§1 随机现象与随机事件
1.1 随机现象 1.2 样本空间 1.3 随机事件 1.4 随机事件的运算
A级必备知识基础练
1.(多选题)以下现象不是随机现象的是( )
A.在相同的条件下投掷一枚均匀的硬币,正反两面出现的情况
B.明天是否刮风下雨
C.同种电荷相互排斥
D.四边形的内角和是360°
2.下列事件中,是必然事件的是( )
A.对任意实数x,有x2≥0
B.某人练习射击,击中10环
C.从装有1号,2号,3号球的不透明的袋子中取一球是1号球
D.某人购买彩票中奖
3.依次投掷两枚质地均匀的骰子,所得点数之和记为X,那么X=4表示的随机试验的样本点是( )
A.第一枚是3点,第二枚是1点
B.第一枚是3点,第二枚是1点或第一枚是1点,第二枚是3点或两枚都是2点
C.两枚都是4点
D.两枚都是2点
4.对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A={两次都击中飞机},B={两次都没击中飞机},C={恰有一弹击中飞机},D={至少有一弹击中飞机},下列关系不正确的是( )
A.A∪B≠Ω B.B∩D=
C.A∪C=D D.A∪C=B∪D
5.(2021江苏苏州期中)一个木箱中装有8个同样大小的篮球,编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8,现从中随机取出3个篮球,以X表示取出的篮球的最大号码,则X=8表示的试验结果有 种.
6.从一批产品中取出三件产品,设事件A={三件产品全不是次品},B={三件产品全是次品},C={三件产品不全是次品},则下列结论正确的序号是 .
①A与B互斥;②B与C互斥;③A与C互斥;④A与B对立;⑤B与C对立.
7.从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花的点数为1~10,各10张)中任取1张.判断下列给出的每对事件是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由.
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”;
(2)“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”.
8.某人向一个目标射击3次,用事件Ai表示随机事件“第i次射击击中目标”(i=1,2,3),指出下列事件的含义:
(1)A1∩A2;
(2)A1∩A2∩;
(3);
(4).
B级关键能力提升练
9.(多选题)从装有大小和形状完全相同的2个红球和3个黑球的口袋内任取2个球,下列各对事件中,互斥而不对立的是( )
A.“至少一个红球”和“都是红球”
B.“恰有一个红球”和“都是红球”
C.“恰有一个红球”和“都是黑球”
D.“至少一个红球”和“都是黑球”
10.一批产品共有100件,其中5件是次品,95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件,现给出以下四个事件:
事件A:恰有一件次品;
事件B:至少有两件次品;
事件C:至少有一件次品;
事件D:至多有一件次品.
并给出以下结论:
①A∪B=C;②B∪D是必然事件;③A∩B=C;④A∩D=C.
其中正确结论的序号是( )
A.①② B.③④
C.①③ D.②③
11.从1,2,3,4,5这5个数中任取两个数,其中:
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;
②至少有一个是奇数和两个都是奇数;
③至少有一个是奇数和两个都是偶数;
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.
上述事件中,是对立事件的是 .(填序号)
12.某小区有甲、乙两种报刊供居民订阅,记事件A表示“只订甲报刊”,事件B表示“至少订一种报刊”,事件C表示“至多订一种报刊”,事件D表示“不订甲报刊”,事件E表示“一种报刊也不订”.判断下列事件是不是互斥事件,若是,再判断是不是对立事件.
(1)A与C;
(2)B与E;
(3)B与D;
(4)B与C;
(5)C与E.
C级学科素养创新练
13.从某大学数学系图书室中任选一本书,设A={数学书},B={中文版的书},C={2018年后出版的书},问:
(1)A∩B∩表示什么事件
(2)在什么条件下,有A∩B∩C=A
(3)如果=B,那么是否意味着图书室中的所有的数学书都不是中文版的
1.1 随机现象 1.2 样本空间
1.3 随机事件 1.4 随机事件的运算
1.CD 根据随机现象的概念可知,A,B是随机现象,C,D是确定性现象,故选CD.
2.A 选项B,C,D中的事件都不确定发生,因此都不是必然事件,A选项,当x∈R时,总有x2≥0发生,是必然事件.
3.B 依次投掷两枚骰子,所得点数之和记为X,那么X=4表示的随机试验的样本点是“第一枚是3点,第二枚是1点”或“第一枚是1点,第二枚是3点”或“两枚都是2点”.
故选B.
4.D 选项A,事件A与事件B可以都不发生,故A正确.选项B,由于事件B,D不能同时发生,故B∩D= 正确.选项C,由题意知正确.选项D,由于A∪C=D={至少有一弹击中飞机},不是必然事件;而B∪D为必然事件,所以A∪C≠B∪D,故D不正确.故选D.
5.21 X=8表示的试验结果有:(1,2,8),(1,3,8),(1,4,8),(1,5,8),(1,6,8),(1,7,8),(2,3,8),(2,4,8),(2,5,8),(2,6,8),(2,7,8),(3,4,8),(3,5,8),(3,6,8),(3,7,8),(4,5,8),(4,6,8),(4,7,8),(5,6,8),(5,7,8),(6,7,8),共21种.
6.①②⑤ A为{三件产品全不是次品},指的是三件产品都是正品,B为{三件产品全是次品},C为{三件产品不全是次品},它包括一件次品,两件次品,三件全是正品三个事件,由此知:A与B是互斥事件,但不对立;A与C是包含关系,不是互斥事件,更不是对立事件;B与C是互斥事件,也是对立事件.所以正确结论的序号为①②⑤.
7.解(1)是互斥事件,不是对立事件.理由是:
从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的,所以是互斥事件.同时,也不能保证其中必有一个发生,这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”,因此二者不是对立事件.
(2)不是互斥事件,当然也不可能是对立事件.理由是:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生,如抽得点数为10,因此,这二者不是互斥事件,当然也不可能是对立事件.
8.解(1)A1∩A2表示第1次和第2次射击都击中目标.
(2)A1∩A2∩表示第1次和第2次射击都击中目标,而第3次没有击中目标.
(3)表示第1次和第2次射击都没击中目标.
(4)表示三次射击都没击中目标.
9.BC 从装有大小和形状完全相同的2个红球和3个黑球的口袋内任取2个球,
在A中,“至少一个红球”和“都是红球”能同时发生,不是互斥事件,故A错误;
在B中,“恰有一个红球”和“都是红球”不能同时发生,是互斥而不对立事件,故B正确;
在C中,“恰有一个红球”和“都是黑球”不能同时发生,是互斥而不对立事件,故C正确;
在D中,“至少一个红球”和“都是黑球”是对立事件,故D错误.故选BC.
10.A 事件A∪B:至少有一件次品,即事件C,所以①正确;事件A∩B= ,③不正确;事件B∪D:至少有两件次品或至多有一件次品,包括了所有情况,所以②正确;事件A∩D:恰有一件次品,即事件A,所以④不正确.故选A.
11.③ ①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数不是互斥事件,也不是对立事件;②至少有一个是奇数和两个都是奇数不是互斥事件,也不是对立事件;③至少有一个是奇数和两个都是偶数是互斥事件,也是对立事件;④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数不是互斥事件,也不是对立事件.故答案为③.
12.解(1)由于事件C“至多订一种报刊”中有可能“只订甲报刊”,即事件A与事件C有可能同时发生,故A与C不是互斥事件.
(2)事件B“至少订一种报刊”与事件E“一种报刊也不订”是不可能同时发生的,故B与E是互斥事件.由于事件B发生可导致事件E一定不发生,且事件E发生会导致事件B一定不发生,故B与E还是对立事件.
(3)事件B“至少订一种报刊”中有可能“只订乙报”,即有可能“不订甲报刊”,即事件B发生,事件D也可能发生,故B与D不是互斥事件.
