数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.1.1 倾斜角和斜率 课件（共21张ppt）

(共21张PPT)
第2章 直线和圆的方程
2.1.1　倾斜角与斜率
设A、B为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量.
一个点和一个方向确定一条直线。
问题1：我们知道，两点可以确定一条直线，那如果已知一点，可以确定直线吗？
还需附加什么条件，才能确定直线？
不能确定.附加另一个点或附加一个方向.
问题2：如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …,这些直线有什么联系呢
(1)它们都经过点P. (2)它们的“倾斜程度”不同.
问题3：那么怎样描述这种“倾斜程度”的不同
直线与x轴所成的角不同.
1.定义:当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l　　　　的方向之间所成的角α叫作直线l的倾斜角.
特别地,当　　　　　　　　　　　　时,我们规定它的倾斜角为0°.
2.倾斜角α的取值范围:　　　　　　　.
向上
直线l与x轴平行或重合
0°≤α<180°
零度角
锐角
直角
钝角
3.按倾斜角去分类，直线可分几类？
1、所有的直线都有唯一确定的倾斜角与它对应。
2、每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。
由两点确定一条直线可知，直线l由点唯一确定.
所以，直线l的倾斜角一定与的坐标有内在联系.
下面我们进一步研究刻画直线倾斜程度的方法.
探究：在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α
1.已知直线l经过点,，α与的坐标有什么关系？
设，是直线l上的两点.
如图，向量,直线OP的倾斜角为α。
由正切函数的定义，有
由两点确定一条直线可知，直线l由点唯一确定.
所以，直线l的倾斜角一定与的坐标有内在联系.
下面我们进一步研究刻画直线倾斜程度的方法.
探究：在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α
2.已知直线l经过点，，α与的坐标又有什么关系？
设，是直线l上的两点.
如图，向量,平移向量
则点P的坐标为，且直线OP的倾斜角为α
由正切函数的定义，有
由两点确定一条直线可知，直线l由点唯一确定.
所以，直线l的倾斜角一定与的坐标有内在联系.
下面我们进一步研究刻画直线倾斜程度的方法.
探究：在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α
3.已知直线l经过点，，α与的坐标又有什么关系？
设，是直线l上的两点.
一般地，如图，当向量的方向向上时，。
平移向量，则点，且直线OP的倾斜角也为α。
由正切函数的定义，有
同样当向量的方向向上时，
tanα=
思考：当直线l与坐标轴平行或重合时，上述式子还成立吗？
当直线的倾斜角是锐角时，
“坡度（比）”是“倾斜角的正切值”
水平宽度
铅直高度
日常生活中，常常用“坡度（坡比）”表示倾斜面的倾斜程度：
问题5：“坡度”对照“倾斜角，两者有什么关系？
倾斜角是90°的直线没有斜率。
描述直线倾斜程度的量——直线的斜率

①倾斜角不同的直线斜率也不同.
②任何一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率.
③倾斜角互补,斜率互为相反数.
o
k
1.定义:直线P1P2上的向量以及与它　　　的非零向量都是直线P1P2的　　　　　.
2.若P1(x1,y1),P2(x2,y2)是直线P1P2上的两点,则直线P1P2的一个方向向量=　　　　　.
平行
方向向量
(x2-x1,y2-y1)
3.直线的方向向量与斜率的关系
(1)经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线,
其方向向量为=(x2-x1,y2-y1)=(x2-x1) (1,) ,
因此,当直线的斜率k存在时,直线的一个方向向量为　　　　;
(2)若直线的一个方向向量为(x,y)(x≠0),则直线的斜率k=　　　　.
(1,k)
(3)当直线的斜率不存在时,直线的方向向量与向量(0,1)共线.
探究点一　直线的倾斜角问题
例1 (1)如图 (1)和(2),直线l1和l2的倾斜角分别是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)若过点P(1,1+a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角α为钝角,求实数a的取值范围.
解:由题意知直线PQ的斜率k=tan α=<0,所以a<1,故实数a的取值范围是a<1.
(3)已知直线l的倾斜角α=45°,且P1(2,y1),P2(x2,5),P3(3,1)是直线l上的三点,求x2,y1的值.
