高中数学人教新课标A版 选修2-2 1.4生活中的优化问题举例

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高中数学人教新课标A版 选修2-2 1.4生活中的优化问题举例
一、单选题
1．（2020·新课标Ⅰ·理）函数 的图像在点 处的切线方程为（　　）
A． B． C． D．
2．（2020高二下·东莞期末）函数 的单调递增区间是（　　）
A． B． C． D．
3．（2020高二下·海林期末）若曲线 在点 处的切线方程是 ，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2020高二下·北京期中）已知函数 在点 处的切线的倾斜角是 ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．1
5．（2020高二下·江西期中）函数 = 的极值点为（　　）
A．0 B．1 C．0或1 D．-1
6．（2020高二下·广东期中） 在 处有极小值，则常数c的值为（　　）
A．2 B．6 C．2或6 D．1
7．（2020高二下·越秀期中）若函数f（x）满足 ，则 的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（2020高二下·呼和浩特月考）若在曲线 上一点 处的切线与 平行，则p点的横坐标为（　　）
A．1 B． C． D．2
9．（2020·随县模拟）已知曲线 在点 处的切线方程为 ，则曲线 在点 处的切线方程为（　　）
A． B． C． D．
10．（2020高二下·赣县月考）已知函数 在 处取极值10，则 （　　）
A．4或 B．4或 C．4 D．
11．（2020高二下·天津期末）若f(x a>b>e，则有（　　）
A．f(a)>f(b) B．f(a)1
12．（2020高二下·宾县期末）已知函数 在 上可导且满足 ，则下列一定成立的为（　　）
A． B．
C． D．
13．（2020高二下·哈尔滨期末）若点P是曲线 上任一点，则点P到直线 的最小距离是（　　）
A． B．3 C． D．
14．（2020·赤峰模拟）已知定义在 上的可导函数 满足 ，若 是奇函数，则不等式 的解集是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
15．（2020高二下·化州月考）定义在区间 上的函数 的导函数 图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．函数 在区间 单调递增
B．函数 在区间 单调递减
C．函数 在 处取得极大值
D．函数 在 处取得极小值
16．（2019高二上·烟台期中）已知函数 ，若 ，则下列结论正确的是（　　）.
A．
B．
C．
D．当 时，
三、填空题
17．（2020高二下·南宁期末）若曲线 在点 处的切线平行于x轴，则a=　 　．
18．（2020·池州模拟）已知函数 ，若函数 在 处的切线方程为 ，则 的值为　 　．
19．（2020高二下·哈尔滨期末）已知函数 .
若 ，则 的极大值点为　 　．
若 有3个极值点，则实数m的取值范围是　 　．
20．（2020·福州模拟）已知函 ， ，用max{m，n}表示m，n中的最大值，设 ．若 在 上恒成立，则实数a的取值范围为　 　
四、解答题
21．（2020高二下·重庆期末）已知函数 .
（1）求 在点 处的切线；
（2）求 在区间 上的最大值和最小值.
22．（2020·北京）已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 的斜率等于 的切线方程；
（Ⅱ）设曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ，求 的最小值．
23．（2020高二下·哈尔滨期末）已知函数 （ ）， （ ）
（1）若 求函数 的单调区间；
（2）若 时有 恒成立，求 的取值范围.
24．（2020高二下·天津期末）设 ， ， 在点 处的切线与y轴相交于点 .
（1）确定a的值；
（2）求函数 的单调区间与极值.
25．（2020高二下·通辽期末）设函数 在 及 时取得极值．
（1）求 的值；
（2）若对于任意的 ，都有 成立，求 的取值范围．
26．（2020·新课标Ⅰ·理）已知函数 .
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥ x3+1，求a的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】 ， ， ， ，
因此，所求切线的方程为 ，即 .
故答案为：B.
【分析】求得函数 的导数 ，计算出 和 的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.
2．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由已知 ，当 时 ，当 时 ，
所以增区间为 ．
故答案为：D．
【分析】求出导函数 ，由 确定增区间．
3．【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】因为 ，故可得 ，
由题可知 ，即可得 ；
又切点坐标满足切线方程，故可得 ，解得 .