(4)B∩C表示“恰好订一种报刊”,故B与C不是互斥事件.
(5)事件C“至多订一种报刊”中有可能“一种报刊也不订”,故C与E不是互斥事件.
13.解(1)A∩B∩={2018年或2018年前出版的中文版的数学书}.
(2)在“图书室中所有数学书都是2018年后出版的且为中文版”的条件下,才有A∩B∩C=A.
(3)是,=B意味着图书室中的非数学书都是中文版的,而且所有的中文版的书都不是数学书,同时=B又可化成=A,因而也可解释为图书室中所有数学书都不是中文版的,而且所有不是中文版的书都是数学书.
1第1课时 古典概型的概率计算公式及其应用
A级必备知识基础练
1.下列事件属于古典概型的是( )
A.任意抛掷两颗均匀的正方体骰子,所得点数之和作为基本事件
B.篮球运动员投篮,观察他是否投中
C.测量一杯水分子的个数
D.在4个完全相同的小球中任取1个
2.(2021浙江杭州期中)从一副52张的扑克牌中任抽一张,“抽到K或Q”的概率是( )
A. B. C. D.
3.将一枚质地均匀的骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为b,c,则方程x2+bx+c=0有相等的实根的概率为( )
A. B. C. D.
4.(多选题)以下对各事件发生的概率判断正确的是( )
A.甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏,则玩一局甲不输的概率是
B.在不超过14的素数中随机选取两个不同的数,其和等于14的概率为
C.将一个质地均匀的正方体骰子(每个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6)先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数之和是6的概率是
D.从三件正品、一件次品中随机取出两件,则取出的产品全是正品的概率是
5.20名高一学生、25名高二学生和30名高三学生在一起座谈,如果任意抽其中一名学生讲话,抽到高一学生的概率是 ,抽到高二学生的概率是 ,抽到高三学生的概率是 .
6.现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为 .
7.若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为 .
8.某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是:从装有2个红球A1,A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1,a2和2个白球b1,b2的乙箱中,各随机摸出1个球,若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖(所有的球除颜色外都相同).
(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果.
(2)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认为正确吗 请说明理由.
9.为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养,促进高等教育教学改革,教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛.该竞赛分为预赛和决赛两个阶段,参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛,选拔出甲、乙、丙三支队伍参加决赛.
(1)求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率;
(2)求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率.
B级关键能力提升练
10.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲在心中任想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,且a,b∈{1,2,3,4},若|a-b|≤1,则称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,得出他们“心有灵犀”的概率为( )
A. B. C. D.
11.若集合A={1,2,3},B={x∈R|x2-ax+b=0,a∈A,b∈A},则A∩B=B的概率是( )
A. B. C. D.1
12.(多选题)一个袋子中装有3件正品和1件次品,按以下要求抽取2件产品,其中结论正确的是( )
A.任取2件,则取出的2件中恰有1件次品的概率是
B.每次抽取1件,不放回抽取两次,样本点总数为16
C.每次抽取1件,不放回抽取两次,则取出的2件中恰有1件次品的概率是
D.每次抽取1件,有放回抽取两次,样本点总数为16
13.天气预报说,今后三天每天下雨的概率相同,现用随机模拟的方法预测三天中有两天下雨的概率,用骰子点数来产生随机数.依据每天下雨的概率,可规定投一次骰子出现1点和2点代表下雨;投三次骰子代表三天;产生的三个随机数作为一组.得到的10组随机数如下:613,265,114,236,561,435,443,251,154,353.则在此次随机模拟试验中,每天下雨的概率的近似值是 ,三天中有两天下雨的概率的近似值为 .
14.有6根细木棒,长度分别为1,2,3,4,5,6,从中任取3根首尾相接,能搭成三角形的概率是 .
15.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:
①若xy≤3,则奖励玩具一个;
②若xy≥8,则奖励水杯一个;
③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.
(1)求小亮获得玩具的概率;
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.
16.某校学生社团组织活动丰富,学生会为了解同学对社团活动的满意程度,随机选取了100位同学进行问卷调查,并将问卷中的这100人根据其满意度评分值(百分制)按照[40,50),[50,60),[60,70),…,[90,100]分成6组,制成如图所示频率分布直方图.
(1)求图中x的值;
(2)求这组数据的中位数;
(3)现从被调查的问卷满意度评分值在[60,80)的学生中按分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈了解,再从这5人中随机抽取2人作主题发言,求抽取的2人恰在同一组的概率.
C级学科素养创新练
17.某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究,他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天100颗种子浸泡后的发芽数,得到如下资料:
日期 3月 1日 3月 2日 3月 3日 3月 4日 3月 5日
温差x/℃ 10 11 13 12 8
发芽数 y/颗 23 25 30 26 16
(1)求这5天发芽数的中位数;
(2)求这5天的平均发芽数;
(3)从3月1日至3月5日中任选2天,记前面一天发芽的种子数为m,后面一天发芽的种子数为n,用(m,n)的形式列出所有基本事件,并求满足的概率.
18.从某商场随机抽取了2 000件商品,按商品价格(单位:元)进行统计,所得频率分布直方图如图所示.记价格在[800,1 000),[1 000,1 200),[1 200,1 400]对应的小矩形的面积分别为S1,S2,S3,且S1=3S2=6S3.
(1)按分层随机抽样从价格在[200,400),[1 200,1 400]的商品中共抽取6件,再从这6件中随机抽取2件作价格对比,求抽到的两件商品价格差超过800元的概率;
(2)在节日期间,该商场制定了两种不同的促销方案:
方案一:全场商品打八折;
方案二:全场商品优惠如下表,如果你是消费者,你会选择哪种方案 为什么 (同一组中的数据用该组区间中点值作代表)
商品价格 [200, 400) [400, 600) [600, 800) [800, 1 000) [1 000, 1 200) [1 200, 1 400]
优惠/元 30 50 140 160 280 320
第1课时 古典概型的概率计算公式及其应用
1.D 判断一个事件是否为古典概型,主要看它是否具有古典概型的两个特征:有限性和等可能性.
A选项,任意抛掷两颗均匀的正方体骰子,所得点数之和对应的概率不全相等,如点数之和为2与点数之和为3发生的可能性显然不相等,不属于古典概型,故A排除;
B选项,“投中”与“未投中”发生的可能性不一定相等,不属于古典概型,故B排除;
C选项,杯中水分子有无数多个,不属于古典概型,故C排除;
D选项,在4个完全相同的小球中任取1个,每个球被抽到的机会均等,且包含的基本事件共有4个,符合古典概型,故D正确.故选D.
2.D 设“抽到K或Q”为事件A,∵基本事件总数为52,事件A包含的基本事件数为8,∴P(A)=.
3.D 样本点总数为6×6=36,若方程有相等的实根,则b2-4c=0,满足这一条件的b,c的值只有两种:b=2,c=1;b=4,c=4,故所求概率为.
4.BCD 对于A,如图所示:
由图可以看出,所有可能出现的结果共有9种,这些结果出现的可能性相等,P(甲获胜)=,P(乙获胜)=,故玩一局甲不输的概率是,故A错误;
对于B,不超过14的素数有2,3,5,7,11,13共6个,从这6个素数中任取2个,有(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(2,13),(3,5),(3,7),(3,11),(3,13),(5,7),(5,11),(5,13),(7,11),(7,13),(11,15),共有15种样本点,其中和等于14的只有(3,11)一组,所以在不超过14的素数中随机选取两个不同的数,其和等于14的概率为,故B正确;
对于C,基本事件总共有6×6=36(种)情况,其中点数之和是6的有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5种情况,则所求概率是,故C正确;
对于D,记三件正品为A1,A2,A3,一件次品为B,任取两件产品的所有可能为A1A2,A1A3,A1B,A2A3,A2B,A3B,共6种,其中两件都是正品的有A1A2,A1A3,A2A3,共3种,则所求概率为P=,故D正确.故选BCD.
