数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.2.2直线的两点式方程（共14张ppt）

(共14张PPT)
第2章 直线和圆的方程
2.2.2　直线的两点式方程
思考：
已知直线l经过点，，由两点确定一条直线得，直线上的任意一点与点，的坐标之间具有唯一确定的关系，如何确定这一关系？
当时，
直线l的斜率k=
y-=(x-
当时，
=
知识点一　直线的两点式方程
已知直线过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2),
由点斜式可得直线的方程为　　　　　　　　　　,
当y1≠y2时,方程可以写成　　　　　　　　,该方程叫作直线的两点式方程,简称两点式.
y-y1=(x-x1)
=
方程适用的条件:
注意：
(1)当直线的斜率不存在(即x1=x2)或斜率为0(即y1=y2)时, 直线没有两点式方程.
若x1=x2,y1≠y2,则直线方程为x-x1=0;
若x1≠x2,y1=y2,则直线方程为y-y1=0.
(2)对于两点式中的两点坐标,只要是直线上的不同的两点坐标即可,两点式方程与这两个点坐标的顺序无关.即=或=均可。
(3)要注意=与(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0是不同的,前者表示的直线缺少与x轴和与y轴垂直的直线,后者是过平面内任意已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程,但不能称为直线的两点式方程.
本质：两点式方程等号两边表达式中分子之比等于分母之比，即同一条直线的斜率相等。
例：如图，直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求直线l的方程.
解：将A(a,0),B(0,b)代入两点式=，得
=
整理得
+=1
知识点二　直线的截距式方程
若直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,由两点式得直线l的方程为=,整理得　　　　　.此方程由直线l在两个坐标轴上的截距a与b确定,称此方程为直线的截距式方程,简称截距式.
+=1
方程适用的条件:a≠0,b≠0
注意：
(1)截距式应用的前提是直线在x轴上的截距a≠0且直线在y轴上的截距b≠0,
即直线过原点或与坐标轴平行时不能用截距式表示直线.
(2)若直线在两坐标轴上的截距相等,则斜率k=-1 ,常设此直线方程为x+y=a
若直线过原点,常设此直线方程为y=kx.
(3)过除原点外的一个定点,且在两坐标轴上的截距相等的直线有(　　)条.
[解析] (3)这样的直线通常有两条:一条过原点,另一条不过原点且在x轴和y轴上的截距相等.
探究点一　利用两点式求直线方程
解:(1)过点A(-5,0),C(0,2)的直线的两点式方程为=,整理得2x-5y+10=0.
例1已知△ABC的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),求:
(1)AC边所在直线的方程;
(2)AC边上的中线所在直线的方程;
(3)AC边对应的中位线所在直线的方程.
(2)AC边上的中线是顶点B与AC边中点D的连线.
设线段AC的中点为D(x,y),则即D (-,1) .
由两点式得直线BD的方程为=,整理可得8x+11y+9=0.
由两点式求直线方程的步骤:
①设出直线所经过点的坐标;
②根据题中的条件,列出相关方程,解出点的坐标;
③由两点式方程写出直线方程.
探究点一　利用两点式求直线方程
例1已知△ABC的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),求:
(1)AC边所在直线的方程;
(2)AC边上的中线所在直线的方程;
(3)AC边对应的中位线所在直线的方程.
(3)AC边对应的中位线即AB的中点M和BC的中点N的连线,
设M(a,b),N(c,d),则所以M (-1,-) ,N (,-) ,
所以直线MN的方程为=,
整理得4x-10y-11=0.
变式已知两点A(-1,2),B(m,3).
(1)求直线AB的方程;(2)已知实数m∈ [--1,-1) ∪ (-1,-1] ,求直线AB的斜率的取值范围.
解:(1)当m=-1时,直线AB的方程为x=-1;
当m≠-1时,直线AB的方程为=,即y=(x+1)+2.
(2)由题意知m+1∈ [-,0) ∪(0,],
∴直线AB的斜率k=∈(-∞,-]∪ [,+∞) .
探究点二　利用截距式求直线方程
[解析] (1)当直线过原点时,直线的方程为y=x;
当直线不过原点时,设其方程为+=1,由直线过点(2,3),得a=5,此时直线的方程为x+y=5.故选C.
