22章二次根式学案
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22.1二次根式(1)
一、温故知新：
1、已知反比例函数y=，那么它的图象在第一象限横、纵坐标相等的点的坐标是________．
2、在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．
3、甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，如果甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．
二、学习新知：
1.、很明显、、，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称___________．因此，一般地，我们把形如_________________的式子叫做二次根式，“”称为___________．（a≥0）是一个非负数
2、思考下列问题：
① -1有算术平方根吗？
②0的算术平方根是多少？
③当a<0，有意义吗？
3、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（a>0）、、、-、、（x≥0，y≥0）．
4、 当x取何值时，在实数范围内有意义？
5、=______（a≥0），=______（a≤0）
三、释疑提高：
1、 已知y=++5，求的值．
2、 若+=0，求a2004+b2004的值．
四、小结归纳：
五、巩固检测：
1．下列式子中，是二次根式的是（ ）
A．- B． C． D．x
2．下列式子中，不是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ）
A．5 B． C． D．以上皆不对
4．形如________的式子叫做二次根式．
5．面积为a的正方形的边长为________．
6．负数________平方根．
7．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？
8．当x是多少时，+x2在实数范围内有意义？
9．若+有意义，则=_______．
10.使式子有意义的未知数x有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．无数
11.已知a、b为实数，且+2=b+4，求a、b的值．
22.1二次根式(2)
一、温故知新:
1．什么叫二次根式？
2．当a≥0时，叫什么？当a<0时，有意义吗？
二、学习新知：
1. 根据算术平方根的意义填空：
=_______；=_______； =______； =_______；
=______； =_______； =_______．(（）2=a（a≥0）)
2.计算： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥
三、释疑提高:
1. 计算
①（x≥0） ② ③ ④
2. 在实数范围内分解下列因式:
①x2-3 ②x4-4 ③ 2x2-3
四、小结归纳
五、巩固检测：
1．下列各式中、、、、、，
二次根式的个数是（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
2．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（ ）．
A．a≤0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0
3．（-）2=________．
4．已知有意义，那么x+1是一个_______数．
5．计算① ② ③
④ ⑤
6．把下列非负数写成一个数的平方的形式:
① 5 ② 3.4 ③ ④ x（x≥0）
7．已知+=0，求xy的值．
8．在实数范围内分解下列因式:
①x2-2
②x4-9
③3x2-5
22.1二次根式(3)
一、温故知新:
1．形如 的式子叫做二次根式；
2．（a≥0）是一个 数；
3．()2＝ （a≥0）．
二、学习新知：
1. 填空：=_______；=________；=________；
=_________；=_________；=________．
2. 化简：① ② ③ ④
三、释疑提高
1. 填空：当a≥0时，=_____；当a<0时，=_______，并根据这一性质回答下列问题．
①若=a，则a可以是什么数？
②若=-a，则a可以是什么数？
③>a，则a可以是什么数？
2. 当x>2，化简-．
四、小结归纳
1.与的区别：
2. =
五、巩固检测：
1．的值是（ ）．
A．0 B． C．4 D．以上都不对
2．a≥0时，、、-，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）．
A．=≥- B．>>-
C．<<- D．->=
3．-=________．
4．若是一个正整数，则正整数m的最小值是________．
5．若│1995-a│+=a，求a-19952的值．
6．若-3≤x≤2时，试化简│x-2│++。
7．化简再求值：当a=9时，求a+的值，甲乙两人的解答如下：
甲的解答为：原式=a+=a+（1-a）=1；
乙的解答为：原式=a+=a+（a-1）=2a-1=17．
两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．
22.2二次根式的乘除(1)
一、温故知新
①=_______，=______；
②×=_______，=________．
③=________，=_______．
参考上面的结果，用“>、<、＝”填空．
_____，×_____，________
二、学习新知：
总结以上规律可知：①被开方数都是________；②两个二次根式的乘除等于一个二次根式，并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的__________．
一般地，对二次根式的乘法规定为算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根
·＝．（a≥0，b≥0）
反过来:积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根.
