人教版九年级上册 22.1.2 二次函数的图像与性质课件(共129张PPT)

(共130张PPT)
第二十二章 二次函数
……本章主要内容……
22.1 二次函数的图像和性质
22.1 二次函数的图像和性质
基础回顾 什么叫函数
在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y总有唯一的值与它对应。
这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系。
对于上述变量x 、y，我们把y叫x的函数。 x叫自变量， y叫应变量。
目前，我们已经学习了那几种类型的函数？
二次函数
变量之间的关系
函数
一次函数
反比例函数
y=kx+b (k≠0)
正比例函数y=kx (k≠0)
y=k/x (k≠0)
节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注意过水流所经过的路线？它会与某种函数有联系吗？
奥运赛场腾空的篮球
正方体的六个面是全等的正方形,设正方形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表示为
问题:
y=6x2
函数①②③有什么共同点
观察：
y=6x2①
在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式表示的。
定义：一般地，形如y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a为二次项系数，ax2叫做二次项，b为一次项系数，bx叫做一次项，c为常数项。
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量 x的
（3 ）等式的右边最高次数为 ，可以没有一次 项和常数项，但不能没有二次项。
注意：
（2）a,b,c为常数，且
（4）x的取值范围是任意实数。
整式。
a≠0.
2
（5）函数的右边是一个 整 式。
二次函数的一般形式:
y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)
二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c
当c＝0时， y＝ax2＋bx
当b＝0，c＝0时， y＝ax2
1、 说出下列二次函数的二次项系数、一次项系
数、常数项
（1） y=-x2+58x-112
（2）y=πx2
2、指出下列函数y=ax +bx+c中的a、b、c
（1） y=-3x2-x-1
（3） y=x(1+x)
（2） y=5x2-6
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项。
(1) y=3(x－1) +1 (2) y=x+
(3) s=3－2t (4) y=(x+3) －x
(5)y= －x (6) v=8π r
1
x
__
x
1
__
思考：2. 二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与一元二次方程ax２＋bx＋c＝0（a≠0）有什么联系和区别？
驶向胜利的彼岸
联系(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且 a ≠0 (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是函数y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的.
区别:前者是函数.后者是方程.等式另一边前者是y,后者是0
知识运用
例1:下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 ( ) (2)y=3x2 （ )
(3)y=3x3+2x2 ( ) (4)y=2x2-2x+1( )
(5)y=x-2+x ( ) (6)y=x2-x(1+x) ( )
不是
是
不是
不是
是
不是
知识运用
m2—2m-1=2 m+1 ≠0 ∴m=3
例2:m取何值时， 函数y= (m+1)x
+(m-3)x+m 是二次函数？
解:由题意得
一次函数y=kx+b (k ≠0),其中包括正比例函数 y=kx(k≠0),
反比例函数y= (k≠0) ，
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)。
现在我们学习过的函数有:
可以发现,这些函数的名称都形象地反映了函数表达式与自变量的关系。
想一想
例2、y=（m+3）x
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是反比例函数？
（3） m取什么值时，此函数是二次函数？
m2-7
解：（１）当m2－7=1且m+3≠0即m=± 　时是正比例函数。
（２）当m2－7=-1且m+3≠0即m=± 时是反比例函数。
（３）当m2－7=2且m+3≠0即m=3时是二次函数。
1.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积 s 与半径 r 之间的关系式.
2. n支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,写出比赛的场次数 m与球队数 n 之间的关系式.
