【精品解析】人教新课标A版 必修一 1.3.2奇偶性

人教新课标A版 必修一 1.3.2奇偶性
一、单选题
1．（2019·广东模拟）下列函数为偶函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】当 时, ,所以 为偶函数,
为非奇非偶函数函数, 与 为奇函数.
故答案为：B
【分析】根据偶函数的定义逐个判断可得答案.
2．（2019高一上·郁南月考）已知f(x)是R上的偶函数，当x≤0时，f(x)=x+1，则f(x2)的表达式为（　　）.
A．-(x+1)2+1 B．(x+1)2 C．x2-1 D．-x2+1
【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】设x＞0，所以
所以 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：D
【分析】先求出x＞0的解析式，再求f(x2)的表达式.
3．（2019高一上·昆明月考）下列函数是奇函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】A中,y=x是奇函数,B中,y=2x2-3是偶函数,C中,y= 是非奇非偶函数,D中, y=x2，x∈[0,1]是非奇非偶函数.
故答案为：A
【分析】利用函数奇偶性的定义分别判断各选项，即可得结果.
4．（2019高三上·安徽月考）已知函数 是奇函数，且 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】 为奇函数
故选：
【分析】由奇函数定义可得 ，代入 可求得结果.
5．（2020·天津）函数 的图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】由函数的解析式可得： ，则函数 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，CD不符合题意；
当 时， ，B不符合题意.
故答案为：A.
【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
6．（2020高二下·北京期中）已知 是定义在R上的偶函数，并满足 ，当 时， ，则 （　　）
A．4.5 B．-4.5 C．0.5 D．-0.5
【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】
故答案为：D
【分析】由题意得出 ，结合偶函数的性质，即可得出 的值.
7．（2020·吉林模拟）已知函数 ，则（　　）
A． B． 的定义域为
C． 为偶函数 D． 在 上为增函数
【答案】B
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】因为 ，所以A不符合题意；
由 ，得 ，所以 的定义域为 ，所以B符合题意；
为奇函数，所以C不符合题意；
因为 ，所以D不符合题意.
故答案为：B
【分析】逐项判断各选项中的结论正确与否后可得正确的选项.
8．（2020高二下·大庆月考）函数 在 单调递减，且为奇函数.若 ，则满足 的x取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】 为奇函数， .
， .
故由 ，得 .
又 在 单调递减， ，
.
故选：D
【分析】根据奇函数的性质由 ，可以求出 的值，再利用函数的单调性结合已知 ，可以求出x取值范围.
9．（2020·新高考Ⅰ）若定义在R的奇函数f(x)在 单调递减，且f(2)=0，则满足 的x的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】因为定义在R上的奇函数 在 上单调递减，且 ，
所以 在 上也是单调递减，且 ， ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以由 可得：
或 或
解得 或 ，
所以满足 的 的取值范围是 ，
故答案为：D.
【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
10．（2020高一下·宜宾月考）奇函数 在 上单调递减，且 ，则不等式 的解集是（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】因为函数式奇函数，在 上单调递减，
根据奇函数的性质得到在 上函数仍是减函数，
再根据 可画出函数在 上的图像，
根据对称性画出在 上的图像．
根据图像得到 的解集是： ．
故选A．
【分析】由已知利用奇函数的性质，得到函数 在 上函数是减函数，画出函数图象，利用图象即可求出 的解集.
11．（2020高一下·泸县月考）已知定义在 上的函数 在 上是减函数，若 是奇函数，且 ，则不等式 的解集是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】由 是把函数 向右平移2个单位得到的，且 ， ， ，画出 的大致形状
结合函数的图象可知，当 或 时， ，故选C.
【分析】由 是奇函数，可得 的图像关于 中心对称，再由已知可得函数 的三个零点为-4，-2，0，画出 的大致形状，数形结合得出答案.
12．（2020·阜阳模拟）已知定义在 上的函数 满足 ，且在 上是增函数，不等式 对于 恒成立，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】 为定义在 上的偶函数，图象关于 轴对称
又 在 上是增函数 在 上是减函数
，即
对于 恒成立 在 上恒成立
，即 的取值范围为：
本题正确选项：
【分析】根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在 上是减函数，由此可将不等式化为 ；利用分离变量法可得 ，求得 的最大值和 的最小值即可得到结果.
二、填空题
13．（2019高一上·柳江月考）已知一个奇函数的定义域为[a+1，b-2]， 则 =　 　.