=·（a≥0，b≥0） 扩充：
1．计算① ② ③ ④ ⑤
2．化简① ② ③ ④ ⑤ ⑥
三、释疑提高：
判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：
①
② ×=4××=4×=4=8
四、小结归纳
五、巩固检测：
1．若直角三角形两条直角边长分别为cm和cm，那么此直角三角形斜边长是（ ）．
A．3cm B．3cm C．9cm D．27cm
2．化简a的结果是（ ）．
A． B． C．- D．-
3．等式成立的条件是（ ）
A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1
4．下列各等式成立的是（ ）．
A．4×2=8 B．5×4=20
C．4×3=7 D．5×4=20
5．=_______．
6．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？
7．观察并验证下列各式：① 2= ②3= ③4
④ 5，……
通过上述探究请你猜测出： a=_______（a>0）,并验证你的结论．
22.2二次根式的乘除（2）
一、温故知新：
填空：①=________，=_________；②=________，=________；
③=________，=_________；④=________，=________．
二、学习新知：
一般地，对二次根式的除法规定：两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开方数 =（a≥0，b>0）， 反过来，=（a≥0，b>0）
计算：① ② ③
④ ⑤ ⑥
三、释疑提高：
已知，且x为偶数，求(1+x)的值．
四、小结归纳：
五、巩固检测：
1．计算的结果是（ ）．
A． B． C． D．
2．阅读下列运算过程：，， 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简的结果是（ ）．
A．2 B．6 C． D．
3．分母有理化：① =_________；②=________；③ =______.
4．已知x=3，y=4，z=5，那么的最后结果是_______．
5．有一种房梁的截面是一个矩形，且矩形的长与宽之比为：1，现用直径为3cm的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房梁的最大截面积是多少？
6．计算①·（-）÷（m>0，n>0）
②-3÷（）× （a>0）
22.2二次根式的乘除（3）
一、温故知新：
计算① ② ③
二、学习新知：
1．观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：
1．被开方数不含分母； 2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
2．计算：① ② ③
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．
三、释疑提高：
观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式。例如：
==-1，==-，
同理可得：=-，……
从计算结果中找出规律__________________________________，并利用这一规律计算：
（+++……）（+1）的值．
四、小结归纳
五、巩固检测：
1．如果（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是 ．
2．把（a-1）中根号外的（a-1）移入根号内得 ．
3．在下列各式中，化简正确的是（ ）
A．=3 B．=± C．=a2 D． =x
4．化简的结果是（ ）
A．- B．- C．- D．-
5．化简=_________．（x≥0）
6．a化简二次根式号后的结果是_________．
7．已知a为实数，化简：-a，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程：
解：-a=a-a·=（a-1）
8．若x、y为实数，且y=，求的值．
9．计算：
22.3二次根式的加减（1）
一、温故知新：
1．计算：①2x+3x ②2x2-3x2+5x2 ③x+2x+3y ④3a2-2a2+a3
2．一个三角形的两边长分别为和，如果该三角形的周长为，你能求出第三边吗?
二、学习新知：
1．计算：①2+3 ②2-3+5 ③3-2+
小结：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．(二次根式的加减类似于合并同类项的运算)
2．计算：① ② ③
3．计算：① ②
③
三、释疑提高：
已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值．
四、小结归纳：
五、巩固检测：
1．以下二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（ ）．
A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④
2．下列各式：①3+3=6；②=1；③+==2；④=2，其中错误的有（ ）．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
3．在、、、、、3、-2中，与是同类二次根式的有________________________．
4．计算二次根式5-3-7+9的最后结果是________．
5．已知≈2.236，求（-）-（+）的值．（结果精确到0.01）
6．先化简，再求值：（6x+）-（4x+），其中x=，y=27．
22.3二次根式的加减(2)
一、温故知新:
1．要进行二次根式加减运算,它们具备什么特征才能进行合并？
2．说出2的三个同类二次根式;
3．+=正确吗?为什么?
二、学习新知：
1．如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）
2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？
三、释疑提高:
若最简根式与根式是同类二次根式，求a、b的值．
四、小结归纳：
五、巩固检测：
1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（ ）．
A．5 B． C．2 D．以上都不对
2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框，为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（ ）米．（结果同最简二次根式表示）
A．13 B． C．10 D．5
3．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2，则鱼塘的宽是_______m．
4．已知等腰直角三角形的直角边的边长为，那么这个等腰直角三角形的周长是________．
5．若最简二次根式与是同类二次根式，求m、n的值．
6．同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=，5=，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：
（-1）2=（）2-2·1·+12=2-2+1=3-2 反之，3-2=2-2+1=（-1）2
∴3-2=（-1）2 ∴=-1
求：①； ②； ③
④若=，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．
22.3二次根式的加减（3）
一、温故知新
1．计算①(2x+y)·zx ②（2x2y+3xy2)÷xy ③(2x+3y) (2x-3y） ④ (2x+1)2+(2x-1)2
二、学习新知：
1．计算①(+)× ② (4-3)÷2 ③(+3) (-5)
④(+3) (-3） ⑤(-2)2
三、释疑提高
求值: ①当x=+,y=-,求x2-xy+y2的值
②已知x=2-,求(7+4)x2+(2+)x+的值.
