长沙市部分中学2022-2023学年高一上学期8月入学考试
数 学
时量：120分钟 满分：100分
一、填空题（共18题，每小题3分，共54分．请将答案直接填在答题卡的相应位置）
1．一组数据如下：7，10，9，6，11，9，8，4，则这组数据的中位数为________．
2．计算：________．
3．化简：________．
4．计算：________．
5．已知，，则________．
6．如图，在△ABC中，∠A=40°，∠B=∠C，BP=CE，BD=CP，则∠DPE=________．
第6题图 第8题图 第11题图 第12题图
7．已知，求的值________．
8．如图，边长为20的正方形ABCD中，以BC为直径画一个半圆，直线DE与半圆相切，交AB于E点，则DE=________．
9．不等式的解集是全体实数，求实数a的取值范围________．
10．若方程的三个根可以作为一个三角形的三条边的长，则实数m的取值范围是________．
11．如图，△ABC是直角边长为a的等腰直角三角形，直角边AB是半圆O1的直径，半圆O2过C点且与半圆O1相切，则图中阴影部分的面积是________．
12．如图，P已知的半径是1，圆心P在抛物线上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为________．
13．如图，直线与抛物线交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，S△PAB=________．
第13题图 第15题图 第17题图
14．因式分解：________．
15．二次函数（）的大致图象如图所示，顶点坐标为（，），下列结论：①；②；③；④若方程有两个根和，且，则；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为，其中正确的结论有__________个．
16．若二次函数在时的最大值为3，那么m的值是________．
17．如图，在菱形ABCD中，边AB=5，E，F分别在BC和AD上，若DF=1，BE=3，且此时BF=DE，则BF的长为________．
18．已知三个关于x的一元二次方程，，恰有一个公共实数根，则的值为________．
二、解答题（共5小题，请将答案及必要的解题过程直接写在答题卡的相应位置）
19．（本小题6分）随着选修课的全面开展，我校决定围绕在“科技、阅读、书法、演讲和英语”活动项目中，你最喜欢哪一项（每人只限一项）活动的问题，采用随机抽样的方式进行问卷调查，根据调查情况绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．由图中所给出的信息解答下列问题：
（1）求在此次调查活动中一共抽查了多少名学生，并将不完整的统计图补充完整；
（2）在此次调查活动中，初三（1）班的两个学习小组内各有2人都最喜欢演讲活动，其中，只有1人是女同学，现从中任选2人去参加学校的演讲比赛．用列表或画树状图的方法求出所选2人来自同一个小组且恰
有1人是女同学的概率．
20．（本小题8分）已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根为、，且，求m的值．
21．（本小题10分）如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A=∠EBC．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）已知CG∥EB，且CG与BD，BA分别相交于点F，G，若BG·BA=48，FG=，DF=2BF，求AH的值．
22．（本小题10分）平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交于点C，点A的坐标为（1，0），OB=OC，抛物线的顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB=∠ACB，求点P的坐标；
（3）Q为线段BD上一点，点A关于∠AQB的平分线的对称点为A'，若，求点Q的坐标和此时△QAA'，的面积．
23．（本小题12分）在矩形ABCD中，BD为矩形ABCD的对角线，∠CBD=60°，BD=12．
（1）如图①，将△BCD绕点B逆时针旋转120°得到△BC0D0，其中，点C、D的对应点分别是点C0、D0，延长D0C0交AB于点E．求BE的长；
