初中数学华师大版九年级下学期 第26章测试卷
一、单选题
1．（2020九上·利辛期中）下列函数是二次函数的是（ ）
A．y=3x+1 B．y=ax2+bx+c
C．y=x2+3 D．y=（x﹣1）2﹣x2
2．（2021九上·杭州期末）设y＝y1﹣y2，y1与x成正比例，y2与x2成正比例，则y与x的函数关系是（ ）
A．正比例函数 B．一次函数
C．二次函数 D．以上均不正确
3．（2020九上·广汉期中）二次函数与 的图象与 轴有交点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． 且 D． 且
4．（2020九上·甘州月考）函数 与y=-mx2+m(m≠0)在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021九上·越城期末）二次函数 的最小值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
6．（2021九上·商城期末）如图，二次函数 的图象与 轴交于两点 ， ，其中 .下列四个结论：① ；② ；③ ；④ ，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2020九上·舒城月考）图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=﹣ （x﹣80）2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为（ ）
A．16 米 B． 米 C．16 米 D． 米
二、填空题
8．（2021九上·韩城期末）将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是 .
9．（2021九上·朝阳期末）已知A（0，y1），B（1，y2），C（4，y3）是抛物线y＝x2﹣3x上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为 .（用“＜”符号连接）
10．（2020九上·天津月考）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？设每件涨价x元，每星期售出商品的利润y元，则根据题意列函数关系式为： （要求：将函数解析式化成二次函数一般形式）
11．（2021九上·朝阳期末）如图抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②a﹣b+c＜0；③b+2a＝0；④当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大；⑥方程ax2+bx+c＝2有两个不等的实数根，其中结论正确的结论的序号是 .
三、综合题
12．（2020九上·温州期末）已知点 在二次函数 的图象上，且当 时，函数y有最小值2.
（1）求这个二次函数的表达式.
（2）如果两个不同的点 ， 也在这个函数的图象上，求 的值.
13．（2020九上·甘州月考）已知函数 是关于x的二次函数.求：
（1）满足条件的m的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？
14．（2020九上·淮南月考）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的价格是30元/件，根据市场调查：在一段时间内，当销售价格是40元/件时，销售量是600件．当销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
销售价格(元/件) x
销售量y(件)
销售玩具获得的利润w(元)
（1）不妨设该种品牌玩具的销售价格为x元/件(x＞40)，请你分别用含x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得的利润w元，并把化简后的结果填写在表格中：
（2）在第(1)问的条件下，若商场获得了10000元的销售利润，求该玩具的销售价格应定为多少元/件．
15．（2021九上·杭州期末）已知二次函数y1=ax2＋bx－3的图象经过点A（2，-3），B（-1，0），与y轴交于点C，与x轴另一交点交于点D.
（1）求二次函数的解析式；
（2）求点C、点D的坐标；
（3）若一条直线y2，经过C、D两点，请直接写出y1＞y2时，x的取值范围.
16．（2021九上·沈阳期末）如图，抛物线 与x轴交于点 和 ，与y轴交于点C
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，若点F在线段OC上，且 ，经入过点F的直线在第一象限内与抛物线交于点D，与线段BC交于点E，求 的最大值；
（3）如图2，若P为抛物线的顶点，动点Q在抛物线上，当 时，请直接写出点Q的坐标.
17．（2021九上·杭州期末）某商店经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：
时间
x（天） 1≤x＜50 50≤x≤90
售价（元/件） x+40 90
每天销量（件） 200﹣2x
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元.
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
（3）在前50天销售过程中，为了给顾客发放福利，每售出一件商品就返还2a元给顾客，且要求售价不低于80元，但是前50天的销售中，仍可以获得最大利润5850元，求出a的值.
18．（2020九上·芜湖月考）某服装厂生产A品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如下图所示的函数关系，其中批发件数x为10的正整数倍.
（1）当100≤x≤300 时，则y与x的函数关系式为 ；
（2）某零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装200件，需要支付 元；
（3）若零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x(100≤x≤400) 件，服装厂的利润为w元，求：x 为何值时，w最大？最大值是多少？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A. 是一次函数，故该选项不符合题意；
B.当 时， 不是二次函数，故该选项不符合题意；
C. 是二次函数，故该选项符合题意；
D. 可整理为 ，是一次函数，故该选项不符合题意.
故答案选C.