③已知a=-1,求a3+2a2+a的值
四、小结归纳
五、巩固检测：
1．的值是（ ）．
A． B． C． D．
2．计算（+）（-）的值是（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．1
3．的计算结果（用最简根式表示）是________．
4．（1-2) (1+2）-（2-1)2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．
5．若x=-1，则x2+2x+1=________．
6．已知a=3+2，b=3-2，则a2b-ab2=_________．
7．化简
8．当x=时，求+的值．
第22章二次根式复习
一．考点透视：
1．二次根式：式子（a≥0）叫做二次根式．
2．最简二次根式： 同时满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式．
3．同类二次根式： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式．
4．二次根式的性质：
①= a（a≥0） ②=
③ （a≥0，b≥0） ④（b≥0，a>0）．
5．分母有理化及有理化因式： 把分母中的根号化去，叫做分母有理化；两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式．
6.二次根式的运算
①因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．
②二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．
③二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
④有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．
二．经典习题：
例1 填空题：
①若式子有意义，则m的取值范围是_______．
②实数a、b、c，如图所示，化简－│a－b│+=______．
例2 选择题：
①在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）
A．和????? ?B．和 C．
②在根式1)，最简二次根式是（ ）
A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)
③已知a>b>0，a+b=6，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
例3 (2009年贵州安顺)先化简，再求值：，其中
三．习题精练：
(2009年湖北武汉)函数中自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2009年湖北荆门）若，则x－y的值为（ ）
A．－1 B．1 C．2 D．3
（2009年湖北黄石）下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
（2009年四川眉山）估算的值( )
A．在1到2之间 B．在2到3之间 C．在3到4之间 D．在4到5之间
（2009年湖南益阳）在电路中，已知一个电阻的阻值R和它消耗的电功率P.由电功率计算公式 可得它两端的电压U为 （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
（2009年新疆）若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7.（2009年河南省）16的平方根是 .
8.（2009年山西省）计算：= ．
9.（2009年辽宁铁岭）函数自变量的取值范围是 ．
10.（2009年广西崇左）当时，化简的结果是 ．
11.（2009年湖北襄樊）计算： ．
12．(2009年上海市)分母有理化： ．
13．（2009年黑龙江大兴安岭）计算： ．
14.（2009年广东佛山）（1）有这样一个问题：与下列哪些数相乘，结果是有理数？
A． B． C． D． E．
问题的答案是（只需填字母）： ；
（2）如果一个数与相乘的结果是有理数，则这个数的一般形式是________________
15.（2009年福建福州）请写出一个比小的整数 .
16.（2009年湖南湘西自治州）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b=，如3※2=．那么12※4=
17．（2009年浙江嘉兴）当时，代数式的值是 ．
18.(2009年凉山)计算：．
19.（2009年湖南邵阳）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
＝；（一） ＝（二）
＝＝ （三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化。
还可以用以下方法化简：
＝（四）
①请用不同的方法化简。
参照（三）式得＝______________________________________________；
参照（四）式得＝_________________________________________.
②化简：.
20.（2009年山东威海）先化简，再求值：，其中．
21.（2009年辽宁朝阳）先化简，再求值：，其中．
22. 已知：，求的值。
23.（2009年山东泰安）先化简、再求值：.
