山西省忻州市2012-2013学年第二学期高二期末联考数学（文）试题（B类）

学校 姓名 联考证号
山西省忻州市2012-2013学年第二学期高二期末联考
数学（文）试题（B类）
注意事项:
1．答题前，考生务必用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔将学校名称、姓名、班级、联考证号、座位号填写在试题和试卷上。
2．请把所有答案做在试卷上，交卷时只交试卷，不交试题，答案写在试题上无效。
3．满分150分，考试时间120分钟。
一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设集合M{0,1,2,3,4}，N{1,3,5}， M∩NP，则集合P中的元素个数为
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
2．复数
A． B． C． D．
3．tan210(
A．1 B． C． D．
4．已知p：“”，q：“”，则p是q的
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．利用独立性检验来考察两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定“X和Y有关系”的可信程度，如果，那么有把握认为“X和Y有关系”的百分比为
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
2.702
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
A．25% B．75% C．2.5% D．97.5%
6．给出下列四个命题：
①空集是任何集合的子集；②若，则；
③有的指数函数是增函数；④空间中两条不相交的直线一定互相平行．
其中正确的命题为
A．①② B．①③ C．①②③ D．③④
7．某高中随机选取5名女学生，其身高和体重数据如下表所示
编号
1
2
3
4
5
身高/cm
160
165
160
175
165
体重/kg
46
48
47
50
49
通过计算得到了体重y关于身高x的回归直线方程，则此直线一定过点
A．（165,49） B．（160,46） C．（175,50） D．（165,48）
8．函数在上
A．有最大值2 B．有最小值2 C．有最小值－2 D．有最大值－2
9．过点（1,0）且离心率为的双曲线的方程为
A． B．
C． D．
10．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是
A．－1 B．2
C． D．4
11．设,则
A．
B．
C．
D．
12．函数在上是增函数，则a的取值范围是
A． B．
C． D．
二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答卷纸的相应位置上)
13．抛物线C：y24x的焦点坐标是▲ ．
14．已知数列中，，则 ▲ ．
15．曲线在点处的切线方程为 ▲ ．
16．在三棱锥中，两两垂直，且，则此三棱锥外接球的表面积为 ▲ ．
三．解答题(本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)
17．（本小题满分10分）
已知数列是等差数列，且，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列为等比数列，且，试求数列的前n项和．
18．（本小题满分12分）
已知f (x) (x(R)．
（Ⅰ）求函数f (x)的周期和最大值；
（Ⅱ）若f (A－)，求cos 2A的值．
19．（本小题满分12分）
某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]之间，其频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）抽样的100根棉花纤维中有多少根的长度在[15,20)内；
（Ⅱ）若把频率当作概率，那么这批棉花的纤维长度在[20,30)内的概率为多少？
20．(本小题满分12分)
如图，在三棱锥A—BCD中，AD平面ABC，BAC120(，且ABACAD2，点E在BC上，且AEAC．
(Ⅰ) 求证：ACDE；
(Ⅱ) 求点B到平面ACD的距离．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆：过点(2,0)，且离心率为．
(Ⅰ) 求椭圆的方程；
(Ⅱ) 过点且斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，
求证：．
22．（本小题满分12分）
已知函数，
(Ⅰ) 求的单调区间；
(Ⅱ) 若直线ym与的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围．
忻州市2012－2013学年第二学期期末联考
高二数学(文科B类)参考答案及评分标准
一．选择题(每小题5分，共60分)
ABCBD BDADB AC
二．填空题(每小题5分，共20分)
13．（1,0） 14．1 15． 16．
三．解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(本小题满分10分)
解：（Ⅰ）由公式可知， ……2分
由，，解得d1， ……3分
故的通项． ……5分
（Ⅱ）由（1）知，数列的公比q3， ……7分
∴． ……8分
由等比数列前n项和公式得：
． ……10分
18．（本小题满分12分）
解：(Ⅰ) ∵，
∴函数f (x)的最小正周期为T2(． ……3分
当，即 (k(Z)时，f (x)的最大值为2． ……6分
（Ⅱ），∴． ……9分
∴． ……12分
19．(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）棉花纤维的长度在[15,20)内的频率是 ……3分，
