2018-2019学年初中数学北师大版七年级下册5.3简单的轴对称图形 同步练习
一、单选题
1．（2019八上·江海期末）如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：作PE⊥OA于E，
∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PE＝PD＝2，
故答案为：B．
【分析】先过点P作PE⊥OA于点E，根据角平分线的点到角两边的距离相等可得PE=PD=2.
2．（2019八上·凤山期末）下列图形中，对称轴的条数最多的是（ ）
A．长方形 B．正方形 C．等腰三角形 D．线段
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A.长方形有2条对称轴，即对边中点连线所在的直线；
B.正方形有4条对称轴，即对边中点连线和对角线所在的直线；
C.等腰三角形有1条对称轴，即底边上的高所在的直线；
D.线段有1条对称轴，即垂直平分线所在的直线；
故答案为：B.
【分析】根据对称轴的概念逐一分析即可得出答案.
3．（2019八上·澄海期末）如图，在△ABE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，∠E=30°，且AB=CE，则∠BAE的度数是（ ）
A．80° B．85° C．90° D．105°
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵点C在AE的垂直平分线MN上
∴AC=CE
∴∠EAC=∠E=30°
又∵AB=CE
∴AB=AC
∴∠B=∠ACB
又∵∠ACB是△ACE的外角
∴∠ACB=∠EAC+∠E=60°
∴∠B=∠ACB=60°
在△ABE中，∠BAE+∠E+∠B=180°
∴∠BAE=180°-∠E-∠B=180°-30°-60°=90°。
故答案为：C.
【分析】先根据线段的垂直平分线的性质证得线段AC=CE，然后用等腰三角形的性质得∠EAC=∠E=30°和∠B=∠ACB；再用 三角形外角的性质求得∠ACB=60°，易得∠B=∠ACB=60°；最后用三角形内角和定理求出∠BAE=90°。
4．（2019八上·黑龙江期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE=3，BD=2CD， 则BC=（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE=3,
∴BD=2CD=6,
∴BC=BD+DC=6+3=9。
故答案为：C。
【分析】因为角平分线上点到角两边的距离相等，所以DE=CD，最后利用BC=BD+DC即可求解。
5．（2019八上·德清期末）如果等腰三角形有一个内角为70°，则其底角的度数是（ ）．
A．55° B．70° C．55°或70° D．不确定
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①若底角为70°，∴底角度数为70°；
②若顶角为70°，∴底角度数为×（180°-70）=55°；
综上所述：底角度数为70°或55°.
故答案为：C.
【分析】根据题意分情况讨论：①若底角为70°，②若顶角为70°，由等腰三角形性质和三角形内角和定理即可求得答案.
6．用一条长为16cm的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为4cm，则该等腰三角形的腰长为（ ）
A．4cm B．6cm C．4cm或6cm D．4cm或8cm
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：4cm是腰长时，底边为16﹣4×2=8，
∵4+4=8，
∴4cm、4cm、8cm不能组成三角形；
4cm是底边时，腰长为 （16﹣4）=6cm，
4cm、6cm、6cm能够组成三角形；
综上所述，它的腰长为6cm．
故答案为：B．
【分析】利用三角形三边关系定理及等腰三角形的性质，分两种情况讨论：当4为腰长和4和底边长时，即可求出结果。
7．（2018八上·天台月考）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F
∵OP平分∠AOB，
∴PF=PE，∠PEO=∠PFO=90°
∴∠EPF+∠AOB=180°
∵∠MPN+∠AOB=180°
∴∠EPF=∠MPN
∴∠EPM=∠FPN
在△POE和△POF中
OP=OP，PE=PF
∴△POE≌△POF（HL）
∴OE=OF
在△PEM和△PFN中
∠MPE=∠NPF，PE=PF，∠PEM=∠PFN
∴△PEM≌△PFN（ASA）
∴EM=NF，PM=PN，故（1）正确；
S△PEM=S△PNF
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定植，故（3）正确；
∵OM+ON=OE+OF+ME-NF=2OE=定植，故（2）正确；
MN的长度要发生变化，故（4）错误。
正确的有（2）（3）（1）一共3个
故答案为：B
【分析】过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，利用角平分线的性质，可证PE=PF，再证明△POE≌△POF，可得出OE=OF，根据全等三角形的判定和性质，可证得EM=NF，PM=PN，就可对（1）作出判断；然后证明S△PEM=S△PNF，就可得出S四边形PMON=S四边形PEOF=定植，可对（3）作出判断；再证明OM+ON=2OE=定植，可对（2）作出判断；由题意可知MN的长度要发生变化，可对（4）作出判断，综上所述可得出正确的个数。
8．（2018八上·秀洲期中）如图，AB∥CD，AP，CP分别平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC于点E，且PE＝3cm，则AB与CD之间的距离为（ ）
A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．无法确定
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：作PF⊥AB于F，PG⊥CD于G，
∵AB∥CD，
∴P、F、G三点共线，
∵AP平分∠BAC，PE⊥AC，PF⊥AB，PE=3cm，
∴PE=PF=3cm，
又∵CP平分∠ACD，PE⊥AC，PG⊥CD，PE=3cm，
∴PE=PG=3cm，
∴FG=PF+PG=6cm，
即AB与CD之间的距离为6cm.
