§3 函数的单调性和最值 第1课时 函数的单调性
A级必备知识基础练
1.(多选题)下列函数在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A.y=2x+1 B.y=x2+7
C.y=3-x D.y=x2+2x+1
2.函数f(x)=-x2+2x+3的单调递减区间是( )
A.(-∞,1) B.(1,+∞)
C.(-∞,2) D.(2,+∞)
3.已知函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是减函数,若a∈R,则( )
A.f(a)>f(2a) B.f(a2)
C.f(a2+a)4.已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(2a-1)A.,+∞ B.,1
C.(0,2) D.(0,+∞)
5.函数y=f(x)(x∈[-4,4])的图象如图所示,则函数f(x)的单调递增区间为( )
A.[-4,-2] B.[-2,1]
C.[1,4] D.[-4,-2]∪[1,4]
6.(多选题)下列命题是假命题的有( )
A.定义在区间(a,b)上的函数f(x),如果有无数个x1,x2∈(a,b),当x1B.如果函数f(x)在区间I1上单调递减,在区间I2上也单调递减,那么f(x)在区间I1∪I2上单调递减
C.任取x1,x2∈(a,b),且x1≠x2,当<0时,函数f(x)在区间(a,b)上单调递减
D.任取x1,x2∈(a,b),且x1≠x2,当(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0时,函数f(x)在区间(a,b)上单调递增
7.若函数y=ax与y=-在区间(0,+∞)上都单调递减,则函数y=ax2+bx在区间(0,+∞)上( )
A.单调递增 B.单调递减
C.先增后减 D.先减后增
8.已知函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[-2,+∞)时,f(x)单调递增,当x∈(-∞,-2]时,f(x)单调递减,则m= .
9.(2022福建福州高一期末)已知函数f(x)=,且f(1)=.
(1)求实数a的值;
(2)判断f(x)在区间(-∞,0]上的单调性并用定义证明.
B级关键能力提升练
10.若函数f(x)=-x2+2ax与g(x)=在区间[1,2]上都单调递减,则实数a的取值范围是( )
A.(-1,0)∪(0,1)
B.(-1,0)∪(0,1]
C.(0,1)
D.(0,1]
11.下列有关函数单调性的说法不正确的是( )
A.若f(x)为增函数,g(x)为增函数,则f(x)+g(x)为增函数
B.若f(x)为减函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)为减函数
C.若f(x)为增函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)为增函数
D.若f(x)为减函数,g(x)为增函数,则f(x)-g(x)为减函数
12.若函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,a,b∈R且a+b≤0,则下列选项正确的是( )
A.f(a)+f(b)≤-[f(a)+f(b)]
B.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b)
C.f(a)+f(b)≥-[f(a)+f(b)]
D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)
13.若函数f(x)=是定义域上的减函数,则实数a的取值范围为 .
14.已知函数f(x)=,若x1>x2>-2,则f(x1)>f(x2),则实数a的取值范围是 .
15.已知函数f(x)=mx+(m,n是常数),且f(1)=2,f(2)=.
(1)求m,n的值;
(2)当x∈[1,+∞)时,判断f(x)的单调性并证明;
(3)若不等式f(1+2x2)>f(x2-2x+4)成立,求实数x的取值范围.
C级学科素养创新练
16.已知函数f(x)=x2+(x≠0,a∈R),若函数f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则a的取值范围为 .
17.设f(x)是定义在R上的函数,对任意m,n∈R,恒有f(m+n)=f(m)·f(n)(f(m)≠0,f(n)≠0),且当x>0时,0(1)求证:f(0)=1;
(2)求证:当x∈R时,恒有f(x)>0;
(3)求证:f(x)在R上是减函数.
§3 函数的单调性和最值
第1课时 函数的单调性
1.ABD 函数y=3-x在区间(0,+∞)上单调递减.
2.B 易知函数f(x)=-x2+2x+3是图象开口向下的二次函数,其对称轴为直线x=1,所以其单调递减区间是(1,+∞).
3.D 选项D中,因为a2+1>a,f(x)在区间(-∞,+∞)上是减函数,所以f(a2+1)4.B 因为函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(2a-1)5.B
6.AB A是假命题,“无数个”不能代表“所有”“任意”;
以f(x)=为例,知B是假命题;
∵<0(x1≠x2)等价于[f(x1)-f(x2)]·(x1-x2)<0,
而此式又等价于
即
∴f(x)在区间(a,b)上单调递减,C是真命题,同理可得D也是真命题.