【分析】根据二次函数的定义对每个选项进行判断即可。
2．【答案】C
【知识点】二次函数的定义；正比例函数的定义
【解析】【解答】解：设y1＝k1x，y2＝k2x2，
则y＝k1x﹣k2x2，
所以y是关于x的二次函数，
故答案为：C.
【分析】根据正比例函数的定义表示出y1、y2，再代入 y＝y1﹣y2 即可得出y与x的函数关系式，进而根据二次函数定义判断即可.
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数的定义；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：根据题意得m-2≠0且△=22-4（m-2）≥0，
解得m≤3且m≠2．
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程根的判别式及二次函数的定义，得出m-2≠0且△=22-4（m-2）≥0，求出m的取值范围即可.
4．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：当m>0时，反比例函数 经过第一、三象限，-m<0，二次函数开口向下，且其对称轴为y轴，与y轴相交位于y轴的正半轴，故选项B正确；
当m<0时，反比例函数 经过第二、四象限，-m>0，二次函数开口向上，且其对称轴为y轴，与y轴相交位于y轴的负半轴，但是选项中没有.
故答案为：B.
【分析】分情况讨论：当m＞0；当m＜0时，可以分别得出一次函数和二次函数图象的位置，再对各选项逐一判断即可。
5．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解： ，
当 时，y取得最小值 ，
故答案为：D.
【分析】由顶点式可知当 时，y取得最小值 .
6．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：①∵抛物线开口向上，∴ ，
∵抛物线对称轴在 轴的右侧，∴a,b异号，∴ ，
∵抛物线与 轴的交点在 轴上方，∴ ，
∴ ，所以①正确；
②∵图象与 轴交于两点 ， ，其中 ，
∴ ，∴ ，
当 时， ，
∵当 时， ，
∴ ，∴ ，∴ ，故②正确；
③当 时， 值为 ，给 乘以4，即可化为 ，
∵当 时，由图象可知在 和x1之间 为正值，
当 时，在 和x1之间 为负值，
∴ 与0的关系不能确定，故③错误；
④∵ ，∴ ，∴ ，
即 ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，即 .
所以④正确.
综上，正确的是①②④，共3个，
故答案为：C.
【分析】由于抛物线开口向上，可得 ，由抛物线对称轴在 轴的右侧，可得 ，由抛物线与 轴的交点在 轴上方，可得，据此判断①；由于图象与 轴交于两点 ， ，其中 ，从而可得，当 时，，求出，从而可得,据此求出，据此判断②；当 时， 值为 ，给 乘以4，即可化为 ，由于，无法确定当时，所对抛物线上的点在x轴上方还是下方，据此判断③；由，可得，即得 ，从而得出 ，由于，可得，据此即可判断④.
7．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】∵AC⊥x轴，OA=10米，
∴点C的横坐标为﹣10，
当x=﹣10时，y=﹣ （x﹣80）2+16=﹣ （﹣10﹣80）2+16=﹣ ，
∴C（﹣10，﹣ ），∴桥面离水面的高度AC为 m．
故答案为：B．
【分析】根据图象求出点C的横坐标，再将-10代入抛物线解析式计算即可。
8．【答案】a＜5
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵y＝x2﹣4x+a＝（x﹣2）2﹣4+a，
∴将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得到的函数解析式为y＝（x﹣2+1）2﹣4+a+1，即y＝x2﹣2x+a﹣2，
将y＝2代入，得2＝x2﹣2x+a﹣2，即x2﹣2x+a﹣4＝0，
由题意，得△＝4﹣4（a﹣4）＞0，解得a＜5.
故答案为：a＜5.
【分析】根据抛物线的平移规律“自变量左加右减、函数值上加下减”可求得二次函数平移后的解析式，由题意再将y=2代入求得的平移后的解析式可得关于x的一元二次方程，根据二次函数与一元二次方程的关系和一元二次方程的根的判别式“①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根”可得关于a的不等式，解不等式即可求解.
9．【答案】y2＜y1＜y3
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵y＝x2﹣3x，
∴图象的开口向上，对称轴是直线x＝ ，
∵A（0，y1），B（1，y2），C（4，y3）是抛物线y＝x2﹣3x上的三点，且0＜1＜ ＜4，
∴y2＜y1＜y3，
故答案为y2＜y1＜y3.