故答案为：B.
【分析】作PF⊥AB于F，PG⊥CD于G，根据角平分的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等可得PE=PG=PF，再根据平行线间的距离的定义即可求出答案.
9．（2018八上·秀洲期中）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于 AB长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连结AD．若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为（ ）
A．27 B．14 C．17 D．20
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵MN垂直平分BC，
∴AD=BD，
又∵△ADC的周长为10，
∴C△ADC=AD+DC+AC=10，
即BD+DC+AC=10，
∴BC+AC=10，
∵AB=7，
∴C△ABC=AB+BC+AC=7+10=17.
故答案为：C.
【分析】根据垂直平分线的性质可得AD=BD，再由△ADC的周长为10得BC+AC=10，根据三角形周长计算即可得出答案.
10．（2018九上·岐山期中）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠AEB为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．125°
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：因为ABCD是正方形，∴AB=AD,∠BAD=90°，∵三角形ADE是等边三角形，∴AE=AD,∠EAD=60°，∴∠BAE=150°，AB=AE,∴∠AEB=15°.
故答案为：B
【分析】根据正方形的性质得出AB=AD,∠BAD=90°，根据等边三角形的性质得出AE=AD,∠EAD=60°，故∠BAE=150°，AB=AE，根据等边对等角及三角形的内角和即可求出∠AEB的度数。
二、填空题
11．（2019八上·龙山期末）如图，△ABC的AC边的垂直平分线DE交BC于点E，若BC=4，AB=3，则△ABE的周长为
【答案】7
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ED为线段AC的垂直平分线
∴AE=EC
∵△ABE的周长=AB+BE+AE
即周长=AB+BE+EC=AB+BC=7。
故答案为：7。
【分析】根据线段垂直平分线的性质，到线段两个端点的距离相等，即可将△ABE的周长转化为AB和BC两条边的边长。
12．（2019八上·澄海期末）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E， ，DE=2，AB=4，则AC的长是 ．
【答案】3
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】如图，过点D作DF⊥AC于F。
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC
∴DF=DE=2
又∵+=7
∴
∴AB+AC=7
又∵AB=4
∴AC=3.
故答案为：3.
【分析】过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线的性质得DF=DE=2，然后用+列出方程求解即可。
13．（2019八上·官渡期末）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为 ．
【答案】17
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．
∴MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵△ADC的周长为10，
∴AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10，
∵AB=7，
∴△ABC的周长为：AC+BC+AB=10+7=17．
故答案为17．
【分析】由作图可知MN是AB的垂直平分线，由垂直平分线的性质可得AD=BD，进而可求 △ABC的周长 .
14．（2019八上·蒙自期末）如图，在 中， ， ， 的垂直平分线 交 于点 ，则 ．
【答案】3
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，AB=4，
∴AC=4，
∵CD=1，
∴AD=AC-CD=3，
∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴BD=AD=3；
故答案为：3．
【分析】根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BD=AD=AC-CD=3；
15．（2018八上·天台月考）等腰△ABC中，有一个角等于40°，则这个等腰三角形的顶角大小为 ．
【答案】40°或100°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当顶角为40°时，则这个等腰三角形的顶角为40°；
当底角为40°时
∴顶角为180°-2×40°=100°
故答案为：40°或100°
【分析】根据等腰三角形的性质，可知40°的角可能是顶角，也可能是底角，利用三角形内角和定理，可求解。
16．（2019八上·江门期中）如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，若S△ABD：S△ACD＝3：2，则AB：AC＝ ．
【答案】3：2
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AD是∠ABC的角平分线，△ABD与△ACD的高相等，
∴ S△ABD：S△ACD＝AB：AC=3：2 .