5. 任意抽取一名学生是等可能事件,样本点总数为75,记事件A,B,C分别表示“抽到高一学生”“抽到高二学生”和“抽到高三学生”,则它们包含的样本点的个数分别为20,25和30.
故P(A)=,P(B)=,P(C)=.
6. “从5根竹竿中一次随机抽取2根竹竿”的所有可能结果为(2.5,2.6),(2.5,2.7),(2.5,2.8),(2.5,2.9),(2.6,2.7),(2.6,2.8),(2.6,2.9),(2.7,2.8),(2.7,2.9),(2.8,2.9),共10个样本点,又“它们的长度恰好相差0.3m”包括(2.5,2.8),(2.6,2.9),共2个样本点,由古典概型的概率计算公式可得所求事件的概率为.
7. 甲、乙、丙三人随机地站成一排有:(甲,乙,丙),(甲,丙,乙),(乙,甲,丙),(乙,丙,甲),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲),共6种样本点,其中甲、乙相邻有:(甲,乙,丙),(乙,甲,丙),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲),共4种样本点.
所以甲、乙两人相邻而站的概率为.
8.解(1)所有可能的摸出结果是(A1,a1),(A1,a2),(A1,b1),(A1,b2),(A2,a1),(A2,a2),(A2,b1),(A2,b2),(B,a1),(B,a2),(B,b1),(B,b2).
(2)不正确.理由如下:
由(1)知,所有可能的摸出结果共12种,其中摸出的2个球都是红球的结果为(A1,a1),(A1,a2),(A2,a1),(A2,a2),共4种,所以中奖的概率为,不中奖的概率为1-.故这种说法不正确.
9.解根据题意可知其样本空间Ω={(甲,乙,丙),(甲,丙,乙),(乙,甲,丙),(乙,丙,甲),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲)},共6个样本点.
(1)设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A,事件A包含的样本点有:(甲,乙,丙),(乙,甲,丙),共2个,所以P(A)=.所以甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为.
(2)设“甲、乙两支队伍出场顺序相邻”为事件B,事件B包含的样本点有:(甲,乙,丙),(乙,甲,丙),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲),共4个,所以P(B)=.
所以甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率为.
10.A 甲、乙所猜数字的情况有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)共16种情况,其中满足|a-b|≤1的情况有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)共10种情况,故所求概率为.
11.C 随着a,b的取值变化,集合B有32=9(种)可能,如表.经过验证很容易知道其中有8种满足A∩B=B,所以概率是.故选C.
B a
1 2 3
b 1 {1}
2 {1,2}
3
12.ACD 记4件产品分别为1,2,3,a,其中a表示次品.A选项,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,a),(2,3),(2,a),(3,a)},“恰有一件次品”的样本点为(1,a),(2,a),(3,a),因此其概率P=,A正确;B选项,每次抽取1件,不放回抽取两次,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3)},共12种样本点,B错误;C选项,“取出的两件中恰有一件次品”的样本点数为6,其概率为,C正确;D选项,每次抽取1件,有放回抽取两次,样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,2),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,3),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3),(a,a)},共16种样本点,D正确.故选ACD.
13. 每个骰子有6个点数,出现1或2为下雨天,共有6种,则每天下雨的概率的近似值为,10组数据中,114,251,表示3天中有2天下雨,所以从得到的10组随机数来看,3天中有2天下雨的有2组,则3天中有2天下雨的概率近似值为.
14. 从这6根细木棒中任取3根首尾相接,有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,2,6),(1,3,4),(1,3,5),(1,3,6),(1,4,5),(1,4,6),(1,5,6),(2,3,4),(2,3,5),(2,3,6),(2,4,5),(2,4,6),(2,5,6),(3,4,5),(3,4,6),(3,5,6),(4,5,6),共20个样本点,能构成三角形的取法有(2,3,4),(2,4,5),(2,5,6),(3,4,5),(3,4,6),(3,5,6),(4,5,6),共7个样本点,所以由古典概型概率公式可得所求概率为P=.
15.解用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数,则样本空间Ω与点集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应.因为S中元素的个数是4×4=16,所以样本点总数n=16.
(1)记“xy≤3”为事件A,则事件A包含的样本点共5个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).所以P(A)=,即小亮获得玩具的概率为.
(2)记“xy≥8”为事件B,“316.解(1)由(0.005+0.010+0.030+0.025+0.010+x)×10=1,解得x=0.020.
(2)设中位数为m,则0.05+0.1+0.2+(m-70)×0.03=0.5,解得m=75.
(3)可得满意度评分值在[60,70)内有20人,抽得样本为2人,记为a1,a2,满意度评分值在[70,80)内有30人,抽得样本为3人,记为b1,b2,b3,样本空间Ω={(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3)},共10个样本点,记“5人中随机抽取2人作主题发言,抽出的2人恰在同一组”为事件A,A包含的样本点个数为4,利用古典概型概率公式可知P(A)=0.4.
17.解(1)因为16<23<25<26<30,所以这5天发芽数的中位数是25.
(2)这5天的平均发芽率为×100%=24%.
(3)用(m,n)表示所求基本事件,则有(23,25),(23,30),(23,26),(23,16),(25,30),(25,26),(25,16),(30,26),(30,16),(26,16),共10个基本事件.
记满足为事件A,则事件A包含的基本事件为(25,30),(25,26),(30,26),共有3个基本事件.
所以P(A)=,即事件的概率为.
18.解(1)根据频率和为1的性质知0.00050×200+0.00100×200+0.00125×200+S1+S2+S3=1,
又S1=3S2=6S3,得到S1=0.30,S2=0.10,S3=0.05.价格在[200,400)的频率为0.00050×200=0.10,价格在[1200,1400]的频率为S3=0.05.按分层随机抽样的方法从价格在[200,400),[1200,1400]的商品中抽取6件,则在[200,400)上抽取4件,记为a1,a2,a3,a4,在[1200,1400]上抽取2件,记为b1,b2.现从中抽出2件,所有可能情况为:a1a2,a1a3,a1a4,a1b1,a1b2,a2a3,a2a4,a2b1,a2b2,a3a4,a3b1,a3b2,a4b1,a4b2,b1b2,共计15个样本点,其中符合题意的有a1b1,a1b2,a2b1,a2b2,a3b1,a3b2,a4b1,a4b2共8个样本点,因此抽到的两件商品价格差超过800元的概率为P=.
(2)对于方案一,优惠的价钱的平均值为:(300×0.10+500×0.20+700×0.25+900×0.30+1100×0.10+1300×0.05)×20%=150;
对于方案二,优惠的价钱的平均值为:30×0.10+50×0.20+140×0.25+160×0.30+280×0.10+320×0.05=140.因为150>140,所以选择方案一更好.
3第2课时 互斥事件概率的求法
A级必备知识基础练
1.已知随机事件A和B互斥,且P(A∪B)=0.5,P(B)=0.3,则P()=( )
A.0.5 B.0.2 C.0.7 D.0.8
2.设A与B是互斥事件,A,B的对立事件分别记为,则下列说法正确的是( )
A.A与互斥
B.互斥
C.P(A+B)=P(A)+P(B)
D.P()=1
3.某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛,甲、乙两队夺取冠军的概率分别是,则该市球队夺得全省足球冠军的概率为( )
A. B. C. D.
4.从某班学生中任找一人,如果该同学身高小于160 cm的概率为0.2,该同学的身高大于等于160 cm小于等于175 cm的概率为0.5,那么该同学的身高超过175 cm的概率为( )
A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8
5.(多选题)利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品,其中一等品有20件,合格品有70件,其余为不合格品,现在这个工厂随机抽查一件产品,设事件A为“一等品”,B为“合格品”,C为“不合格品”,则下列结果正确的是( )
A.P(B)= B.P(A∪B)=
C.P(A∩B)=0 D.P(A∪B)=P(C)
6.甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是0.3,甲获胜的概率是0.2,则乙获胜的概率为 ;乙不输的概率为 .