S=2πr2 +2πr2 即S=4πr2
即
3、下列函数中，（x是自变量），是二次函数的有 。
A y=ax2+bx+c B y2=x2-4x+1
C y=x2 D y=2+ √x2+1
4.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( )
A m,n是常数,且m≠0 B m,n是常数,且n≠0
C m,n是常数,且m≠n D m,n为任何实数
B C
C
一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为Xm，菜园的面积为Ym2，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。当x=12m时，计算菜园的面积。
xm
y m2
xm
（40-2x ）m
解：
由题意得：
Y=x(40-2x)
即：Y=-2x2+40x
(0当x＝12m时，菜园的面积为：
Y=-2x2+40x＝-2×122+40×12
＝192（m2）
多边形的对角线数d与边数n有什么关系？
问题2:
由图可以想出,如果多边形有n条边,那么它有 个顶点,从一个顶点出发,连接与这点不相邻的各顶点,可以作 条
对角线.
n
(n-3)
因为像线段MN与NM那样,连接相同两顶点的对角线是同一条对角线,所以多边形的对角线总数
M
N
即
在实践中感悟
横看成岭侧成峰，远近高低各不同
——变换角度分析问题
若函数y=x2m+n － 2xm-n+3是以x为自变量的二次函数，求m、n的值。
① ② ③ ④ ⑤
∵
2m+n=2
m-n=1
∴ m=1
n=0
∵
∴
2m+n=1
m-n=2
m=1
n=-1
∵
∴
2m+n=2
m-n=2
m=4/3
n=-2/3
∵
∴
2m+n=2
m-n=0
m=2/3
n=-4/3
∵
∴
2m+n=0
m-n=2
m=2/3
n=2/3
22.1 二次函数的图像和性质
1、一次函数的图像有何特征？
一次函数的图像是一条 。
当 时，y随x的增大而增大；
当 时，y随x的增大而减小。
2、反比例函数的图像有何特征？
反比例函数的图像是 ，共有 支，且关于 对称。
当 时，图像在 象限，在每个象限内y随x的增大而减小；
当 时，图像在 象限，在每个象限内y随x的增大而 。
直线
双曲线
两
原点
增大
一、三
二、四
k>0
k>0
k<0
k<0
3、画函数图像的基本步骤是：
、 、 。
列表
描点
连线
…二次函数的图像和性质…
y=ax2的函数图像
y=ax2 +k 的函数图像
y=a(x-h)2的函数图像
y=a(x-h)2 +k 的函数图像
y=ax2+bx+c 的函数图像
…二次函数的图像和性质…
y=ax2的函数图像
y=ax2 +k 的函数图像
y=a(x-h)2的函数图像
y=a(x-h)2 +k 的函数图像
y=ax2+bx+c 的函数图像
画形如y=ax2的函数图像：
1、画函数y=x2的图像；
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表：
x … 　 …
y=x2 … …
9
4
1
1
0
4
9
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
y
0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
10
8
6
4
2
-2
描点,连线
y=x2

二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线
二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 ，
－3
3
3
6
9
二次函数的图象都是抛物线。
一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c
思考：这个二次函数图象有什么特征？
（1）形状是开口向上的抛物线
（2）图象关于y轴对称
（3）有最低点，没有最高点
y轴是抛物线y = x 2 的对称轴，抛物线y = x 2 与它的对称轴的交点（0,0）叫做抛物线y = x2 的顶点，它是抛物线y = x 2 的最低点．
－3
3
3
6
9
实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点．顶点是抛物线的最低点或最高点．
思考：这个二次函数图象有什么特征？
（1）形状是开口向上的抛物线
（2）图象关于y轴对称
（3）有最低点，没有最高点
例1 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象．
解：分别填表，再画出它们的图象，如图
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
···
···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
··· ···
8
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
4.5
4.5
8
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
－2
2
2
4
6
4
－4
8
函数 的图象与函数 y=x2 的图象相比，有什么共同点和不同点？
相同点：开口都向上，顶点是原点而且是抛物线的最低点，对称轴是 y 轴
不同点：a 要越大，抛物线的开口越小．
－2
2
2
4
6
4
－4
8
你画出的图象与图中相同吗？
探究
画出函数 的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点．
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
···
···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
··· ···
－8
－4.5
－2
－0.5
0
－8
－4.5
－2
－0.5
－8
－4.5
－2
－0.5
0
－8
－4.5
－2
－0.5
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
－8
对比抛物线，y=x2和y=－x2.它们关于x轴对称吗？一般地，抛物线y=ax2和y=－ax2呢？
一般地，抛物线 y=ax2 的对称轴是_____，顶点是______．
当a>0时，抛物线的开口______，顶点是抛物线的最______点，a越大，抛物线的开口越_______；
当a<0时，抛物线的开口_______,顶点是抛物线的最________点，a越大，抛物线的开口越_________．
向下
高
大
练习：
函数 的图象是 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口方向是 .