渔门中学初三（上）数学单元检测题（一）
班级： 姓名： 成绩：
（时间：90分钟 总分：100分）
一、选择题：（每小题2分，共26分）
1、下列代数式中，属于二次根式的为（ ）
A、 B、 C、 (a≥1) D、—
2、在二次根式， 中，x的取值范围是（ ）
A、x≥1 B、x＞1 C、x≤1 D、x＜1
3、已知（x－1）2＋ =0，则（x＋y）2的算术平方根是（ ）
A、1 B、±1 C、－1 D、0
4、下列计算中正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
5、化简 =（ ）
A、 B、 C、 D、
6、下列二次根式： ， ， ， ， ， ， 其中是最简二次根式的有（ ）
A、2个 B、3个 C、1个 D、4个
7、若等式 成立，则m的取值范围是（ ）
A、m≥ B、m＞3 C、 ≤m＜3 D、m≥3
8、已知直角三角形有两条边的长分别是3cm，4cm，那么第三条边的长是（ ）
A、5cm B、 cm C、5cm或 cm D、 cm
9、把二次根式 化简，得（ ）
A、x2＋xy B、 C、 D、
10、下列各组二次根式中，属于同类二次根式的为（ ）
A、 和 B、 和 C、 和 D、 和
11、如果a≤1，那么化简 =（ ）
A、 B、 C、 D、
12、下列各组二次根式中，x的取值范围相同的是（ ）
A、 与 B、（ ）2与
C、 与 D、 与
13、化简 －（ ）2，得（ ）
A、2 B、4－ 4x C、4x－4 D、－2
二、填空题：（每小题3分，共36分）
14、用“＞”或“＜”符号连接：（1） ；（2） ；
（3）
15、 的相反数是 ，绝对值是 ，（ ）2=
16、如果最简二次根式 与 是同类二次根式，那么a的值是
17、计算： = ；（ ）2= ； =
18、当x 时，二次根式 有意义；当x 时，代数式 有意义
19、若1＜x＜2，则化简 =
20、化简下列二次根式：（1） = ；（2） =
21、如果等式 成立，那么x的取值范围是
22、若 有意义，则x的值是
23、化简： = ； = ； =
24、计算： = ； =
25、如果x＋y=5,xy=1,那么 =
三、解答题：（26～30题各4分，31～33题各6分，共38分）
26、计算：
27、计算：
28、计算：
29、计算：
30、计算：
31、是否存在实数m，使最简二次根式 与 是同类二次根式？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。
32、先化简，再求值： ，其中x=
33、如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=105°，CD⊥AB于D，BC=2cm，求：AC和AB的长（结果保留二次根式）
一、温故知新：
1、已知反比例函数y=，那么它的图象在第一象限横、纵坐标相等的点的坐标是________．
2、在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．
3、甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，如果甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．
二、学习新知：
1.、很明显、、，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称___________．因此，一般地，我们把形如_________________的式子叫做二次根式，“”称为___________．（a≥0）是一个非负数
2、思考下列问题：
① -1有算术平方根吗？
②0的算术平方根是多少？
③当a<0，有意义吗？
3、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（a>0）、、、-、、（x≥0，y≥0）．
4、 当x取何值时，在实数范围内有意义？
5、=______（a≥0），=______（a≤0）
三、释疑提高：
1、 已知y=++5，求的值．
2、 若+=0，求a2004+b2004的值．
四、小结归纳：
五、巩固检测：
1．下列式子中，是二次根式的是（ ）
A．- B． C． D．x
2．下列式子中，不是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ）
A．5 B． C． D．以上皆不对
4．形如________的式子叫做二次根式．
5．面积为a的正方形的边长为________．
6．负数________平方根．
7．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？
8．当x是多少时，+x2在实数范围内有意义？
9．若+有意义，则=_______．
10.使式子有意义的未知数x有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．无数
11.已知a、b为实数，且+2=b+4，求a、b的值．
22.1二次根式(2)
一、温故知新:
1．什么叫二次根式？
2．当a≥0时，叫什么？当a<0时，有意义吗？
二、学习新知：
1. 根据算术平方根的意义填空：
=_______；=_______； =______； =_______；
=______； =_______； =_______．(（）2=a（a≥0）)
2.计算： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥
三、释疑提高:
1. 计算
①（x≥0） ② ③ ④
2. 在实数范围内分解下列因式:
①x2-3 ②x4-4 ③ 2x2-3
四、小结归纳
五、巩固检测：
1．下列各式中、、、、、，
二次根式的个数是（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
2．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（ ）．
A．a≤0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0
3．（-）2=________．
4．已知有意义，那么x+1是一个_______数．
5．计算① ② ③
④ ⑤
6．把下列非负数写成一个数的平方的形式:
① 5 ② 3.4 ③ ④ x（x≥0）
7．已知+=0，求xy的值．
8．在实数范围内分解下列因式:
①x2-2
②x4-9
③3x2-5
22.1二次根式(3)
一、温故知新:
1．形如 的式子叫做二次根式；
2．（a≥0）是一个 数；
3．()2＝ （a≥0）．