故答案为：A.
【分析】将切点坐标代入切线方程求得b；根据 ，解得a.
4．【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】由题意知 .
故答案为：A
【分析】由导数的几何意义利用切线的斜率列出方程即可求解.
5．【答案】B
【知识点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】 = = ，
函数 在 上是增函数，在 上是减函数，
所以x=1是函数的极小值点，
故答案为：B.
【分析】首先对函数求导，判断函数的单调性区间，从而求得函数的极值点，得到结果.
6．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】函数 ，
∴ ，
又 在x=2处有极值，
∴f′(2)=12 8c+ =0，
解得c=2或c=6，
又由函数在x=2处有极小值，得出c=2，
当c=6时,函数 在x=2处有极大值，所以c=2。
故答案为：A.
【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，再利用 在 处有极小值， 从而推出满足要求的c的值。
7．【答案】A
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】计算得 ，
把 代入，得 ，
∴
故答案为：A
【分析】先求出 ，令 ，计算求出 .
8．【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】设 ，
，即
解得 或 （舍）
故答案为：A
【分析】设 ，利用导数的几何意义求解即可.
9．【答案】B
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】由切线方程 ，得 ， .
设 ，
则 ，
， ，
曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ，
故选：B.
【分析】由 切线方程 ，得 ， ，代入 可得切点坐标，对 求导代入可得切线斜率，求解出方程即可.
10．【答案】C
【知识点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ．
由题意得 ，
即 ，解得 或 ．
当 时， ，故函数 单调递增，无极值．不符合题意．
∴ ．
故选C．
【分析】根据函数的极值点和极值得到关于 的方程组，解方程组并进行验证可得所求．
11．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解： ，
，
令 ，解得 ，
即 在区间 上单调递减，
，
.
故答案为：B.
【分析】求导数，令其小于0，可解得函数在区间 上单调递减，由函数单调性的定义可得答案.
12．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】构造函数 ，则 ，当 时， .
所以，函数 在 上单调递增， ， ，即 ，
即 ，
S故答案为：A.
【分析】构造函数 ，利用导数判断函数 在 上的单调性，可得出 与 的大小关系，经过化简可得出正确选项.
13．【答案】C
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】要使点P到直线 的最小距离，
只需点 为曲线与直线 平行的切线切点，
即点 为斜率为 的切线的切点，设 ，
，
解得 或 （舍去），
点 到直线 的距离为 ，
所以曲线 上任一点到直线 距离最小值为 .
故答案为：C.
【分析】与直线 平行且与曲线相切时，切点到直线 的距离最小，利用导数求出切点坐标即可.
14．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】构造函数 ，依题意可知 ，所以 在 上递增.由于 是奇函数，所以当 时， ，所以 ，所以 .
由 得 ，所以 ，故不等式的解集为 .
故答案为：A
【分析】构造函数 ，根据已知条件判断出 的单调性.根据 是奇函数，求得 的值，由此化简不等式 求得不等式的解集.
15．【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】根据导函数图象可知， 在区间 上， ， 单调递减，在区间 上， ， 单调递增.所以 在 处取得极小值，没有极大值.
所以A，B，D选项正确，C选项错误.
故答案为：ABD
【分析】根据导函数图象判断出函数 的单调性和极值，由此判断出正确选项.
16．【答案】A,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】设 ，函数单调递增，则
即 ， 正确；
设 不是恒大于零， 错误；
不是恒小于零， 错误；
故 ，函数单调递增
故
即
即 ， 正确.
故答案为：
【分析】根据 的单调性得到 正确； 不是单调递增得到 错误；根据 不是单调递减得到 错误；根据条件得到 单调递增，得到 ，代换得到答案.
17．【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】由函数的解析式可得： ，
曲线 在点 处的切线平行于 轴，
结合题意有： 。
【分析】利用求导的方法求出曲线在切点处的切线斜率，再利用两直线平行斜率相等的关系，从而求出a的值。
18．【答案】4
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】 ， ，解得： ；
由切线方程可知 ， ，解得： ；
.