【分析】由题意把各点的横坐标代入解析式计算即可判断求解.
10．【答案】y＝﹣10x2+100x+6000
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：y＝（60﹣40+x）（300﹣10x）＝﹣10x2+100x+6000．
故答案为：y＝﹣10x2+100x+6000．
【分析】每件涨价x元，则每件的利润是（60﹣40+x）元，所售件数是（300﹣10x）件，根据利润＝每件的利润×所售的件数，即可列出函数解析式．
11．【答案】①③⑤⑥
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：抛物线与x轴有两个不同的交点，因此b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，因此①符合题意；
抛物线过（﹣1，0），当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，因此②不符合题意；
对称轴为x＝1＝﹣ ，即2a+b＝0，因此③符合题意；
由于对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（﹣1，0），因此与x轴的另一个交点为（3，0），
由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是x＜﹣1或x＞3，所以④不符合题意；
由于对称轴为x＝1，开口向下，因此当x＜1时，y随x的增大而增大，故⑤符合题意；
由图象可知，直线y＝2与抛物线有两个不同交点，所以方程ax2+bx+c＝2有两个不等的实数根，因此⑥符合题意；
综上所述，正确的结论有：①③⑤⑥，
故答案为：①③⑤⑥.
【分析】①观察图像可知，抛物线与x轴有两个不同的交点，根据二次函数与一元二次方程的关系和一元二次方程的根的判别式可得b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2；
②观察图像可知，抛物线与x轴其中一个交点是（-1，0），把点（-1，0）代入解析式计算可得a﹣b+c＝0；
③观察图像可知，抛物线的对称轴为x=1=-,整理可得2a+b＝0；
④观察图像可知，抛物线的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（﹣1，0），于是可求抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）， 当y＜0时， 抛物线在x轴的下方，结合图形可得符合题意的图像在抛物线与x轴的两个交点之外，即x的取值范围是x＜﹣1或x＞3；
⑤观察图像可知，抛物线的对称轴为x＝1，且开口向下，因此当x＜1时，y随x的增大而增大；
⑥观察图像可知，直线y＝2与抛物线有两个不同交点，所以方程ax2+bx+c＝2有两个不等的实数根 .
12．【答案】（1）解：设y=a(x-1)2+2,
∴3=a(0-1)2+2,
解得a=1,
∴y=(x-1)2+2=x2-2x+3.
（2）解：∵对称轴方程：x-1=0,即x=1,
∵yC=yD,
∴ ,
∴m+n=2.
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）根据顶点式设函数的解析式为y=a(x-1)2+2, 代入点（0,3）即可求出a值，则知函数解析式；
（2）根据二次函数图象的坐标特点，可得 ,则m+n值可求.
13．【答案】（1）解：∵函数 是关于x的二次函数，
∴ ， ，
解得： .
（2）解：∵ ，
∴ 或 ，
当 时，抛物线有最低点，该点坐标为 ；
当 时，y随x的增大而增大.
（3）解：当 ，
函数有最大值，最大值是 ；
当 时，y随x的增大而减小.
【知识点】二次函数的定义；二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【分析】（1）形如“y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，且a≠0）”的函数就是二次函数，根据二次函数的定义列出关于m的混合组，求解得出m的值即可解决问题；
（2）运用当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，图象有最低点；在对称轴的右侧y随x的增大而增大即可解决问题；
（3）运用当二次项系数小于0时，抛物线开口向下，图象有最高点，此时函数有最大值；在对称轴的右侧y随x的增大而减小即可解决问题.