故答案为：3：2 .
【分析】根据角平分线的性质，可得出两个三角形的比等于对应底边的比。
三、解答题
17．（2019八上·鱼台期末）如图所示，在△ABC中，∠ABC=∠C，BD⊥AC交AC于D．
求证：∠DBC= ∠A．
【答案】 证明：作AE⊥BC于点E，如图：
∵∠ABC=∠C，
∴AB=AC，
又∵AE⊥BC，
∴∠CAE=∠BAC，∠CAE+∠BCD=90°，
∵BD⊥AC，
∴∠DBC+∠BCD=90°，
∴∠DBC=∠CAE=∠BAC.
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】作AE⊥BC于点E，根据等腰三角形性质：等角对等边得AB=AC，再由三角形三线合一有的性质得∠CAE=∠BAC，∠CAE+∠BCD=90°，由垂直定义和同角的余角相等即可得证.
18．（2018八上·柳州期中）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=50°，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E．求∠CBD的度数．
【答案】解：∵△ABC中，AB=AC，∠A=50°
∴∠ABC=∠C=（180°－50°）÷2=65°
∵DE垂直平分AB
∴DA=DB
∴∠ABD=∠A=50°
∴∠CBD=∠ABC－∠ABD=65°－50°=15°
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ABC的度数，再利用线段垂直平分线的性质证明AD=DB，就可得出∠ABD=∠A，然后由∠CBD=∠ABC－∠ABD，求出∠CBD的度数。
19．（2018八上·张家港期中）如图,在△ABC中,∠ACB=90 ，D是BC延长线上一点，E是BD的垂直平分线与AB的交点，DE交AC于点F，求证：EA=EF.
【答案】证明：过E作EG垂直于AC，交AC于G， ∵∠ACB=90°， ∴EG//BD， ∴∠AEG=∠B，∠D=∠DEG. ∵E是BD的垂直平分线与AB的交点， ∴BE=DE， ∴∠B=∠D， ∴∠AEG=∠DEG. 在△AEG与△FEG中， ∵∠AEG=∠FEG EG=EG ∠AGE=∠FGE， ∴△AEG与△FEG (ASA)， ∴EA=EF.
【知识点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】 过E作EG垂直于AC，交AC于G， 利用线段垂直平分线的性质，可证BE=DE，利用等腰三角形的性质，可得出∠B=∠D，再根据平行线的性质，易证∠AEG=∠B，∠GEF=∠D，从而证得∠AEG=∠GEF，然后利用ASA证明△AEG≌△FEG，利用全等三角形的性质，就可证得结论。
20．（2018八上·黄石期中）一个等腰三角形的一边长为6cm，周长为20cm，求其他两边的长．
【答案】解：
底边长为 ，则腰长为： ，所以另两边的长为 能构成三角形；
腰长为 ，则底边长为： 底边长为 ，另一个腰长为 ，能构成三角形.
因此另两边长为 或
答：这个等腰三角形的其它两边的长为 或
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】当底边长为6cm时，腰长为（20-6）÷2，由三角形的三边关系得到能构成三角形；当腰长是6cm时，底边长是（20-6×2），能构成三角形.
21．（2019八上·椒江期末）如图，在等边△ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接AD，BD，其中BD交直线AP于点E(点E不与点A重合）．
（1）若∠CAP=20°.
①求∠AEB= °；
②连结CE，直接写出AE，BE，CE之间的数量关系 ．
（2）若∠CAP= (0 < <120 ).
①∠AEB的度数是否发生变化，若发生变化，请求出∠AEB度数；
②AE，BE，CE之间的数量关系是否发生变化，并证明你的结论.
