§4 函数的奇偶性与简单的幂函数
4.1 函数的奇偶性
A级必备知识基础练
1.(多选题)下列函数是奇函数的有( )
A.y= B.y=-3x
C.y=x- D.y=πx3-x
2.(2022安徽合肥高一期末)若奇函数f(x)在区间[-2,-1]上单调递减,则函数f(x)在区间[1,2]上( )
A.单调递增,且有最小值f(1)
B.单调递增,且有最大值f(1)
C.单调递减,且有最小值f(2)
D.单调递减,且有最大值f(2)
3.若函数f(x)=(k-2)x2+(k-1)x+3是偶函数,则f(x)的单调递减区间是.
4.定义在R上的偶函数f(x),对任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有<0,则f(3),f(-2),f(1)的大小关系为 .
5.若函数f(x)=为奇函数,则f(g(-1))= .
6.已知函数f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)= .
7.已知奇函数f(x)的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图象如图所示.
(1)画出在区间[-5,0]上的图象;
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合.
8.已知f(x)为奇函数,且当x<0时,f(x)=x2+3x+2.若当x∈[1,3]时,f(x)的最大值为m,最小值为n,求m-n的值.
9.已知函数f(x)的定义域为(-1,1),且满足下列条件:
①f(x)为奇函数;②f(x)在定义域上是减函数;
③f(1-a)+f(1-a2)<0.
求实数a的取值范围.
B级关键能力提升练
10.(2021陕西西安长安一中高一月考)设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( )
A.f(x)g(x)是偶函数
B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数
D.|f(x)g(x)|是奇函数
11.若函数f(x)和g(x)都是奇函数,且F(x)=af(x)+bg(x)+2在区间(0,+∞)上有最大值5,则F(x)在区间(-∞,0)上( )
A.有最小值-5 B.有最大值-5
C.有最小值-1 D.有最大值-3
12.已知定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,-2)上单调递减,若g(x)=f(x-2)是奇函数,且g(2)=0,则不等式xf(x)≤0的解集是( )
A.(-∞,-4]∪[-2,+∞)
B.[-4,-2]∪[0,+∞)
C.(-∞,-2]∪[2,+∞)
D.(-∞,-4]∪[0,+∞)
13.定义在区间(-8,a)上的奇函数f(x)在区间[2,7]上单调递增,在区间[3,6]上的最大值为a,最小值为-1,则2f(-6)+f(-3)= .
14.如果f(x)是定义域为R的偶函数,且当x≥0时,f(x)=x2-4x,那么不等式f(x+2)<5的解集是 .
15.已知y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,它们的定义域均为[-3,3],且它们在x∈[0,3]上的图象如图所示,则不等式<0的解集是 .
16.已知f(x)为定义在R上的偶函数,当x≤-1时,f(x)=x+b,且f(x)的图象经过点(-2,0),在y=f(x)的图象中有一部分是顶点为(0,2),过点(-1,1)的一段抛物线.
(1)求出函数f(x)的解析式;
(2)求出函数f(x)的值域.
C级学科素养创新练
17.(2021吉林高一月考)已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)求出函数f(x)在R上的解析式;
(3)若函数g(x)=f(x)-2ax+2,x∈[1,2],求函数g(x)的最小值.
4.1 函数的奇偶性
1.BCD 先判断函数的定义域是否关于原点对称,再确定f(-x)与f(x)的关系.选项A中函数的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点对称,所以排除A;选项B,D中函数定义域均为R,且f(-x)=-f(x),故为奇函数;选项C中函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(-x)=-f(x),也是奇函数.
2.C 因为奇函数的图象关于原点对称,所以函数f(x)在y轴两侧单调性相同.因为f(x)在区间[-2,-1]上单调递减,所以f(x)在区间[1,2]上单调递减,所以f(x)在区间[1,2]上有最大值f(1),最小值f(2),故选C.
3.[0,+∞) 因为函数f(x)是偶函数,所以k-1=0,即k=1,
所以f(x)=-x2+3,其单调递减区间为[0,+∞).