14．【答案】（1）由题意得：销售量为：y＝600－10（x－40）＝1000－10x，
销售玩具获得利润为：w＝（x－30）[600－10（x－40）]＝－10x2＋1300x－30000．
故表中依次填：1000－10x，－10x2＋1300x－30000．
（2）列方程得：﹣10x2+1300x﹣30000=10000，
解得：x1=50，x2=80．
答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润；
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，销售量=600－因涨价少售的玩具，销售玩具获得利润=每件利润×件数；（2）根据获得利润为10000元，列方程求解；
15．【答案】（1）解：由已知得： ，
解得
∴所求的二次函数的解析式为y=x2-2x-3
（2）解：令x=0，可得y=-3，
∴C（0，-3）
令y=0，可得x2-2x-3=0
解得：x1=3；x2=-1（与A点重合，舍去）
∴D（3，0）
（3）x<0或x>3
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式即可；
（2）令x=0，可得y=-3，据此求出C（0，-3）；令y=0，可得x2-2x-3=0，求出x的值，即可求出D的坐标；
（2）先画出直线y2，求利用图象求出抛物线在直线上方的x的范围即可.
16．【答案】（1）解：函数的表达式为： ，
则点
（2）解：过点D作y轴的平行线交BC于点N，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：
函数BC表达式为： ，
，则点 ， ，
设点 ，则点 ，
，则 ，
，则 有最大值，此时 ，
的最大值为
（3）解：连接PC，点P坐标 ，
则 ， ， ，
则 为直角三角形， ，
过点Q作 轴于点H，
设点 ，
则 ，
解得： 或5或 舍去 ，
故点 或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行线分线段成比例；锐角三角函数的定义；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）函数的表达式为： ，即可求解；（2）作 ，则 ，即可求解；（3） 为直角三角形， ，当 时， ，即可求解.
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等，其中（2）， ，则 ，是本题的一个难点.
17．【答案】（1）解：当1≤x＜50时，y＝（200﹣2x）（x+40﹣30）＝﹣2x2+180x+2000，
当50≤x≤90时，
y＝（200﹣2x）（90﹣30）＝﹣120x+12000，
综上所述：y
（2）解：当1≤x＜50时，
y＝﹣2x2+180x+2000，
y＝﹣2（x﹣45）2+6050.
∴a＝﹣2＜0，
∴二次函数开口下，二次函数对称轴为x＝45，
当x＝45时，y最大＝6050，
当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，
当x＝50时，y最大＝6000，
综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元
（3）解：根据题意得，y＝（200﹣2x）（x+40﹣30﹣2a）＝﹣2x2+（180+4a）x+2000﹣400a，
x+40≥80，则x≥40，即40≤x＜50，
函数的对称轴x＝45+a，在40≤x＜50内（a＜5时），
当x＝45+a时，函数取得最大值，
即y＝（200﹣2x）（x+40﹣30﹣2a）＝（200﹣90﹣2a）（45+a+10﹣2a）＝2（55﹣a）（55﹣a）＝5850，
即（55﹣a）＝± ±15
解得：a＝55﹣15 （不合题意的值已舍去）；
故a的值为55﹣15 .
【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）分成两种情况： ①当1≤x＜50时，②当50≤x≤90时，利用利润=每件的利润×销售的件数，分别求出解析式即可；
（2）利用（1）结论，分别利用二次函数的性质及一次函数的性质分别求出最值，然后比较即得；
（3）根据题意得y＝（200﹣2x）（x+40﹣30﹣2a）＝﹣2x2+（180+4a）x+2000﹣400a，
且 40≤x＜50 ， 函数的对称轴x＝45+a，在40≤x＜50内（a＜5时） 可得 当x＝45+a时，函数取得最大值， 将x=45+a代入解析式中，得y=5850，可得关于a的一元二次方程，解出a并检验即可.
18．【答案】（1）
（2）18000
（3）解：当100≤x≤300时，
∵ ＜0，抛物线开口向下，
当x＜195 时，w 随 x的增大而增大.
又x 为10的正整数倍，∴x=190时，w最大，最大值是3800.
当x＞195 时， w随x 的增大而减小.
又 x为10的正整数倍，∴x=200时，w 最大，最大值是3800.
当300＜x≤400 时， w=(80-71)x=9x.∵k=9＞0，则w随x的增大而增大
∴x=400时，w 最大，最大值是3600.
∵3800＞3600，∴当x=190 或x=200 时，w最大，最大值是3800.
【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（2）当x=200 时，y=-20+110=90，200×90=18000元
即零售商一次性批发200件，需要支付18000元
【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）当x=200时，代入 中，求出y的值，即得批发单价，根据总价=批发单价×数量200，即得结论；
（3）分别求出当100≤x≤300时，当300＜x≤400 时， y的最大值，然后比较即可.