【答案】（1）60；AE+CE=BE
（2）解：①0 < < 如图∠AEB = 60 AE+CE=BE证明略
② < < 如图∠AEB = ，AE+BE=CE证明略
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】（1） ①∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC，∠BAC=60°
∵ 点C关于直线AP的对称点为点D
∴△ACE和△ADE关于直线AF对称
∴AC=AD，∠CAE=∠DAE=20°
∴AB=AD
∴∠D=∠ABD
∴∠BAD=∠BAC+∠CAE+∠DAE=60°+20°+20°=100°
∴∠D=（180°-100°）÷2=40°
∴∠AEB=∠D+∠DAE=40°+20°=60°
②在线段EB上截取EF=AE
∵∠AEB=60°
∴△AEF是等边三角形
∴AE=AF，∠AFE=60°
∵∠AEB=∠DEP=∠CEP=60°
∴∠AFB=180°-60°=120°，∠AEC=180°-∠CEP=180°-60°=120°
∴∠AFB=∠AEC
∵∠B=∠ACE=∠D
∴∠BAF=∠CAE
在△AFB和△AEC中
AE=AF ∠BAF=∠CAE AB=AC
∴△AFB≌△AEC（SAS）
∴BF=CE
∴BE=BF+EF=CE+AE
∴AE、BE、CE之间的数量关系为BE=CE+AE
（2） ①0 < < 如图
证法同（1）中
可证∠AEB = AE，BE，CE之间的数量关系为：AE+CE=BE
② < < 时，在线段EC上截取ME=AE，
同理可证△AME是等边三角形
∴AM=AE，∠BAM+∠BAE=60°=∠AME
∵△ABC是等边三角形
∴∠CAM+∠BAM=60°
∴∠CAM=∠BAE
∵AB=AC
∴△ACM≌△ABE
∴CM=BE，∠AEB=∠AMC
∵CE=CM+ME=BE+AE
∴∠AEB=∠AMC=180°-∠AME=180°-60°=120°。
【分析】（1） ①利用等边三角形的性质，可证得AB=AC，∠BAC=60°，再利用轴对称的性质，可证得AC=AD，∠CAE=∠DAE=20°，再证明∠D=∠ABD，就可求出∠BAD、∠D的度数，然后由∠AEB=∠D+∠DAE，可求出结果；②在线段EB上截取EF=AE，易证△AEF是等边三角形，再证明∠BAF=∠CAE，利用SAS可证△AFB≌△AEC，然后利用全等三角形的性质可证得BF=CE，然后由BE=BF+EF，即可证得结论。
（3）①同（1）的证法类似，可证得结论；②在线段EC上截取ME=AE，同理可证△AME是等边三角形，可证AM=AE，∠BAM+∠BAE=60°，利用等边三角形的性质，去证明∠CAM=∠BAE，再利用SAS证明△ACM≌△ABE，利用全等三角形的性质，可证得CM=BE，∠AEB=∠AMC，然后就可求出∠AEB及可证得AE、BE、CE之间的数量关系。
22．（2018八上·柳州期中）已知：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．
（1）求证：AD=BE；
（2）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，D点、E点关于直线CM对称，连接BE．探索线段CM、AE、BE之间有何数量关系，请说明理由.
【答案】（1）证明：∵△ACB和△DCE为等边三角形
∴AC=BC DC=CE ∠ACB=∠DCE=60°
∵∠ACD+∠DCB=60°
∠ECB+∠DCB=60°
∴∠ACD=∠ECB
在△ACD和△BCE中
△ACD≌△BCE（SAS）
∴AD=BE
（2）∵△ACB和△DCE为等腰直角三角形
∴AC=BC DC=CE ∠ACB=∠DCE=90°
∵∠ACD+∠DCB=90°
∠ECB+∠DCB=90°
∴∠ACD=∠ECB
在△ACD和△BCE中
△ACD≌△BCE（SAS）
∴AD=EB
∵D点、E点关于直线CM对称
∴DM=ME= DE
在△DCE中
∵CD=CE，CM是△DCE的中线
∴∠DCM=∠ECM=45°
∴CM=DM=ME
AE=AD+DM+ME
即AE=BE+CM+CM
AE-BE=2CM
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【分析】（1）利用等边三角形的性质证明AC=BC DC=CE，∠ACD=∠ECB，再利用SAS证明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质，可证得结论。
（2）利用等腰直角三角形的性质及已知条件证明 AC=BC DC=CE， ∠ACD=∠ECB，再利用SAS证明△ACD≌△BCE，利用全等三角形的性质，可证得AD=EB，由D点、E点关于直线CM对称，可证DM=ME= DE ，利用直角三角形的性质证明CM=DM=ME，然后由AE=AD+DM+ME，即可证得结论。
1 / 12018-2019学年初中数学北师大版七年级下册5.3简单的轴对称图形 同步练习
一、单选题
1．（2019八上·江海期末）如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是（ ）
A．1 B．2 C． D．4
2．（2019八上·凤山期末）下列图形中，对称轴的条数最多的是（ ）
A．长方形 B．正方形 C．等腰三角形 D．线段
3．（2019八上·澄海期末）如图，在△ABE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，∠E=30°，且AB=CE，则∠BAE的度数是（ ）
A．80° B．85° C．90° D．105°
4．（2019八上·黑龙江期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE=3，BD=2CD， 则BC=（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．（2019八上·德清期末）如果等腰三角形有一个内角为70°，则其底角的度数是（ ）．