二、学习新知：
1. 填空：=_______；=________；=________；
=_________；=_________；=________．
2. 化简：① ② ③ ④
三、释疑提高
1. 填空：当a≥0时，=_____；当a<0时，=_______，并根据这一性质回答下列问题．
①若=a，则a可以是什么数？
②若=-a，则a可以是什么数？
③>a，则a可以是什么数？
2. 当x>2，化简-．
四、小结归纳
1.与的区别：
2. =
五、巩固检测：
1．的值是（ ）．
A．0 B． C．4 D．以上都不对
2．a≥0时，、、-，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）．
A．=≥- B．>>-
C．<<- D．->=
3．-=________．
4．若是一个正整数，则正整数m的最小值是________．
5．若│1995-a│+=a，求a-19952的值．
6．若-3≤x≤2时，试化简│x-2│++。
7．化简再求值：当a=9时，求a+的值，甲乙两人的解答如下：
甲的解答为：原式=a+=a+（1-a）=1；
乙的解答为：原式=a+=a+（a-1）=2a-1=17．
两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．
22.2二次根式的乘除(1)
一、温故知新
①=_______，=______；
②×=_______，=________．
③=________，=_______．
参考上面的结果，用“>、<、＝”填空．
_____，×_____，________
二、学习新知：
总结以上规律可知：①被开方数都是________；②两个二次根式的乘除等于一个二次根式，并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的__________．
一般地，对二次根式的乘法规定为算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根
·＝．（a≥0，b≥0）
反过来:积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根.
=·（a≥0，b≥0） 扩充：
1．计算① ② ③ ④ ⑤
2．化简① ② ③ ④ ⑤ ⑥
三、释疑提高：
判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：
①
② ×=4××=4×=4=8
四、小结归纳
五、巩固检测：
1．若直角三角形两条直角边长分别为cm和cm，那么此直角三角形斜边长是（ ）．
A．3cm B．3cm C．9cm D．27cm
2．化简a的结果是（ ）．
A． B． C．- D．-
3．等式成立的条件是（ ）
A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1
4．下列各等式成立的是（ ）．
A．4×2=8 B．5×4=20
C．4×3=7 D．5×4=20
5．=_______．
6．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？
7．观察并验证下列各式：① 2= ②3= ③4
④ 5，……
通过上述探究请你猜测出： a=_______（a>0）,并验证你的结论．
22.2二次根式的乘除（2）
一、温故知新：
填空：①=________，=_________；②=________，=________；
③=________，=_________；④=________，=________．
二、学习新知：
一般地，对二次根式的除法规定：两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开方数 =（a≥0，b>0）， 反过来，=（a≥0，b>0）
计算：① ② ③
④ ⑤ ⑥
三、释疑提高：
已知，且x为偶数，求(1+x)的值．
四、小结归纳：
五、巩固检测：
1．计算的结果是（ ）．
A． B． C． D．
2．阅读下列运算过程：，， 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简的结果是（ ）．
A．2 B．6 C． D．
3．分母有理化：① =_________；②=________；③ =______.
4．已知x=3，y=4，z=5，那么的最后结果是_______．
5．有一种房梁的截面是一个矩形，且矩形的长与宽之比为：1，现用直径为3cm的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房梁的最大截面积是多少？
6．计算①·（-）÷（m>0，n>0）
②-3÷（）× （a>0）
22.2二次根式的乘除（3）
一、温故知新：
计算① ② ③
二、学习新知：
1．观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：
1．被开方数不含分母； 2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
2．计算：① ② ③
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．
三、释疑提高：
观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式。例如：
==-1，==-，
同理可得：=-，……
从计算结果中找出规律__________________________________，并利用这一规律计算：
（+++……）（+1）的值．
四、小结归纳
五、巩固检测：
1．如果（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是 ．
2．把（a-1）中根号外的（a-1）移入根号内得 ．
3．在下列各式中，化简正确的是（ ）
A．=3 B．=± C．=a2 D． =x
4．化简的结果是（ ）
A．- B．- C．- D．-
5．化简=_________．（x≥0）
6．a化简二次根式号后的结果是_________．
7．已知a为实数，化简：-a，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程：
解：-a=a-a·=（a-1）
8．若x、y为实数，且y=，求的值．
9．计算：
22.3二次根式的加减（1）
一、温故知新：
1．计算：①2x+3x ②2x2-3x2+5x2 ③x+2x+3y ④3a2-2a2+a3
2．一个三角形的两边长分别为和，如果该三角形的周长为，你能求出第三边吗?