（2）如图②，将（1）中的△BC0D0以每秒1个单位长度的速度沿射线BC向右平行移动，得到△B1C1D1，其中，点B、C0、D0的对应点分别是点B1、C1、D1，当点C1移动到边CD上时停止移动．设移动的时间为t秒，△B1C1D1与矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）如图③，在△B1C1D1移动过程中，直线D1C1与线段AB交于点N，直线B1C1与线段BD交于点M．是否存在某一时刻t，使△MNC为等腰三角形，若存在，求出时间t；若不存在，请说明理由．长沙市部分中学2022-2023学年高一上学期8月入学考试
数 学 答 案
时量：120分钟 满分：100分
一、填空题（共18题，每小题3分，共54分．请将答案直接填在答题卡的相应位置）
1．一组数据如下：7，10，9，6，11，9，8，4，则这组数据的中位数为________．
【解析】8.5
2．计算：________．
【解析】原式．
3．化简：________．
【解析】原式．
4．计算：________．
【解析】
5．已知，，则________．
【解析】，，；
6．如图，在△ABC中，∠A=40°，∠B=∠C，BP=CE，BD=CP，则∠DPE=________．
第6题图 第8题图 第11题图 第12题图
【解析】，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
7．已知，求的值________．
【解析】原式=21
8．如图，边长为20的正方形ABCD中，以BC为直径画一个半圆，直线DE与半圆相切，交AB于E点，则DE=________．
【解析】
9．不等式的解集是全体实数，求实数a的取值范围________．
【解析】
10．若方程的三个根可以作为一个三角形的三条边的长，则实数m的取值范围是________．
【解析】
11．如图，△ABC是直角边长为a的等腰直角三角形，直角边AB是半圆O1的直径，半圆O2过C点且与半圆O1相切，则图中阴影部分的面积是________．
【解析】连接，，．
设半圆的半径是，根据勾股定理，得
，
解得：．
是等腰直角三角形，
．
，．
．
阴影部分的面积直角三角形的面积（直角三角形的面积直角三角形的面积）
．
12．如图，P已知的半径是1，圆心P在抛物线上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为________．
【解析】设点，
与轴相切，
，
，
当时，，
解得：，，
点，，
当时，，
解得：，
点，
故答案为：或或．
13．如图，直线与抛物线交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，S△PAB=________．
第13题图 第15题图 第17题图
【解析】解：，
解得，或，
点的坐标为，点的坐标为，
，
作点关于轴的对称点，连接与轴的交于，则此时的周长最小，
点的坐标为，点的坐标为，
设直线的函数解析式为，
，得，
直线的函数解析式为，
当时，，
即点的坐标为，
将代入直线中，得，
直线与轴的夹角是，
点到直线的距离是：，
的面积是：，
故答案为：．
14．因式分解：________．
【解析】原式=
15．二次函数（）的大致图象如图所示，顶点坐标为（，），下列结论：①；②；③；④若方程有两个根和，且，则；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为，其中正确的结论有__________个．
【解析】解：抛物线的开口向上，则，对称轴在轴的左侧，则，交轴的负半轴，则，
，所以①结论错误；
抛物线的顶点坐标，
，，
，，
抛物线的解析式为，
，所以②结论正确，
，故③结论正确，
抛物线交轴于，，
若方程有两个根和，且，则，正确，故结论④正确，
若方程有四个根，设方程的两根分别为，，则，可得，
设方程的两根分别为，，则，可得，
所以这四个根的和为，故结论⑤正确，
故答案为：4．
16．若二次函数在时的最大值为3，那么m的值是________．
【解析】解：，
抛物线开口向下，抛物线的对称轴为，
①当，即时，当时，函数最大值为3，
，
解得：（舍去）；
②当，即时，当时，函数最大值为3，
，
解得：．
③当，即时，当时，函数最大值为3，
，
解得（舍去）或，
综上所述，或，
17．如图，在菱形ABCD中，边AB=5，E，F分别在BC和AD上，若DF=1，BE=3，且此时BF=DE，则BF的长为________．
【解析】解：在菱形中，边，，，
，，
如图，在上截取，过点作于点，
则，
菱形中，，，
在和中，
．
，
，
．
过点作于点，则，
，
，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：．
故答案为：．
18．已知三个关于x的一元二次方程，，恰有一个公共实数根，则的值为________．
【解析】解：设公共实数根为，
则，，，
三式相加得，
即，
因为，
所以，
