末]某工厂每小时生产运输x kg某种药剂(生产条件要求边生产边运输且3(1)要使生产运输该药品3 h获得的利润不低于4 500元,求x的取值范围.
(2)x为何值时,每小时获得的利润最少 最少利润是多少
二、能力提升
1.[2022河南新乡高二上期末]已知p:aA.1 B.0 C.-1 D.2
2.若关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中恰有两个整数,则实数a的取值范围是(　　)
A.{a|3B.{a|-2C.{a|3D.{a|-2≤a<-1或33.[2022广东广雅中学高一上月考]不等式mx2-2x-1>0(m>0)的解集可能是(　　)
A.{x|x<-或x>1} B.R
C.{x|-4.[2022江苏徐州沛县高一上调研]正数a,b满足a+b=1,若不等式≥x2+4x+3+m对 x∈[-3,0]恒成立,则实数m的取值范围是(　　)
A.[3,+∞) B.(-∞,3]
C.(-∞,6] D.[6,+∞)
5.(多选)[2022江苏常州市田家炳高级中学高一调研]已知函数y=x2+ax+b(a>0)有且只有一个零点,则(　　)
A.a2-b2≤4
B.a2+≥4
C.若不等式x2+ax-b<0的解集为(x1,x2),则x1x2>0
D.若不等式x2+ax+b6.[2022重庆长寿中学高一上月考](1)若关于x的不等式ax2-2x+3≤0在R上有解,求实数a的取值范围;
(2)证明:关于x的不等式-2≤ax2-2x+3≤2恰有一个实数解的充要条件是a=1.
7.[2022江苏淮安高一上期末]某光伏企业投资144万元用于太阳能发电项目,n(n∈N*)年内的总维修保养费用为(4n2+ 20n)万元,该项目每年可给公司带来100万元的收入.假设到第n年年底,该项目的纯利润为y万元.(纯利润=累计收入-总维修保养费用-投资成本)
(1)写出纯利润y的表达式,并求该项目从第几年起开始盈利.
(2)若干年后,该公司为了投资新项目,决定转让该项目,现有以下两种处理方案:
①年平均利润最大时,以72万元转让该项目;
②纯利润最大时,以8万元转让该项目.
你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展 请说明理由.
参考答案
一、基础巩固
1.C　因为Δ=(-1)2-4×1×(-1)=5>0,所以函数y=x2-x-1有2个零点.
2.C　易得x1+x2=4a,x1x2=a2,所以x1+x2+=4a+≥2=4,当且仅当4a=,即a=时等号成立,所以x1+x2+的最小值为4.
3.B　设函数y=x2+mx+5的两个零点为x1,x2,则x1>0,x2>0,所以解得m<-2.
4.-
5.因为关于x的方程ax2+bx+c=-2x的实根为1和3,所以ax2+bx+c+2x=a(x-1)(x-3),
即ax2+(b+2)x+c=ax2-4ax+3a,
所以b=-4a-2,c=3a.
因为函数y=ax2+bx+c+6a只有一个零点,
所以关于x的方程ax2-(2+4a)x+9a=0有两个相等实根,所以Δ=(2+4a)2-36a2=0,
即5a2-4a-1=0,所以a=1或a=-.
又a<0,所以a=-,b=-,c=-.
6.C　因为A={x|x2-2x-8<0}={x|-20},所以A∩B={x|07.C　因为x☉(x-2)=x(x-2)+2x+x-2=x2+x-2>0,所以(x+2)(x-1)>0,所以x<-2或x>1.故选C.
8.(1)原不等式等价于
即即
所以-3所以原不等式的解集为(-3,-2]∪[3,6).
(2)方法一　原不等式等价于或
分别解这两个不等式组,得0≤x<1或x>2或-1故原不等式的解集为(-∞,-2)∪(-1,1)∪(2,+∞).
方法二　原不等式可化为|x|2-3|x|+2>0,
即(|x|-1)(|x|-2)>0,
所以0≤|x|<1或|x|>2,
即-12或x<-2.
故原不等式的解集为(-∞,-2)∪(-1,1)∪(2,+∞).
9.B　方程(m-x)(n+x)=0的两个根为m,-n.因为m+n>0,所以m>-n.又原不等式等价于(x-m)(x+n)<0,所以原不等式的解集是{x|-n10.D　由x2+(m+2)x+2m≤0得(x+2)(x+m)≤0,所以当m≥2时,解得-m≤x≤-2.当m<2时,解得-2≤x≤-m.又由2x-1≤0,解得x≤,所以m≥2或即m≥-.
11.[1,2]
12.①当a+1=0,即a=-1时,原不等式变为-x+2<0,即x>2.
②当a+1>0,即a>-1时,原不等式可转化为(x-2)(x-)<0,
方程(x-2)(x-)=0的根是,2.
若-12,解得2若a=-,则=2,此时无解;
若a>-,则<2,解得③当a+1<0,即a<-1时,原不等式可转化为(x-2)(x-)>0.