y轴
原点
向上
低
小
3、试说出函数y＝ax2（a是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表．
y＝ax2
向上
向下
y轴
y轴
(0，0)
(0，0)
|a|越大开口越小， |a|越小开口越大。
反馈测试
抛物线y=4x2中的开口方向是 ，顶点坐标是 ，对称轴是 .
抛物线 y= -
x2 的开口方向是 ，顶点坐标是 ， 对称轴是 .
3. 二次函数y=ax2与y=2x2，开口大小，形状一样，开口方向相反，则a= .
…二次函数的图像和性质…
y=ax2的函数图像
y=ax2 +k 的函数图像
y=a(x-h)2的函数图像
y=a(x-h)2 +k 的函数图像
y=ax2+bx+c 的函数图像
1．二次函数y＝2x2的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，函数y＝2x2当x＝______时， y有最______值，其最______值是______。
课前复习
2、二次函数 y=2x 、 的图象与二次函数 y=x 的图象有什么相同和不同？
a＞0
O
x
y
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
–5
–4
–3
–2
–1
–5
–4
–3
–2
–1
a＜0
3、试说出函数y＝ax2（a是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表．
y＝ax2
向上
向下
y轴
y轴
(0，0)
(0，0)
4、二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同 它们有什么关系？我们应该采取什么方法来研究这个问题？
画出函数y＝2x2和函数y＝ 2x2+1的图象，并加以比较
（1）二次函数 y=2x ＋1 的图象与二次函数 y=2x 的图象有什么关系？
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
y=2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 …
y=2x2+1 … 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 …
（0，1）
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
y=2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 …
y=2x2+1 … 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 …
（0，1）
问题1：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系 反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系
2、函数y＝2x2＋1的图象可以看成是将函数y＝2x2的图象向上平移一个单位得到的。
1、函数y＝2x2＋1与y＝2x2的图象开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数y＝ 2x2的图象的顶点坐标是(0，0)，而函数y＝2x2＋1的图象的顶点坐标是(0，1)。
函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象有什么联系
你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2x2＋1的一些性质吗
完成填空：
当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大，当x______时，函数取得最______值，最______值y＝______．
以上就是函数y＝2x2＋1的性质。
﹥0
﹤0
=0
小
小
1
（2）二次函数 y=3x －1 的图象与二次函数 y=3x 的图象有什么关系？
x … –1 –0.6 –0.3 0 0.3 0.6 1 …
y=3x2 … 3 1.08 0.27 0 0.27 1.08 3 …
y=3x2–1 … 2 0.08 –0.73 – 1 –0.73 0.08 2 …
（0，-1）
a＞0
(3)在同一直角坐标系中画出函数
的图像
O
x
y
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
–5
–4
–3
–2
–1
–5
–4
–3
–2
–1
y
在同一直角坐标系中画出函数
的图像
a＜0
（0，2）
（0，-2）
试说出函数y＝ax2＋k（a、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表．
向上
向下
y轴
y轴
(0，k)
(0，k)
|a|越大开口越小，反之开口越大。
练习
1.把抛物线 向下平移2个单位，可以得到抛物线 ，再向上平移5个单位，可以得到抛物线 ；
2.对于函数y= –x2+1，当x 时，函数值y随x的增大而增大；当x 时，函数值y随x的增大而减小；当x 时，函数取得最 值,为 。
＜0
＞0
=0
大
0
3.函数y=3x2+5与y=3x2的图象的不同之处是( )
A.对称轴 B.开口方向 C.顶点 D.形状
4.已知抛物线y=2x2–1上有两点(x1，y1 ) ,(x2，y2 )且x1＜x2＜0，则y1 y2(填“＜”或“＞”)
5.已知抛物线 ，把它向下平移，得到的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若⊿ABC是直角三角形，那么原抛物线应向下平移几个单位？
C
…二次函数的图像和性质…
y=ax2的函数图像
y=ax2 +k 的函数图像
y=a(x-h)2的函数图像
y=a(x-h)2 +k 的函数图像
y=ax2+bx+c 的函数图像
y＝ax2+k a>0 a<0
图象
开口
对称性
顶点
增减性
二次函数y=ax2+k的性质
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
k>0
k<0
k<0
k>0
(0,k)
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
解:列表
画出二次函数 、 的图像,并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点.