故答案为：4.
【分析】由切线方程可知 ， ，由此构造方程求得a,b，进而得到结果.
19．【答案】；
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】当 时， ， ，
令 ，解得 .所以 在 和 上递增，
在 上递减.所以 的极大值点为 .
， ，
令 得 ，
构造函数 ，
，
所以 在 上递增，在 上递减，
所以 的极大值为 ，极小值为
注意到当 时， ，
所以由 有 个极值点，可得 .
所以实数 的取值范围是 .
故答案为： ；
【分析】当 时，利用导数求得 的极大值点；根据 有三个极值点，利用分离常数法求得m的取值范围.
20．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】当 时， ，当 时， ，所以 在 必成立，
问题转化为 在 恒成立，由 恒成立，可得
在 恒成立，设 ，
则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
，
A的取值范围是 。
故答案为： 。
【分析】利用定义max{m，n}表示m，n中的最大值，再利用不等式恒成立问题求解方法，再用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最值，进而求出实数a的取值范围。
21．【答案】（1）解： ，又 ，所以切线方程为 ，
即 ；
（2）解：由（1）知 或 ，∴ 在 上单减，在 上单增，
又 ，∴ 在 上的最大值为3，最小值为0
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求出函数的导数,求出切点坐标以及切线的斜率,借助于点斜式方程写出切线;（2）判断出函数的单调性,求出极值和端点值,通过比较可得出最值.
22．【答案】解：（Ⅰ）因为 ，所以 ，
设切点为 ，则 ，即 ，所以切点为 ，
由点斜式可得切线方程为： ，即 .
（Ⅱ）显然 ，
因为 在点 处的切线方程为： ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 ，
不妨设 时，结果一样 ，
则 ，
所以
，
由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在 上递减，在 上递增，
所以 时， 取得极小值，
也是最小值为 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.
23．【答案】（1）解： 时， 的定义域为 ， .
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上是增函数， 上是减函数
（2）解：当 时， 恒成立，即 恒成立.
因为 ，所以 .
令 ，
令 ， ，故 在 上单调递减，且 ， ，故存在 使得 ，
故 ，即 .
当 时， ， ；当 时， ， ；
∴ 在 单调递增，在 单调递减
∴
故
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1） 时， 的定义域为 ， .解关于导函数的不等式，从而得到函数 的单调区间；（2）当 时， 恒成立，即 恒成立，即 ，构造新函数 ，求其最大值即可.
24．【答案】（1）解：由题可知： ，
所以 ，切点
在点 处切线方程为
令 ，则 ，∴
（2）解： ，函数 的定义域
令 ，则 或
2 3
+ 0 － 0 +
极大值 极小值
故 单调递增区间为 和
单调递减区间为
极大值为
极小值为
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求出导数 ，得 ，写出题中切线方程 ，代入点 可得 .（2）解不等式 得增区间，解不等式 得减区间； 的点就是极值点，由刚才的单调性可知是极大值点还是极小值点，并可得极值.
25．【答案】（1）解： ，
因为函数 在 及 取得极值，则有 ， ．
即
解得 ， ．
（2）解：由（Ⅰ）可知， ，
．
当 时， ；当 时， ；
当 时， ．所以，当 时， 取得极大值 ，又 ， ．则当 时，
的最大值为 ．因为对于任意的 ，有 恒成立，所以 ，解得 或 ，因此 的取值范围为 ．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（Ⅰ）求出 ，利用 ， 列方程即可得结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ，利用导数研究函数的单调性，求得函数的极值，与区间端点函数值比较大小可得 的最大值为 ，由 解不等式即可得结果.
26．【答案】（1）解：当 时， ， ，
由于 ，故 单调递增，注意到 ，故：
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增.
