2.1 函数概念
A级必备知识基础练
1.(多选题)给出下列四个对应,其中构成函数的是( )
2.(2022四川乐山高一期末)函数f(x)=的定义域是( )
A.{x|x≥-5} B.{x|x≤2}
C.{x|-5≤x≤2} D.{x|x≥2或x≤-5}
3.已知函数f(x)=,则f(-2)=( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
4.已知等腰三角形ABC底边长y关于腰长x的函数关系式为y=10-2x,则此函数的定义域为( )
A.R B.{x|x>0}
C.{x|0
5.函数f(x)=x2-2x,x∈{-2,-1,0,1,2}的值域为 .
6.若函数f(x)满足f(2x-1)=x+1,则f(3)= .
7.若函数f(x)=ax2-1,a为正常数,且f(f(-1))=-1,则a的值是 .
8.求函数y=的定义域.
9.已知函数f(x)=.
(1)求f(x)的定义域;
(2)若f(a)=2,求a的值;
(3)求证:f=-f(x).
B级关键能力提升练
10.(多选题)下列各组函数是同一函数的是( )
A.f(x)=x2-2x-1与g(s)=s2-2s-1
B.f(x)=与g(x)=x
C.f(x)=与g(x)=
D.f(x)=x与g(x)=
11.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,例如解析式为y=2x2+1,值域为{9}的“孪生函数”有三个:
①y=2x2+1,x∈{-2};②y=2x2+1,x∈{2};③y=2x2+1,x∈{-2,2}.
那么函数解析式为y=2x2+1,值域为{1,5}的“孪生函数”共有( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
12.已知函数y=f(2x+1)的定义域为[1,2],则函数y=f(2x-1)的定义域为 .
13.(2022广西高一期末)函数f(x)=的值域为 .
14.已知集合A={x|0≤x≤2},B={y|0≤y≤4},则下列对应关系,能够构成以A为定义域,B为值域的函数的是 (填写所有满足条件的函数的序号).
①y=2x;②y=x2;③y=|4-2x|;④y=x+5;⑤y=(x-2)2.
15.若函数f(x)=的定义域为R,求m的取值范围.
16.已知函数f(x)=.
(1)求f(1),f(2)+f的值;
(2)求证:f(x)+f等于定值;
(3)求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 022)+f+f+…+f的值.
C级学科素养创新练
17.已知函数f(x)=(x>1),g(x)=(x≥2),若存在函数F(x),G(x)满足:F(x)=|f(x)|·g(x),=|g(x)|.学生甲认为函数F(x),G(x)一定是同一个函数,乙认为函数F(x),G(x)一定不是同一个函数,丙认为函数F(x),G(x)不一定是同一个函数,观点正确的学生是 .
18.已知函数f(x)对任意实数a,b,都有f(ab)=f(a)+f(b)成立.
(1)求f(0),f(1)的值;
(2)求证:f=-f(x);
(3)若f(2)=p,f(3)=q(p,q为常数),求f(36)的值.
2.1 函数概念
1.AD 根据函数的定义,对于B选项,自变量3没有元素与之对应,因此,B选项不能构成函数;
对于C选项,自变量2有2个元素4和5与之对应,因此,C选项不能构成函数;
对于A,D选项,所有自变量都有唯一确定的元素与之对应,所以A,D选项能构成函数.
2.B 要使f(x)=有意义,需满足2-x≥0,解得x≤2,即函数f(x)=的定义域为{x|x≤2}.故选B.
3.C 由题意知f(-2)==1.故选C.
4.D △ABC的底边长显然大于0,
即y=10-2x>0,∴x<5.
又两边之和大于第三边,∴2x>10-2x,即x>.
故此函数的定义域为.
5.{8,3,0,-1} 因为f(-2)=(-2)2-2×(-2)=8,f(-1)=(-1)2-2×(-1)=3,f(0)=02-2×0=0,f(1)=12-2×1=-1,f(2)=22-2×2=0,所以f(x)的值域为{8,3,0,-1}.
6.3 令2x-1=3,则x=2,故f(3)=2+1=3.
