2022-2023学年苏科版九年级数学上册2.7弧长及扇形面积 同步练习题 （word版含答案）

2022-2023学年苏科版九年级数学上册《2.7弧长及扇形面积》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，半径OA＝90m，圆心角∠AOB＝80°，则这段弯路（）的长度为（　　）
A．20πm B．30πm C．40πm D．50πm
2．如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，∠BAC＝α，将△ABC绕点A逆时针旋转2α，得到△AB′C′，连接B′C并延长交AB于点D，当B′D⊥AB时，的长是（　　）
A．π B．π C．π D．π
3．某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则的长是（　　）
A．11πcm B．πcm C．7πcm D．πcm
4．某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为2m，则改建后门洞的圆弧长是（　　）
A．m B．m C．m D．（+2）m
5．如图，在边长为6的正方形ABCD中，以BC为直径画半圆，则阴影部分的面积是（　　）
A．9 B．6 C．3 D．12
6．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（　　）
A．4.25πm2 B．3.25πm2 C．3πm2 D．2.25πm2
7．如图，在正方形ABCD中，AC和BD交于点O，过点O的直线EF交AB于点E（E不与A，B重合），交CD于点F．以点O为圆心，OC为半径的圆交直线EF于点M，N．若AB＝1，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
8．如图，在等腰直角△OAB中，点E在OA上，以点O为圆心、OE为半径作圆弧交OB于点F，连接EF，已知阴影部分面积为π﹣2，则EF的长度为（　　）
A． B．2 C．2 D．3
二．填空题
9．如图，正方形ABCD的边长是，将对角线AC绕点A顺时针旋转∠CAD的度数，点C旋转后的对应点为E，则弧CE的长是 　 　（结果保留π）．
10．如图，从一个腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，则此扇形的弧长为 　 　cm．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AC上，以O为圆心，4为半径的圆恰好过点C，且与边AB相切于点D，交BC于点E，则劣弧的长是 　 　．（结果保留π）
12．如图，四边形ABCD是边长为的正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由多段90°的圆心角所对的弧组成的．其中，弧DA1的圆心为A，半径为AD；弧A1B1的圆心为B，半径为BA1；弧B1C1的圆心为C，半径为CB1；弧C1D1的圆心为D，半径为DC1…．弧DA1、弧A1B1、弧B1C1、弧C1D1…的圆心依次按点A、B、C、D循环，则弧C2022D2022的长是 　 　（结果保留π）．
13．如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O′处，得到扇形A′O′B′．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为 　 　．
14．如图，在 ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝45°，以点A为圆心、AD为半径画弧交AB于点E，连接CE，若AB＝3，则图中阴影部分的面积是 　 　．
15．如图，在半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB中，＝2，点D是半径OB的中点，点E从点D出发，沿D→O→A的方向运动到A的过程中，线段BE、CE与所围成的区域（图中阴影部分）面积的最小值为 　 　cm2．
三．解答题
16．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）求∠ACB的度数；
（2）若BC＝6，求的长．
17．如图，△ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．
（1）求证：AC＝AF；
（2）若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）．
18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D．
（1）若∠B＝28°，求的度数；
（2）若D是AB的中点，AB＝4，求阴影部分的面积；
19．如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．
（1）求证：∠ACO＝∠BCP；
（2）若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；
（3）在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
20．如图，一只小羊被主人用绳子拴在长为5米，宽为2米的长方形水泥台的一个顶点上，水泥台的周围都是草地．
（1）若绳子长为4米，求这只羊能吃到草的区域的最大面积．（结果保留π）
（2）为了增加小羊吃草的范围，现决定把绳子的长度增加到6米，求这只羊现在能吃到草的区域的最大面积．（结果保留π）
参考答案
一．选择题
1．解：∵半径OA＝90m，圆心角∠AOB＝80°，
∴这段弯路（）的长度为：＝40π（m），
故选：C．
2．解：∵CA＝CB，CD⊥AB，
∴AD＝DB＝AB′．
∴∠AB′D＝30°，
∴α＝30°，
∵AC＝4，
∴AD＝2，
∴，
∴的长度l＝＝．
故选：B．
3．解：OA⊥PA，OB⊥PB，OA，OB交于点O，如图，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠P＝40°，
∴∠AOB＝140°，
∴优弧AMB对应的圆心角为360°﹣140°＝220°，
∴优弧AMB的长是：＝11π（cm），
故选：A．
4．解：连接AC，BD，AC和BD相交于点O，则O为圆心，如图所示，
由题意可得，CD＝2m，AD＝2m，∠ADC＝90°，
∴AC＝＝4（m），
∴∠ACD＝60°，OA＝OC＝2m，
∴∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∴优弧ADCB所对的圆心角为300°，
∴改建后门洞的圆弧长是：＝，
故选：C．
