初中数学北师大版九年级下学期 第一章 1.1 锐角三角函数
一、单选题
1．（2019九上·苍南期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=5，AC=4，则cosB的值（ ）
A． B． C． D．
2．（2019九上·玉田期中）如图，在 中， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2019九上·玉田期中）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，那么 的值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2019九上·深圳期中）直线 与y轴相交，所成的锐角的正切值为 ，则k的值为（ ）
A． B． C． D．无法确定
5．（2019九上·深圳期中）如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，点D是CB延长线上的一点，且BD=BA，则tan∠DAC的值为（ ）
A． B．2 C． D．3
6．（2019九上·无锡月考）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，连结CD与AB相交于点P，则tan∠APD的值是（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题
7．（2019九上·西城期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，则cosB的值是 ．
8．（2019八上·绍兴月考）如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1 、S2， 则S1与S2 的数量关系为 .
三、解答题
9．（2019九上·玉田期中）如图，在 中， ，点 在边 上， 求 的值。
四、综合题
10．（2019九上·泉州期中）如图，正方形 、等腰 的顶点 在对角线 上(点 与 、 不重合)， 与 交于 ， 延长线与 交于点 ，连接 .
（1）求证： .
（2）求证：
（3）若 ，求 的值.
11．（2019九上·浦东期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC形内一点，且∠APB=∠APC=135°．
（1）求证：△CPA∽△APB；
（2）试求tan∠PCB的值．
12．（2019九上·无锡月考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90 ，sinC= ，AC=8，BD平分∠ABC交边AC于点D.
（1）求边AB的长；
（2）tan∠ABD的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得BC=
则cosB=.
故答案为：B.
【分析】先由勾股定理求得BC的长，再由锐角三角函数的定义求出cosB即可.
2．【答案】D
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在 中，
∴
∴
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理求出AC的长，根据锐角三角函数正弦= ，代入求值.
3．【答案】D
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵点 的坐标为
∴
∴
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理求出OA的长，根据锐角三角函数余弦= ，代入求值.
4．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵直线y=kx-4与y轴相交所成的锐角∠OAB的正切值为 ，
即tan∠OAB= ，
又∵直线 与y轴相交于点A，
∴OA=4
∴
∴OB=2，即B(2,0)或（-2,0）
将B(2,0)或（-2,0）分别代入 中，解得：
k=±2．
故答案为：C.
【分析】直线y=kx-4与y轴相交所成的锐角的正切值为 ，即与x轴相交所成的正切值是2，根据一次函数解析式中一次项系数的几何意义即可求解．
5．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】设AC=a，则BC= = a，AB= =2a，
∴BD=BA=2a，
∴CD=（2+ ）a，
∴tan∠DAC=2+ .
故答案为：A.
【分析】设AC=a，由特殊角的三角函数值分别表示出BC、AB的长度，进而得出BD、CD的长度，由公式求出tan∠DAC的值即可.
6．【答案】A
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：如图，连接BE，
∵四边形BCED是正方形，
∴DF=CF= CD，BF= BE，CD=BE，BE⊥CD，
∴BF=CF，
根据题意得：AC∥BD，
∴△ACP∽△BDP，
∴DP：CP=BD：AC=1：3，
∴DP：DF=1：2，
∴DP=PF= CF= BF，
在Rt△PBF中，tan∠BPF= =2，
∵∠APD=∠BPF，
∴tan∠APD=2.
故答案为：A
【分析】如图，连接BE，根据正方形的性质得出DF=CF= CD，BF= BE，CD=BE，BE⊥CD，故BF=CF，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△ACP∽△BDP，根据相似三角形对应边成比例得出DP：CP=BD：AC=1：3，进而得出DP=PF= CF= BF，在Rt△PBF中，根据正切函数的定义得出tan∠BPF= =2，从而根据等角的同名三角函数值相等即可得出 tan∠APD的值 .
7．【答案】
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，
∴AB＝ ＝ ＝10．
∴cosB＝ .
故答案为： .