7.1 ∵f(-1)=a·(-1)2-1=a-1,f(f(-1))=a·(a-1)2-1=-1.∴a(a-1)2=0,∴a=1或a=0(舍去).故a=1.
8.解要使函数有意义,则解得
即-2≤x≤3,且x≠.
故函数的定义域为.
9.(1)解要使函数f(x)=有意义,只需1-x2≠0,解得x≠±1,所以函数的定义域为{x|x≠±1}.
(2)解因为f(x)=,且f(a)=2,
所以f(a)==2,即a2=,解得a=±.
(3)证明易知x≠0且x≠±1,由已知得f,
-f(x)=-,所以f=-f(x).
10.AC 选项A,两个函数的定义域相同,并且对应关系完全相同,因此函数是同一函数;
选项B,定义域相同,但是f(x)的值域是非负实数集,g(x)的值域为非正实数集,故两个函数的对应关系不一样,所以不是同一函数;
选项C,两个函数的定义域为不等于0的实数集,对应关系一样,故两个函数是同一函数;
选项D,定义域都是实数集,但是f(x)的值域是实数集,g(x)的值域为非负实数集,故两个函数的对应关系不一样,所以这两个函数不是同一函数.
11.C 函数解析式为y=2x2+1,值域为{1,5}的“孪生函数”分别为①y=2x2+1,x∈{0,};②y=2x2+1,x∈{0,-};③y=2x2+1,x∈{0,,-},共3个,故选C.
12.[2,3] 因为函数y=f(2x+1)的定义域为[1,2],
即1≤x≤2,所以3≤2x+1≤5.
所以函数y=f(x)的定义域为[3,5].
由3≤2x-1≤5,得2≤x≤3,
所以函数y=f(2x-1)的定义域为[2,3].
13.[0,4) =4-,因为x2+2≥2,所以0<≤4,0≤4-<4.故f(x)的值域为[0,4).
14.①②③⑤ 判断能否构成以A为定义域,B为值域的函数,就是看是否符合函数的定义.对于①y=2x,当定义域为A={x|0≤x≤2}时,显然其值域为B={y|0≤y≤4},故①满足条件;显然②③⑤同样也满足条件;对于④y=x+5,若其定义域为A={x|0≤x≤2},则其值域为{y|5≤y≤7},因此④不满足条件.
15.解要使原函数有意义,必须mx2+mx+3≠0.
由于函数的定义域是R,故mx2+mx+3≠0对一切实数x恒成立.
①当m=0时,3≠0恒成立,故m=0满足条件;
②当m≠0时,有Δ=m2-12m<0,解得0故由①②可知m的取值范围是[0,12).
16.(1)解f(1)=;
f(2)=,f,
所以f(2)+f=1.
(2)证明f,
所以f(x)+f=1,为定值.
(3)解由(2)知,f(x)+f=1.
所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2022)+f+f+…+f
=f(1)+f(2)+f+f(3)+f+…+f(2022)+f=.
17.甲 要使F(x)有意义,则解得x≥2,即F(x)的定义域为[2,+∞),
要使=|g(x)|有意义,则解得x≥2,所以G(x)的定义域为[2,+∞).
易得F(x)=·(x≥2),
由=|g(x)|得G(x)=f(x)·|g(x)|=·=(x≥2),
则函数F(x),G(x)的定义域相同,对应关系相同,故函数F(x),G(x)是同一函数,
故观点正确的是甲.
18.(1)解令a=b=0,得f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0.
令a=1,b=0,得f(0)=f(1)+f(0),解得f(1)=0.
(2)证明因为·x=1,所以f+f(x)=f·x=f(1)=0,则f=-f(x).
(3)解(方法一)令a=b=2,得f(4)=f(2)+f(2)=2p,
令a=b=3,得f(9)=f(3)+f(3)=2q,
令a=4,b=9,得f(36)=f(4)+f(9)=2p+2q.
(方法二)因为36=22×32,所以f(36)=f(22×32)=f(22)+f(32)=f(2×2)+f(3×3)=f(2)+f(2)+f(3)+f(3)=2f(2)+2f(3)=2p+2q.