-2
…
0
-0.5
-2
-0.5
-8
…
-4.5
-8
…
-2
-0.5
0
-4.5
-2
…
-0.5
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
-10
x=－1
抛物线 与 　　　　 的开口方向、对称轴、顶点
抛物线 与
抛物线
有什么关系
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
-10
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
-10
向左平移1个单位
向右平移1个单位
在同一坐标系中作出下列二次函数:
观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向,对称轴及顶点.
顶点(0,0)
顶点(2,0)
直线x=－2
直线x=2
向右平移2个单位
向左平移2个单位
顶点(－2,0)
对称轴:y轴
即直线: x=0
在同一坐标系中作出下列二次函数:
观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向,对称轴及顶点.
向右平移2个单位
向右平移2个单位
向左平移2个单位
向左平移2个单位
一般地,抛物线y=a(x－h)2有如下特点:
(1)对称轴是x=h;
(2)顶点是(h,0).
（3）抛物线y=a(x－h)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平移|h|得到.
h>0，向右平移;h<0，向左平移
x
y
y＝a(x-ｈ)2 a>0 a<0
图象
开口
对称性
顶点
增减性
二次函数y=a（x-ｈ）2的性质
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
直线ｘ＝ｈ
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
h>0
h<0
h<0
h>0
(ｈ,0)
y=-2（x+3）2
1、说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点，最大值或最小值各是什么及增减性如何？
y=2（x-3）2
y=-2（x-2）2
y=3（x+1）2
2、若将抛物线y=-2（x-2）2的图象的顶点移到原点，则下列平移方法正确的是（ ）
A、向上平移2个单位
B、向下平移2个单位
C、向左平移2个单位
D、向右平移2个单位
C
3、抛物线y=4（x-3）2的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，抛物线是最 点，
当x= 时，y有最 值，其值为 。
抛物线与x轴交点坐标 ，与y轴交点坐标 。
向上
直线x=3
（3，0）
低
3
小
0
（3，0）
（0，36）
4.用配方法把下列函数化成y=a（x-h）2的形式，并说出开口方向，顶点坐标和对称轴。
5、按下列要求求出二次函数的解析式：
（1）已知抛物线y=a(x-h)2经过点
（-3，2）（-1，0）求该抛物线线的解析式。
（2）形状与y=-2(x+3)2的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（1，0）的抛物线解析式。
（3）已知二次函数图像的顶点在x轴上，且图像经过点（2，-2）与（-1，-8）。求此函数解析式。
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y = 2(x+3)2
y = -3(x-1)2
y = -4(x-3)2
向上
直线x=-3
( -3 , 0 )
直线x=1
直线x=3
向下
向下
( 1 , 0 )
( 3, 0)
3.抛物线y=ax2+k有如下特点:
当a>0时, 开口向上;
当a<0时,开口向上.
(2)对称轴是y轴;
(3)顶点是(0,k).
抛物线y=a(x－h)2有如下特点:
(1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向上;
(2)对称轴是x=h;
(3)顶点是(h,0).
2.抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下平移|k|得到.
抛物线y=a(x－h)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平移|h|得到.
(k>0,向上平移;k<0向下平移.)
(h>0,向右平移;h<0向左平移.)