【答案】
【知识点】奇函数
【解析】【解答】根据题意，函数f（x）是奇函数，且其定义域为[a+1，b-2]，
则有a+1+b-2＝0，
解可得：a+b＝1，
，
故答案为： ．
【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义可得a+1+b-2＝0，即可得答案．
14．（2019高一上·平遥月考）若函数 为偶函数，则 　 　
【答案】1
【知识点】偶函数
【解析】【解答】解：函数
函数 为偶函数，
【分析】根据偶函数的定义，可得一次项系数为0，从而可得结论．
15．（2020高一下·海淀期中）设函数 是定义在 上的偶函数，记 ，且函数 在区间 上是增函数，则不等式 的解集为　 　
【答案】
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】根据题意 ，且 是定义在 上的偶函数，
则 ，则函数 为偶函数，
，
又由 为增函数且在区间 上是增函数，则 ，
解可得： 或 ，
即 的取值范围为 ，
故答案为 ；
【分析】根据题意，分析可得 为偶函数，进而分析可得原不等式转化为 ，结合函数的奇偶性与单调性分析可得 ，解可得 的取值范围．
16．（2020高一上·遂宁期末）已知函数 满足 ，对任意的 都有 恒成立，且 ，则关于 的不等式 的解集为　 　．
【答案】
【知识点】函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】由题意，设函数 ，
因为函数 满足 ，即 ，
则 ，所以函数 为 上的偶函数，
又由 ，则 ，
因为对任意的 都有 恒成立，
则函数 在 为单调递增函数，
所以当 时， ，此时 ，
当 时， ，此时 ，
所以 的解集为 .
故答案为： .
【分析】构造新函数 ，求得函数 为 上的偶函数，得出 ，在由任意的 都有 恒成立，得到函数 在 为单调递增函数，结合函数 的取值，即可求解.
三、解答题
17．（2019高一上·阜新月考）判断下列函数的奇偶性
（1）
（2）
【答案】（1）解：函数 定义域为 ，关于原点对称，
又 ，
所以函数 为偶函数.
（2）解：函数 定义域为 ，关于原点对称，
又 ，
所以函数 为奇函数.
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）先求定义域为 ，再判断 与 的关系，即可得到答案；（2）先求定义域为 ，再判断 与 的关系，即可得到答案.
18．（2019高一上·淄博期中）已知函数 在定义域 上是奇函数，又是减函数，若 ，求实数 的范围.
【答案】由题意得 ,
解得 ,即
由 ,
得 ,
∵函数 是奇函数,
∴ ,
∴ ,
又∵函数 在定义域 上是减函数,
∴ ,即 ，
解得 ,
由 得,
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】先求得 的定义域,再由 是奇函数可得 ,由单调性即可得到 的范围
19．（2019高一上·石嘴山期中）已知函数 的图像经过点
（1）求 的值并判断 的奇偶性；
（2）判断并证明函数 在 的单调性，并求出最大值.
【答案】（1）解：由于函数 过点 ，故 ，所以 .函数的定义域为 ，且 ，所以函数为奇函数.
（2）解：函数 在 上递增，证明如下：任取 ，则 ，由于 ，所以 ，所以函数在 上递增，且最大值为 .
【知识点】函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】（1）利用点 列方程，解方程求得 的值.根据函数奇偶性的定义，判断出函数的奇偶性.（2）首先判断出函数 在 上递增，然后利用单调性的定义，证明出单调性，并根据单调性求得函数的最大值.
20．（2019高一上·哈尔滨月考）若函数 为奇函数，当 时，
（1）求函数 的表达式，画出函数 的图像，并求不等式 的解集；
（2）若函数 在区间 上单调递减，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解：设 ，
，
是奇函数，
，
图象如图所示：
或
解得： 或 ，
不等式的解集
（2）解：由题意可知， 是函数单调递减区间的子集，
根据图象可知
解得 .
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性，确定函数的表达式，作出图像，数形结合即可求出不等式的解集；
（2）根据函数的单调性，解不等式即可求出实数a的取值范围.
21．（2019高一上·新丰期中）已知函数 .
（1）判断函数 的奇偶性，并证明你的结论；
（2）若 是 上的增函数，解关于 的不等式 .
【答案】（1）解： 是奇函数，证明如下： 是定义域为 ，
且 ，
是奇函数
（2）解： 化为 ，
因为 是奇函数，
，
所以不等式化为 .
又 是 上的增函数，
，
，
不等式的解集为 .
【知识点】函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】（1）根据奇偶性定义判断即可；（2）利用奇偶性与单调性把抽象不等式转化为具体不等式，解之即可.
22．（2019高一上·哈尔滨月考） 是定义在 上的函数，对一切 都有 且
（1）求 ；
（2）判断函数 的奇偶性
【答案】（1）解：
取 ，则
（2）解：
取 得到 ，即
函数 为偶函数
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）采用赋值法，代入即可求出函数f（0）的值；
（2）采用赋值法，结合奇偶性的定义，即可确定函数为偶函数.