所以原式
．
故答案为3．
二、解答题（共5小题，请将答案及必要的解题过程直接写在答题卡的相应位置）
19．（本小题6分）随着选修课的全面开展，我校决定围绕在“科技、阅读、书法、演讲和英语”活动项目中，你最喜欢哪一项（每人只限一项）活动的问题，采用随机抽样的方式进行问卷调查，根据调查情况绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．由图中所给出的信息解答下列问题：
（1）求在此次调查活动中一共抽查了多少名学生，并将不完整的统计图补充完整；
（2）在此次调查活动中，初三（1）班的两个学习小组内各有2人都最喜欢演讲活动，其中，只有1人是女同学，现从中任选2人去参加学校的演讲比赛．用列表或画树状图的方法求出所选2人来自同一个小组且恰
有1人是女同学的概率．
【解析】解：（1）一共抽查了名学生．
扇形统计图，演讲：，
英语：．
条形统计图书法：人；
如图：
（2）设第一小组中男为、女为，则第二小组中两男为，；
由树状图知一共有12种等可能的结果，其中有一名女生且来自不同小组的有4种，
则．
20．（本小题8分）已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根为、，且，求m的值．
【解析】解：（1）关于的一元二次方程有实数根，
△，
解得：．
（2）方程的两个实数根为、，
，，
，即，
解得：．
21．（本小题10分）如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A=∠EBC．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）已知CG∥EB，且CG与BD，BA分别相交于点F，G，若BG·BA=48，FG=，DF=2BF，求AH的值．
【解析】（1）证明：连接，
是直径，
，即，
，，
，
，
是切线．
（2）解：，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
即，
，
，，
，
，
，
，
，
．
22．（本小题10分）平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交于点C，点A的坐标为（1，0），OB=OC，抛物线的顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB=∠ACB，求点P的坐标；
（3）Q为线段BD上一点，点A关于∠AQB的平分线的对称点为A'，若，求点Q的坐标和此时△QAA'，的面积．
【解析】解：（1），
抛物线的对称轴为直线．
抛物线与轴交于点、点，点的坐标为，
点的坐标为，．
可得该抛物线的解析式为．
，抛物线与轴的正半轴交于点，
，点的坐标为．
将点代入该解析式．
解得．
此抛物线的解析式为．（如图
（2）作的外接圆，设抛物线的对称轴与轴的交点为点，设与抛物线的对称轴位于轴上方的部分的交点为点，点关于轴的对称点为点，点、点均为所求点．（如图
可知圆心必在边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线上．
、都是弧所对的圆周角，
，且射线上的其它点都不满足．
由（1）可知，，．
可得圆心也在边的垂直平分线即直线上．
点的坐标为．
由勾股定理得．
．
点的坐标为．
由对称性得点的坐标为．
符合题意的点的坐标为、．
（3）点、的坐标分别为、，
可得直线的解析式为，直线与轴所夹的锐角为．
点关于的平分线的对称点为，（如图
若设与的平分线的交点为，
则有，，，，，三点在一条直线上．
，
．
作轴于点．
点在线段上，，，三点在一条直线上，
，．
点的坐标为．
点在线段上，
设点的坐标为，其中．
，
由两点间的距离公式得．
解得．
经检验，在的范围内．
点的坐标为，．
此时．
23．（本小题12分）在矩形ABCD中，BD为矩形ABCD的对角线，∠CBD=60°，BD=12．
（1）如图①，将△BCD绕点B逆时针旋转120°得到△BC0D0，其中，点C、D的对应点分别是点C0、D0，延长D0C0交AB于点E．求BE的长；
（2）如图②，将（1）中的△BC0D0以每秒1个单位长度的速度沿射线BC向右平行移动，得到△B1C1D1，其中，点B、C0、D0的对应点分别是点B1、C1、D1，当点C1移动到边CD上时停止移动．设移动的时间为t秒，△B1C1D1与矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）如图③，在△B1C1D1移动过程中，直线D1C1与线段AB交于点N，直线B1C1与线段BD交于点M．是否存在某一时刻t，使△MNC为等腰三角形，若存在，求出时间t；若不存在，请说明理由．
【解析】