1.抛物线y=ax2+k、抛物线y=a(x－h)2和抛物线y=ax2的形状完全相同,开口方向一致;
(1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向下;
如何平移：
…二次函数的图像和性质…
y=ax2的函数图像
y=ax2 +k 的函数图像
y=a(x-h)2的函数图像
y=a(x-h)2 +k 的函数图像
y=ax2+bx+c 的函数图像
在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象．观察图象,回答问题
(1)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系 它是轴对称图形吗 它的对称轴和顶点坐标分别是什么
(2)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大 x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？
在同一坐标系中,作出二次函数y=3x , y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象.
根据图象回答问题：三个图象有什么关系 它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么
对称轴仍是平行于y轴
的直线x=1;增减性与
y=3x2类似.
顶点是(1,2).
二次函数y=3(x-1)2+2的
图象可以看作是抛物线
y=3x2先沿着x轴向右平移
1个单位,再沿直线x=1向
上平移2个单位后得到的.
开口向上,当
X=1时有最小
值:且最小值=2.
先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中作二次函数y=3(x-1)2-2,会是什么样
X=1
对称轴仍是平行于y轴的直线
(x=1);增减性与y=3x2类似.
顶点是(1,-2)
二次函数y=3(x-1)2-2的
图象可以看作是抛物线
y=3x2先沿着x轴向右平移
1个单位,再沿直线x=1向
下平移2个单位后得到的.
二次函数y=3(x-1)2-2的图象与抛物线y=3x2和y=3(x-1)2有何关系 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么
开口向上,
当x=1时y有
最小值:且
最小值= -2.
二次函数y=-3(x-1)2+2和y=-3(x-1)2, y=-3x 的图象有什么关系 它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么 再作图看一看．
X=1
在同一坐标系中，作出二次函数y=-3(x-1)2+2, y=-3(x-1)2-2, y=-3x 和
y=-3(x-1)2的图象。
根据图像
回答问题
对称轴仍是平行于y轴的直线
(x=1);增减性与y=-3x2类似.
顶点分别是
(1,2)和(1,-2).
二次函数
y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2+2的
图象可以看作是抛物线y=-3x2先沿
着x轴向右平移1个单位,再沿直线
x=1向上(或向下)平移2个单位后
得到的.
二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2的图象和抛物线y=-3x ,y=-3(x-1)2有什么关系 它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么
开口向下,当x=1
时y有最大值;且
最大值=2(或
最大值=-2).
想一想,二次函数y=-3(x+1)2+2与y=-3(x+1)2-2的图象和抛物线y=-3x ,y=-3(x+1)2
y
X=1
对称轴仍是平行于y轴的直线
(x=-1);增减性与y= -3x2类似.
顶点分别是
(-1,2)和(-1,-2)..
二次函数y=-3(x+1)2+2与
y=-3(x+1)2-2的图象可
以看作是抛物线y=-3x2
先沿着x轴向左平移1个
单位,再沿直线x=-1向上
(或向下)平移2个单位后
得到的.
二次函数y=-3(x+1)2+2与y=-3(x+1)2-2的图象和抛物线y=-3x ,y=-3(x+1)2有什么关系 它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么
开口向下,
当x=-1时y有
最大值:且
最大值= 2
(或最大值= - 2).
先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质.
x=1
一般地,由y=ax 的图象便可得到二次函数y=a(x-h) +k的图象:y=a(x-h) +k(a≠0) 的图象可以看成y=ax 的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时,向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.
因此,二次函数y=a(x-h) +k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关.
归纳
用平移观点看函数：
抛物线 与抛物线 形状相同,位置不同.
二次函数 特点：
归纳
1.图象是一条抛物线，对称轴为直线
x=h，顶点为(h，k)。
2.当a>0时，开口向上；
当x=h时，y取最小值为k;
在对称轴的左侧，y随x的增大而减小,
在对称轴的右侧，y随x的增大而增大.
3.当a<0时，开口向下；
当x=h时，y取最大值为k;
在对称轴的左侧，y随x的增大而增大,
在对称轴的右侧，y随x的增大而减小.
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
（h，k）
（h，k）
直线x=h
直线x=h
由h和k的符号确定
由h和k的符号确定
向上
向下
当x=h时,最小值为k.