4.f(3)
再由偶函数的性质得f(3)5.-81 当x<0时,-x>0.因为f(x)是奇函数,
所以f(-x)=-f(x)=2(-x)2-7x-4=2x2-7x-4,
所以f(x)=-2x2+7x+4.即g(x)=-2x2+7x+4,
因此,f(g(-1))=f(-5)=-50-35+4=-81.
6.-26 令h(x)=x5+ax3+bx,易知h(x)为奇函数.
因为f(x)=h(x)-8,h(x)=f(x)+8,
所以h(-2)=f(-2)+8=18,
所以h(2)=-h(-2)=-18,
所以f(2)=h(2)-8=-18-8=-26.
7.解(1)因为函数f(x)是奇函数,所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于原点对称.
由y=f(x)在[0,5]上的图象,可知它在[-5,0]上的图象,如图所示.
(2)由图象知,使函数值f(x)<0的x的取值集合为(-2,0)∪(2,5).
8.解∵当x<0时,f(x)=x2+3x+2,且f(x)是奇函数,∴当x>0时,-x<0,
则f(-x)=x2-3x+2,
故f(x)=-f(-x)=3x-x2-2.
∴当x∈时,f(x)单调递增;
当x∈时,f(x)单调递减.因此当x∈[1,3]时,f(x)max=f,f(x)min=f(3)=-2.
∴m=,n=-2,从而m-n=.
9.解∵f(x)为奇函数,∴f(1-a2)=-f(a2-1),
∴f(1-a)+f(1-a2)<0 f(1-a)<-f(1-a2)
f(1-a)∵f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,
∴解得0故实数a的取值范围为(0,1).
10.C ∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,
∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).
对于A,f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),故f(x)g(x)是奇函数,故A错误;
对于B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),故|f(x)|g(x)是偶函数,故B错误;
对于C,f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,故f(x)|g(x)|是奇函数,故C正确;
对于D,|f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|,故|f(x)g(x)|是偶函数,故D错误.故选C.
11.C ∵函数f(x)和g(x)都是奇函数,
∴F(x)-2=af(x)+bg(x)为奇函数.
又F(x)在区间(0,+∞)上有最大值5,
∴F(x)-2在区间(0,+∞)上有最大值3,
F(x)-2在区间(-∞,0)上有最小值-3,
∴F(x)在区间(-∞,0)上有最小值-1.
12.A g(x)=f(x-2)的图象是将函数f(x)的图象向右平移2个单位长度得到的,又g(x)=f(x-2)的图象关于原点对称,所以函数f(x)的图象关于点(-2,0)对称,大致图象如图所示,且f(0)=g(2)=0,f(-4)=g(-2)=-g(2)=0,f(-2)=g(0)=0,结合函数的图象,
由xf(x)≤0可知
结合图象可知x≥0或-2≤x<0或x≤-4.
故不等式xf(x)≤0的解集是(-∞,-4]∪[-2,+∞),故选A.
13.-15 根据题意,f(x)是定义在区间(-8,a)上的奇函数,则a=8.又由f(x)在区间[2,7]上单调递增,且在区间[3,6]上的最大值为a=8,最小值为-1,则f(6)=a=8,f(3)=-1.
函数f(x)是奇函数,则f(-6)=-8,f(-3)=1.
则2f(-6)+f(-3)=2×(-8)+1=-15.
14.(-7,3) 因为f(x)为偶函数,所以f(|x+2|)=f(x+2),则f(x+2)<5可化为f(|x+2|)<5,则|x+2|2-4|x+2|<5,即(|x+2|+1)(|x+2|-5)<0,
所以|x+2|<5,解得-7所以不等式f(x+2)的解集是(-7,3).
15.{x|-2由题图可知,当x>0时,其解集为(0,1)∪(2,3).
∵y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,
∴f(x)g(x)是奇函数,
∴当x<0时,f(x)g(x)<0的解集为(-2,-1).
综上,不等式<0的解集是{x|-216.解(1)∵f(x)的图象经过点(-2,0),
∴0=-2+b,即b=2.∴当x≤-1时,f(x)=x+2.
∵f(x)为偶函数,
∴当x≥1时,f(x)=f(-x)=-x+2.
当-1≤x≤1时,依题意设f(x)=ax2+2(a≠0),
则1=a·(-1)2+2,∴a=-1.
∴当-1≤x≤1时,f(x)=-x2+2.