探究点一　直线的倾斜角问题
(3)已知直线l的倾斜角α=45°,且P1(2,y1),P2(x2,5),P3(3,1)是直线l上的三点,求x2,y1的值.
解: ∵α=45°,∴直线l的斜率k=tan 45°=1,
又P1,P2,P3都在直线l上,∴==k,即==1,解得x2=7,y1=0.
斜率公式的应用1：三点共线的证明
变式 (1)一条直线l与x轴相交,其向上的方向与x轴的负方向所成的角为α,则l的倾斜角为(　　)
A.α B.180°-α C.90°+α D.90°+α或90°-α
[解析] (1) 当α为锐角时,l的倾斜角为180°-α;
当α为钝角时,l的倾斜角为180°-α;
当α为90°时,l的倾斜角为90°.故选B.
B
(2)直线l1⊥l2,若直线l1的倾斜角为α,直线l2的倾斜角为β(β>α),则下列说法正确的是 (　　)
A.β-α=90° B.α+β=90° C.α+β=180° D.β-α为锐角
[解析] (2)由题意,作出图形如图,则β=90°+α,所以β-α=90°.故选A.
A
拓展 已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是　　　　　　,直线l的倾斜角α的取值范围是　　　　　　.
[解析] 如图所示,由题意可知kPA==-1,kPB==1.
要使直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是k≤-1或k≥1.
由题意可知,直线l的倾斜角α大于等于直线PB的倾斜角,小于等于直线PA的倾斜角,
又PB的倾斜角是45°,PA的倾斜角是135°,所以α的取值范围是45°≤α≤135°.
k≤-1或k≥1
45°≤α≤135°
探究点二　求直线的斜率问题
[解析] (1)如图所示,当直线l在l1位置时,直线l的斜率k=tan 0°=0;
当直线l在l2位置时,直线l的斜率k==2.
故直线l的斜率的取值范围是[0,2].
例2(1)直线l过点A(1,2),且不过第四象限,则直线l的斜率的取值范围是 (　　)
A.[0,2] B.[0,1] C. D.
A
(2)已知直线l1的方向向量为n=(2,1),直线l2倾斜角是直线l1倾斜角的2倍,求直线l2的斜率.
解:设直线l1的倾斜角为α(0°≤α<90°).由直线l1的方向向量为n=(2,1),得直线l1的斜率k1=tan α=,
因此直线l2的斜率k2=tan 2α==.
拓展若点P(x,y)在以A(2,4),B(3,2)为端点的线段上,求的最大值和最小值.
解:如图所示,连接OA,OB,OP.
由于的几何意义是直线OP的斜率,且kOA=2,kOB=,所以可得的最大值为2,最小值为.
斜率公式的应用2：利用斜率公式构造斜率，灵活解决形如之类的问题
练已知实数x,y满足y=x2-x+2(-1≤x≤1),试求的最大值和最小值.
解:的几何意义表示经过点P(-2,-3)与曲线y=x2-x+2(-1≤x≤1)上任意一点(x,y)的直线的斜率k.
在平面直角坐标系中作出点P与对应的曲线,记该曲线的两个端点为A,B,并连接PA,PB,如图所示.
由图可知kPA≤k≤kPB,由已知可得A(1,2),B(-1,4),
则kPA==,kPB==7,
所以≤k≤7,
所以的最大值为7,最小值为.
拓展
探究点三　直线的方向向量的应用
[解析] (1)依题意得=(2,2),由与方向向量(1,k)共线,可得2k-2=0,因此k=1.
例3 (1)已知经过两点A(2,3),B(4,5)的直线的一个方向向量为(1,k),则k的值为　　　　.
1
(2)已知直线l的一个方向向量为(2,4),则直线l的斜率为　　　　.
[解析] (2)因为直线l的一个方向向量为(2,4),所以直线l的斜率k==2.
2
(3)若三点A(2,1),B(-2,m),C(6,8)都在直线l上,则实数m的值为　　　　.
[解析] (3)依题意得=(-4,m-1),=(4,7),由这两个向量都是直线l的方向向量得∥,
因此4(m-1)-(-4)×7=0,∴m=-6.
-6