A．55° B．70° C．55°或70° D．不确定
6．用一条长为16cm的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为4cm，则该等腰三角形的腰长为（ ）
A．4cm B．6cm C．4cm或6cm D．4cm或8cm
7．（2018八上·天台月考）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．（2018八上·秀洲期中）如图，AB∥CD，AP，CP分别平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC于点E，且PE＝3cm，则AB与CD之间的距离为（ ）
A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．无法确定
9．（2018八上·秀洲期中）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于 AB长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连结AD．若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为（ ）
A．27 B．14 C．17 D．20
10．（2018九上·岐山期中）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠AEB为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．125°
二、填空题
11．（2019八上·龙山期末）如图，△ABC的AC边的垂直平分线DE交BC于点E，若BC=4，AB=3，则△ABE的周长为
12．（2019八上·澄海期末）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E， ，DE=2，AB=4，则AC的长是 ．
13．（2019八上·官渡期末）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为 ．
14．（2019八上·蒙自期末）如图，在 中， ， ， 的垂直平分线 交 于点 ，则 ．
15．（2018八上·天台月考）等腰△ABC中，有一个角等于40°，则这个等腰三角形的顶角大小为 ．
16．（2019八上·江门期中）如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，若S△ABD：S△ACD＝3：2，则AB：AC＝ ．
三、解答题
17．（2019八上·鱼台期末）如图所示，在△ABC中，∠ABC=∠C，BD⊥AC交AC于D．
求证：∠DBC= ∠A．
18．（2018八上·柳州期中）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=50°，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E．求∠CBD的度数．
19．（2018八上·张家港期中）如图,在△ABC中,∠ACB=90 ，D是BC延长线上一点，E是BD的垂直平分线与AB的交点，DE交AC于点F，求证：EA=EF.
20．（2018八上·黄石期中）一个等腰三角形的一边长为6cm，周长为20cm，求其他两边的长．
21．（2019八上·椒江期末）如图，在等边△ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接AD，BD，其中BD交直线AP于点E(点E不与点A重合）．
（1）若∠CAP=20°.
①求∠AEB= °；
②连结CE，直接写出AE，BE，CE之间的数量关系 ．
（2）若∠CAP= (0 < <120 ).
①∠AEB的度数是否发生变化，若发生变化，请求出∠AEB度数；
②AE，BE，CE之间的数量关系是否发生变化，并证明你的结论.
22．（2018八上·柳州期中）已知：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．
（1）求证：AD=BE；
（2）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，D点、E点关于直线CM对称，连接BE．探索线段CM、AE、BE之间有何数量关系，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：作PE⊥OA于E，
∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PE＝PD＝2，
故答案为：B．
【分析】先过点P作PE⊥OA于点E，根据角平分线的点到角两边的距离相等可得PE=PD=2.
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A.长方形有2条对称轴，即对边中点连线所在的直线；
B.正方形有4条对称轴，即对边中点连线和对角线所在的直线；
C.等腰三角形有1条对称轴，即底边上的高所在的直线；
D.线段有1条对称轴，即垂直平分线所在的直线；
故答案为：B.
【分析】根据对称轴的概念逐一分析即可得出答案.
3．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵点C在AE的垂直平分线MN上
∴AC=CE
∴∠EAC=∠E=30°
又∵AB=CE
∴AB=AC
∴∠B=∠ACB
又∵∠ACB是△ACE的外角
∴∠ACB=∠EAC+∠E=60°
∴∠B=∠ACB=60°
在△ABE中，∠BAE+∠E+∠B=180°
∴∠BAE=180°-∠E-∠B=180°-30°-60°=90°。
故答案为：C.