综上,f(x)=
(2)当x≤-1时,f(x)=x+2∈(-∞,1];
当-1当x≥1时,f(x)=-x+2∈(-∞,1].
综上所述,f(x)的值域为(-∞,2].
17.解(1)由题意知当x≥0时,f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,
此时函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1).
又函数f(x)为偶函数,所以当x<0时,其单调递增区间为(-1,0),
所以函数f(x)的单调递增区间为(-1,0),(1,+∞).
(2)设x<0,则-x>0,
所以f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,
由已知f(x)=f(-x),
所以当x<0时,f(x)=x2+2x,
所以f(x)=
(3)由(2)可得g(x)=x2-(2a+2)x+2,x∈[1,2],
对称轴为直线x=a+1.
当a+1<1,即a<0时,函数g(x)在区间[1,2]上单调递增,
故函数g(x)的最小值为g(1)=1-2a;
当1≤a+1≤2,即0≤a≤1时,函数g(x)在对称轴处取得最小值,
故函数g(x)的最小值为g(1+a)=-a2-2a+1;
当a+1>2,即a>1时,函数g(x)在区间[1,2]上单调递减,
故函数g(x)的最小值为g(2)=2-4a.
综上,函数g(x)的最小值为g(x)min=
14.2 简单幂函数的图象和性质
A级必备知识基础练
1.函数y=3xα-2的图象过定点( )
A.(1,1) B.(-1,1)
C.(1,-1) D.(-1,-1)
2.在下列幂函数中,既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A.f(x)=x-1
B.f(x)=x-2
C.f(x)=x3
D.f(x)=
3.(多选题)下列说法错误的是( )
A.幂函数的图象不经过第四象限
B.y=x0的图象是一条直线
C.若函数y=的定义域为{x|x>2},则它的值域为yy<
D.若函数y=x2的值域是{y|0≤y≤4},则它的定义域一定是{x|-2≤x≤2}
4.当x∈(1,+∞)时,函数y=xα的图象恒在直线y=x的下方,则α的取值范围是( )
A.(0,1)
B.(-∞,0)
C.(-∞,1)
D.(1,+∞)
5.幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示,则( )
A.-1B.n<-1,0C.-11
D.n<-1,m>1
6.若(a+1<(3-2a,则a的取值范围是 .
7.已知幂函数f(x)=(m∈Z)的图象关于y轴对称,并且f(x)在第一象限内是单调递减函数,则m= .
8.已知函数y=(a2-3a+2)(a为常数).
(1)当a为何值时,此函数为幂函数
(2)当a为何值时,此函数为正比例函数
(3)当a为何值时,此函数为反比例函数
B级关键能力提升练
9.(多选题)已知函数f(x)=xα的图象经过点(4,2),则下列结论正确的有( )
A.函数f(x)为增函数
B.函数f(x)为偶函数
C.若x>1,则f(x)>1
D.若010.已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0,若a,b∈R,且a+b>0,ab<0,则f(a)+f(b)的值( )
A.恒大于0 B.恒小于0
C.等于0 D.无法判断
11.已知幂函数f(x)=mxn的图象过点(,2),设a=f(m),b=f(n),c=f(-2),则( )
A.cC.b12.(多选题)已知实数a,b满足等式,则下列关系式可能成立的是( )
A.0C.113.已知幂函数f(x)=(m-1)2在区间(0,+∞)上单调递增,函数g(x)=2x-k.
(1)求实数m的值;
(2)当x∈(1,2]时,记 (x),g(x)的值域分别为集合A,B,若A∪B=A,求实数k的取值范围.
14.已知幂函数f(x)=(2m2-6m+5)xm+1为偶函数.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若函数y=f(x)-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数,求实数a的取值范围.
C级学科素养创新练
15.已知幂函数f(x)=x(2-k)(1+k),k∈Z,且f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.
(1)求实数k的值,并写出相应的函数f(x)的解析式.
(2)若函数F(x)=2f(x)-4x+3在区间[2a,a+1]上不单调,求实数a的取值范围.
(3)试判断是否存在正数q,使函数g(x)=1-qf(x)+(2q-1)x在区间[-1,2]上的值域为,若存在,求出q的值;若不存在,请说明理由.