7.B 由于函数y=ax与y=-在区间(0,+∞)上都单调递减,所以a<0,-b>0,即a<0,b<0.因为抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线x=-<0,且抛物线开口向下,所以函数y=ax2+bx在区间(0,+∞)上单调递减.
8.-8 ∵函数f(x)在区间(-∞,-2]上单调递减,在区间[-2,+∞)上单调递增,∴对称轴x=-=-2,
∴m=-8,即f(x)=2x2+8x+3.
9.解(1)由f(1)=,得1-(a-1)+2a=3,
解得a=1.
(2)由(1)知f(x)=,其定义域为R,f(x)在区间(-∞,0]上单调递减.
证明如下:
任取x1,x2∈(-∞,0],且x1f(x1)-f(x2)=
=
=
=
=.
因为x1≤0,x2≤0,且x1所以x1+x2<0,x1-x2<0,>0,
则f(x1)-f(x2)>0,所以f(x1)>f(x2),
故f(x)在区间(-∞,0]上单调递减.
10.D f(x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a2,
∵f(x)在区间[1,2]上单调递减,∴a≤1.
∵g(x)=在区间[1,2]上单调递减,
∴a>0,∴011.C 根据增函数、减函数的定义,知两个相同单调性的函数相加单调性不变,选项A,B正确;对于D,g(x)为增函数,则-g(x)为减函数,f(x)为减函数,f(x)+(-g(x))为减函数,选项D正确;对于C,若f(x)为增函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)的单调性不确定.例如f(x)=x+2为R上的增函数,当g(x)=-x时,f(x)+g(x)=+2在R上为增函数;当g(x)=-3x时,f(x)+g(x)=-2x+2在R上为减函数,故不能确定f(x)+g(x)的单调性.故选C.
12.D 因为a+b≤0,所以a≤-b,b≤-a,
又函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是减函数,
所以f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a),
所以f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).
13.[-3,-1] 由题意可得解得-3≤a≤-1,则实数a的取值范围是[-3,-1].
14. 由“若x1>x2>-2,则f(x1)>f(x2)”可知函数f(x)在区间(-2,+∞)上单调递增.而f(x)==a+,故有1-2a<0,解得a>,即a的取值范围为.
15.解(1)∵f(1)=m+=2,f(2)=2m+,∴
(2)f(x)在区间[1,+∞)上单调递增.证明如下,
由(1)得f(x)=x+.
设1≤x1∵1≤x11,∴2x1x2-1>1,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)∴f(x)在区间[1,+∞)上单调递增.
(3)∵1+2x2≥1,x2-2x+4=(x-1)2+3≥3,
∴只需1+2x2>x2-2x+4,
∴x2+2x-3>0,解得x<-3或x>1.
即实数x的取值范围为(-∞,-3)∪(1,+∞).
16.(-∞,16] 任取x1,x2∈[2,+∞),且x10,f(x2)-f(x1)=·[x1x2(x1+x2)-a].
要使函数f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,需满足f(x2)-f(x1)>0在[2,+∞)上恒成立.
∵x2-x1>0,x1x2>4>0,
∴a又x1+x2>4,∴x1x2(x1+x2)>16,∴a≤16,
即a的取值范围是(-∞,16].
17.证明(1)根据题意,令m=0,可得f(0+n)=f(0)·f(n),
∵f(n)≠0,∴f(0)=1.
(2)由题意知,当x>0时,0当x=0时,f(0)=1>0;
当x<0时,-x>0,∴0∵f(0)=f(x+(-x))=f(x)·f(-x)=1,
∴f(x)=>0.
故x∈R时,恒有f(x)>0.
(3)设任意的x1,x2∈R,且x1>x2,
则f(x1)=f(x2+(x1-x2)).
∴f(x1)-f(x2)=f(x2+(x1-x2))-f(x2)=f(x2)f(x1-x2)-f(x2)=f(x2)[f(x1-x2)-1].
由(2)知,f(x2)>0.
∵x1-x2>0,∴0∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)故f(x)在R上是减函数.