5．解：设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OCE＝45°，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE＝45°，
∴∠EOC＝90°，
∴OE垂直平分BC，
∴BE＝CE，
∴弓形BE的面积＝弓形CE的面积，
∴，
故选：A．
6．解：S阴＝S扇形DOA﹣S扇形BOC
＝﹣
＝2.25πm2．
故选：D．
7．解：以OD为半径作弧DN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OD＝OC，∠DOC＝90°，
∵∠EOB＝∠FOD，
∴S扇形BOM＝S扇形DON，
∴S阴影＝S扇形DOC﹣S△DOC＝﹣×1×1＝﹣，
故选：B．
8．解：设OE＝OF＝r，
则，
∴r＝±2（舍负），
在Rt△OEF中，EF＝＝2，
故选：C．
二．填空题
9．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CAD＝45°，AC＝AB＝×＝2，
∵对角线AC绕点A顺时针旋转∠CAD的度数，点C旋转后的对应点为E，
∴的长度为＝π．
故答案为：π．
10．解：过O作OE⊥AB于E，当扇形的半径为OE时扇形OCD最大，
∵OA＝OB＝60cm，∠AOB＝120°，
∴∠A＝∠B＝30°，
∴OE＝OA＝30cm，
∴弧CD的长＝＝20πcm，
故答案为：20π．
11．解：连接OD，OE，
∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠OEC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝∠COE+∠OCE+∠OEC，
∴∠A＝∠COE，
∵圆O与边AB相切于点D，
∴∠ADO＝90°，
∴∠A+∠AOD＝90°，
∴∠COE+∠AOD＝90°，
∴∠DOE＝180°﹣（∠COE+∠AOD）＝90°，
∴劣弧的长是＝2π．
故答案为：2π．
12．解：根据题意可得，
的半径AA1＝；
的半径BB1＝AB+AA1＝；
的半径CC1＝CB+BB1＝；
的半径DD1＝＝CD+CC1＝；
的半径AA2＝AD+DD1＝；
的半径BB2＝AB+AA2＝；
的半径CC2＝BC+BB2＝；
的半径DD2＝CD+CC2＝；

以此类推可知，弧 nDn的半径为＝2n，
即弧C2022D2022的半径为DD2022＝2n＝2×2022＝4044，
∴弧C2022D2022的长l＝＝＝2022π．
故答案为：2022π．
13．解：如图，设O′A′交于点T，连接OT．
∵OT＝OB，OO′＝O′B，
∴OT＝2OO′，
∵∠OO′T＝90°，
∴∠O′TO＝30°，∠TOO′＝60°，
∴S阴＝S扇形O′A′B′﹣（S扇形OTB﹣S△OTO′）
＝﹣（﹣×1×）
＝+．
故答案为：+．
14．解：过点D作DF⊥AB于点F，
∵AD＝AB，∠BAD＝45°，AB＝3，
∴AD＝×3＝2，
∴DF＝2，
∵AE＝AD＝2，
∴EB＝AB AE＝，
∴S阴影＝S ABCD S扇形ADE S△EBC
＝3×2﹣﹣××2
＝5﹣π，
故答案为：5﹣π．
15．解：如图，连接BC，OC，AB，过点C作CH⊥OA于点H．
∵∠AOB＝90°，＝2，
∴∠BOC＝60°，∠COA＝30°，
∴CH＝OC＝1cm，
观察图象可知，当点E与点A重合时，阴影部分的面积最小，
此时S阴＝S△ACB+S弓形BC
＝S△BOC+S△AOC﹣S△AOB+S扇形OBC﹣S△BOC
＝×2×1﹣×2×2+
＝（﹣1）cm2，
故答案为：（﹣1）．
三．解答题
16．解：（1）∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴由圆周角定理得：∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠BPC＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝60°；
（2）连结OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°．
∵OD⊥BC于点D，OB＝OC，
∴∠BOD＝BOC＝60°，
BD＝BC＝＝3，
∵Rt△BOD中，，
∴，
∴的长＝．
17．证明：（1）∵AD∥BC，DF∥AB，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，
∴∠AFC＝∠ACF，
∴AC＝AF．
（2）连接AO，CO，如图，
由（1）得∠AFC＝∠ACF，
∵∠AFC＝＝75°，
∴∠AOC＝2∠AFC＝150°，
∴的长l＝＝．
18．解：（1）连接CD，如图，
∵∠ACB＝90°，∠B＝28°，
∴∠BAC＝90°﹣28°＝62°，
∵CA＝CD，
∴∠CDA＝∠CAD＝62°，
∴∠ACD＝180°﹣62°﹣62°＝56°，
∴的度数为56°；
（2）过点C作CH⊥AB于点H，
∵D是AB的中点，∠ACB＝90°，
∴CD＝AD＝BD＝AB＝2，
∵CD＝CA，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ACD＝60°，CH＝，
∴阴影部分的面积＝S扇形ACD﹣S△ACD＝﹣＝π﹣；
19．（1）证明：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CP是半圆O的切线，
∴∠OCP＝90°，
∴∠ACB＝∠OCP，
∴∠ACO＝∠BCP；
（2）解：由（1）知∠ACO＝∠BCP，
∵∠ABC＝2∠BCP，
∴∠ABC＝2∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A，
∴∠ABC＝2∠A，
∵∠ABC+∠A＝90°，
∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，
∴∠ACO＝∠BCP＝30°，
∴∠P＝∠ABC﹣∠BCP＝60°﹣30°＝30°，
答：∠P的度数是30°；
（3）解：由（2）知∠A＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，
∴S△ABC＝BC AC＝×2×2＝2，
∴阴影部分的面积是π×（）2﹣2＝2π﹣2，
答：阴影部分的面积是2π﹣2．
20．（1）解：当绳子长为4米时，这只羊能吃到草的区域的最大面积S＝+
＝13π（平方米），
答：这只羊能吃到草的区域的最大面积是13π平方米；
（2）解：当绳子长为4米时，这只羊能吃到草的区域的最大面积S＝++
＝（平方米），
答：这只羊能吃到草的区域的最大面积是平方米．