1 / 1初中数学华师大版九年级下学期 第26章测试卷
一、单选题
1．（2020九上·利辛期中）下列函数是二次函数的是（ ）
A．y=3x+1 B．y=ax2+bx+c
C．y=x2+3 D．y=（x﹣1）2﹣x2
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A. 是一次函数，故该选项不符合题意；
B.当 时， 不是二次函数，故该选项不符合题意；
C. 是二次函数，故该选项符合题意；
D. 可整理为 ，是一次函数，故该选项不符合题意.
故答案选C.
【分析】根据二次函数的定义对每个选项进行判断即可。
2．（2021九上·杭州期末）设y＝y1﹣y2，y1与x成正比例，y2与x2成正比例，则y与x的函数关系是（ ）
A．正比例函数 B．一次函数
C．二次函数 D．以上均不正确
【答案】C
【知识点】二次函数的定义；正比例函数的定义
【解析】【解答】解：设y1＝k1x，y2＝k2x2，
则y＝k1x﹣k2x2，
所以y是关于x的二次函数，
故答案为：C.
【分析】根据正比例函数的定义表示出y1、y2，再代入 y＝y1﹣y2 即可得出y与x的函数关系式，进而根据二次函数定义判断即可.
3．（2020九上·广汉期中）二次函数与 的图象与 轴有交点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． 且 D． 且
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数的定义；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：根据题意得m-2≠0且△=22-4（m-2）≥0，
解得m≤3且m≠2．
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程根的判别式及二次函数的定义，得出m-2≠0且△=22-4（m-2）≥0，求出m的取值范围即可.
4．（2020九上·甘州月考）函数 与y=-mx2+m(m≠0)在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：当m>0时，反比例函数 经过第一、三象限，-m<0，二次函数开口向下，且其对称轴为y轴，与y轴相交位于y轴的正半轴，故选项B正确；
当m<0时，反比例函数 经过第二、四象限，-m>0，二次函数开口向上，且其对称轴为y轴，与y轴相交位于y轴的负半轴，但是选项中没有.
故答案为：B.
【分析】分情况讨论：当m＞0；当m＜0时，可以分别得出一次函数和二次函数图象的位置，再对各选项逐一判断即可。
5．（2021九上·越城期末）二次函数 的最小值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解： ，
当 时，y取得最小值 ，
故答案为：D.
【分析】由顶点式可知当 时，y取得最小值 .
6．（2021九上·商城期末）如图，二次函数 的图象与 轴交于两点 ， ，其中 .下列四个结论：① ；② ；③ ；④ ，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：①∵抛物线开口向上，∴ ，
∵抛物线对称轴在 轴的右侧，∴a,b异号，∴ ，
∵抛物线与 轴的交点在 轴上方，∴ ，
∴ ，所以①正确；
②∵图象与 轴交于两点 ， ，其中 ，
∴ ，∴ ，
当 时， ，
∵当 时， ，
∴ ，∴ ，∴ ，故②正确；
③当 时， 值为 ，给 乘以4，即可化为 ，
∵当 时，由图象可知在 和x1之间 为正值，
当 时，在 和x1之间 为负值，
∴ 与0的关系不能确定，故③错误；
④∵ ，∴ ，∴ ，
即 ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，即 .
所以④正确.
综上，正确的是①②④，共3个，
故答案为：C.
【分析】由于抛物线开口向上，可得 ，由抛物线对称轴在 轴的右侧，可得 ，由抛物线与 轴的交点在 轴上方，可得，据此判断①；由于图象与 轴交于两点 ， ，其中 ，从而可得，当 时，，求出，从而可得,据此求出，据此判断②；当 时， 值为 ，给 乘以4，即可化为 ，由于，无法确定当时，所对抛物线上的点在x轴上方还是下方，据此判断③；由，可得，即得 ，从而得出 ，由于，可得，据此即可判断④.
7．（2020九上·舒城月考）图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=﹣ （x﹣80）2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为（ ）
A．16 米 B． 米 C．16 米 D． 米
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】∵AC⊥x轴，OA=10米，
∴点C的横坐标为﹣10，
当x=﹣10时，y=﹣ （x﹣80）2+16=﹣ （﹣10﹣80）2+16=﹣ ，
∴C（﹣10，﹣ ），∴桥面离水面的高度AC为 m．
故答案为：B．
【分析】根据图象求出点C的横坐标，再将-10代入抛物线解析式计算即可。
二、填空题
8．（2021九上·韩城期末）将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是 .