1第2课时 函数的最值
A级必备知识基础练
1.函数y=-|x|在R上( )
A.有最大值0,无最小值
B.无最大值,有最小值0
C.既无最大值,又无最小值
D.以上都不对
2.若函数y=ax+1(a>0)在区间[1,3]上的最大值为4,则a=( )
A.2 B.3 C.1 D.-1
3.函数y=x+的值域是( )
A.[0,+∞) B.[2,+∞)
C.[4,+∞) D.[,+∞)
4.函数f(x)=x2+3x+2在区间(-5,5)内( )
A.有最大值42,有最小值12
B.有最大值42,有最小值-
C.有最大值12,有最小值-
D.无最大值,有最小值-
5.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x,其中销售量为x(单位:辆).若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为( )
A.90万元 B.120万元
C.120.25万元 D.60万元
6.已知定义在(0,+∞)上的减函数f(x)满足条件:对任意x,y,且x>0,y>0,总有f(xy)=f(x)+f(y)-1,则关于x的不等式f(x-1)>1的解集是( )
A.(-∞,2) B.(1,+∞)
C.(1,2) D.(0,2)
7.求函数f(x)=的最大值与最小值.
8.已知函数f(x)=x2-2x+2.
(1)求f(x)在区间[-2,3]上的最大值和最小值;
(2)若g(x)=f(x)-mx在区间[-1,2]上单调递增,求m的取值范围.
B级关键能力提升练
9.函数y=2-的值域是( )
A.[-2,2] B.[1,2]
C.[0,2] D.[-]
10.(多选题)对于实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数,例如[π]=3,[-1.08]=-2,定义函数f(x)=x-[x],则下列结论正确的是( )
A.f(-3.9)=f(4.1)
B.函数f(x)的最大值为1
C.函数f(x)的最小值为0
D.函数f(x)是增函数
11.若关于x的不等式8x2+x-a≤在x∈0,上恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.-∞,- B.(0,1]
C.-,1 D.[1,+∞)
12.在实数的原有运算法则中,补充定义新运算“ ”如下:当a≥b时,a b=a;当aA. B.
C. D.
13.若函数f(x)=满足对任意x1≠x2,都有>0成立,则实数a的取值范围是 .
14.用min{a,b}表示a,b两个数中的最小值.设f(x)=min{x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为 .
15.函数f(x)=2x-的定义域为(0,1](a为实数).
(1)若函数y=f(x)在定义域上是减函数,求a的取值范围;
(2)若f(x)>5在定义域上恒成立,求a的取值范围.
16.经市场调查,某新开业的商场在过去一个月内(以30天计),顾客人数f(t)(单位:千人)与时间t(单位:天)的函数关系近似满足f(t)=4+(t∈N*,1≤t≤30),人均消费g(t)(单位:元)与时间t(单位:天)的函数关系近似满足g(t)=
(1)求该商场的日收益w(t)(单位:千元)与时间t(单位:天)的函数关系式;
(2)求该商场日收益的最小值.
C级学科素养创新练
17.已知函数f(x)=x2-mx+2.
(1)若f(x)在区间(-∞,1]上的最小值为-1,求实数m的值;
(2)若m≥4时,对任意的x1,x2∈,总有|f(x1)-f(x2)|≤-4,求实数m的取值范围.
第2课时 函数的最值
1.A 因为函数y=-|x|的图象如图所示,所以函数y=-|x|在R上有最大值0,无最小值.
2.C 因为a>0,所以一次函数y=ax+1在区间[1,3]上单调递增,所以当x=3时,函数y=ax+1取得最大值,故3a+1=4,解得a=1.故选C.
3.B 函数y=x+在定义域[2,+∞)上单调递增,所以其最小值为2,值域为[2,+∞).
4.D ∵f(x)=,x∈(-5,5),∴当x=-时,f(x)有最小值-,f(x)无最大值.
5.B 设该公司在甲地销售x辆车,则在乙地销售(15-x)辆车,根据题意,总利润y=-x2+21x+2(15-x)(0≤x≤15,且x∈N),整理得y=-x2+19x+30.
因为该函数图象的对称轴为直线x=,开口向下,又x∈N,所以当x=9,或x=10时,y取得最大值120万元.
6.C 令y=1,则f(x)=f(x)+f(1)-1,得f(1)=1,所以f(x-1)>1 f(x-1)>f(1).
又f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,所以得17.解画出函数f(x)的图象,如图所示.