所以棉花纤维的长度在[15,20)内的棉花共有100×0.220根． . ……6分
（Ⅱ）棉花纤维的长度在区间[20,30)内的频率为，
亦即棉花纤维的长度在此区间内的频率为0.55， ……8分
所以，这批棉花的纤维的长度在[20,30)内的概率为0.55． ……12分
20．（本小题满分12分）
（I）∵DA(平面ABC，∴AD( AC， ……2分
∵AE(AC． ∴AC(平面ADE，∴ACDE． ……6分
（II）
法一：过B点作AC的垂线，垂足为F，
∵DA(平面ABC，∴AD( BF
∴BF(平面ACD，因此BF的长为点B到平面ACD的距离，
在中，AB2，BAF180(－120(60(，
∴, ∴点B到平面ACD的距离为．
法二：的面积，
∴三棱锥D－ABC的体积为， ……9分
∵的面积，三棱锥Ｂ－ACＤ的体积和三棱锥D－ABC
的体积相等，∴，∴． ……11分
∴点B到平面ACD的距离为． ……12分
21．（本小题满分12分）
解：(Ⅰ)由题意可知，， ……2分
∵椭圆的离心率为，即，∴． ……4分
∴椭圆的方程为． ……5分
(Ⅱ)设，
由题意可得直线l的方程为：． ……7分
由方程组消去y得：，
∴， ……9分
……11分
∴． ……12分
22．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵， ……２分
∴当或时，，当时，， ……４分
所以的单调增区间为，单调减区间为． ……6分
（Ⅱ）由（1）中的单调性可知，在处取得极大值，
在处取得极小值． ……10分
直线与函数的图象有三个不同的交点，
∴，即的取值范围是． ……12分
注：如有其它解法，酌情给分．
高二数学试题(文科B类)双向细目表
序号
内 容
选择题
填空题
解答题
小计
1
集合
5
5
2
复数
5
5
3
外接球
5
5
4
三角函数
10
12
22
5
圆锥曲线
5
5
12
22
6
数列
5
10
15
7
导数及其应用
10
5
12
27
8
程序框图
5
5
9
简易逻辑
10
10
10
独立性检验
5
5
11
回归直线方程
5
5
12
统计概率
12
12
13
立体几何
12
12
合计
60
20
70
150
说明：
1．第4题是课本选修1－2，P9导入题改编（5分）．
2．第5题是课本选修1－1，P13概念改编（5分）．
3．第6题是课本选修1－1，P2例1改编（5分）．
4．第7题是课本选修1－2，P2例1改编（5分）．
5．第8题是课本选修1－1，P85习题3.2A组6题改编（5分）．
6．第11题是课本选修1－2，P47复习参考题B组3题改编（5分）．
7．第12题是课本选修1－2，P32例7改编（5分）．
8．第14题是课本选修1－2，P30练习题1题改编（5分）．
9．第16题是课本选修1－2，P27例4改编（5分）．
10．第20题是课本选修1－2，P44习题2.2 A组题2题改编（12分）．
11．第21题是课本选修1－1，P43习题2.1 B组题1题改编（12分）．
12．第22题是课本选修1－1，P99习题3.3 A组题5题（2）小题改编（12分）．
学校 姓名 联考证号
山西省忻州市2012-2013学年第二学期高二期末联考
数学（文）试题（B类）
注意事项:
1．答题前，考生务必用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔将学校名称、姓名、班级、联考证号、座位号填写在试题和试卷上。
2．请把所有答案做在试卷上，交卷时只交试卷，不交试题，答案写在试题上无效。
3．满分150分，考试时间120分钟。
一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设集合M{0,1,2,3,4}，N{1,3,5}， M∩NP，则集合P中的元素个数为
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
2．复数
A． B． C． D．
3．tan210(
A．1 B． C． D．
4．已知p：“”，q：“”，则p是q的
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．利用独立性检验来考察两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定“X和Y有关系”的可信程度，如果，那么有把握认为“X和Y有关系”的百分比为
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
2.702
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
A．25% B．75% C．2.5% D．97.5%
6．给出下列四个命题：
①空集是任何集合的子集；②若，则；
③有的指数函数是增函数；④空间中两条不相交的直线一定互相平行．
其中正确的命题为
A．①② B．①③ C．①②③ D．③④
7．某高中随机选取5名女学生，其身高和体重数据如下表所示
编号
1
2
3
4
5
身高/cm
160
165
160
175
165
体重/kg
46
48
47
50
49
通过计算得到了体重y关于身高x的回归直线方程，则此直线一定过点
A．（165,49） B．（160,46） C．（175,50） D．（165,48）
8．函数在上
A．有最大值2 B．有最小值2 C．有最小值－2 D．有最大值－2
9．过点（1,0）且离心率为的双曲线的方程为
A． B．
C． D．
10．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是
A．－1 B．2
C． D．4
11．设,则
A．
B．
C．
D．
12．函数在上是增函数，则a的取值范围是
A． B．
C． D．
二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答卷纸的相应位置上)
13．抛物线C：y24x的焦点坐标是▲ ．
14．已知数列中，，则 ▲ ．
15．曲线在点处的切线方程为 ▲ ．
