2022—2023学年人教版数学九年级上册22.3二次函数与一元二次方程　同步练习题（word、含解析）

2022-2023学年人教版九年级数学上册《22.3二次函数与一元二次方程》
同步练习题（附答案）
一．选择题
1．在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+1，y3＝x2+cx+1，其中a，b，c是正数实数，且b2＝2ac，设y1，y2，y3的图象与x轴交点个数分别是e，f，g，以下说法正确地是（　　）
A．若e＝2，f＝2则g＝2 B．若e＝1，f＝0则g＝0
C．若e＝0，f＝0则g＝0 D．若e＝0，f＝2则g＝1
2．已知，抛物线y＝ax2+2ax在其对称轴的左侧y随x的增大而减小，关于x的方程ax2+2ax＝m（m＞0）的一个根为﹣4，而关于x的方程ax2+2ax＝n（0＜n＜m）有两个整数根，则这两个根的积是（　　）
A．0 B．﹣3 C．﹣6 D．﹣8
3．如图抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于（﹣1，0），（3，0）两点：则下列判断中正确是（　　）
①图象的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线
②当x＞1时，y随x的增大而减小
③一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣1和3
④当﹣1＜x＜3时，y＜0
A．①② B．①②④ C．①②③ D．④
4．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣4）（0≤x≤4）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3…如此变换进行下去，若点P（21，m）在这种连续变换的图象上，则m的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3
5．如图是抛物线y＝﹣（x+1）2+m的部分图象，其顶点为M，与y轴交于点（0，3），与x轴的一个交点为A，连接MO，MA．以下结论：①抛物线经过点（﹣2，3）；②m＝3；③S△OMA＝4；④当x＝﹣3+时，y＞0．其中正确的是（　　）（填序号）
A．①④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
6．四位同学在研究函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）时，甲发现当x＝1时，函数有最小值；乙发现﹣1是方程x2+bx+c＝0的一个根；丙发现函数的最小值为2；丁发现当x＝2时，y＝3，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．在平面直角坐标系中，若函数y＝（k﹣2）x2﹣2kx+k的图象与坐标轴共有三个交点，则下列各数中可能的k值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
8．如图，将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，当直线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（　　）
A．﹣或﹣3 B．﹣或﹣3 C．或﹣3 D．或﹣3
9．已知二次函数y＝x2﹣2x+3，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（　　）
A．图象的开口向下
B．图象的顶点坐标是（1，3）
C．当x＜1时，y随x的增大而减小
D．图象与x轴有唯一交点
10．已知关于x的方程x2+bx﹣c＝0的两个根分别是x1＝﹣，x2＝，若点A是二次函数y＝x2+bx+c的图象与y轴的交点，过A作AB⊥y轴交抛物线于另一交点B，则AB的长为（　　）
A．2 B． C． D．3
二．填空题
11．若抛物线y＝x2+2x+m的图象与x轴有交点，那么m的取值范围是 　 　．
12．抛物线y＝mx2﹣2（m﹣1）x+（m﹣3）与x轴有两个交点，则m的取值范围是　 　．
13．若抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，抛物线顶点为点B．
①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点；
②若点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；
④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为3++．
其中正确的是 　 　．（填序号）