当x=h时,最大值为k.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
根据图形填表：
1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标及最值:　　
３．对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大 当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小 二次函数y=3(x+1)2+4呢
2.(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系 它是轴对称图形吗 它的对称轴和顶点坐标分别是什么
(2)二次函数 y=-3(x-2)2+4 的图象与二次函数 y=-3x2的图象有什么关系
2.不同点: 只是位置不同(1)顶点不同:分别是(h,k)和(0,0).
(2)对称轴不同:分别是直线x= h和y轴.
(3)最值不同:分别是k和0.
3.联系: y=a(x-h) +k(a≠0) 的图象可以看成y=ax 的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.
1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
二次函数y=a(x-h) +k与y=ax 的关系
1.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.必要时作出草图进行验证.
2.填写下表:
y=a(x-h) +k 开口方向 对称轴 顶点坐标
a>0
a<0
…二次函数的图像和性质…
y=ax2的函数图像
y=ax2 +k 的函数图像
y=a(x-h)2的函数图像
y=a(x-h)2 +k 的函数图像
y=ax2+bx+c 的函数图像
一般地，抛物线y=a(x-h) +k与y=ax 的 相同， 不同
2
2
形状
位置
y=ax
2
y=a(x-h) +k
2
上加下减
左加右减
抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:
1.当a﹥0时，开口 ，
当a﹤0时，开口 ，
向上
向下
2.对称轴是 ；
3.顶点坐标是 。
直线X=h
(h,k)
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5
y = -3x(x-1)2 -2
y = 4(x-3)2 +7
y = -5(2-x)2 - 6
直线x=–3
直线x=1
直线x=2
直线x=3
向上
向上
向下
向下
（－3，5）
（1，－2）
（3，7 ）
（2，－6）
你能说出二次函数y=—x －6x＋21图像的特征吗？
2
1
2
探究:
如何画出 的图象呢
我们知道,像y=a(x-h)2+k这样的函数,容易确定相应抛物线的顶点为(h,k), 二次函数 也能化成这样的形式吗
配方
y= — (x―6) +3
2
1
2
你知道是怎样配方的吗？
(1)“提”：提出二次项系数；
( 2 )“配”：括号内配成完全平方；
（3）“化”：化成顶点式。
归纳
二次函数 y= —x －6x +21图象的
画法：
(1)“化” ：化成顶点式 ；
(2)“定”：确定开口方向、对称轴、顶
点坐标；
(3)“画”：列表、描点、连线。
2
1
2
5
10
5
10
O
x
y
x … 3 4 5 6 7 8 9 …
… 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 …
求次函数y=ax +bx+c的对称轴和顶点坐标．
函数y=ax +bx+c的顶点是
配方:
提取二次项系数
配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方
整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项
化简:去掉中括号
这个结果通常称为求顶点坐标公式.
函数y=ax +bx+c的对称轴、顶点坐标是什么？
1. 说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点坐标：
函数y=ax +bx+c的对称轴、顶点坐标是什么？
例1：指出抛物线:
的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐标。并画出草图。
对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交点时），这样就可以画出它的大致图象。
方法归纳
配方法
1
公式法
2
单击添加文字内容
3
①y=2x2-5x+3
③y=(x-3)(x+2)
②y=－ x2+4x-9
求下列二次函数图像的开口、顶点、对称轴
请画出草图:
3
－9
－6
抛物线位置与系数a，b，c的关系：
⑴a决定抛物线的开口方向：
a＞0 开口向上
a＜0 开口向下
⑵ a，b决定抛物线对称轴的位置:
(对称轴是直线x = －— )
① a，b同号＜＝＞ 对称轴在y轴左侧；
② b=0 ＜＝＞ 对称轴是y轴；
③ a，b异号＜＝＞ 对称轴在y轴右侧
2a
b
【左同右异】
⑶ c决定抛物线与y轴交点的位置：
① c＞0 ＜＝＞图象与y轴交点在x轴上方；
② c=0 ＜＝＞图象过原点；
③ c＜0 ＜＝＞图象与y轴交点在x轴下方。
⑷顶点坐标是（ ， ）。
（5）二次函数有最大或最小值由a决定。
当x=－ — 时,y有最大(最小)值 y=
b
2a
______________________
4a
4ac－b
2
-1
例2、已知函数y = ax2 +bx +c的图象如下图所示，x= 为该图象的对称轴，根
据图象信息你能得到关于系数a，b，c的一些什么结论？
y
1
.