二、学习新知：
1．计算：①2+3 ②2-3+5 ③3-2+
小结：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．(二次根式的加减类似于合并同类项的运算)
2．计算：① ② ③
3．计算：① ②
③
三、释疑提高：
已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值．
四、小结归纳：
五、巩固检测：
1．以下二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（ ）．
A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④
2．下列各式：①3+3=6；②=1；③+==2；④=2，其中错误的有（ ）．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
3．在、、、、、3、-2中，与是同类二次根式的有________________________．
4．计算二次根式5-3-7+9的最后结果是________．
5．已知≈2.236，求（-）-（+）的值．（结果精确到0.01）
6．先化简，再求值：（6x+）-（4x+），其中x=，y=27．
22.3二次根式的加减(2)
一、温故知新:
1．要进行二次根式加减运算,它们具备什么特征才能进行合并？
2．说出2的三个同类二次根式;
3．+=正确吗?为什么?
二、学习新知：
1．如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）
2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？
三、释疑提高:
若最简根式与根式是同类二次根式，求a、b的值．
四、小结归纳：
五、巩固检测：
1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（ ）．
A．5 B． C．2 D．以上都不对
2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框，为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（ ）米．（结果同最简二次根式表示）
A．13 B． C．10 D．5
3．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2，则鱼塘的宽是_______m．
4．已知等腰直角三角形的直角边的边长为，那么这个等腰直角三角形的周长是________．
5．若最简二次根式与是同类二次根式，求m、n的值．
6．同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=，5=，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：
（-1）2=（）2-2·1·+12=2-2+1=3-2 反之，3-2=2-2+1=（-1）2
∴3-2=（-1）2 ∴=-1
求：①； ②； ③
④若=，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．
22.3二次根式的加减（3）
一、温故知新
1．计算①(2x+y)·zx ②（2x2y+3xy2)÷xy ③(2x+3y) (2x-3y） ④ (2x+1)2+(2x-1)2
二、学习新知：
1．计算①(+)× ② (4-3)÷2 ③(+3) (-5)
④(+3) (-3） ⑤(-2)2
三、释疑提高
求值: ①当x=+,y=-,求x2-xy+y2的值
②已知x=2-,求(7+4)x2+(2+)x+的值.
③已知a=-1,求a3+2a2+a的值
四、小结归纳
五、巩固检测：
1．的值是（ ）．
A． B． C． D．
2．计算（+）（-）的值是（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．1
3．的计算结果（用最简根式表示）是________．
4．（1-2) (1+2）-（2-1)2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．
5．若x=-1，则x2+2x+1=________．
6．已知a=3+2，b=3-2，则a2b-ab2=_________．
7．化简
8．当x=时，求+的值．
第22章二次根式复习
一．考点透视：
1．二次根式：式子（a≥0）叫做二次根式．
2．最简二次根式： 同时满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式．
3．同类二次根式： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式．
4．二次根式的性质：
①= a（a≥0） ②=
③ （a≥0，b≥0） ④（b≥0，a>0）．
5．分母有理化及有理化因式： 把分母中的根号化去，叫做分母有理化；两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式．
6.二次根式的运算
①因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．
②二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．
③二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
④有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．
二．经典习题：
例1 填空题：
①若式子有意义，则m的取值范围是_______．
②实数a、b、c，如图所示，化简－│a－b│+=______．
例2 选择题：
①在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）
A．和????? ?B．和 C．
②在根式1)，最简二次根式是（ ）
A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)
③已知a>b>0，a+b=6，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
例3 (2009年贵州安顺)先化简，再求值：，其中
三．习题精练：
(2009年湖北武汉)函数中自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2009年湖北荆门）若，则x－y的值为（ ）
A．－1 B．1 C．2 D．3
（2009年湖北黄石）下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
（2009年四川眉山）估算的值( )
A．在1到2之间 B．在2到3之间 C．在3到4之间 D．在4到5之间
（2009年湖南益阳）在电路中，已知一个电阻的阻值R和它消耗的电功率P.由电功率计算公式 可得它两端的电压U为 （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
（2009年新疆）若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7.（2009年河南省）16的平方根是 .