7.某工厂生产了一批节能灯泡,这批产品按质量分为一等品、二等品、三等品.从这批产品中随机抽取一件产品检测,已知抽到一等品或二等品的概率为0.86,抽到二等品或三等品的概率为0.35,则抽到二等品的概率为 .
8.在某一时期内,一条河流某处的年最高水位(单位:m)在各个范围内的概率如下表:
年最高水 位/m [8,10) [10,12) [12,14) [14,16) [16,18)
概率 0.10 0.28 0.38 0.16 0.08
计算在同一时期内,河流此处的年最高水位在下列范围内的概率:(1)[10,16)m;(2)[8,12)m;(3)[14,18)m.
9.一个箱子内有9张票,其号数分别为1,2,…,9.从中任取2张,其号数至少有一个为奇数的概率是多少
B级关键能力提升练
10.下列四种说法:
①对立事件一定是互斥事件;②若A,B为两个事件,则P(A+B)=P(A)+P(B);③若事件A,B,C彼此互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1;④若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A,B是对立事件.
其中错误的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
11.(多选题)黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表:
血型 A B AB O
该血型的人所占比例 0.28 0.29 0.08 0.35
已知同种血型的人可以输血,O型血可以给任何一种血型的人输血,任何血型的人都可以给AB血型的人输血,其他不同血型的人不能互相输血,下列结论正确的是( )
A.任找一个人,其血可以输给B型血的人的概率是0.64
B.任找一个人,B型血的人能为其输血的概率是0.29
C.任找一个人,其血可以输给O型血的人的概率为1
D.任找一个人,其血可以输给AB型血的人的概率为1
12.某战士射击一次中靶的概率为0.95,中靶环数大于5的概率为0.75,则中靶环数大于0且小于6的概率为 (只考虑整数环数).
13.(2021北京丰台期中)洛书,古称龟书,是阴阳五行术数之源.传说古代有神龟出于洛水,其甲壳上刻有图案,如图①,结构为戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,以五居中,五方白圈皆阳数,四隅黑点为阴数,其各行各列及对角线点数之和皆为15,洛书九宫格对照表如图②,若从五个阳数中随机抽取三个数.
(1)试验的样本空间包含 个样本点;
(2)使得这三个数之和等于15的概率是 .
①
4 9 2
3 5 7
8 1 6
②
14.袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只(所有的球除颜色外都相同),从中每次任取1只,有放回地抽取3次,求:
(1)3只球颜色全相同的概率;
(2)3只球颜色不全相同的概率.
C级学科素养创新练
15.一个盒子内装有大小相同的红球、白球和黑球若干个,从中摸出1个球,若摸出红球的概率是0.45,摸出白球的概率是0.25,那么摸出黑球或红球的概率是( )
A.0.3 B.0.55 C.0.7 D.0.75
16.从三名擅长速算的选手A1,A2,A3,三名擅长数独的选手B1,B2,B3,两名擅长魔方的选手C1,C2中各选一名组成一支战队.假定两名魔方选手中更擅长盲拧的选手C1已确定入选,而擅长速算与数独的选手入选的可能性相等.
(1)求A1被选中的概率;
(2)求A1,B1不全被选中的概率.
第2课时 互斥事件概率的求法
1.D ∵A与B互斥,∴P(A∪B)=P(A)+P(B),
∴P(A)=0.5-0.3=0.2,∴P()=1-P(A)=1-0.2=0.8.
2.C 根据互斥事件的定义可知,A与都有可能同时发生,所以A与互斥,互斥是不正确的;P(A+B)=P(A)+P(B)正确;既不一定互斥,也不一定对立,所以D错误.故选C.
3.D 设事件A,B分别表示该市的甲、乙队夺取冠军,则P(A)=,P(B)=,且A,B互斥.该市球队夺得冠军即事件A∪B发生.于是P(A∪B)=P(A)+P(B)=.
4.B 设事件A为该同学的身高超过175cm,则P(A)=1-0.2-0.5=0.3.
5.ABC 由题意知A,B,C互斥,故C正确;又因为从100件中抽取产品符合古典概型的条件,所以P(B)=,P(A)=,P(C)=,则P(A∪B)=,故A,B正确,D错误.故选ABC.
6.0.5 0.8 由于一局棋要么甲获胜,要么乙获胜,要么两人和棋,因此乙获胜的概率为1-0.3-0.2=0.5,乙不输的概率为0.5+0.3=0.8(或1-0.2=0.8).
7.0.21 设抽到一等品、二等品、三等品的事件分别为A,B,C,
则
解得P(B)=0.21.故抽到二等品的概率为0.21.
8.解记此河流某处的年最高水位在[8,10),[10,12),[12,14),[14,16),[16,18)分别为事件A,B,C,D,E.
(1)P(B+C+D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.28+0.38+0.16=0.82.
(2)P(A+B)=P(A)+P(B)=0.10+0.28=0.38.
(3)P(D+E)=P(D)+P(E)=0.16+0.08=0.24.
所以年最高水位在[10,16),[8,12),[14,18)m的概率分别为0.82,0.38,0.24.
9.解从9张票中任取2张,有
(1,2),(1,3),…,(1,9),
(2,3),(2,4),…,(2,9),
(3,4),(3,5),…,(3,9),
…
(7,8),(7,9),
(8,9),共计36种取法.
记“号数至少有一个为奇数”为事件B,“号数全是偶数”为事件C,则事件C有(2,4),(2,6),(2,8),(4,6),(4,8),(6,8)共6种取法.所以P(C)=,由对立事件的性质得P(B)=1-P(C)=1-.
10.D 对立事件一定是互斥事件,故①对;
只有A,B为互斥事件时才有P(A+B)=P(A)+P(B),故②错;
因为A,B,C并不一定是随机试验中的全部样本点,故P(A)+P(B)+P(C)并不一定等于1,故③错;
若A,B不互斥,尽管P(A)+P(B)=1,但A,B不是对立事件,故④错.
11.AD 任找一个人,其血型为A,B,AB,O型血的事件分别记为A',B',C',D',它们两两互斥.由已知,有P(A')=0.28,P(B')=0.29,P(C')=0.08,P(D')=0.35.因为B,O型血可以输给B型血的人,所以“可以输给B型血的人”为事件B'∪D',根据概率的加法公式,得P(B'∪D')=P(B')+P(D')=0.29+0.35=0.64,故A正确;B型血的人能为B型、AB型的人输血,其概率为0.29+0.08=0.37,B错误;由O型血只能接受O型血的人输血知,C错误;由任何人的血都可以输给AB型血的人,知D正确.故选AD.
12.0.2 因为某战士射击一次“中靶的环数大于5”(事件A)与“中靶的环数大于0且小于6”(事件B)是互斥事件,P(A+B)=0.95,所以P(A)+P(B)=0.95,所以P(B)=0.95-0.75=0.2.
13.(1)10 (2) (1)五个阳数为1,3,5,7,9,
从五个阳数中随机抽取三个数,有(1,3,5),(1,3,7),(1,3,9),(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),(3,5,7),(3,5,9),(3,7,9),(5,7,9),共10个样本点.
(2)从五个阳数中随机抽取三个数,使得这三个数之和等于15包含的基本事件有(1,5,9),(3,5,7),共2个,
故从五个阳数中随机抽取三个数,使得这三个数之和等于15的概率为P=.