1 / 1人教新课标A版 必修一 1.3.2奇偶性
一、单选题
1．（2019·广东模拟）下列函数为偶函数的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2019高一上·郁南月考）已知f(x)是R上的偶函数，当x≤0时，f(x)=x+1，则f(x2)的表达式为（　　）.
A．-(x+1)2+1 B．(x+1)2 C．x2-1 D．-x2+1
3．（2019高一上·昆明月考）下列函数是奇函数的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2019高三上·安徽月考）已知函数 是奇函数，且 ，则 （　　）
A． B． C． D．
5．（2020·天津）函数 的图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
6．（2020高二下·北京期中）已知 是定义在R上的偶函数，并满足 ，当 时， ，则 （　　）
A．4.5 B．-4.5 C．0.5 D．-0.5
7．（2020·吉林模拟）已知函数 ，则（　　）
A． B． 的定义域为
C． 为偶函数 D． 在 上为增函数
8．（2020高二下·大庆月考）函数 在 单调递减，且为奇函数.若 ，则满足 的x取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．（2020·新高考Ⅰ）若定义在R的奇函数f(x)在 单调递减，且f(2)=0，则满足 的x的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2020高一下·宜宾月考）奇函数 在 上单调递减，且 ，则不等式 的解集是（　　）．
A． B．
C． D．
11．（2020高一下·泸县月考）已知定义在 上的函数 在 上是减函数，若 是奇函数，且 ，则不等式 的解集是（　　）
A． B．
C． D．
12．（2020·阜阳模拟）已知定义在 上的函数 满足 ，且在 上是增函数，不等式 对于 恒成立，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2019高一上·柳江月考）已知一个奇函数的定义域为[a+1，b-2]， 则 =　 　.
14．（2019高一上·平遥月考）若函数 为偶函数，则 　 　
15．（2020高一下·海淀期中）设函数 是定义在 上的偶函数，记 ，且函数 在区间 上是增函数，则不等式 的解集为　 　
16．（2020高一上·遂宁期末）已知函数 满足 ，对任意的 都有 恒成立，且 ，则关于 的不等式 的解集为　 　．
三、解答题
17．（2019高一上·阜新月考）判断下列函数的奇偶性
（1）
（2）
18．（2019高一上·淄博期中）已知函数 在定义域 上是奇函数，又是减函数，若 ，求实数 的范围.
19．（2019高一上·石嘴山期中）已知函数 的图像经过点
（1）求 的值并判断 的奇偶性；
（2）判断并证明函数 在 的单调性，并求出最大值.
20．（2019高一上·哈尔滨月考）若函数 为奇函数，当 时，
（1）求函数 的表达式，画出函数 的图像，并求不等式 的解集；
（2）若函数 在区间 上单调递减，求实数 的取值范围.
21．（2019高一上·新丰期中）已知函数 .
（1）判断函数 的奇偶性，并证明你的结论；
（2）若 是 上的增函数，解关于 的不等式 .
22．（2019高一上·哈尔滨月考） 是定义在 上的函数，对一切 都有 且
（1）求 ；
（2）判断函数 的奇偶性
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】当 时, ,所以 为偶函数,
为非奇非偶函数函数, 与 为奇函数.
故答案为：B
【分析】根据偶函数的定义逐个判断可得答案.
2．【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】设x＞0，所以
所以 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：D
【分析】先求出x＞0的解析式，再求f(x2)的表达式.
3．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】A中,y=x是奇函数,B中,y=2x2-3是偶函数,C中,y= 是非奇非偶函数,D中, y=x2，x∈[0,1]是非奇非偶函数.
故答案为：A
【分析】利用函数奇偶性的定义分别判断各选项，即可得结果.
4．【答案】A
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】 为奇函数
故选：
【分析】由奇函数定义可得 ，代入 可求得结果.
5．【答案】A
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】由函数的解析式可得： ，则函数 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，CD不符合题意；
当 时， ，B不符合题意.
故答案为：A.
【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
6．【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】
故答案为：D
【分析】由题意得出 ，结合偶函数的性质，即可得出 的值.
7．【答案】B
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】因为 ，所以A不符合题意；
由 ，得 ，所以 的定义域为 ，所以B符合题意；
为奇函数，所以C不符合题意；
因为 ，所以D不符合题意.
故答案为：B
【分析】逐项判断各选项中的结论正确与否后可得正确的选项.
8．【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】 为奇函数， .
， .
故由 ，得 .
又 在 单调递减， ，
.
故选：D
【分析】根据奇函数的性质由 ，可以求出 的值，再利用函数的单调性结合已知 ，可以求出x取值范围.
9．【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】因为定义在R上的奇函数 在 上单调递减，且 ，
所以 在 上也是单调递减，且 ， ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以由 可得：
或 或
解得 或 ，
所以满足 的 的取值范围是 ，
故答案为：D.