【答案】a＜5
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵y＝x2﹣4x+a＝（x﹣2）2﹣4+a，
∴将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得到的函数解析式为y＝（x﹣2+1）2﹣4+a+1，即y＝x2﹣2x+a﹣2，
将y＝2代入，得2＝x2﹣2x+a﹣2，即x2﹣2x+a﹣4＝0，
由题意，得△＝4﹣4（a﹣4）＞0，解得a＜5.
故答案为：a＜5.
【分析】根据抛物线的平移规律“自变量左加右减、函数值上加下减”可求得二次函数平移后的解析式，由题意再将y=2代入求得的平移后的解析式可得关于x的一元二次方程，根据二次函数与一元二次方程的关系和一元二次方程的根的判别式“①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根”可得关于a的不等式，解不等式即可求解.
9．（2021九上·朝阳期末）已知A（0，y1），B（1，y2），C（4，y3）是抛物线y＝x2﹣3x上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为 .（用“＜”符号连接）
【答案】y2＜y1＜y3
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵y＝x2﹣3x，
∴图象的开口向上，对称轴是直线x＝ ，
∵A（0，y1），B（1，y2），C（4，y3）是抛物线y＝x2﹣3x上的三点，且0＜1＜ ＜4，
∴y2＜y1＜y3，
故答案为y2＜y1＜y3.
【分析】由题意把各点的横坐标代入解析式计算即可判断求解.
10．（2020九上·天津月考）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？设每件涨价x元，每星期售出商品的利润y元，则根据题意列函数关系式为： （要求：将函数解析式化成二次函数一般形式）
【答案】y＝﹣10x2+100x+6000
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：y＝（60﹣40+x）（300﹣10x）＝﹣10x2+100x+6000．
故答案为：y＝﹣10x2+100x+6000．
【分析】每件涨价x元，则每件的利润是（60﹣40+x）元，所售件数是（300﹣10x）件，根据利润＝每件的利润×所售的件数，即可列出函数解析式．
11．（2021九上·朝阳期末）如图抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②a﹣b+c＜0；③b+2a＝0；④当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大；⑥方程ax2+bx+c＝2有两个不等的实数根，其中结论正确的结论的序号是 .
【答案】①③⑤⑥
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：抛物线与x轴有两个不同的交点，因此b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，因此①符合题意；
抛物线过（﹣1，0），当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，因此②不符合题意；
对称轴为x＝1＝﹣ ，即2a+b＝0，因此③符合题意；
由于对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（﹣1，0），因此与x轴的另一个交点为（3，0），
由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是x＜﹣1或x＞3，所以④不符合题意；
由于对称轴为x＝1，开口向下，因此当x＜1时，y随x的增大而增大，故⑤符合题意；
由图象可知，直线y＝2与抛物线有两个不同交点，所以方程ax2+bx+c＝2有两个不等的实数根，因此⑥符合题意；
综上所述，正确的结论有：①③⑤⑥，
故答案为：①③⑤⑥.
【分析】①观察图像可知，抛物线与x轴有两个不同的交点，根据二次函数与一元二次方程的关系和一元二次方程的根的判别式可得b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2；
②观察图像可知，抛物线与x轴其中一个交点是（-1，0），把点（-1，0）代入解析式计算可得a﹣b+c＝0；
③观察图像可知，抛物线的对称轴为x=1=-,整理可得2a+b＝0；
④观察图像可知，抛物线的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（﹣1，0），于是可求抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）， 当y＜0时， 抛物线在x轴的下方，结合图形可得符合题意的图像在抛物线与x轴的两个交点之外，即x的取值范围是x＜﹣1或x＞3；
⑤观察图像可知，抛物线的对称轴为x＝1，且开口向下，因此当x＜1时，y随x的增大而增大；
⑥观察图像可知，直线y＝2与抛物线有两个不同交点，所以方程ax2+bx+c＝2有两个不等的实数根 .