.
x
1
3
1.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在 （ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.不论k 取任何实数，抛物线y=a(x+k)2+k(a≠0)的顶点都在 （ ）
A.直线y = x上 B.直线y = - x上
C.x轴上 D.y轴上
3.若二次函数y=ax2 + 4x+a-1的最小值是2,则a的值是 （ ）
A 4 B. -1 C. 3 D.4或-1
C
B
A
4.若二次函数 y=ax2 + b x + c 的图象如下,与x轴的一个交点为(1,0),则下列各式中不成立的是 （ ）
A.b2-4ac>0 B. <0
C.a+b+c=0 D. >0
1
x
y
o
-1
5.若把抛物线y = x2 - 2x+1向右平移2个单位,再向下平移3个单位,得抛物线y=x2+bx+c,则（ ）
A.b=2 c= 6 B.b=-6 , c=6
C.b=-8 c= 6 D.b=-8 , c=18
B
B
-
2a
b
4a
4ac-b2
6.若一次函数 y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数 y=ax2+bx-3 的大致图象是 ( )
7.在同一直角坐标系中,二次函数 y=ax2+bx+c 与一次函数y=ax+c的大致图象可能是 （ ）
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
A
B
C
D
-3
-3
-3
-3
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
A
B
C
D
C
C
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
向上
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
根据图形填表：
（五）、学习回顾：
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=ax2(a>0)
y=ax2+k(a>0)
y=a(x-h)2(a>0)
y=a(x-h)2 +k(a>0)
y= ax2 +bx+c(a>0)
填写表格：
1.相同点:
(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,
在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,
在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大.
a<0时,开口向下,
在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,
在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
驶向胜利的彼岸
小结 拓展
回味无穷
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax 的关系
2.不同点: (1)位置不同(2)顶点不同:分别是 和(0,0).
(3)对称轴不同:分别是 和y轴.
(4)最值不同:分别是 和0.
3.联系: y=a(x-h) +k(a≠0) 的图象可以看成y=ax 的图象先沿x轴整体左(右)平移| |个单位(当 >0时,向右平移;当 <0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移| |个单位 (当 >0时向上平移;当 <0时,向下平移)得到的.
驶向胜利的彼岸
小结 拓展
回味无穷
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax 的关系
22.1 二次函数的图像和性质
1、已知抛物线y=ax2+bx+c
0
问题1
经过点（-1,0），则___________
经过点（0,-3），则___________
经过点（4,5），则___________
对称轴为直线x=1，则___________
当x=1时，y=0，则a+b+c=_____
a
b
2
-
=1
a-b+c=0
c=-3
16a+4b+c=5
顶点坐标是（-3,4）， 则h=_____,k=______，
-3
a（x+3）2+4
4
问题2
2、已知抛物线y=a（x-h）2+k
对称轴为直线x=1，则___________
代入得y=______________
代入得y=______________
h=1