【分析】先根据线段的垂直平分线的性质证得线段AC=CE，然后用等腰三角形的性质得∠EAC=∠E=30°和∠B=∠ACB；再用 三角形外角的性质求得∠ACB=60°，易得∠B=∠ACB=60°；最后用三角形内角和定理求出∠BAE=90°。
4．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE=3,
∴BD=2CD=6,
∴BC=BD+DC=6+3=9。
故答案为：C。
【分析】因为角平分线上点到角两边的距离相等，所以DE=CD，最后利用BC=BD+DC即可求解。
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①若底角为70°，∴底角度数为70°；
②若顶角为70°，∴底角度数为×（180°-70）=55°；
综上所述：底角度数为70°或55°.
故答案为：C.
【分析】根据题意分情况讨论：①若底角为70°，②若顶角为70°，由等腰三角形性质和三角形内角和定理即可求得答案.
6．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：4cm是腰长时，底边为16﹣4×2=8，
∵4+4=8，
∴4cm、4cm、8cm不能组成三角形；
4cm是底边时，腰长为 （16﹣4）=6cm，
4cm、6cm、6cm能够组成三角形；
综上所述，它的腰长为6cm．
故答案为：B．
【分析】利用三角形三边关系定理及等腰三角形的性质，分两种情况讨论：当4为腰长和4和底边长时，即可求出结果。
7．【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F
∵OP平分∠AOB，
∴PF=PE，∠PEO=∠PFO=90°
∴∠EPF+∠AOB=180°
∵∠MPN+∠AOB=180°
∴∠EPF=∠MPN
∴∠EPM=∠FPN
在△POE和△POF中
OP=OP，PE=PF
∴△POE≌△POF（HL）
∴OE=OF
在△PEM和△PFN中
∠MPE=∠NPF，PE=PF，∠PEM=∠PFN
∴△PEM≌△PFN（ASA）
∴EM=NF，PM=PN，故（1）正确；
S△PEM=S△PNF
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定植，故（3）正确；
∵OM+ON=OE+OF+ME-NF=2OE=定植，故（2）正确；
MN的长度要发生变化，故（4）错误。
正确的有（2）（3）（1）一共3个
故答案为：B
【分析】过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，利用角平分线的性质，可证PE=PF，再证明△POE≌△POF，可得出OE=OF，根据全等三角形的判定和性质，可证得EM=NF，PM=PN，就可对（1）作出判断；然后证明S△PEM=S△PNF，就可得出S四边形PMON=S四边形PEOF=定植，可对（3）作出判断；再证明OM+ON=2OE=定植，可对（2）作出判断；由题意可知MN的长度要发生变化，可对（4）作出判断，综上所述可得出正确的个数。
8．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：作PF⊥AB于F，PG⊥CD于G，
∵AB∥CD，
∴P、F、G三点共线，
∵AP平分∠BAC，PE⊥AC，PF⊥AB，PE=3cm，
∴PE=PF=3cm，
又∵CP平分∠ACD，PE⊥AC，PG⊥CD，PE=3cm，
∴PE=PG=3cm，
∴FG=PF+PG=6cm，
即AB与CD之间的距离为6cm.
故答案为：B.
【分析】作PF⊥AB于F，PG⊥CD于G，根据角平分的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等可得PE=PG=PF，再根据平行线间的距离的定义即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵MN垂直平分BC，
∴AD=BD，
又∵△ADC的周长为10，
∴C△ADC=AD+DC+AC=10，
即BD+DC+AC=10，
∴BC+AC=10，
∵AB=7，
∴C△ABC=AB+BC+AC=7+10=17.
故答案为：C.
【分析】根据垂直平分线的性质可得AD=BD，再由△ADC的周长为10得BC+AC=10，根据三角形周长计算即可得出答案.
10．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：因为ABCD是正方形，∴AB=AD,∠BAD=90°，∵三角形ADE是等边三角形，∴AE=AD,∠EAD=60°，∴∠BAE=150°，AB=AE,∴∠AEB=15°.