8.（2009年山西省）计算：= ．
9.（2009年辽宁铁岭）函数自变量的取值范围是 ．
10.（2009年广西崇左）当时，化简的结果是 ．
11.（2009年湖北襄樊）计算： ．
12．(2009年上海市)分母有理化： ．
13．（2009年黑龙江大兴安岭）计算： ．
14.（2009年广东佛山）（1）有这样一个问题：与下列哪些数相乘，结果是有理数？
A． B． C． D． E．
问题的答案是（只需填字母）： ；
（2）如果一个数与相乘的结果是有理数，则这个数的一般形式是________________
15.（2009年福建福州）请写出一个比小的整数 .
16.（2009年湖南湘西自治州）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b=，如3※2=．那么12※4=
17．（2009年浙江嘉兴）当时，代数式的值是 ．
18.(2009年凉山)计算：．
19.（2009年湖南邵阳）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
＝；（一） ＝（二）
＝＝ （三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化。
还可以用以下方法化简：
＝（四）
①请用不同的方法化简。
参照（三）式得＝______________________________________________；
参照（四）式得＝_________________________________________.
②化简：.
20.（2009年山东威海）先化简，再求值：，其中．
21.（2009年辽宁朝阳）先化简，再求值：，其中．
22. 已知：，求的值。
23.（2009年山东泰安）先化简、再求值：.
渔门中学初三（上）数学单元检测题（一）
班级： 姓名： 成绩：
（时间：90分钟 总分：100分）
一、选择题：（每小题2分，共26分）
1、下列代数式中，属于二次根式的为（ ）
A、 B、 C、 (a≥1) D、—
2、在二次根式， 中，x的取值范围是（ ）
A、x≥1 B、x＞1 C、x≤1 D、x＜1
3、已知（x－1）2＋ =0，则（x＋y）2的算术平方根是（ ）
A、1 B、±1 C、－1 D、0
4、下列计算中正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
5、化简 =（ ）
A、 B、 C、 D、
6、下列二次根式： ， ， ， ， ， ， 其中是最简二次根式的有（ ）
A、2个 B、3个 C、1个 D、4个
7、若等式 成立，则m的取值范围是（ ）
A、m≥ B、m＞3 C、 ≤m＜3 D、m≥3
8、已知直角三角形有两条边的长分别是3cm，4cm，那么第三条边的长是（ ）
A、5cm B、 cm C、5cm或 cm D、 cm
9、把二次根式 化简，得（ ）
A、x2＋xy B、 C、 D、
10、下列各组二次根式中，属于同类二次根式的为（ ）
A、 和 B、 和 C、 和 D、 和
11、如果a≤1，那么化简 =（ ）
A、 B、 C、 D、
12、下列各组二次根式中，x的取值范围相同的是（ ）
A、 与 B、（ ）2与
C、 与 D、 与
13、化简 －（ ）2，得（ ）
A、2 B、4－ 4x C、4x－4 D、－2
二、填空题：（每小题3分，共36分）
14、用“＞”或“＜”符号连接：（1） ；（2） ；
（3）
15、 的相反数是 ，绝对值是 ，（ ）2=
16、如果最简二次根式 与 是同类二次根式，那么a的值是
17、计算： = ；（ ）2= ； =
18、当x 时，二次根式 有意义；当x 时，代数式 有意义
19、若1＜x＜2，则化简 =
20、化简下列二次根式：（1） = ；（2） =
21、如果等式 成立，那么x的取值范围是
22、若 有意义，则x的值是
23、化简： = ； = ； =
24、计算： = ； =
25、如果x＋y=5,xy=1,那么 =
三、解答题：（26～30题各4分，31～33题各6分，共38分）
26、计算：
27、计算：
28、计算：
29、计算：
30、计算：
31、是否存在实数m，使最简二次根式 与 是同类二次根式？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。
32、先化简，再求值： ，其中x=
33、如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=105°，CD⊥AB于D，BC=2cm，求：AC和AB的长（结果保留二次根式）