14.解(1)3只球颜色全相同包括3只球全是红球(记为事件A),3只球全是黄球(记为事件B),3只球全是白球(记为事件C),且它们彼此互斥,故3只球颜色全相同这个事件可记为A+B+C.又P(A)=P(B)=P(C)=,故P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=.
(2)记“3只球颜色不全相同”为事件D,则事件为“3只球颜色全相同”.
又P()=P(A+B+C)=,所以P(D)=1-P()=1-,故3只球颜色不全相同的概率为.
15.D 因为从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.45,摸出白球的概率是0.25,
所以摸出黑球的概率是1-(0.45+0.25)=0.3.
因为从盒子中摸出1个球为黑球或红球为互斥事件,
所以摸出黑球或红球的概率P=0.3+0.45=0.75,故选D.
16.解(1)一切可能的结果组成集合Ω={(A1,B1,C1),(A1,B2,C1),(A1,B3,C1),(A2,B1,C1),(A2,B2,C1),(A2,B3,C1),(A3,B1,C1),(A3,B2,C1),(A3,B3,C1)},共9个样本点.
由题知每一个样本点被抽取的机会均等,用M表示“A1被选中”,则M={(A1,B1,C1),(A1,B2,C1),(A1,B3,C1)},因而P(M)=.
(2)用N表示“A1,B1不全被选中”这一事件,则其对立事件表示“A1,B1全被选中”,由于={(A1,B1,C1)},
∴P()=,从而P(N)=1-P()=.
3§3 频率与概率
A级必备知识基础练
1.从存放号码分别为1,2,…,10的卡片的盒子中,有放回地取100次,每次取出一张卡片并记下号码,统计结果如下:
卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
取出的次数 10 11 8 8 6 10 18 9 11 9
则取到的号码为奇数的频率是( )
A.0.53 B.0.5 C.0.47 D.0.37
2.(多选题)下列说法中正确的有( )
A.做9次抛掷一枚质地均匀的硬币的试验,结果有5次出现正面,所以出现正面的概率是
B.盒子中装有大小和形状相同的3个红球,3个黑球,2个白球,每种颜色的球被摸到的可能性相同
C.从-4,-3,-2,-1,0,1,2中任取一个数,取得的数小于0和不小于0的可能性不相同
D.设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,次品的件数可能不是10件
3.我国古代数学名著中有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1 534石,验得米夹谷,抽样取米一把,数得254粒,夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( )
A.134石 B.169石 C.338石 D.454石
4.已知某射击运动员,每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次至少击中3次的概率:先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数,指定0,1表示没有击中目标,2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标;因为射击4次,故以每4个随机数为一组,代表射击4次的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:
5727029371409857034743738636964714174698
0371623326168045601136619597742467104281
据此估计,该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( )
A.0.7 B.0.75
C.0.8 D.0.85
5.已知样本容量为200的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在[6,10)内的频数为 ,数据落在[2,10)内的概率约为 .
6.任取一个由50名同学组成的班级(称为一个标准班),至少有两位同学生日在同一天(记为事件A)的概率是0.97,则下列说法正确的是 .(填序号)
①任取一个标准班,事件A发生的可能性是97%;
②任取一个标准班,事件A发生的概率大概是0.97;
③任意取定10 000个标准班,其中有9 700个班中事件A发生;
④随着抽取的标准班的个数n不断增大,A发生的频率逐渐稳定在0.97,且在它附近摆动.
7.某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习,结果如下表所示.
投篮次数n/次 8 10 15 20 30 40 50
进球次数m/次 6 8 12 17 25 32 38
进球频率
(1)填写上表中的进球频率;
(2)这位运动员投篮一次,进球的概率大约是多少
8.已知n是一个三位正整数,若n的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n为“三位递增数”(如135,256,345等).
现要从甲、乙两名同学中,选出一个参加某市组织的数学竞赛,选取的规则如下:从由1,2,3,4,5,6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数,且只抽取1次,若抽取的“三位递增数”是偶数,则甲参加数学竞赛;否则,乙参加数学竞赛.
(1)由1,2,3,4,5,6可组成多少“三位递增数” 并一一列举出来.
(2)这种选取规则对甲、乙两名学生公平吗 并说明理由.
B级关键能力提升练
9.(2021安徽亳州质检月考)下列说法正确的是( )
A.某医院治疗某种疾病的治愈率为20%,前8人没有治愈,则后两个人一定治愈
B.甲、乙两人进行乒乓球比赛,乙获胜的概率为,则比赛5场,乙胜2场
C.某种药物对患有咳嗽的400名病人进行治疗,结果有300人有明显效果.现对咳嗽的病人服用此药,则估计会有明显疗效的可能性为75%
D.若事件A发生的概率趋近于0,则事件A是不可能事件
10.掷一枚均匀的硬币,如果连续抛掷1 000次,那么第999次出现正面向上的概率是( )
A. B. C. D.
11.某市交警部门在调查一起车祸过程中,所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车,但由于天黑,均未看清该车的车牌号码及颜色.该市有两家出租车公司,其中甲公司有100辆桑塔纳出租车,3 000辆帕萨特出租车,乙公司有3 000辆桑塔纳出租车,100辆帕萨特出租车,肇事车为哪个公司的车辆的可能性较大( )
A.甲公司 B.乙公司
C.甲与乙公司等可能 D.无法确定
12.用一台自动机床加工一批螺母,从中抽出100个逐个进行直径(单位:厘米)检验,结果如下:
直径/厘米 个数 直径/厘米 个数
[6.88,6.89] 1 (6.93,6.94] 26
(6.89,6.90] 2 (6.94,6.95] 15
(6.90,6.91] 10 (6.95,6.96] 8
(6.91,6.92] 17 (6.96,6.97] 2
(6.92,6.93] 17 (6.97,6.98] 2
从这100个螺母中任意取一个,则事件A:螺母的直径在(6.93,6.95]范围内的频率为 ;事件B:螺母的直径在(6.91,6.95]范围内的频率为 .
13.有一个转盘游戏,转盘被平均分成10等份(如图所示),转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下:两个人参加,先确定猜数方案,甲转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则甲获胜.猜数方案从以下三种方案中选一种:
A.猜“是奇数”或“是偶数”
B.猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”
C.猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”
请回答下列问题:
(1)如果你是乙,为了尽可能获胜,你将选择哪种猜数方案,并且怎样猜 为什么
(2)为了保证游戏的公平性,你认为应制定哪种猜数方案 为什么
(3)请你设计一种其他的猜数方案,并保证游戏的公平性.
14.为了解市民对A,B两个品牌共享单车使用情况的满意程度,分别从使用A,B两个品牌单车的市民中随机抽取了100人,对这两个品牌的单车进行评分,满分60分.根据调查,得到A品牌单车评分的频率分布直方图和B品牌单车评分的频数分布表:
A品牌分数频率分布直方图
B品牌单车评分的频数分布表
分数区间 频数
[0,10) 1
[10,20) 3
[20,30) 6
[30,40) 15
[40,50) 40
[50,60) 35
根据用户的评分,定义用户对共享单车评价的“满意度指数”如下:
评分 [0,30) [30,50) [50,60]
满意度指数 0 1 2
(1)求对A品牌单车评价“满意度指数”为0的人数;
(2)从对A,B两个品牌单车评分都在[0,10)范围内的人中随机选出2人,求2人中恰有1人是A品牌单车的评分人的概率.
C级学科素养创新练
15.电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;
(2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率;
(3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大(只需写出结论)
§3 频率与概率
1.A 由题意知,本题是一个古典概型,∵有放回地取100次,每次取一张卡片并记下号码,∴事件总数是100,由表可以看出取到号码为奇数有10+8+6+18+11=53(种)结果,∴P==0.53,故选A.