14．若将抛物线y＝x2﹣2x+c向上平移，使它经过点（2，0），则此时的抛物线位于x轴下方的图象对应x的取值范围是 　 　．
15．已知抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标分别是﹣3和1，若抛物线y2＝ax2+bx+c+m（m＞0）与x轴有两个交点A，B，点A的坐标是（4，0），则点B的坐标是 　 　．
16．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式2m2﹣2m+2020的值为 　 　．
17．如图，直线l：y＝，经过点M（0，），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3）…Bn（n，yn）（n为正整数）依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0）．，An+1（xn+1，0）（n为正整数），设x1＝d（0＜d＜1）若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则我们把这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．则当d（0＜d＜1）的大小变化时美丽抛物线相应的d的值是　 　．
三．解答
18．已知二次函数y＝x2﹣mx+2m﹣4．
（1）求证：无论m取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点；
（2）如果该函数的图象与x轴交点的横坐标均为正数，求m的最小整数值．
19．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线y＝﹣x﹣3经过A，C两点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是第三象限内抛物线上的一个动点，连接BP交AC于点G，连接PA，PC．设点P的横坐标为m，S△APG＝nS△ABG，请求出n的最大值．
20．已知抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧），抛物线的对称轴与x轴交于点D，且OB＝2OD．
（1）当b＝﹣2时，求抛物线的表达式；
（2）当抛物线y1的对称轴在y轴的左侧时，存在垂直于x轴的直线，分别与直线和抛物线y1交于点P，Q，且点P，Q均在x轴下方．请结合图象，求出b的取值范围．
参考答案
一．选择题
1．解：A、错误．由e＝2，f＝2，可得a2﹣4＞0，b2﹣4＞0，取a＝3，b2＝5，则c＝＝，此时c2﹣4＜0，此时g＝0，故A错误；
B、正确．理由：∵e＝1，f＝0，∴a2﹣4＝0，b2﹣4＜0，∵a，b，c是正实数，∴a＝2，∵b2＝2ac，∴c＝b2，此时c2﹣4＝b4﹣4＝（b4﹣64）＝（b2+8）（b2﹣8）＜0，∴g＝0，∴选项B正确，
C、错误．由e＝0，f＝0，可得a2﹣4＜0，b2﹣4＜0，取a＝1，b2＝3，则c＝＝3，此时c2﹣4＞0．∴g＝2，故C错误；
D．错误．由e＝0，f＝2，可得a2﹣4＜0，b2﹣4＞0，取a＝1，b2＝18，则c＝＝18，此时c2﹣16＞0，∴g＝2，故D错误．
故选：B．
2．解：抛物线y＝ax2+2ax的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∵抛物线y＝ax2+2ax在其对称轴的左侧y随x的增大而减小，
∴a＞0，抛物线的开口向上，
当y＝0时，ax2+2ax＝0，解得x1＝0，x2＝﹣2，
即抛物线y＝ax2+2ax与x轴的交点坐标为（0，0），（﹣2，0），如图，
∵关于x的方程ax2+2ax＝m（m＞0）的一个根为﹣4，
∴关于x的方程ax2+2ax＝m（m＞0）的另一个根为2，
∵关于x的方程ax2+2ax＝n（0＜n＜m）有两个整数根，
∴关于x的方程ax2+2ax＝n（0＜n＜m）有两个整数根能为x1＝﹣3，x2＝1，
∴这两个根的积是为﹣3．故选：B．
3．解：二次函数的图象与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0），
抛物线的对称轴直线为：x＝＝1，故①正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故②正确；
∵二次函数的图象与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0），
∴一元二次方程的两个根是﹣1，3，故③正确；
∵当﹣1＜x＜3时，抛物线在x轴的上方，
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，故④错误．
综上，正确的选项有①②③．
故选：C．
4．解：∵y＝﹣x（x﹣4）（0≤x≤4）记为C1，它与x轴交于两点O，A1，