【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
10．【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】因为函数式奇函数，在 上单调递减，
根据奇函数的性质得到在 上函数仍是减函数，
再根据 可画出函数在 上的图像，
根据对称性画出在 上的图像．
根据图像得到 的解集是： ．
故选A．
【分析】由已知利用奇函数的性质，得到函数 在 上函数是减函数，画出函数图象，利用图象即可求出 的解集.
11．【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】由 是把函数 向右平移2个单位得到的，且 ， ， ，画出 的大致形状
结合函数的图象可知，当 或 时， ，故选C.
【分析】由 是奇函数，可得 的图像关于 中心对称，再由已知可得函数 的三个零点为-4，-2，0，画出 的大致形状，数形结合得出答案.
12．【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】 为定义在 上的偶函数，图象关于 轴对称
又 在 上是增函数 在 上是减函数
，即
对于 恒成立 在 上恒成立
，即 的取值范围为：
本题正确选项：
【分析】根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在 上是减函数，由此可将不等式化为 ；利用分离变量法可得 ，求得 的最大值和 的最小值即可得到结果.
13．【答案】
【知识点】奇函数
【解析】【解答】根据题意，函数f（x）是奇函数，且其定义域为[a+1，b-2]，
则有a+1+b-2＝0，
解可得：a+b＝1，
，
故答案为： ．
【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义可得a+1+b-2＝0，即可得答案．
14．【答案】1
【知识点】偶函数
【解析】【解答】解：函数
函数 为偶函数，
【分析】根据偶函数的定义，可得一次项系数为0，从而可得结论．
15．【答案】
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】根据题意 ，且 是定义在 上的偶函数，
则 ，则函数 为偶函数，
，
又由 为增函数且在区间 上是增函数，则 ，
解可得： 或 ，
即 的取值范围为 ，
故答案为 ；
【分析】根据题意，分析可得 为偶函数，进而分析可得原不等式转化为 ，结合函数的奇偶性与单调性分析可得 ，解可得 的取值范围．
16．【答案】
【知识点】函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】由题意，设函数 ，
因为函数 满足 ，即 ，
则 ，所以函数 为 上的偶函数，
又由 ，则 ，
因为对任意的 都有 恒成立，
则函数 在 为单调递增函数，
所以当 时， ，此时 ，
当 时， ，此时 ，
所以 的解集为 .
故答案为： .
【分析】构造新函数 ，求得函数 为 上的偶函数，得出 ，在由任意的 都有 恒成立，得到函数 在 为单调递增函数，结合函数 的取值，即可求解.
17．【答案】（1）解：函数 定义域为 ，关于原点对称，
又 ，
所以函数 为偶函数.
（2）解：函数 定义域为 ，关于原点对称，
又 ，
所以函数 为奇函数.
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）先求定义域为 ，再判断 与 的关系，即可得到答案；（2）先求定义域为 ，再判断 与 的关系，即可得到答案.
18．【答案】由题意得 ,
解得 ,即
由 ,
得 ,
∵函数 是奇函数,
∴ ,
∴ ,
又∵函数 在定义域 上是减函数,
∴ ,即 ，
解得 ,
由 得,
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】先求得 的定义域,再由 是奇函数可得 ,由单调性即可得到 的范围
19．【答案】（1）解：由于函数 过点 ，故 ，所以 .函数的定义域为 ，且 ，所以函数为奇函数.
（2）解：函数 在 上递增，证明如下：任取 ，则 ，由于 ，所以 ，所以函数在 上递增，且最大值为 .
【知识点】函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】（1）利用点 列方程，解方程求得 的值.根据函数奇偶性的定义，判断出函数的奇偶性.（2）首先判断出函数 在 上递增，然后利用单调性的定义，证明出单调性，并根据单调性求得函数的最大值.
20．【答案】（1）解：设 ，
，
是奇函数，
，
图象如图所示：
或
解得： 或 ，
不等式的解集
（2）解：由题意可知， 是函数单调递减区间的子集，
根据图象可知
解得 .
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性，确定函数的表达式，作出图像，数形结合即可求出不等式的解集；
（2）根据函数的单调性，解不等式即可求出实数a的取值范围.
21．【答案】（1）解： 是奇函数，证明如下： 是定义域为 ，
且 ，
是奇函数
（2）解： 化为 ，
因为 是奇函数，
，
所以不等式化为 .
又 是 上的增函数，
，
，
不等式的解集为 .
【知识点】函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】（1）根据奇偶性定义判断即可；（2）利用奇偶性与单调性把抽象不等式转化为具体不等式，解之即可.
22．【答案】（1）解：
取 ，则
（2）解：
取 得到 ，即
函数 为偶函数
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）采用赋值法，代入即可求出函数f（0）的值；
（2）采用赋值法，结合奇偶性的定义，即可确定函数为偶函数.
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