2.CD 对于A中,应为出现正面的频率是,故A错误;对于B中,摸到白球的概率要小于摸到红球或黑球的概率,故B错误;对于C中,取得的数小于0的概率大于不小于0的概率,故C正确;对于D中,任取100件产品,次品的件数是随机的,故D正确.故选CD.
3.B 由题意可知,这批米内夹谷约为1534×≈169(石),故选B.
4.B 由题意知模拟射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数,在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有:
57270293985703474373863696474698
6233261680453661959774244281
共15组随机数,所以所求概率为=0.75.故选B.
5.64 0.4 由于[6,10)范围内,频率为0.08×4=0.32,所以频数为0.32×200=64.在[2,10)范围内的概率约为(0.02+0.08)×4=0.4.
6.①④ 由题意可知,对于一个取定的标准班来说,A发生的可能性是97%,故①正确,②错误;任意取定10000个标准班,极端情况下A有可能都不发生,故③错误;由概率的性质得随着抽取的标准班的个数n不断增大,A发生的频率逐渐稳定,故④正确.故答案为①④.
7.解(1)表中从左到右依次填:0.75 0.80 0.80 0.85 0.83 0.80 0.76.
(2)由于进球频率都在0.80左右摆动,故这位运动员投篮一次,进球的概率约是0.80.
8.解(1)由题意知,所有由1,2,3,4,5,6组成的“三位递增数”共有20个.
分别是123,124,125,126,134,135,136,145,146,156,234,235,236,245,246,256,345,346,356,456.
(2)不公平.由(1)知,所有由1,2,3,4,5,6组成的“三位递增数”有20个,记“甲参加数学竞赛”为事件A,记“乙参加数学竞赛”为事件B.则事件A含有样本点有:124,134,234,126,136,146,156,236,246,256,346,356,456共13个.由古典概型计算公式,得P(A)=,
又A与B对立,所以P(B)=1-P(A)=1-,所以P(A)>P(B).故选取规则对甲、乙两名学生不公平.
9.C 对于A,某医院治疗某种疾病的治愈率为20%,则后两个人的治愈率为20%,故A错误;对于B,甲、乙两人乒乓球比赛的结果是随机事件,故B错误;对于C,估计会有明显疗效的可能性为×100%=75%,故C正确;对于D,事件A是小概率事件,但不是不可能事件,故D错误.
故选C.
10.D 每一次出现正面朝上的概率都是,故选D.
11.B 该市两家出租车公司共有桑塔纳出租车3100辆,则甲公司出租车肇事的概率为P=,乙公司出租车肇事的概率为P=,显然乙公司肇事的概率远大于甲公司肇事的概率.故选B.
12.0.41 0.75 螺母的直径在(6.93,6.95]范围内的频数为26+15=41,所以事件A的频率为=0.41.螺母的直径在(6.91,6.95]范围内的频数为17+17+26+15=75,所以事件B的频率为=0.75.
13.解(1)如题图,方案A中“是奇数”或“是偶数”的概率均为=0.5;方案B中“不是4的整数倍数”的概率为=0.8,“是4的整数倍数”的概率为=0.2;方案C中“是大于4的数”的概率为=0.6,“不是大于4的数”的概率为=0.4.乙为了尽可能获胜,应选方案B,猜“不是4的整数倍数”.
(2)为了保证游戏的公平性,应当选择方案A.因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5,从而保证了该游戏是公平的.
(3)可以设计为猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”,此方案也可以保证游戏的公平性.
14.解(1)由A的频率分布直方图可知,对A评分低于30的频率为(0.003+0.005+0.012)×10=0.2,所以评分低于30的人数为100×0.2=20.
(2)设事件A为“2人中恰有1人是A品牌单车的评分人”.对A评分在[0,10)范围内的有3人,设为M1,M2,M3;对B评分在[0,10)范围内的有1人,设为N.从这4人中随机选出2人的选法为(M1,M2),(M1,M3),(M1,N),(M2,M3),(M2,N)(M3,N)共6种.其中,恰有1人是A的选法为(M1,N),(M2,N),(M3,N),共3种.故概率为P(A)=.
15.解(1)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000,
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50.
故所求概率为=0.025.
(2)由题意知,样本中获得好评的电影部数是140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1=56+10+45+50+160+51=372.
故所求概率估计为1-=0.814.
(3)增加第五类电影的好评率,减少第二类电影的好评率.
1§4 事件的独立性
A级必备知识基础练
1.某闯关游戏规则如下:在主办方预设的6个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,闯关成功.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.6,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就闯关成功的概率等于( )
A.0.064 B.0.144 C.0.216 D.0.432
2.某光学仪器厂生产的透镜,第一次落地打破的概率为0.3;第一次落地没有打破,第二次落地打破的概率为0.4;前两次落地均没打破,第三次落地打破的概率为0.9.则透镜落地3次以内(含3次)被打破的概率是( )
A.0.378 B.0.3 C.0.58 D.0.958
3.(多选题)从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,从两袋中各摸出一个球,下列结论正确的是( )
A.2个球都是红球的概率为
B.2个球不都是红球的概率为
C.至少有1个红球的概率为
D.2个球中恰有1个红球的概率为
4.某人有4把钥匙,其中2把能打开门,现随机地取1把钥匙试着开门,不能开门的就扔掉,问第二次才能开门的概率是 ;如果试过的钥匙不扔掉,这个概率是 .
5.甲、乙两名射击运动员分别对一目标射击一次,甲射中的概率为0.8,乙射中的概率为0.9,求:
(1)2人都射中目标的概率;
(2)2人中恰有1人射中目标的概率;
(3)2人至少有1人射中目标的概率.
B级关键能力提升练
6.(多选题)已知事件A,B,且P(A)=0.5,P(B)=0.2,则下列结论正确的是( )
A.若B A,那么P(A∪B)=0.2,P(AB)=0.5
B.若A,B互斥,那么P(A∪B)=0.7,P(AB)=0
C.若A,B相互独立,那么P(A∪B)=0.7,P(AB)=0
D.若A,B相互独立,那么P()=0.4,P(A)=0.4
7.(2021山东潍坊检测)投壶是我国古代的一种娱乐活动,比赛投中得分情况分“有初”“贯耳”“散射”“双耳”“依竿”五种,其中“有初”算“两筹”,“贯耳”算“四筹”,“散射”算“五筹”,“双耳”算“六筹”,“依竿”算“十筹”,三场比赛得筹数最多者获胜.假设甲投中“有初”的概率为,投中“贯耳”的概率为,投中“散射”的概率为,投中“双耳”的概率为,投中“依竿”的概率为,未投中(0筹)的概率为.乙的投掷水平与甲相同,且甲、乙投掷相互独立.比赛第一场两人平局,第二场甲投中“有初”,乙投中“双耳”,则三场比赛结束时,甲获胜的概率为( )
A. B. C. D.
8.甲、乙、丙三人向同一飞机射击,设击中的概率分别为0.4,0.5,0.8,若只有1人击中,则飞机被击落的概率为0.2,若2人击中,则飞机被击落的概率为0.6,若3人击中,则飞机一定被击落,则飞机被击落的概率为 .
9.(2021广东茂名质检)田忌赛马的故事出自司马迁的《史记》,话说齐王、田忌分别有上、中、下等马各一匹,赛马规则是:一场比赛需要比赛三局,每匹马都要参赛,且只能参赛一局,最后以获胜局数多者为胜.记齐王、田忌的马匹分别为A1,A2,A3和B1,B2,B3,每局比赛之间都是相互独立的,而且不会出现平局.用(i,j∈{1,2,3})表示马匹Ai与Bj比赛时齐王获胜的概率,若=0.8,=0.9,=0.95;=0.1,=0.6,=0.9;=0.09,=0.1,=0.6.则一场比赛共有 种不同的比赛方案;在上述所有的方案中,有一种方案田忌获胜的概率最大,此概率的值为 .