∴点A1（4，0），
∴OA1＝4，
∵OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，
∴OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝4，
∵点P（21，m）在这种连续变换的图象上，
∴x＝21和x＝1时的函数值互为相反数，
∴﹣m＝﹣1×（1﹣4）＝3，
∴m＝﹣3，
故选：C．
5．解：∵抛物线y＝﹣（x+1）2+m与y轴交于点（0，3），
∴3＝﹣（0+1）2+m，得m＝4，故②错误；
∴抛物线y＝﹣（x+1）2+4，
当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2+1）2+4＝3，
即抛物线过点（﹣2，3），故①正确；
当y＝0时，0＝﹣（x+1）2+4，
解得，x1＝1，x2＝﹣3，
∴点A的坐标为（1，0），
∴OA＝1，
∵抛物线y＝﹣（x+1）2+4，顶点为M，
∴点M的坐标为（﹣1，4），
∴S△OMA＝＝2，故③错误；
∵抛物线y＝﹣（x+1）2+4与x轴的交点为（﹣3，0），（1，0），
∴当﹣3＜x＜1时，y＞0，
∴当x＝﹣3+时，y＞0，故④正确；
故选：A．
6．解：若甲、丙的结论正确，设抛物线解析式为y＝（x﹣1）2+2，
即y＝x2﹣2x+3；
当x＝﹣1时，y＝x2﹣2x+3＝6，所以乙的结论错误；
当x＝2时，y＝x2﹣2x+3＝3，所以丁的结论正确．
故选：B．
7．解：∵函数y＝（k﹣2）x2﹣2kx+k的图象与坐标轴共有三个交点，
∴，
解得k＞0且k≠2，
故选：C．
8．解：二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点坐标为（1，4），
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
则抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的交点为A（﹣1，0），B（3，0），
把抛物线y＝﹣x2+2x+3图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3），顶点坐标M（1，﹣4），
如图，当直线y＝x+b过点B时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，
∴3+b＝0，解得b＝﹣3；
当直线y＝x+b与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3）相切时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，
即（x﹣1）2﹣4＝x+b有相等的实数解，整理得x2﹣3x﹣b﹣3＝0，Δ＝32﹣4（﹣b﹣3）＝0，解得b＝﹣，
所以b的值为﹣3或﹣，
故选：B．
9．解：∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，2），当x＜1时y随x增大而减小，x＞1时y随x增大而增大．
故选：C．
10．解：∵x1＝﹣，x2＝，
∴x1+x2＝﹣b＝2，x1 x2＝﹣c＝﹣，
∴b＝﹣2，c＝，
∴y＝x2﹣2x+，
令x＝0，y＝，
∴A（0，），
∵AB⊥y轴，
∴AB∥x轴，
∴B点的纵坐标为，
把y＝代入y＝x2﹣2x+，
得＝x2﹣2x+，
解得x1＝0，x2＝2，
∴B（2，），
∴AB＝2，
故选：A．
二．填空题
11．解：∵抛物线y＝x2+2x+m的图像与x轴有交点，
∴令y＝0，有x2+2x+m＝0，即该方程有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac≥0，
∴m≤1．
故答案是：m≤1．
12．解：∵抛物线y＝mx2﹣2（m﹣1）x+（m﹣3）与x轴有两个交点，
∴当mx2﹣2（m﹣1）x+（m﹣3＝0时，△＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4m×（m﹣3）＞0，
解得，m＞﹣1，
又∵m≠0．
∴m的取值范围是m＞﹣1且m≠0．
故答案是：m＞﹣1且m≠0．
13．解：令﹣x2+2x+m+1＝m+2可得x2﹣2x﹣1＝0，
∵Δ＝4﹣4＝0，
∴方程有两个相等实数根，即两图象有其只有一个公共点，
∴①正确，符合题意．
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴x＜1时，y随x增大而增大，x＞1时，y随x增大而减小，
∵1﹣（﹣）＞2﹣1＞1﹣，
∴y1＜y3＜y2，
∴②错误，不符合题意．
∵y＝﹣x2+2x+m+1＝﹣（x﹣1）2+m+2，
∴抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位后解析式为y＝﹣（x+1）2+m，