4.2 简单幂函数的图象和性质
1.A 2.C
3.BCD 对于A,由幂函数的图象知,它不经过第四象限,所以A对;对于B,因为当x=0时,x0无意义,即在x=0无定义,所以B错;对于C,函数y=的定义域为{x|x>2},则它的值域为y04.C 由幂函数的图象特征知α<1.
5.B 由于y=xm在区间(0,+∞)上单调递增,且为上凸函数,故06. 因为函数f(x)=的定义域为R,且为增函数,所以a+1<3-2a,解得a<.
7.1 因为幂函数f(x)=(m∈Z)的图象关于y轴对称,所以函数f(x)是偶函数,所以m2-2m-3为偶数.又因为f(x)在第一象限内单调递减,所以m2-2m-3<0,即-18.解(1)由题意知a2-3a+2=1,即a2-3a+1=0,
解得a=.
(2)由题意知解得a=4.
(3)由题意知解得a=3.
9.ACD 因为函数f(x)=xα的图象经过点(4,2),
所以α=.所以f(x)=.
显然f(x)在定义域[0,+∞)上为增函数,所以A正确;
f(x)的定义域为[0,+∞),所以f(x)不具有奇偶性,所以B不正确;
当x>1时,>1,即f(x)>1,所以C正确;
当0=2-
=
==-<0.
即10.A 由已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,可得m2-m-1=1,解得m=2或m=-1,当m=2时,f(x)=x3,当m=-1时,f(x)=x-3,对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0,函数f(x)单调递增,所以m=2,此时f(x)=x3.又a+b>0,ab<0,可知a,b异号,且正数的绝对值大于负数的绝对值,则f(a)+f(b)恒大于0,故选A.
11.B 幂函数f(x)=mxn的图象过点(,2),则所以幂函数的解析式为f(x)=x3,且函数f(x)单调递增.又-2<1<3,所以f(-2)12.ACD 画出函数y=与y=的图象如图所示,
设=m,作直线y=m.
从图象知,若m=0或m=1,则a=b;
若0若m>1,则1故其中可能成立的是ACD.
13.解(1)依题意得(m-1)2=1.∴m=0或m=2.
当m=2时,f(x)=x-2在区间(0,+∞)上单调递减,与题设矛盾,舍去.当m=0时,f(x)=x2,符合题设,故m=0.
(2)由(1)可知f(x)=x2,当x∈(1,2]时,函数f(x)和g(x)均单调递增.∴集合A=(1,4],B=(2-k,4-k].
∵A∪B=A,∴B A.∴
∴0≤k≤1.∴实数k的取值范围是[0,1].
14.解(1)由f(x)为幂函数知2m2-6m+5=1,即m2-3m+2=0,得m=1或m=2,当m=1时,f(x)=x2是偶函数,符合题意;
当m=2时,f(x)=x3为奇函数,不符合题意,舍去.
故f(x)=x2.
(2)由(1)可知y=x2-2(a-1)x+1,
函数y的对称轴为直线x=a-1,
由题意知函数y在区间(2,3)上为单调函数,
∴a-1≤2或a-1≥3,解得a≤3或a≥4.
∴a的取值范围为(-∞,3]∪[4,+∞).
15.解(1)由题意知(2-k)(1+k)>0,解得-1又k∈Z,∴k=0或k=1,分别代入原函数,得f(x)=x2.
(2)由已知得F(x)=2x2-4x+3,对称轴为直线x=1.要使函数F(x)在区间[2a,a+1]上不单调,则2a<1(3)由已知,g(x)=-qx2+(2q-1)x+1.
假设存在这样的正数q符合题意,
则函数g(x)的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为直线x==1-<1,因而,函数g(x)在区间[-1,2]上的最小值只能在x=-1或x=2处取得,
又g(2)=-1≠-4,
从而g(-1)=2-3q=-4,解得q=2.
此时,g(x)=-2x2+3x+1,其图象的对称轴为直线x=∈[-1,2],
∴g(x)在区间[-1,2]上的最大值为g=-2×+3×+1=,符合题意.
∴存在q=2,使函数g(x)=1-qf(x)+(2q-1)x在区间[-1,2]上的值域为.
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