10.某大街在甲、乙、丙三个地方设有红、绿交通信号灯,汽车在甲、乙、丙三个地方通过(即通过绿灯)的概率分别是,对于该大街上行驶的汽车,求:
(1)在三个地方都不停车的概率;
(2)在三个地方都停车的概率;
(3)只在一个地方停车的概率.
11.在一个选拔节目中,每个选手都需要进行四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答者进入下一轮考核,否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为,且各轮问题能否正确回答互不影响.
(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率;
(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率.
C级学科素养创新练
12.(2021湖北武汉检测)一个系统如图所示,A,B,C,D,E,F为6个部件,其正常工作的概率都是,且是否正常工作是相互独立的,当A,B都正常工作,或C正常工作,或D正常工作,或E,F都正常工作时,系统就能正常工作,则系统正常工作的概率是( )
A. B. C. D.
13.眉山市位于四川西南,有“千载诗书城,人文第一州”的美誉,这里是大文豪苏轼、苏洵、苏辙的故乡,也是人们旅游的好地方.在今年的国庆黄金周,为了丰富游客的文化生活,每天在东坡故里三苏祠举行“三苏文化”知识竞赛.已知甲、乙两队参赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一分,答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为,乙队中3人答对的概率分别为,且各人回答正确与否相互之间没有影响.
(1)分别求甲队总得分为0分,2分的概率;
(2)求甲队得2分乙队得1分的概率.
§4 事件的独立性
1.B 选手恰好回答了4个问题就闯关成功,则第1个问题可能正确,也可能不正确,第2个问题不正确,第3,4个问题正确.故P=0.6×0.4×0.6×0.6+0.4×0.4×0.6×0.6=0.144.故选B.
2.D 透镜落地3次,恰在第一次落地打破的概率为P1=0.3,恰在第二次落地打破的概率为P2=0.7×0.4=0.28,恰在第三次落地打破的概率为P3=0.7×0.6×0.9=0.378,所以落地3次以内被打破的概率P=P1+P2+P3=0.958.故选D.
3.ACD 设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A1,“从乙袋中摸出一个红球”为事件A2,则P(A1)=,P(A2)=,且A1,A2相互独立.
A中,概率为P(A1A2)=P(A1)P(A2)=,正确;
B中,是“两个都是红球”的对立事件,其概率为1-P(A1A2)=,错误;
C中,2个球中至少有1个红球的概率为1-P()P()=1-,正确;
D中,2个球中恰有1个红球的概率为P(A1)+P(A2)=,正确.
故选ACD.
4. 由题意知,第二次打开门,说明第一次没有打开门,故第二次打开门的概率为.如果试过的钥匙不扔掉,这个概率为.
5.解记“甲射击1次,击中目标”为事件A,“乙射击1次,击中目标”为事件B,则A与B,与B,A与为相互独立事件,
(1)2人都射中的概率为P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72,故2人都射中目标的概率是0.72.
(2)“2人各射击1次,恰有1人射中目标”包括两种情况:一种是甲击中乙未击中(即事件A),另一种是甲未击中、乙击中(即事件B),根据题意,事件AB互斥,根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式,所求的概率为P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.8×(1-0.9)+(1-0.8)×0.9=0.08+0.18=0.26,故2人中恰有1人射中目标的概率是0.26.
(3)(方法一)2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况,其概率为P=P(AB)+[P(A)+P(B)]=0.72+0.26=0.98.
(方法二)“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件,2人都未击中目标的概率是P()=P()P()=(1-0.8)×(1-0.9)=0.02,故“两人至少有1人击中目标”的概率为P=1-P()=1-0.02=0.98.
6.BD 若B A,则A∪B=A,A∩B=B,则P(A∪B)=P(A)=0.5,P(AB)=P(A∩B)=P(B)=0.2,故A错误;
若A,B互斥,则AB为不可能事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.7,P(AB)=0,故B正确;
若A,B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.2=0.1,故C错误;
若A,B相互独立,则P()=P()P()=0.5×0.8=0.4,P(A)=P(A)P()=0.5×0.8=0.4,故D正确.
故选BD.
7.C 由题可知:
筹数 2 4 5 6 10 0
P
甲要想赢得比赛,在第三场比赛中,比乙至少多得五筹,甲得“五筹”,乙得“零筹”,甲可赢,概率为P1=;甲得“六筹”,乙得“零筹”,甲可赢,概率为P2=;甲得“十筹”,乙得“零筹”或“两筹”或“四筹”或“五筹”,甲可赢,概率为P3=.
∴三场比赛结束时,甲获胜的概率为P=P1+P2+P3=.
8.0.492 设甲、乙、丙三人击中飞机为事件A,B,C,依题意,A,B,C相互独立,故所求事件概率为P=[P(A)+P()+P(C)]×0.2+[P(AB)+P(BC)+P(AC)]×0.6+P(ABC)=(0.4×0.5×0.2+0.6×0.5×0.2+0.6×0.5×0.8)×0.2+(0.4×0.5×0.2+0.6×0.5×0.8+0.4×0.5×0.8)×0.6+0.4×0.5×0.8=0.492.
9.6 0.819 由题意可知,所有的比赛方案为:
(A1B1,A2B2,A3B3),(A1B1,A2B3,A3B2),(A1B2,A2B1,A3B3),(A1B2,A2B3,A3B1),(A1B3,A2B2,A3B1),(A1B3,A2B1,A3B2),
故一场比赛共6种不同的比赛方案.
其中采用方案(A1B3,A2B1,A3B2),则田忌获胜的概率最大,记田忌三局全胜和恰胜两局的概率分别为P1,P2,
则P1=0.05×0.9×0.9=0.0405,
P2=0.05×0.9×0.1×2+0.95×0.9×0.9=0.7785,
所以有一种方案田忌获胜的概率最大,此概率的值为0.0405+0.7785=0.819.
10.解记汽车在甲地遇到绿灯为事件A,汽车在乙地遇到绿灯为事件B,汽车在丙地遇到绿灯为事件C,则P(A)=,P()=,P(B)=,P()=,P(C)=,P()=.
(1)在三个地方都不停车的概率为P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=.
(2)在三个地方都停车的概率为P()=P()P()P()=.
(3)只在一个地方停车的概率为
P(BC+AC+AB)=P(BC)+P(AC)+P(AB)=P()P(B)P(C)+P(A)P()P(C)+P(A)P(B)P()=.
11.解设事件Ai(i=1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第i轮问题”,则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(A4)=.
(1)设事件B表示“该选手进入第三轮才被淘汰”,
则P(B)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)P()=×1-=.
(2)设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”,
则P(C)=P(+A1+A1A2)=P()+P(A1)+P(A1A2)=1-×1-+×1-=.
12.A 设“C正常工作”为事件G,“D正常工作”为事件H,“A与B中至少有一个不正常工作”为事件T,“E与F中至少有一个不正常工作”为事件R,则P(G)=P(H)=,P(T)=P(R)=1-,故系统正常工作的概率P=1-P(T)P(R)P()P()=.
13.解(1)记“甲队总得分为0分”为事件A,“甲队总得分为2分”为事件B,甲队总得分为0分,即甲队三人都回答错误,其概率P(A)=1-3=;
甲队总得分为2分,即甲队三人中有1人答错,其余两人答对,其概率P(B)=3×2×1-=.
(2)记“乙队得1分”为事件C,“甲队得2分乙队得1分”为事件D;事件C即乙队三人中有2人答错,其余1人答对,则P(C)=1-××1-+×1-×1-+1-×1-×,甲队得2分乙队得1分即事件B,C同时发生,则P(D)=P(B)P(C)=.