【分析】根据勾股定理得出AB，再由cosB= 得出答案即可．
8．【答案】S1=S2
【知识点】三角形的面积；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ADB中，
AD=ABsin∠B=3sin50°，
∴；
如图，过点D作DH⊥EF交FE的延长线于点H，
∵∠DEF=130°，
∴∠DEH=180°-130°=50°，
在Rt△DEH中，
DH=DEsin∠DEH=7sin50°，
∴;
∴ S1=S2 .
故答案为：S1=S2
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，利用锐角三角函数的定义，可求出AD的长，再利用三角形的面积公式可以表示出S1，过点D作DH⊥EF交FE的延长线于点H，利用邻补角的定义求出∠DEH的值，再利用锐角三角函数的定义求出DH的长，然后利用三角形的面积公式求出S2，再比较大小，可得出S1与S2 的数量关系。
9．【答案】解：在 中，
由 ， ，
解得：
由勾股定理得： ，
在
．
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】利用锐角三角函数的定义求出AC的长度，然后利用勾股定理求CD的长度，最后利用正切值的定义求解.
10．【答案】（1）解：∵ 是正方形，
∴ ， ，
∵ 是等腰三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
（2）解：∵ 是正方形，
∴ ， ，
∵ 是等腰三角形，
∴ ，
∵ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
（3）解：由(1)得 ， ， ，
∴ ，
由(2) ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，
，
∴
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）证出∠ABP=∠CBQ，由SAS证明△ABP≌△CBQ可得结论；
（2）根据正方形的性质和全等三角形的性质得到 ，∠APF=∠ABP，可证明△APF∽△ABP，再根据相似三角形的性质即可求解；
（3）根据全等三角形的性质得到∠BCQ=∠BAC=45°，可得∠PCQ=90°，根据三角函数和已知条件得到 ，由（2）可得 ，等量代换可得∠CBQ=∠CPQ即可求解．
11．【答案】（1）证明：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∴∠BAC=45°，即∠PAC+∠PAB=45°，
又在△APB中，∠APB=135°， ∴∠PBA+∠PAB=45°， ∴∠PAC=∠PBA，
又∠APB=∠APC， ∴△CPA∽△APB．
（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴ ， 又∵△CPA∽△APB， ∴ ，
令CP=k，则 ， ，
又在△BCP中，∠BPC=360°﹣∠APC﹣∠APB=90°， ∴ ．
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据∠PBA+∠PAB=45°和∠PAC+∠PAB=45°得出∠PAC=∠PBA，再根据已知条件∠APB=∠APC得出三角形相似；（2）根据等腰直角三角形的性质得出CA和AB的比值，设CP=k，则PB=2k，然后根据∠BPC=90°求出∠PCB的正切值.
12．【答案】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠CAB=90°，
∴sinC= ，BC2-AB2=AC2，
∴可设AB=3k，则BC=5k，
∵AC=8，
∴（5k）2-（3k）2=82，
∴k=2（负值舍去），
∴AB=3×2=6
（2）解：过D点作DE⊥BC于E，设AD=x，则CD=8-x.
∵BD平分∠CBA交AC边于点D，∠CAB=90°，
∴DE=AD=x.
在Rt△BDE与Rt△BDA中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△BDA（HL），
∴BE=BA=6，
∴CE=BC-BE=5×2-6=4.
在Rt△CDE中，∵∠CED=90°，
∴DE2+CE2=CD2，
∴x2+42=（8-x）2，
解得x=3，
∴AD=3，
∴tan∠DBA= = =
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据正弦函数的定义得出 sinC= ， 设AB=3k，则BC=5k ，然后根据勾股定理建立方程，求解并检验算出k的值，从而得出AB的长；
（2） 过D点作DE⊥BC于E，设AD=x，则CD=8-x ，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出 DE=AD=x ，从而利用HL判断出 Rt△BDE≌Rt△BDA ，根据全等三角形的对应边相等得出 BE=BA=6， 从而根据线段的和差算出CE的长，在 Rt△CDE中， 利用勾股定理建立方程，求解算出x的值，进而即可根据正切函数的定义求出tan∠ABD的值.