16．在三棱锥中，两两垂直，且，则此三棱锥外接球的表面积为 ▲ ．
三．解答题(本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)
17．（本小题满分10分）
已知数列是等差数列，且，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列为等比数列，且，试求数列的前n项和．
18．（本小题满分12分）
已知f (x) (x(R)．
（Ⅰ）求函数f (x)的周期和最大值；
（Ⅱ）若f (A－)，求cos 2A的值．
19．（本小题满分12分）
某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]之间，其频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）抽样的100根棉花纤维中有多少根的长度在[15,20)内；
（Ⅱ）若把频率当作概率，那么这批棉花的纤维长度在[20,30)内的概率为多少？
20．(本小题满分12分)
如图，在三棱锥A—BCD中，AD平面ABC，BAC120(，且ABACAD2，点E在BC上，且AEAC．
(Ⅰ) 求证：ACDE；
(Ⅱ) 求点B到平面ACD的距离．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆：过点(2,0)，且离心率为．
(Ⅰ) 求椭圆的方程；
(Ⅱ) 过点且斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，
求证：．
22．（本小题满分12分）
已知函数，
(Ⅰ) 求的单调区间；
(Ⅱ) 若直线ym与的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围．
忻州市2012－2013学年第二学期期末联考
高二数学(文科B类)参考答案及评分标准
一．选择题(每小题5分，共60分)
ABCBD BDADB AC
二．填空题(每小题5分，共20分)
13．（1,0） 14．1 15． 16．
三．解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(本小题满分10分)
解：（Ⅰ）由公式可知， ……2分
由，，解得d1， ……3分
故的通项． ……5分
（Ⅱ）由（1）知，数列的公比q3， ……7分
∴． ……8分
由等比数列前n项和公式得：
． ……10分
18．（本小题满分12分）
解：(Ⅰ) ∵，
∴函数f (x)的最小正周期为T2(． ……3分
当，即 (k(Z)时，f (x)的最大值为2． ……6分
（Ⅱ），∴． ……9分
∴． ……12分
19．(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）棉花纤维的长度在[15,20)内的频率是 ……3分，
所以棉花纤维的长度在[15,20)内的棉花共有100×0.220根． . ……6分
（Ⅱ）棉花纤维的长度在区间[20,30)内的频率为，
亦即棉花纤维的长度在此区间内的频率为0.55， ……8分
所以，这批棉花的纤维的长度在[20,30)内的概率为0.55． ……12分
20．（本小题满分12分）
（I）∵DA(平面ABC，∴AD( AC， ……2分
∵AE(AC． ∴AC(平面ADE，∴ACDE． ……6分
（II）
法一：过B点作AC的垂线，垂足为F，
∵DA(平面ABC，∴AD( BF
∴BF(平面ACD，因此BF的长为点B到平面ACD的距离，
在中，AB2，BAF180(－120(60(，
∴, ∴点B到平面ACD的距离为．
法二：的面积，
∴三棱锥D－ABC的体积为， ……9分
∵的面积，三棱锥Ｂ－ACＤ的体积和三棱锥D－ABC
的体积相等，∴，∴． ……11分
∴点B到平面ACD的距离为． ……12分
21．（本小题满分12分）
解：(Ⅰ)由题意可知，， ……2分
∵椭圆的离心率为，即，∴． ……4分
∴椭圆的方程为． ……5分
(Ⅱ)设，
由题意可得直线l的方程为：． ……7分
由方程组消去y得：，
∴， ……9分
……11分
∴． ……12分
22．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵， ……２分
∴当或时，，当时，， ……４分
所以的单调增区间为，单调减区间为． ……6分
（Ⅱ）由（1）中的单调性可知，在处取得极大值，
在处取得极小值． ……10分
直线与函数的图象有三个不同的交点，
∴，即的取值范围是． ……12分
注：如有其它解法，酌情给分．
高二数学试题(文科B类)双向细目表
序号
内 容
选择题
填空题
解答题
小计
1
集合
5
5
2
复数
5
5
3
外接球
5
5
4
三角函数
10
12
22
5
圆锥曲线
5
5
12
22
6
数列
5
10
15
7
导数及其应用
10
5
12
27
8
程序框图
5
5
9
简易逻辑
10
10
10
独立性检验
5
5
11
回归直线方程
5
5
12
统计概率
12
12
13
立体几何
12
12
合计
60
20
70
150
说明：
1．第4题是课本选修1－2，P9导入题改编（5分）．
2．第5题是课本选修1－1，P13概念改编（5分）．
3．第6题是课本选修1－1，P2例1改编（5分）．
4．第7题是课本选修1－2，P2例1改编（5分）．
5．第8题是课本选修1－1，P85习题3.2A组6题改编（5分）．
6．第11题是课本选修1－2，P47复习参考题B组3题改编（5分）．
7．第12题是课本选修1－2，P32例7改编（5分）．
8．第14题是课本选修1－2，P30练习题1题改编（5分）．
9．第16题是课本选修1－2，P27例4改编（5分）．
10．第20题是课本选修1－2，P44习题2.2 A组题2题改编（12分）．
11．第21题是课本选修1－1，P43习题2.1 B组题1题改编（12分）．
12．第22题是课本选修1－1，P99习题3.3 A组题5题（2）小题改编（12分）．