（2）解：由 得， ，其中 ，
①.当x=0时，不等式为： ，显然成立，符合题意；
②.当 时，分离参数a得， ，
记 ， ，
令 ，
则 ， ，
故 单调递增， ，
故函数 单调递增， ，
由 可得： 恒成立，
故当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
因此， ,
综上可得，实数a的取值范围是 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.(2)首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围.
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高中数学人教新课标A版 选修2-2 1.4生活中的优化问题举例
一、单选题
1．（2020·新课标Ⅰ·理）函数 的图像在点 处的切线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】 ， ， ， ，
因此，所求切线的方程为 ，即 .
故答案为：B.
【分析】求得函数 的导数 ，计算出 和 的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.
2．（2020高二下·东莞期末）函数 的单调递增区间是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由已知 ，当 时 ，当 时 ，
所以增区间为 ．
故答案为：D．
【分析】求出导函数 ，由 确定增区间．
3．（2020高二下·海林期末）若曲线 在点 处的切线方程是 ，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】因为 ，故可得 ，
由题可知 ，即可得 ；
又切点坐标满足切线方程，故可得 ，解得 .
故答案为：A.
【分析】将切点坐标代入切线方程求得b；根据 ，解得a.
4．（2020高二下·北京期中）已知函数 在点 处的切线的倾斜角是 ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】由题意知 .
故答案为：A
【分析】由导数的几何意义利用切线的斜率列出方程即可求解.
5．（2020高二下·江西期中）函数 = 的极值点为（　　）
A．0 B．1 C．0或1 D．-1
【答案】B
【知识点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】 = = ，
函数 在 上是增函数，在 上是减函数，
所以x=1是函数的极小值点，
故答案为：B.
【分析】首先对函数求导，判断函数的单调性区间，从而求得函数的极值点，得到结果.
6．（2020高二下·广东期中） 在 处有极小值，则常数c的值为（　　）
A．2 B．6 C．2或6 D．1
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】函数 ，
∴ ，
又 在x=2处有极值，
∴f′(2)=12 8c+ =0，
解得c=2或c=6，
又由函数在x=2处有极小值，得出c=2，
当c=6时,函数 在x=2处有极大值，所以c=2。
故答案为：A.
【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，再利用 在 处有极小值， 从而推出满足要求的c的值。
7．（2020高二下·越秀期中）若函数f（x）满足 ，则 的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】计算得 ，
把 代入，得 ，
∴
故答案为：A
【分析】先求出 ，令 ，计算求出 .
8．（2020高二下·呼和浩特月考）若在曲线 上一点 处的切线与 平行，则p点的横坐标为（　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】设 ，
，即
解得 或 （舍）
故答案为：A
【分析】设 ，利用导数的几何意义求解即可.
9．（2020·随县模拟）已知曲线 在点 处的切线方程为 ，则曲线 在点 处的切线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】由切线方程 ，得 ， .
设 ，
则 ，
， ，
曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ，
故选：B.
【分析】由 切线方程 ，得 ， ，代入 可得切点坐标，对 求导代入可得切线斜率，求解出方程即可.
10．（2020高二下·赣县月考）已知函数 在 处取极值10，则 （　　）
A．4或 B．4或 C．4 D．
【答案】C
【知识点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ．
由题意得 ，
即 ，解得 或 ．
当 时， ，故函数 单调递增，无极值．不符合题意．
∴ ．
故选C．
【分析】根据函数的极值点和极值得到关于 的方程组，解方程组并进行验证可得所求．
11．（2020高二下·天津期末）若f(x a>b>e，则有（　　）
A．f(a)>f(b) B．f(a)1
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解： ，
，
令 ，解得 ，
即 在区间 上单调递减，
，
.
故答案为：B.
【分析】求导数，令其小于0，可解得函数在区间 上单调递减，由函数单调性的定义可得答案.
12．（2020高二下·宾县期末）已知函数 在 上可导且满足 ，则下列一定成立的为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】构造函数 ，则 ，当 时， .
所以，函数 在 上单调递增， ， ，即 ，
即 ，
S故答案为：A.