因为a<-1,所以<2,解得x<或x>2.
综上,当a>-时,原不等式的解集为{x|当a=-时,原不等式的解集为 ;
当-1当a=-1时,原不等式的解集为{x|x>2};
当a<-1时,原不等式的解集为{x|x<或x>2}.
13.C 14.ABC
15.(1)因为不等式(x+b)(ax+5)>0的解集为{x|x<-1或x>3},
所以解得
所以不等式x2+bx-2a<0化为x2-3x-10<0,解得-2所以所求不等式的解集为(-2,5).
(2)由(1)知不等式>1可化为>1,即-1>0,即>0,即(x+1)(5x+3)<0,解得-1所以所求不等式的解集为(-1,-).
16.B　不等式x2-2x+a>0,转化为a>-x2+2x.设y=-x2+2x,x∈[0,2],则y=-(x-1)2+1.当x=1时,ymax=1,所以a>1.
17.D　由题意,得 x∈R,kx2-kx-1<0.当k=0时,-1<0,符合题意;当k≠0时,有解得-418.B　令y=x2-m2x+m-1,其图象的对称轴方程为x=.因为≥0,所以若关于x的不等式x2-m2x+(m-1)≥0在(-1,1)有解,则当x=-1时,有(-1)2+m2+m-1>0,即m2+m>0,可得m>0或m<-1.
19.[-1,4]
20.B　由题意,知x[30-2(x-15)]>400,则-2x2+60x-400>0,即x2-30x+200<0,所以(x-10)(x-20)<0,即1021.(1)依题意得3×100(2x+1+)≥4 500,即2x+1+≥15.
因为30,可得x2-9x+18≥0,即(x-3)(x-6)≥0,解得x≤3或x≥6,
所以x的取值范围为[6,10].
(2)设每小时获得的利润为y元,
则y=100(2x+1+)=100[2(x-2)++5]≥100×(2+5)=1 300,当且仅当2(x-2)=,即x=4时取等号,
所以当x=4时,每小时获得的利润最少,最少利润是1 300元.
二、能力提升
1.C　因为关于x的方程ax2+2x+1=0有一正一负两个根,所以解得a<0.因为p是q的充分不必要条件,所以m<0.又m∈Z,则m的最大值为-1.
2.D　原不等式可转化为(x-1)(x-a)<0.当a>1时,解得13.A　当m=3时,不等式为3x2-2x-1>0,解得x<-或x>1,故A正确.记函数y=mx2-2x-1,因为m>0,所以y=mx2-2x-1的图象开口向上.又Δ=4+4m>0,所以不等式mx2-2x-1>0(m>0)的解集不可能是R或 ,可能表示为两根之外,不可能为两根之间.故B,C,D错误.
4.C　因为a+b=1,所以=(a+b)()=5+≥5+2=9,当且仅当,即a=,b=时取等号,所以不等式9≥x2+4x+3+m对 x∈[-3,0]恒成立,即x2+4x-6+m≤0对 x∈[-3,0]恒成立.令y=x2+4x-6+m.由二次函数图象的特征,知解得所以m≤6.
5.ABD
6.(1)①当a=0时,-2x+3≤0,
解得x≥,满足题意;
②当a<0时,函数y=ax2-2x+3的图象开口向下,所以ax2-2x+3≤0必有解;
③当a>0时,由Δ=4-12a≥0,解得a≤.
综上,实数a的取值范围为(-∞,].
(2)若a=1,则
即解得x=1,
所以关于x的不等式-2≤ax2-2x+3≤2恰有一个实数解,充分性成立.
若关于x的不等式-2≤ax2-2x+3≤2恰有一个实数解,
则当a=0时,-2≤-2x+3≤2,即≤x≤,不满足题意,舍去.
当a≠0,令y=ax2-2x+3.
若a>0时,则函数y=ax2-2x+3的图象开口向上,所以当x=时,有=2,所以a=1.
若a<0,则函数y=ax2-2x+3的图象开口向下,所以当x=时,有=-2,所以a=(舍去).
所以a=1,必要性成立.
综上,关于x的不等式-2≤ax2-2x+3≤2恰有一个实数解的充要条件是a=1.
7.(1)由题意可知y=100n-(4n2+20n)-144=-4n2+80n-144(n∈N*),
令y>0,得-4n2+80n-144>0,解得2(2)若选择方案①,设年平均利润为y1万元,
则y1==80-4(n+)≤80-4×2=32,当且仅当n=,即n=6时等号成立,所以当n=6时,y1取得最大值32,此时该项目共获利32×6+72=264(万元).
若选择方案②,纯利润y=-4n2+80n-144=-4(n-10)2+256,
所以当n=10时,y取得最大值256,此时该项目共获利256+8=264(万元).
以上两种方案获利均为264万元,但方案①只需6年,而方案②需10年,所以仅考虑该项目的获利情况时,选择方案①更有利于该公司的发展.