故答案为：B
【分析】根据正方形的性质得出AB=AD,∠BAD=90°，根据等边三角形的性质得出AE=AD,∠EAD=60°，故∠BAE=150°，AB=AE，根据等边对等角及三角形的内角和即可求出∠AEB的度数。
11．【答案】7
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ED为线段AC的垂直平分线
∴AE=EC
∵△ABE的周长=AB+BE+AE
即周长=AB+BE+EC=AB+BC=7。
故答案为：7。
【分析】根据线段垂直平分线的性质，到线段两个端点的距离相等，即可将△ABE的周长转化为AB和BC两条边的边长。
12．【答案】3
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】如图，过点D作DF⊥AC于F。
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC
∴DF=DE=2
又∵+=7
∴
∴AB+AC=7
又∵AB=4
∴AC=3.
故答案为：3.
【分析】过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线的性质得DF=DE=2，然后用+列出方程求解即可。
13．【答案】17
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．
∴MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵△ADC的周长为10，
∴AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10，
∵AB=7，
∴△ABC的周长为：AC+BC+AB=10+7=17．
故答案为17．
【分析】由作图可知MN是AB的垂直平分线，由垂直平分线的性质可得AD=BD，进而可求 △ABC的周长 .
14．【答案】3
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，AB=4，
∴AC=4，
∵CD=1，
∴AD=AC-CD=3，
∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴BD=AD=3；
故答案为：3．
【分析】根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BD=AD=AC-CD=3；
15．【答案】40°或100°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当顶角为40°时，则这个等腰三角形的顶角为40°；
当底角为40°时
∴顶角为180°-2×40°=100°
故答案为：40°或100°
【分析】根据等腰三角形的性质，可知40°的角可能是顶角，也可能是底角，利用三角形内角和定理，可求解。
16．【答案】3：2
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AD是∠ABC的角平分线，△ABD与△ACD的高相等，
∴ S△ABD：S△ACD＝AB：AC=3：2 .
故答案为：3：2 .
【分析】根据角平分线的性质，可得出两个三角形的比等于对应底边的比。
17．【答案】 证明：作AE⊥BC于点E，如图：
∵∠ABC=∠C，
∴AB=AC，
又∵AE⊥BC，
∴∠CAE=∠BAC，∠CAE+∠BCD=90°，
∵BD⊥AC，
∴∠DBC+∠BCD=90°，
∴∠DBC=∠CAE=∠BAC.
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】作AE⊥BC于点E，根据等腰三角形性质：等角对等边得AB=AC，再由三角形三线合一有的性质得∠CAE=∠BAC，∠CAE+∠BCD=90°，由垂直定义和同角的余角相等即可得证.
18．【答案】解：∵△ABC中，AB=AC，∠A=50°
∴∠ABC=∠C=（180°－50°）÷2=65°
∵DE垂直平分AB
∴DA=DB
∴∠ABD=∠A=50°
∴∠CBD=∠ABC－∠ABD=65°－50°=15°
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ABC的度数，再利用线段垂直平分线的性质证明AD=DB，就可得出∠ABD=∠A，然后由∠CBD=∠ABC－∠ABD，求出∠CBD的度数。
19．【答案】证明：过E作EG垂直于AC，交AC于G， ∵∠ACB=90°， ∴EG//BD， ∴∠AEG=∠B，∠D=∠DEG. ∵E是BD的垂直平分线与AB的交点， ∴BE=DE， ∴∠B=∠D， ∴∠AEG=∠DEG. 在△AEG与△FEG中， ∵∠AEG=∠FEG EG=EG ∠AGE=∠FGE， ∴△AEG与△FEG (ASA)， ∴EA=EF.
【知识点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】 过E作EG垂直于AC，交AC于G， 利用线段垂直平分线的性质，可证BE=DE，利用等腰三角形的性质，可得出∠B=∠D，再根据平行线的性质，易证∠AEG=∠B，∠GEF=∠D，从而证得∠AEG=∠GEF，然后利用ASA证明△AEG≌△FEG，利用全等三角形的性质，就可证得结论。
20．【答案】解：
底边长为 ，则腰长为： ，所以另两边的长为 能构成三角形；
腰长为 ，则底边长为： 底边长为 ，另一个腰长为 ，能构成三角形.
因此另两边长为 或
答：这个等腰三角形的其它两边的长为 或
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】当底边长为6cm时，腰长为（20-6）÷2，由三角形的三边关系得到能构成三角形；当腰长是6cm时，底边长是（20-6×2），能构成三角形.