【分析】构造函数 ，利用导数判断函数 在 上的单调性，可得出 与 的大小关系，经过化简可得出正确选项.
13．（2020高二下·哈尔滨期末）若点P是曲线 上任一点，则点P到直线 的最小距离是（　　）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】要使点P到直线 的最小距离，
只需点 为曲线与直线 平行的切线切点，
即点 为斜率为 的切线的切点，设 ，
，
解得 或 （舍去），
点 到直线 的距离为 ，
所以曲线 上任一点到直线 距离最小值为 .
故答案为：C.
【分析】与直线 平行且与曲线相切时，切点到直线 的距离最小，利用导数求出切点坐标即可.
14．（2020·赤峰模拟）已知定义在 上的可导函数 满足 ，若 是奇函数，则不等式 的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】构造函数 ，依题意可知 ，所以 在 上递增.由于 是奇函数，所以当 时， ，所以 ，所以 .
由 得 ，所以 ，故不等式的解集为 .
故答案为：A
【分析】构造函数 ，根据已知条件判断出 的单调性.根据 是奇函数，求得 的值，由此化简不等式 求得不等式的解集.
二、多选题
15．（2020高二下·化州月考）定义在区间 上的函数 的导函数 图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．函数 在区间 单调递增
B．函数 在区间 单调递减
C．函数 在 处取得极大值
D．函数 在 处取得极小值
【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】根据导函数图象可知， 在区间 上， ， 单调递减，在区间 上， ， 单调递增.所以 在 处取得极小值，没有极大值.
所以A，B，D选项正确，C选项错误.
故答案为：ABD
【分析】根据导函数图象判断出函数 的单调性和极值，由此判断出正确选项.
16．（2019高二上·烟台期中）已知函数 ，若 ，则下列结论正确的是（　　）.
A．
B．
C．
D．当 时，
【答案】A,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】设 ，函数单调递增，则
即 ， 正确；
设 不是恒大于零， 错误；
不是恒小于零， 错误；
故 ，函数单调递增
故
即
即 ， 正确.
故答案为：
【分析】根据 的单调性得到 正确； 不是单调递增得到 错误；根据 不是单调递减得到 错误；根据条件得到 单调递增，得到 ，代换得到答案.
三、填空题
17．（2020高二下·南宁期末）若曲线 在点 处的切线平行于x轴，则a=　 　．
【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】由函数的解析式可得： ，
曲线 在点 处的切线平行于 轴，
结合题意有： 。
【分析】利用求导的方法求出曲线在切点处的切线斜率，再利用两直线平行斜率相等的关系，从而求出a的值。
18．（2020·池州模拟）已知函数 ，若函数 在 处的切线方程为 ，则 的值为　 　．
【答案】4
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】 ， ，解得： ；
由切线方程可知 ， ，解得： ；
.
故答案为：4.
【分析】由切线方程可知 ， ，由此构造方程求得a,b，进而得到结果.
19．（2020高二下·哈尔滨期末）已知函数 .
若 ，则 的极大值点为　 　．
若 有3个极值点，则实数m的取值范围是　 　．
【答案】；
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】当 时， ， ，
令 ，解得 .所以 在 和 上递增，
在 上递减.所以 的极大值点为 .
， ，
令 得 ，
构造函数 ，
，
所以 在 上递增，在 上递减，
所以 的极大值为 ，极小值为
注意到当 时， ，
所以由 有 个极值点，可得 .
所以实数 的取值范围是 .
故答案为： ；
【分析】当 时，利用导数求得 的极大值点；根据 有三个极值点，利用分离常数法求得m的取值范围.
20．（2020·福州模拟）已知函 ， ，用max{m，n}表示m，n中的最大值，设 ．若 在 上恒成立，则实数a的取值范围为　 　
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】当 时， ，当 时， ，所以 在 必成立，
问题转化为 在 恒成立，由 恒成立，可得
在 恒成立，设 ，
则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
，
A的取值范围是 。
故答案为： 。
【分析】利用定义max{m，n}表示m，n中的最大值，再利用不等式恒成立问题求解方法，再用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最值，进而求出实数a的取值范围。
四、解答题
21．（2020高二下·重庆期末）已知函数 .