例2 (1)过点(2,3),并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 (　　)
A.y=xB.x+y=5C.y=x或x+y=5 D.y=-x或x+y=5
C
(2)若经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正数,且截距之和最小,则直线的方程为 (　　)
A.x+2y-6=0 B.2x+y-6=0 C.x-2y+7=0 D.x-2y-7=0
[解析] (2)设直线在x轴、y轴上的截距分别为a,b,其中a>0,b>0,则该直线的截距式方程为+=1,
由该直线经过点P(1,4),得+=1,则截距之和a+b=(a+b) (+) =5++≥5+2=9,
当且仅当=,且+=1,即a=3,b=6时取等号,此时直线方程为+=1,即2x+y-6=0.故选B.
B
(3)求过点(1,1)且在y轴上的截距为在x轴上的截距的2倍的直线的方程.
解:设该直线在x轴、y轴上的截距分别为a,b.当a≠0且b≠0时,直线方程为+=1,
由题可知+=1,且b=2a,解得a=,b=3,此时直线的方程为+=1,即2x+y-3=0.
当a=b=0时,设直线方程为y=kx,由题可知k=1,此时直线的方程为y=x.
综上所述,所求直线的方程为2x+y-3=0或x-y=0.
拓展 一河流同侧有两个村庄A,B,两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用,已知A,B两村到河边的垂直距离分别为300 m和700 m,且两村相距500 m,问:水电站建于何处送电到两村的电线用料最省 (河道宽度忽略不计)
解:以河流所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则点A(0,300),B(x,700).
设点B在y轴上的射影为H,则x=|BH|==300,故点B(300,700).
设点A关于x轴的对称点为A',则A'(0,-300),连接A'B,则直线A'B的方程为=,即y=x-300.
设A'B与x轴的交点为P,令y=0,得x=90,得点P(90,0),
故水电站建在P(90,0)处电线用料最省.
拓展 如图,△ABC是等腰三角形,D是AB的中点,A(-2,0),D(0,2),则:
直线AB的方程为　　　　　　;
直线BC的方程为　　　　　　;
直线OB的方程为　　　　　　;
直线CD的方程为　　　　　　.
x-y=-2
y=-x+6
y=2x
x+3y=6
由两点式得直线OB的方程为=,即y=2x;
[解析] 由截距式得直线AB的方程为+=1,即x-y=-2;
因为D是AB的中点,A(-2,0),D(0,2),所以由中点坐标公式得B(2,4),
因为△ABC是等腰三角形,=1,所以=-1,所以直线BC的方程为y-4=-1×(x-2),即y=-x+6;
因为AC中点的横坐标与点B的横坐标相同,所以得点C的横坐标为6,由截距式得直线CD的方程为+=1,即x+3y=6.
练1直线过点P (,2) 且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,是否存在这样的直线同时满足下列条件:(1)△AOB的周长为12;(2)△AOB的面积为6.若存在,求直线的方程;若不存在,请说明理由.
解:假设存在满足题意的直线并设直线的方程为+=1(a>0,b>0),
因为直线过点P (,2) ,所以+=1①.
由条件(1),得a+b+=12②.
由条件(2),得ab=12③.
由①③得a2-6a+8=0,则或
显然a=4,b=3满足②,a=2,b=6不满足②,
所以所求直线的方程为+=1.
练2 已知A(1,-2),B(5,6),直线l经过线段AB的中点M,且在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程.
解:方法一:设直线l在x轴、y轴上的截距均为a.由题意得M(3,2).
若a=0,则直线l过点O(0,0)和M(3,2),此时直线l的方程为y=x.
若a≠0,设直线l的方程为+=1,∵直线l过点M(3,2),∴+=1,解得a=5,此时直线l的方程为+=1.
综上所述,直线l的方程为y=x或+=1.
方法二:易知M(3,2),由题意知直线l的斜率存在且不为0,则设直线l的方程为y-2=k(x-3).
令y=0,得x=3-;令x=0,得y=2-3k.
∴3-=2-3k,解得k=-1或k=,
∴直线l的方程为y-2=-(x-3)或y-2=(x-3).