1 / 1初中数学北师大版九年级下学期 第一章 1.1 锐角三角函数
一、单选题
1．（2019九上·苍南期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=5，AC=4，则cosB的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得BC=
则cosB=.
故答案为：B.
【分析】先由勾股定理求得BC的长，再由锐角三角函数的定义求出cosB即可.
2．（2019九上·玉田期中）如图，在 中， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在 中，
∴
∴
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理求出AC的长，根据锐角三角函数正弦= ，代入求值.
3．（2019九上·玉田期中）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，那么 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵点 的坐标为
∴
∴
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理求出OA的长，根据锐角三角函数余弦= ，代入求值.
4．（2019九上·深圳期中）直线 与y轴相交，所成的锐角的正切值为 ，则k的值为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵直线y=kx-4与y轴相交所成的锐角∠OAB的正切值为 ，
即tan∠OAB= ，
又∵直线 与y轴相交于点A，
∴OA=4
∴
∴OB=2，即B(2,0)或（-2,0）
将B(2,0)或（-2,0）分别代入 中，解得：
k=±2．
故答案为：C.
【分析】直线y=kx-4与y轴相交所成的锐角的正切值为 ，即与x轴相交所成的正切值是2，根据一次函数解析式中一次项系数的几何意义即可求解．
5．（2019九上·深圳期中）如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，点D是CB延长线上的一点，且BD=BA，则tan∠DAC的值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】设AC=a，则BC= = a，AB= =2a，
∴BD=BA=2a，
∴CD=（2+ ）a，
∴tan∠DAC=2+ .
故答案为：A.
【分析】设AC=a，由特殊角的三角函数值分别表示出BC、AB的长度，进而得出BD、CD的长度，由公式求出tan∠DAC的值即可.
6．（2019九上·无锡月考）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，连结CD与AB相交于点P，则tan∠APD的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：如图，连接BE，
∵四边形BCED是正方形，
∴DF=CF= CD，BF= BE，CD=BE，BE⊥CD，
∴BF=CF，
根据题意得：AC∥BD，
∴△ACP∽△BDP，
∴DP：CP=BD：AC=1：3，
∴DP：DF=1：2，
∴DP=PF= CF= BF，
在Rt△PBF中，tan∠BPF= =2，
∵∠APD=∠BPF，
∴tan∠APD=2.
故答案为：A
【分析】如图，连接BE，根据正方形的性质得出DF=CF= CD，BF= BE，CD=BE，BE⊥CD，故BF=CF，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△ACP∽△BDP，根据相似三角形对应边成比例得出DP：CP=BD：AC=1：3，进而得出DP=PF= CF= BF，在Rt△PBF中，根据正切函数的定义得出tan∠BPF= =2，从而根据等角的同名三角函数值相等即可得出 tan∠APD的值 .
二、填空题
7．（2019九上·西城期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，则cosB的值是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，
∴AB＝ ＝ ＝10．
∴cosB＝ .
故答案为： .
【分析】根据勾股定理得出AB，再由cosB= 得出答案即可．
8．（2019八上·绍兴月考）如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1 、S2， 则S1与S2 的数量关系为 .
【答案】S1=S2
【知识点】三角形的面积；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ADB中，
AD=ABsin∠B=3sin50°，
∴；
如图，过点D作DH⊥EF交FE的延长线于点H，
∵∠DEF=130°，
∴∠DEH=180°-130°=50°，
在Rt△DEH中，
DH=DEsin∠DEH=7sin50°，
∴;
∴ S1=S2 .
故答案为：S1=S2
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，利用锐角三角函数的定义，可求出AD的长，再利用三角形的面积公式可以表示出S1，过点D作DH⊥EF交FE的延长线于点H，利用邻补角的定义求出∠DEH的值，再利用锐角三角函数的定义求出DH的长，然后利用三角形的面积公式求出S2，再比较大小，可得出S1与S2 的数量关系。
三、解答题
9．（2019九上·玉田期中）如图，在 中， ，点 在边 上， 求 的值。
【答案】解：在 中，
由 ， ，
解得：
由勾股定理得： ，
在
．
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】利用锐角三角函数的定义求出AC的长度，然后利用勾股定理求CD的长度，最后利用正切值的定义求解.