三、综合题
12．（2020九上·温州期末）已知点 在二次函数 的图象上，且当 时，函数y有最小值2.
（1）求这个二次函数的表达式.
（2）如果两个不同的点 ， 也在这个函数的图象上，求 的值.
【答案】（1）解：设y=a(x-1)2+2,
∴3=a(0-1)2+2,
解得a=1,
∴y=(x-1)2+2=x2-2x+3.
（2）解：∵对称轴方程：x-1=0,即x=1,
∵yC=yD,
∴ ,
∴m+n=2.
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）根据顶点式设函数的解析式为y=a(x-1)2+2, 代入点（0,3）即可求出a值，则知函数解析式；
（2）根据二次函数图象的坐标特点，可得 ,则m+n值可求.
13．（2020九上·甘州月考）已知函数 是关于x的二次函数.求：
（1）满足条件的m的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？
【答案】（1）解：∵函数 是关于x的二次函数，
∴ ， ，
解得： .
（2）解：∵ ，
∴ 或 ，
当 时，抛物线有最低点，该点坐标为 ；
当 时，y随x的增大而增大.
（3）解：当 ，
函数有最大值，最大值是 ；
当 时，y随x的增大而减小.
【知识点】二次函数的定义；二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【分析】（1）形如“y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，且a≠0）”的函数就是二次函数，根据二次函数的定义列出关于m的混合组，求解得出m的值即可解决问题；
（2）运用当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，图象有最低点；在对称轴的右侧y随x的增大而增大即可解决问题；
（3）运用当二次项系数小于0时，抛物线开口向下，图象有最高点，此时函数有最大值；在对称轴的右侧y随x的增大而减小即可解决问题.
14．（2020九上·淮南月考）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的价格是30元/件，根据市场调查：在一段时间内，当销售价格是40元/件时，销售量是600件．当销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
销售价格(元/件) x
销售量y(件)
销售玩具获得的利润w(元)
（1）不妨设该种品牌玩具的销售价格为x元/件(x＞40)，请你分别用含x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得的利润w元，并把化简后的结果填写在表格中：
（2）在第(1)问的条件下，若商场获得了10000元的销售利润，求该玩具的销售价格应定为多少元/件．
【答案】（1）由题意得：销售量为：y＝600－10（x－40）＝1000－10x，
销售玩具获得利润为：w＝（x－30）[600－10（x－40）]＝－10x2＋1300x－30000．
故表中依次填：1000－10x，－10x2＋1300x－30000．
（2）列方程得：﹣10x2+1300x﹣30000=10000，
解得：x1=50，x2=80．
答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润；
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，销售量=600－因涨价少售的玩具，销售玩具获得利润=每件利润×件数；（2）根据获得利润为10000元，列方程求解；
15．（2021九上·杭州期末）已知二次函数y1=ax2＋bx－3的图象经过点A（2，-3），B（-1，0），与y轴交于点C，与x轴另一交点交于点D.
（1）求二次函数的解析式；
（2）求点C、点D的坐标；
（3）若一条直线y2，经过C、D两点，请直接写出y1＞y2时，x的取值范围.
【答案】（1）解：由已知得： ，
解得
∴所求的二次函数的解析式为y=x2-2x-3
（2）解：令x=0，可得y=-3，
∴C（0，-3）
令y=0，可得x2-2x-3=0
解得：x1=3；x2=-1（与A点重合，舍去）
∴D（3，0）
（3）x<0或x>3
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式即可；
（2）令x=0，可得y=-3，据此求出C（0，-3）；令y=0，可得x2-2x-3=0，求出x的值，即可求出D的坐标；
（2）先画出直线y2，求利用图象求出抛物线在直线上方的x的范围即可.
16．（2021九上·沈阳期末）如图，抛物线 与x轴交于点 和 ，与y轴交于点C
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，若点F在线段OC上，且 ，经入过点F的直线在第一象限内与抛物线交于点D，与线段BC交于点E，求 的最大值；
（3）如图2，若P为抛物线的顶点，动点Q在抛物线上，当 时，请直接写出点Q的坐标.