12.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法
A级必备知识基础练
1.(多选题)下列四个图形中可能是函数y=f(x)图象的是( )
2.若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)-2f(-x)=5x+1,则f(x)=( )
A.x+1 B.x-1
C.2x+1 D.3x+3
3.已知函数f(x)的图象如图所示,则f(-5)=,f(f(2))= .
4.对于定义域为R的函数y=f(x),部分x与y的对应关系如下表:
x -2 -1 0 1 2 3 4 5
y 0 2 3 2 0 -1 0 2
则f(f(f(0)))= .
5.作出下列函数的图象,并指出其值域:
(1)y=x2+x(-1≤x≤1);
(2)y=(-2≤x≤1,且x≠0).
6.已知f(x)为二次函数,其图象的顶点坐标为(1,3),且过原点,求f(x)的解析式.
B级关键能力提升练
7.(2022北京第八中学京西校区高一期末)已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),满足f(2)=1,且对于定义域内任意x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)成立,那么f(2)+f(4)的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8.已知f=x-1,则f(x)的解析式为( )
A.f(x)=(x≠1) B.f(x)=-1(x≠0)
C.f(x)=(x≠1) D.f(x)=(x≠0)
9.定义两种运算:a b=,a b=,则函数f(x)=的解析式为( )
A.f(x)=,x∈[-2,0)∪(0,2]
B.f(x)=,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞)
C.f(x)=-,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞)
D.f(x)=-,x∈[-2,0)∪(0,2]
10.小明在如图①所示的跑道上匀速跑步,他从点A出发,沿箭头方向经过点B跑到点C,共用时30 s,他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程,设小明跑步的时间为t(单位:s),他与教练间的距离为y(单位:m),表示y与t的函数关系的图象大致如图②所示,则这个固定位置可能是图①中的( )
图① 图②
A.点M B.点N C.点P D.点Q
11.已知函数f(x),g(x)由下表给出:
x 4 5 6 7 8
f(x) 5 4 8 7 6
x 8 7 6 5 4
g(x) 6 5 8 7 4
则g(f(7))= ;不等式g(x)12.已知f(+1)=x,则函数f(x)的解析式为 .
13.
如图所示,用长为l的铁丝弯成下半部分为矩形,上半部分为半圆形的框架,若矩形的底边长为2x,求此框架围成的图形的面积y与x的函数关系式,并指出其定义域.
14.已知函数f(x)=(a,b为常数,且a≠0)满足f(2)=1,方程f(x)=x有唯一解,求函数f(x)的解析式,并求f(f(-3))的值.
C级学科素养创新练
15.设函数f:R→R,满足f(0)=1,且对任意x,y∈R,都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,试求f(2 022)的值.
2.2 函数的表示法
第1课时 函数的表示法
1.AD 在A,D中,对于定义域内每一个x都有唯一确定的y与之相对应,满足函数关系;在B,C中,存在一个x有两个y与x对应,不满足函数对应的唯一性.
2.A 因为3f(x)-2f(-x)=5x+1,
所以3f(-x)-2f(x)=-5x+1,解得f(x)=x+1.
3. 4 由题图可知f(-5)=,f(2)=0,f(0)=4,
故f(f(2))=f(0)=4.
4.2 由列表表示的函数可得f(0)=3,
则f(f(0))=f(3)=-1,f(f(f(0)))=f(-1)=2.
5.解(1)用描点法可以作出所求函数的图象如图①所示.
由图可知y=x2+x(-1≤x≤1)的值域为.
(2)用描点法可以作出函数的图象如图②所示.
①
②
由图可知y=(-2≤x≤1,且x≠0)的值域为(-∞,-1]∪[2,+∞).
6.解(方法一)由于函数图象的顶点坐标为(1,3),
则设f(x)=a(x-1)2+3(a≠0).
∵函数图象过原点(0,0),∴a+3=0,∴a=-3.
故f(x)=-3(x-1)2+3.
(方法二)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
依题意得
即解得
∴f(x)=-3x2+6x.