四、综合题
10．（2019九上·泉州期中）如图，正方形 、等腰 的顶点 在对角线 上(点 与 、 不重合)， 与 交于 ， 延长线与 交于点 ，连接 .
（1）求证： .
（2）求证：
（3）若 ，求 的值.
【答案】（1）解：∵ 是正方形，
∴ ， ，
∵ 是等腰三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
（2）解：∵ 是正方形，
∴ ， ，
∵ 是等腰三角形，
∴ ，
∵ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
（3）解：由(1)得 ， ， ，
∴ ，
由(2) ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，
，
∴
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）证出∠ABP=∠CBQ，由SAS证明△ABP≌△CBQ可得结论；
（2）根据正方形的性质和全等三角形的性质得到 ，∠APF=∠ABP，可证明△APF∽△ABP，再根据相似三角形的性质即可求解；
（3）根据全等三角形的性质得到∠BCQ=∠BAC=45°，可得∠PCQ=90°，根据三角函数和已知条件得到 ，由（2）可得 ，等量代换可得∠CBQ=∠CPQ即可求解．
11．（2019九上·浦东期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC形内一点，且∠APB=∠APC=135°．
（1）求证：△CPA∽△APB；
（2）试求tan∠PCB的值．
【答案】（1）证明：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∴∠BAC=45°，即∠PAC+∠PAB=45°，
又在△APB中，∠APB=135°， ∴∠PBA+∠PAB=45°， ∴∠PAC=∠PBA，
又∠APB=∠APC， ∴△CPA∽△APB．
（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴ ， 又∵△CPA∽△APB， ∴ ，
令CP=k，则 ， ，
又在△BCP中，∠BPC=360°﹣∠APC﹣∠APB=90°， ∴ ．
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据∠PBA+∠PAB=45°和∠PAC+∠PAB=45°得出∠PAC=∠PBA，再根据已知条件∠APB=∠APC得出三角形相似；（2）根据等腰直角三角形的性质得出CA和AB的比值，设CP=k，则PB=2k，然后根据∠BPC=90°求出∠PCB的正切值.
12．（2019九上·无锡月考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90 ，sinC= ，AC=8，BD平分∠ABC交边AC于点D.
（1）求边AB的长；
（2）tan∠ABD的值.
【答案】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠CAB=90°，
∴sinC= ，BC2-AB2=AC2，
∴可设AB=3k，则BC=5k，
∵AC=8，
∴（5k）2-（3k）2=82，
∴k=2（负值舍去），
∴AB=3×2=6
（2）解：过D点作DE⊥BC于E，设AD=x，则CD=8-x.
∵BD平分∠CBA交AC边于点D，∠CAB=90°，
∴DE=AD=x.
在Rt△BDE与Rt△BDA中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△BDA（HL），
∴BE=BA=6，
∴CE=BC-BE=5×2-6=4.
在Rt△CDE中，∵∠CED=90°，
∴DE2+CE2=CD2，
∴x2+42=（8-x）2，
解得x=3，
∴AD=3，
∴tan∠DBA= = =
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据正弦函数的定义得出 sinC= ， 设AB=3k，则BC=5k ，然后根据勾股定理建立方程，求解并检验算出k的值，从而得出AB的长；
（2） 过D点作DE⊥BC于E，设AD=x，则CD=8-x ，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出 DE=AD=x ，从而利用HL判断出 Rt△BDE≌Rt△BDA ，根据全等三角形的对应边相等得出 BE=BA=6， 从而根据线段的和差算出CE的长，在 Rt△CDE中， 利用勾股定理建立方程，求解算出x的值，进而即可根据正切函数的定义求出tan∠ABD的值.
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