由图可知,函数的最大值是f(3)=3,最小值是f(1)=1.
8.解(1)因为f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,
而x∈[-2,3],所以当x=1时,f(x)取得最小值,最小值为f(1)=1.又f(-2)=(-2-1)2+1=10,f(3)=(3-1)2+1=5,故f(-2)>f(3),所以函数f(x)在区间[-2,3]上的最大值为10.
(2)因为g(x)=f(x)-mx=x2-(m+2)x+2,其对称轴为直线x=.由函数g(x)在区间[-1,2]上单调递增,可得≤-1,解得m≤-4.
故m的取值范围是(-∞,-4].
9.C 要求函数y=2-的值域,只需求t=(x∈[0,4])的值域即可.
设函数f(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4(x∈[0,4]),所以f(x)的值域是[0,4].因为t=,所以t的值域是[0,2],-t的值域是[-2,0].
故函数y=2-的值域是[0,2].故选C.
10.AC 根据符号[x]的意义,讨论当自变量x取不同范围时函数f(x)=x-[x]的解析式:
当-1≤x<0时,[x]=-1,则f(x)=x-[x]=x+1;
当0≤x<1时,[x]=0,则f(x)=x-[x]=x;
当1≤x<2时,[x]=1,则f(x)=x-[x]=x-1;
当2≤x<3时,[x]=2,则f(x)=x-[x]=x-2.
画出函数f(x)=x-[x]的图象如图所示.
根据定义可知,f(-3.9)=-3.9-(-4)=0.1,f(4.1)=4.1-4=0.1,即f(-3.9)=f(4.1),所以A正确;
根据图象易判断,函数f(x)=x-[x]在最高点处取不到,所以B错误;函数图象最低点处函数值为0,所以C正确;
根据函数单调性,可知函数f(x)=x-[x]在特定区间内单调递增,在整个定义域内没有单调性,所以D错误.
11.D 由题意知,8x2+x-≤a在x∈0,上恒成立,设f(x)=8x2+x-,则函数f(x)在0,上单调递增,∴当x=时,f(x)max=f=8×2+=2-1=1,则a≥1.故选D.
12.C 当-2≤x≤1时,f(x)=1·x-2×2=x-4;
当1所以f(x)=
易知f(x)在区间[-2,2]上单调递增,
所以由f(m+1)≤f(3m)得解得≤m≤,故选C.
13.[-2,3) 由题意得y=f(x)为增函数,∴3-a>0,且-(2-2)2≤2(3-a)+5a,∴-2≤a<3.
14.6
在同一平面直角坐标系中画出函数y=x+2和y=10-x的图象.根据min{x+2,10-x}(x≥0)的含义可知,f(x)的图象应为图中实线部分.解方程x+2=10-x,得x=4,此时y=6,故两图象的交点坐标为(4,6).
由图象可知,函数f(x)的最大值为6.
15.解(1)任取x1,x2∈(0,1],且x1所以f(x1)-f(x2)=(x1-x2)>0,
即a<-2x1x2恒成立,
∴a≤-2,即a的取值范围为(-∞,-2].
(2)由2x->5(x∈(0,1]),得a<2x2-5x(x∈(0,1])恒成立.∵2x2-5x=2,
∴函数y=2x2-5x在区间(0,1]上单调递减,
∴当x=1时,函数y取得最小值-3,即a<-3,即a的取值范围为(-∞,-3).
16.解(1)由题得,w(t)=f(t)·g(t)=
(2)当1≤t≤7时,w(t)=400t+100单调递增,最小值在t=1处取到,w(1)=500;
当7由<500,可得w(t)最小值为.
故该商场日收益的最小值为千元.
17.解(1)函数f(x)=x2-mx+2,其图象的对称轴为直线x=.当m≤2时,f(x)min=f=-+2=-1,
∴m=-2;
当m>2时,f(x)在区间(-∞,1]上单调递减,
∴f(x)min=f(1)=12-m+2=-1,∴m=4.
综上可知,m=-2或m=4.
(2)∵m≥4,∴,且-1,∴当x∈时,f(x)max=f(1)=3-m,f(x)min=f=-+2.
∵对任意的x1,x2∈,总有|f(x1)-f(x2)|≤-4,∴f(x)max-f(x)min=3-m+-2=-m+1≤-4,解得m≥5,
∴实数m的取值范围是[5,+∞).
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