【答案】（1）解：函数的表达式为： ，
则点
（2）解：过点D作y轴的平行线交BC于点N，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：
函数BC表达式为： ，
，则点 ， ，
设点 ，则点 ，
，则 ，
，则 有最大值，此时 ，
的最大值为
（3）解：连接PC，点P坐标 ，
则 ， ， ，
则 为直角三角形， ，
过点Q作 轴于点H，
设点 ，
则 ，
解得： 或5或 舍去 ，
故点 或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行线分线段成比例；锐角三角函数的定义；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）函数的表达式为： ，即可求解；（2）作 ，则 ，即可求解；（3） 为直角三角形， ，当 时， ，即可求解.
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等，其中（2）， ，则 ，是本题的一个难点.
17．（2021九上·杭州期末）某商店经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：
时间
x（天） 1≤x＜50 50≤x≤90
售价（元/件） x+40 90
每天销量（件） 200﹣2x
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元.
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
（3）在前50天销售过程中，为了给顾客发放福利，每售出一件商品就返还2a元给顾客，且要求售价不低于80元，但是前50天的销售中，仍可以获得最大利润5850元，求出a的值.
【答案】（1）解：当1≤x＜50时，y＝（200﹣2x）（x+40﹣30）＝﹣2x2+180x+2000，
当50≤x≤90时，
y＝（200﹣2x）（90﹣30）＝﹣120x+12000，
综上所述：y
（2）解：当1≤x＜50时，
y＝﹣2x2+180x+2000，
y＝﹣2（x﹣45）2+6050.
∴a＝﹣2＜0，
∴二次函数开口下，二次函数对称轴为x＝45，
当x＝45时，y最大＝6050，
当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，
当x＝50时，y最大＝6000，
综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元
（3）解：根据题意得，y＝（200﹣2x）（x+40﹣30﹣2a）＝﹣2x2+（180+4a）x+2000﹣400a，
x+40≥80，则x≥40，即40≤x＜50，
函数的对称轴x＝45+a，在40≤x＜50内（a＜5时），
当x＝45+a时，函数取得最大值，
即y＝（200﹣2x）（x+40﹣30﹣2a）＝（200﹣90﹣2a）（45+a+10﹣2a）＝2（55﹣a）（55﹣a）＝5850，
即（55﹣a）＝± ±15
解得：a＝55﹣15 （不合题意的值已舍去）；
故a的值为55﹣15 .
【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）分成两种情况： ①当1≤x＜50时，②当50≤x≤90时，利用利润=每件的利润×销售的件数，分别求出解析式即可；
（2）利用（1）结论，分别利用二次函数的性质及一次函数的性质分别求出最值，然后比较即得；
（3）根据题意得y＝（200﹣2x）（x+40﹣30﹣2a）＝﹣2x2+（180+4a）x+2000﹣400a，
且 40≤x＜50 ， 函数的对称轴x＝45+a，在40≤x＜50内（a＜5时） 可得 当x＝45+a时，函数取得最大值， 将x=45+a代入解析式中，得y=5850，可得关于a的一元二次方程，解出a并检验即可.
18．（2020九上·芜湖月考）某服装厂生产A品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如下图所示的函数关系，其中批发件数x为10的正整数倍.
（1）当100≤x≤300 时，则y与x的函数关系式为 ；
（2）某零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装200件，需要支付 元；
（3）若零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x(100≤x≤400) 件，服装厂的利润为w元，求：x 为何值时，w最大？最大值是多少？
【答案】（1）
（2）18000
（3）解：当100≤x≤300时，
∵ ＜0，抛物线开口向下，
当x＜195 时，w 随 x的增大而增大.
又x 为10的正整数倍，∴x=190时，w最大，最大值是3800.
当x＞195 时， w随x 的增大而减小.
又 x为10的正整数倍，∴x=200时，w 最大，最大值是3800.
当300＜x≤400 时， w=(80-71)x=9x.∵k=9＞0，则w随x的增大而增大
∴x=400时，w 最大，最大值是3600.
∵3800＞3600，∴当x=190 或x=200 时，w最大，最大值是3800.
【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（2）当x=200 时，y=-20+110=90，200×90=18000元
即零售商一次性批发200件，需要支付18000元
【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）当x=200时，代入 中，求出y的值，即得批发单价，根据总价=批发单价×数量200，即得结论；
（3）分别求出当100≤x≤300时，当300＜x≤400 时， y的最大值，然后比较即可.
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