a（x-1）2+k
抛物线解析式 抛物线与x轴交点坐标
(x1,0),( x2,0)
y=2(x-1)(x-3)
y=3(x-2)(x+1)
y=-5(x+4)(x+6)
-x1
- x2
求出下表中抛物线与x轴的交点坐标，看看你有什么发现？
（1，0）（3，0）
（2，0）（-1，0）
（-4，0）（-6，0）
(x1,0),( x2,0)
y=a(x___)(x____)
（a≠0）
交点式
问题3
抛物线解析式 抛物线与x轴交点坐标
(x1,0),( x2,0)
-x1
- x2
求出下表中抛物线与x轴的交点坐标，看看你有什么发现？
（1，0）（3，0）
（2，0）（-1，0）
（-4，0）（-6，0）
(x1,0),( x2,0)
y=a(x___)(x____)
（a≠0）
交点式
问题3
y=a(x-1)(x-3)（a≠0）
y=a(x-2)(x+1)（a≠0）
y=a(x+4)(x+6)（a≠0）
已知三个点坐标三对对应值，选择一般式
已知顶点坐标或对称轴或最值，选择顶点式
已知抛物线与x轴的两交点坐标，选择交点式
二次函数常用的几种解析式
一般式 y=ax2+bx+c (a≠0)
顶点式 y=a(x-h)2+k (a≠0)
交点式 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
用待定系数法确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式。
一、设
二、代
三、解
四、还原
解：
设所求的二次函数为　
解得
已知一个二次函数的图象过点（0,-3） （4,5）
（－1, 0）三点，求这个函数的解析式？
∵二次函数的图象过点（0,-3）（4，5）（－1, 0）
∴
c=-3
a-b+c=0
16a+4b+c=5
a=
b=
c=
y=ax2+bx+c
16a+4b=8
a-b=3
4a+b=2
a-b=3
-3
解：
设所求的二次函数为　
解得
∴所求二次函数为
y=x2-2x-3
已知一个二次函数的图象过点（0,-3） （4,5）
（－1, 0）三点，求这个函数的解析式？
一、设
二、代
三、解
四、还原
∵二次函数的图象过点（0,-3）（4，5）（－1, 0）
∴
c=-3
a-b+c=0
16a+4b+c=5
a=
b=
c=
1
-2
-3
x=0时,y=-3;
x=4时,y=5;
x=-1时,y=0;
y=ax2+bx+c
解：
设所求的二次函数为　 y=a(x-3)(x+1)
已知一个二次函数的图象过点（0, -3）
（-1,0） （3,0） 三点，求这个函数的解析式？
变式1
∴所求二次函数为 y=(x-3)(x+1)
即 y=x2-2x-3
依题意得 -3=a(0-3)(0+1)
解得 a=1
解：
设所求的二次函数为　
已知抛物线的顶点为（1，－4），
且过点（0，－3），求抛物线的解析式？
点( 0,-3)在抛物线上
a-4=-3,
∴所求的抛物线解析式为 y=(x-1)2-4
变式2
∵
∴
∴ a=1
最低点为（1，-4）
x=1，y最值=-4
y=a(x-1)2-4
解：
设所求的二次函数为　
已知一个二次函数的图象过点（0,-3） （4,5）
对称轴为直线x=1，求这个函数的解析式？
变式3
y=a(x-1)2+k
思考：怎样设二次函数关系式
如图，直角△ABC的两条直角边OA、OB的长分别是1和3，将△AOB绕O点按逆时针方向旋转90°，至△DOC的位置，求过C、B、A三点的二次函数解析式。
C
A
O
B
D
x
y
当抛物线上的点的坐标未知时， 应根据题目中的隐含条件求出点的坐标
(1，0)
（0，3）
（-3，0）
（1）过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6；
（2）如图所示，
根据条件求出下列二次函数解析式：
　－1
2
O
－1
数学是来源于生活又服务于生活的.
３．２米
８米
小燕去参观一个蔬菜大棚，大棚的横截面为抛物线，有关数据如图所示。小燕身高１．４０米，在她不弯腰的情况下，横向活动范围是多少？
M
N
8米
3.2
A
B
A
B
C
8米
3.2
8米
3.2
A
B
O
O
O
8米
3.2
A
B
C
N
M
已知三个点坐标三对对应值，选择一般式
已知顶点坐标或对称轴或最值，选择顶点式
已知抛物线与x轴的两交点坐标，选择交点式
二次函数常用的几种解析式
一般式 y=ax2+bx+c (a≠0)
顶点式 y=a(x-h)2+k (a≠0)
交点式 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
用待定系数法确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式。