21．【答案】（1）60；AE+CE=BE
（2）解：①0 < < 如图∠AEB = 60 AE+CE=BE证明略
② < < 如图∠AEB = ，AE+BE=CE证明略
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】（1） ①∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC，∠BAC=60°
∵ 点C关于直线AP的对称点为点D
∴△ACE和△ADE关于直线AF对称
∴AC=AD，∠CAE=∠DAE=20°
∴AB=AD
∴∠D=∠ABD
∴∠BAD=∠BAC+∠CAE+∠DAE=60°+20°+20°=100°
∴∠D=（180°-100°）÷2=40°
∴∠AEB=∠D+∠DAE=40°+20°=60°
②在线段EB上截取EF=AE
∵∠AEB=60°
∴△AEF是等边三角形
∴AE=AF，∠AFE=60°
∵∠AEB=∠DEP=∠CEP=60°
∴∠AFB=180°-60°=120°，∠AEC=180°-∠CEP=180°-60°=120°
∴∠AFB=∠AEC
∵∠B=∠ACE=∠D
∴∠BAF=∠CAE
在△AFB和△AEC中
AE=AF ∠BAF=∠CAE AB=AC
∴△AFB≌△AEC（SAS）
∴BF=CE
∴BE=BF+EF=CE+AE
∴AE、BE、CE之间的数量关系为BE=CE+AE
（2） ①0 < < 如图
证法同（1）中
可证∠AEB = AE，BE，CE之间的数量关系为：AE+CE=BE
② < < 时，在线段EC上截取ME=AE，
同理可证△AME是等边三角形
∴AM=AE，∠BAM+∠BAE=60°=∠AME
∵△ABC是等边三角形
∴∠CAM+∠BAM=60°
∴∠CAM=∠BAE
∵AB=AC
∴△ACM≌△ABE
∴CM=BE，∠AEB=∠AMC
∵CE=CM+ME=BE+AE
∴∠AEB=∠AMC=180°-∠AME=180°-60°=120°。
【分析】（1） ①利用等边三角形的性质，可证得AB=AC，∠BAC=60°，再利用轴对称的性质，可证得AC=AD，∠CAE=∠DAE=20°，再证明∠D=∠ABD，就可求出∠BAD、∠D的度数，然后由∠AEB=∠D+∠DAE，可求出结果；②在线段EB上截取EF=AE，易证△AEF是等边三角形，再证明∠BAF=∠CAE，利用SAS可证△AFB≌△AEC，然后利用全等三角形的性质可证得BF=CE，然后由BE=BF+EF，即可证得结论。
（3）①同（1）的证法类似，可证得结论；②在线段EC上截取ME=AE，同理可证△AME是等边三角形，可证AM=AE，∠BAM+∠BAE=60°，利用等边三角形的性质，去证明∠CAM=∠BAE，再利用SAS证明△ACM≌△ABE，利用全等三角形的性质，可证得CM=BE，∠AEB=∠AMC，然后就可求出∠AEB及可证得AE、BE、CE之间的数量关系。
22．【答案】（1）证明：∵△ACB和△DCE为等边三角形
∴AC=BC DC=CE ∠ACB=∠DCE=60°
∵∠ACD+∠DCB=60°
∠ECB+∠DCB=60°
∴∠ACD=∠ECB
在△ACD和△BCE中
△ACD≌△BCE（SAS）
∴AD=BE
（2）∵△ACB和△DCE为等腰直角三角形
∴AC=BC DC=CE ∠ACB=∠DCE=90°
∵∠ACD+∠DCB=90°
∠ECB+∠DCB=90°
∴∠ACD=∠ECB
在△ACD和△BCE中
△ACD≌△BCE（SAS）
∴AD=EB
∵D点、E点关于直线CM对称
∴DM=ME= DE
在△DCE中
∵CD=CE，CM是△DCE的中线
∴∠DCM=∠ECM=45°
∴CM=DM=ME
AE=AD+DM+ME
即AE=BE+CM+CM
AE-BE=2CM
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【分析】（1）利用等边三角形的性质证明AC=BC DC=CE，∠ACD=∠ECB，再利用SAS证明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质，可证得结论。
（2）利用等腰直角三角形的性质及已知条件证明 AC=BC DC=CE， ∠ACD=∠ECB，再利用SAS证明△ACD≌△BCE，利用全等三角形的性质，可证得AD=EB，由D点、E点关于直线CM对称，可证DM=ME= DE ，利用直角三角形的性质证明CM=DM=ME，然后由AE=AD+DM+ME，即可证得结论。
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