7.C ∵对于定义域内任意x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y)成立,令x=y=2,得f(4)=f(2)+f(2)=1+1=2,
∴f(2)+f(4)=1+2=3.故选C.
8.B 设=t,则t≠0,∴x=,
∴f(t)=-1(t≠0),
∴f(x)=-1(x≠0).
9.D ∵f(x)=.
由得-2≤x≤2,且x≠0.
∴f(x)=-,x∈[-2,0)∪(0,2].
10.D 由题图知固定位置到点A距离大于到点C距离,所以舍去N,M点,不选A,B;若是P点,则从最高点到C点依次递减,与题图①矛盾,因此取Q,即选D.
11.5 {4,7} f(7)=7,g(f(7))=g(7)=5.
当x=4时,f(4)=5,g(4)=4,
所以f(4)>g(4),满足不等式;
当x=5时,f(5)=4,g(5)=7,不满足不等式;
当x=6时,f(6)=8,g(6)=8,不满足不等式;
当x=7时,f(7)=7,g(7)=5,满足不等式;
当x=8时,f(8)=6,g(8)=6,不满足不等式,
所以不等式g(x)12.f(x)=x2-x+1(x≥1) 令t=+1,则t≥1.
所以x=(t-1)2+.
故f(t)=(t-1)2+(t≥1).
所以函数解析式为f(x)=x2-x+1(x≥1).
13.解由题意知矩形的边AB=2x,
设AD=a,则有2x+2a+πx=l,即a=x-x,其中半圆的直径为2x,半径为x.
所以框架围成的图形的面积y=πx2+x-x2x=-x2+lx.
根据实际意义知x-x>0,又x>0,解得014.解由f(x)=x,得=x,即ax2+(b-1)x=0.
∵方程f(x)=x有唯一解,
∴Δ=(b-1)2=0,即b=1.
∵f(2)=1,∴=1.∴a=.
∴f(x)=.
∴f(f(-3))=f(6)=.
15.解∵f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,
令x=y=0,得f(1)=1-1-0+2,
∴f(1)=2.
令y=0,则f(1)=f(x)f(0)-f(0)-x+2,
∴f(x)=x+1,
∴f(2022)=2022+1=2023.
1第2课时 分段函数
A级必备知识基础练
1.下表表示y是x的函数,则函数的值域是( )
x 0y 2 3 4 5
A.[2,5] B.N
C.(0,20] D.{2,3,4,5}
2.(2022江西抚州高一期末)已知函数f(x)=则f(-1)的值为( )
A.-6 B.-2 C.2 D.3
3.(多选题)已知函数f(x)=,若f(a)=1,则实数a的值可以是( )
A.-1 B. C.- D.1
4.已知函数f(x)=则不等式xf(x-1)≤1的解集为( )
A.[-1,1] B.[-1,2]
C.(-∞,1] D.[-1,+∞)
5.已知函数f(x)=则f(f(f(5)))等于 .
6.已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式为 .
7.已知函数f(x)=
(1)求f,f,f,f;
(2)若f(a)=6,求实数a的值.
B级关键能力提升练
8.已知函数f(x)=x1,x2∈R,f(x1)=f(x2)=m,且x1+x2=0,则m=( )
A. B.1 C. D.2
9.(多选题)已知函数f(x)=关于函数f(x)的结论正确的是( )
A.f(x)的定义域为R
B.f(x)的值域为(-∞,4)
C.若f(x)=3,则x的值是
D.f(x)<1的解集为(-1,1)
10.(2022河南郑州高一期末)已知函数f(x)=若f(a)=3,则a的值为 .
11.如图,定义在[-1,+∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成.
(1)求f(f(4))的值及f(x)的解析式;
(2)若f(x)=,求实数x的值.
12.某市有甲、乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同.甲俱乐部每小时5元,乙俱乐部按月计费,一个月中30小时以内(含30小时)90元,超过30小时的部分每小时2元;某公司准备下个月从这两家俱乐部中选择一家开展活动,其活动时间不少于15小时,也不超过40小时.设在甲家开展活动x(15≤x≤40)小时的收费为f(x)元,在乙家开展活动x小时的收费为g(x)元.