∴③正确，符合题意．
∵m＝1，
∴y＝﹣（x﹣1）2+3，
∴点B坐标为（1，3），
把x＝0代入y＝﹣（x﹣1）2+3得y＝2，
∴A（0，2），
∴点C坐标为（2，2），
如图，作B关于y轴对称点B'，点C关于x轴对称点C'，
由对称性可得B'（﹣1，3），C'（2，﹣2），
∴BE+ED+CD＝B'C'＝＝，
∵BC＝＝，
∴四边形BCDE周长的最小值为BE+ED+CD+BC＝+．
∴④错误，不符合题意．
故答案为：①③．
14．解：设平移后的抛物线解析式为y＝x2﹣2x+c+b，
把A（2，0）代入y＝x2﹣2x+c+b得：0＝c+b，
则该函数解析式为y＝x2﹣2x，
当y＝0时，x2﹣2x＝0，
解得：x1＝0，x2＝2，
∴抛物线与x轴交点为（0，0）和（2，0），
∵抛物线y＝x2﹣2x开口向上，
∴此时的抛物线位于x轴下方的图象对应x的取值范围是：0＜x＜2，
故答案为：0＜x＜2．
15．解：∵抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标分别是﹣3和1，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
抛物线y2＝ax2+bx+c+m（m＞0）是由抛物线向上移动m个单位，抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
∵A，B关于对称轴对称，A坐标为（4，0），
∴点B坐标为（﹣6，0）．
故答案为：（﹣6，0）．
16．解：∵抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），
∴m2﹣m﹣1＝0，
即m2﹣m＝1，
∴2m2﹣2m+2020＝2（m2﹣m）+2020＝2×1+2020＝2022．
故答案为：2022．
17．解：将（0，）代入直线l：y＝得：
b＝
∴y＝
∵当x＝1时，y＝＜1
∴B1（1，）
∵当x＝2时，y＝＜1
∴B2（2，）
当x＝3时，y＝＞1
∴美丽抛物线的顶点只有B1，B2
若B1为顶点，则d＝1﹣＝；
若B2为顶点，则d＝1﹣[（2﹣）﹣1]＝
故答案为：或．
三．解答题
18．解：（1）∵△＝（﹣m）2﹣4×1×（2m﹣4）＝m2﹣8m+16＝（m﹣4）2≥0，
∴无论m取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点；
（2）∵该函数的图象与x轴交点的横坐标均为正数，
∴当x＝0时，y＞0，即2m﹣4＞0，
解得m＞2，
∴m的最小整数值为3．
19．解：（1）对于y＝﹣x﹣3，令y＝﹣x﹣3＝0，解得x＝﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，
故点A、C的坐标分别为（﹣3，0）、（0，﹣3），
将点A、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3①；
（2）过点B作AC的平行线交y轴于点M，在AC下方作AC的平行线使之与抛物线只有一个交点P，
则点P为所求点，该直线交y轴于点H，
设直线BM的表达式为y＝﹣x+t，
将点B的坐标代入上式并解得t＝1，
故直线MB的表达式为y＝﹣x+1，则点M（0，1），
同理设直线PH的表达式为y＝﹣x+n②，
联立①②得：x2+2x﹣3＝﹣x+n，
则△＝32+4（3+n）＝0，解得n＝﹣，故点H的坐标为（0，﹣），
则CH＝﹣3+＝，CM＝1+3＝4，
∵S△APG＝nS△ABG，且两个三角形底相同，
∴面积比为高的比，也等于CH：CM，
∴n＝＝＝，
即n的最大值为．
20．解：（1）当b＝﹣2时，抛物线的表达式为y＝x2﹣2x+c，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1．
∴点D（1，0）．
∴OD＝1．
∵OB＝2OD，
∴OB＝2，
∴B（2，0）．
∴22﹣2×2+c＝0．
解得：c＝0．
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣2x．
（2）当抛物线y1的对称轴在y轴的左侧时，b＞0．
设直线和x轴的交点为E，
∴E（﹣，0）．
∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣，
∴D（﹣，0）．
∴OD＝．
∵OB＝2OD，
∴OB＝b．
∴B（b，0）．
∴BD＝b，
∴AD＝BD＝b．
∴OA＝AD+OD＝2b．
∴A（﹣2b，0）．
如图，当点E在点A的右侧时，存在垂直于x轴的直线，分别与直线和抛物线y1交于点P，Q，且点P，Q均在x轴下方，
∴﹣2b＜．
解得：b＞．
∴存在垂直于x轴的直线，分别与直线和抛物线y1交于点P，Q，且点P，Q均在x轴下方，此时b．