（1）求 在点 处的切线；
（2）求 在区间 上的最大值和最小值.
【答案】（1）解： ，又 ，所以切线方程为 ，
即 ；
（2）解：由（1）知 或 ，∴ 在 上单减，在 上单增，
又 ，∴ 在 上的最大值为3，最小值为0
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求出函数的导数,求出切点坐标以及切线的斜率,借助于点斜式方程写出切线;（2）判断出函数的单调性,求出极值和端点值,通过比较可得出最值.
22．（2020·北京）已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 的斜率等于 的切线方程；
（Ⅱ）设曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ，求 的最小值．
【答案】解：（Ⅰ）因为 ，所以 ，
设切点为 ，则 ，即 ，所以切点为 ，
由点斜式可得切线方程为： ，即 .
（Ⅱ）显然 ，
因为 在点 处的切线方程为： ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 ，
不妨设 时，结果一样 ，
则 ，
所以
，
由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在 上递减，在 上递增，
所以 时， 取得极小值，
也是最小值为 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.
23．（2020高二下·哈尔滨期末）已知函数 （ ）， （ ）
（1）若 求函数 的单调区间；
（2）若 时有 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1）解： 时， 的定义域为 ， .
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上是增函数， 上是减函数
（2）解：当 时， 恒成立，即 恒成立.
因为 ，所以 .
令 ，
令 ， ，故 在 上单调递减，且 ， ，故存在 使得 ，
故 ，即 .
当 时， ， ；当 时， ， ；
∴ 在 单调递增，在 单调递减
∴
故
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1） 时， 的定义域为 ， .解关于导函数的不等式，从而得到函数 的单调区间；（2）当 时， 恒成立，即 恒成立，即 ，构造新函数 ，求其最大值即可.
24．（2020高二下·天津期末）设 ， ， 在点 处的切线与y轴相交于点 .
（1）确定a的值；
（2）求函数 的单调区间与极值.
【答案】（1）解：由题可知： ，
所以 ，切点
在点 处切线方程为
令 ，则 ，∴
（2）解： ，函数 的定义域
令 ，则 或
2 3
+ 0 － 0 +
极大值 极小值
故 单调递增区间为 和
单调递减区间为
极大值为
极小值为
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求出导数 ，得 ，写出题中切线方程 ，代入点 可得 .（2）解不等式 得增区间，解不等式 得减区间； 的点就是极值点，由刚才的单调性可知是极大值点还是极小值点，并可得极值.
25．（2020高二下·通辽期末）设函数 在 及 时取得极值．
（1）求 的值；
（2）若对于任意的 ，都有 成立，求 的取值范围．
【答案】（1）解： ，
因为函数 在 及 取得极值，则有 ， ．
即
解得 ， ．
（2）解：由（Ⅰ）可知， ，
．
当 时， ；当 时， ；
当 时， ．所以，当 时， 取得极大值 ，又 ， ．则当 时，
的最大值为 ．因为对于任意的 ，有 恒成立，所以 ，解得 或 ，因此 的取值范围为 ．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（Ⅰ）求出 ，利用 ， 列方程即可得结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ，利用导数研究函数的单调性，求得函数的极值，与区间端点函数值比较大小可得 的最大值为 ，由 解不等式即可得结果.
26．（2020·新课标Ⅰ·理）已知函数 .
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥ x3+1，求a的取值范围.
【答案】（1）解：当 时， ， ，
由于 ，故 单调递增，注意到 ，故：
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增.
（2）解：由 得， ，其中 ，
①.当x=0时，不等式为： ，显然成立，符合题意；
②.当 时，分离参数a得， ，
记 ， ，
令 ，
则 ， ，
故 单调递增， ，
故函数 单调递增， ，
由 可得： 恒成立，
故当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
因此， ,
综上可得，实数a的取值范围是 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.(2)首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围.
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