(1)试分别写出f(x)和g(x)的解析式;
(2)选择哪家比较合算 请说明理由.
13.已知函数f(x)=|x-2|(x+1).
(1)作出函数f(x)的图象;
(2)判断关于x的方程|x-2|(x+1)=a(a∈R)的解的个数.
C级学科素养创新练
14.如图,点P在边长为1的正方形边上运动,设M是CD的中点,则当P沿A-B-C-M运动时,点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数y=f(x)的图象大致是( )
第2课时 分段函数
1.D 由题表可知,y=
所以函数的值域为{2,3,4,5}.故选D.
2.C 由题设有f(-1)=f(3)=f(7)=7-5=2,
故选C.
3.AD 根据题意,f(x)=
若f(a)=1,则分3种情况讨论:
①当a≤-1时,f(a)=a+2=1,解得a=-1;
②当-1又由-1③当a≥2时,f(a)=2a=1,解得a=,舍去.
综合可得a=1或a=-1.
4.A 原不等式等价于解得-1≤x≤1.
5.-5 f(f(f(5)))=f(f(0))=f(-1)=2×(-1)-3=-5.
6.f(x)= 当0≤x≤1时,f(x)=-1;
当1综上,f(x)=
7.解(1)∵-∈(-∞,-1),
∴f=-2×=3.
∵∈[-1,1],∴f=2.
又2∈(1,+∞),
∴f=f(2)=2×2=4.
∵∈(1,+∞),∴f=2×=9.
(2)经观察可知a [-1,1],否则f(a)=2.
若a∈(-∞,-1),令-2a=6,得a=-3,符合题意;
若a∈(1,+∞),令2a=6,得a=3,符合题意.
故a的值为-3或3.
8.B 由题意,不妨设x1<0∴x2=2- x2=1或x2=-2(舍),故m=f(1)=1.故选B.
9.BC 由题意知函数f(x)的定义域为(-∞,2),故A错误;当x≤-1时,f(x)的取值范围是(-∞,1],
当-1当x≤-1时,令x+2=3,解得x=1(舍去),当-1当x≤-1时,x+2<1,解得x<-1,当-1因此f(x)<1的解集为(-∞,-1)∪(-1,1).
故D错误.
10.-1或2 由f(x)=当a<0时,a+4=3,解得a=-1;当a≥0时,2a-1=3,解得a=2.故a的值为-1或2.
11.解(1)根据图象可知f(4)=0,则f(f(4))=f(0)=1,
设直线段对应的方程为y=kx+d(-1≤x≤0).
将点(0,1)和点(-1,0)代入可得d=1,k=1,即y=x+1.
当x>0时,设抛物线的一部分对应的方程为y=a(x-2)2-1(a>0).
又图象经过(4,0),∴4a-1=0,a=,
∴y=(x-2)2-1,即y=x2-x.
∴f(x)=
(2)当-1≤x≤0时,令x+1=,得x=-,符合题意;
当x>0时,令x2-x=,得x=2+或x=2-(舍去).
故x的值为-或2+.
12.解(1)由题意可知f(x)=5x,15≤x≤40,
g(x)=
(2)由5x=90,解得x=18,
即当15≤x<18时,f(x)当x=18时,f(x)=g(x);
当18g(x).
所以当15≤x<18时,选甲家比较合算;
当x=18时,两家一样合算;
当1813.解(1)函数f(x)=|x-2|(x+1),去掉绝对值符号得f(x)=
可得f(x)的图象如图所示.
(2)关于x的方程|x-2|(x+1)=a的解的个数就是直线y=a与y=|x-2|(x+1)的图象的交点的个数.作出图象如图所示.
由图象可知,
当a<0时,有一个交点;
当a=0时,有两个交点;
当0当a=时,有两个交点;
当a>时,有一个交点.
综上,当a<0或a>时,方程有一个解;
当a=0或a=时,方程有两个解;
当014.A 依题意,当0当1当2∴y=f(x)=
再结合题图知应选A.
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