3第七章测评
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列事件是必然事件的是( )
A.任意买一张电影票,座位号是2的倍数
B.异性电荷相互吸引
C.在标准大气压下,水在1 ℃时结冰
D.任意掷一枚骰子朝上的点数是偶数
2.将红、黑、蓝、白5张纸牌(其中白纸牌有2张)随机分发给甲、乙、丙、丁4个人,每人至少分得1张,则下列两个事件为互斥事件的是( )
A.事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得1张红牌”
B.事件“甲分得1张红牌”与事件“乙分得1张蓝牌”
C.事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得2张白牌”
D.事件“甲分得2张白牌”与事件“乙分得1张黑牌”
3.一个容量为100的样本,其数据的分组与各组的频数如下表:
组别 (0, 10] (10, 20] (20, 30] (30, 40] (40, 50] (50, 60] (60, 70]
频数 12 13 24 15 16 13 7
则样本数据落在(10,40]上的频率为( )
A.0.13 B.0.39 C.0.52 D.0.64
4.某大学外语系有6名志愿者,其中志愿者A1,A2,C只通晓英语,志愿者B1,B2,B3只通晓俄语.现从这6名志愿者中选出2名,组成一个能通晓两种语言的小组,则C被选中的概率为( )
A. B. C. D.
5.已知随机事件A,B,C中,A与B互斥,B与C对立,且P(A)=0.3,P(C)=0.6,则P(A+B)=( )
A.0.3 B.0.6
C.0.7 D.0.9
6.抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件A=“第一枚硬币正面向上”,事件B=“第二枚硬币正面向上”,则( )
A.事件A与事件B互为对立事件
B.事件A与事件B为互斥事件
C.事件A与事件B相等
D.事件A与事件B相互独立
7.(2021江苏南通期中)一件产品要经过两道独立的加工程序,第一道工序的次品率为0.1,第二道工序的次品率为0.2,则该件产品的正品率为( )
A.0.98 B.0.72
C.0.70 D.0.28
8.设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为,且各次射击相互独立,若按甲、乙、甲、乙的次序轮流射击,直到有一人击中目标就停止射击,则停止射击时,甲射击了两次的概率是( )
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,则下列不是对立事件的为( )
A.恰有1名男生和恰有2名男生
B.至少有1名男生和至少有1名女生
C.至少有1名男生和全是男生
D.至少有1名男生和全是女生
10.(2022湖南长沙月考)如图所示的电路中,5只盒子表示保险匣,设5个盒子分别被断开为事件A,B,C,D,E.盒中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率,下列结论正确的是( )
A.A,B两个盒子串联后畅通的概率为
B.D,E两个盒子并联后畅通的概率为
C.A,B,C三个盒子混联后畅通的概率为
D.当开关合上时,整个电路畅通的概率为
11.下列概率模型是古典概型的为( )
A.从6名同学中选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性大小
B.同时掷一次两枚质地均匀的骰子,点数和为6的概率
C.近三天中有一天降雨的概率
D.10人站成一排,其中甲,乙相邻的概率
12.从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,从两袋各摸出一个球,下列结论正确的是( )
A.2个球都是红球的概率为
B.2个球不都是红球的概率为
C.至少有1个红球的概率为
D.2个球中恰有1个红球的概率为
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,若生产中出现乙级品的概率为0.04,出现丙级品的概率为0.01,则对成品抽查一件抽得正品的概率为 .
14.(2022广东佛山检测)某种心脏手术成功率为0.7,现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率.先利用计算机产生0~9之间取整数值的随机数,由于成功率是0.7,故我们用0,1,2表示手术不成功,3,4,5,6,7,8,9表示手术成功,再以每3个随机数为一组,作为3例手术的结果.经随机模拟产生如下10组随机数:812,832,569,683,271,989,730,537,925,907,由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为 .
15.某学校进行足球选拔赛,有甲、乙、丙、丁四个球队,每两队要进行一场比赛,记分规则为:胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.甲胜乙、丙、丁的概率分别是0.5,0.6,0.8,甲负乙、丙、丁的概率分别是0.3,0.2,0.1,最后得分大于等于7胜出,则甲胜出的概率为 .
16.某项选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考试,否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为,且各轮问题能否正确回答互不影响,则该选手被淘汰的概率为 .
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200千米,遇到红灯个数的概率如下表所示:
遇到红 灯个数 0 1 2 3 4 5 6个及6 个以上
概率 0.02 0.1 a 0.35 0.2 0.1 0.03
(1)求表中字母a的值;
(2)求至少遇到4个红灯的概率;
(3)求至多遇到5个红灯的概率.
18.(12分)盒子里放有外形相同且编号为1,2,3,4,5的五个小球,其中1号与2号是黑球,3号、4号与5号是红球,从中有放回地每次取出1个球,共取两次.
(1)求取到的2个球中恰好有1个是黑球的概率;
(2)求取到的2个球中至少有1个是红球的概率.
19.(12分)(2020全国1,文17)某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:件)按标准分为A,B,C,D四个等级.加工业务约定:对于A级品、B级品、C级品,厂家每件分别收取加工费90元,50元,20元;对于D级品,厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件,乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了100件这种产品,并统计了这些产品的等级,整理如下:
甲分厂产品等级
的频数分布表
等级 A B C D
频数 40 20 20 20
乙分厂产品等级
的频数分布表
等级 A B C D
频数 28 17 34 21
(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率;
(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润,以平均利润为依据,厂家应选哪个分厂承接加工业务
20.(12分)某单位开展岗前培训期间,甲、乙2人参加了5次考试,成绩统计如下:
考试 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲的成绩 82 82 79 95 87
乙的成绩 95 75 80 90 85
(1)根据有关统计知识回答问题:若从甲、乙2人中选出1人上岗,你认为选谁合适 请说明理由.
(2)根据有关概率知识解答以下问题:若一次考试两人成绩之差的绝对值不超过3分,则称该次考试两人“水平相当”.由上述5次成绩统计,任意抽查两次考试,求至少有一次考试两人“水平相当”的概率.
21.(12分)某中学为了丰富学生的业余生活,开展了一系列文体活动,其中一项是同学们最感兴趣的3对3篮球对抗赛,现有甲、乙两队进行比赛,甲队每场获胜的概率为.且各场比赛互不影响.
(1)若采用三局两胜制进行比赛,求甲队获胜的概率;
(2)若采用五局三胜制进行比赛,求乙队在第四场比赛后即获得胜利的概率.
22.(12分)(2022贵州贵阳检测)为了推进新高考改革,某中学组织教师开设了丰富多样的校本选修课,同时为了增加学生对校本选修课的了解和兴趣,该校还组织高二年级300名学生参加了一次知识竞答活动,本次活动共进行两轮比赛,第一轮是综合知识小测验,满分100分,并规定得分从高到低排名在前20%的学生可进入第二轮答题,第二轮从6个难度升级且分别涉及“时事政治”“语言文化”“艺术欣赏”“体育健康”“天文地理”和“逻辑推理”六个方面的题目中随机抽选3个题目进行作答,以下是300名学生在第一轮比赛中的得分按照[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]进行分组绘制而成的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图估计学生在第一轮比赛中至少得到多少分才能进入第二轮比赛
(2)已知李华比较擅长“时事政治”类题目,不太擅长“逻辑推理”类题目,若李华成功进入了第二轮比赛,求他刚好抽中“时事政治”类题目,没有抽中“逻辑推理”类题目的概率.
第七章测评
1.B 四个选项都是随机事件,根据定义可知B选项是必然事件.
故选B.
2.C 对于A,事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得1张红牌”可能同时发生,不是互斥事件;对于B,事件“甲分得1张红牌”与事件“乙分得1张蓝牌”可能同时发生,不是互斥事件;对于D,事件“甲分得2张白牌”与事件“乙分得1张黑牌”可能同时发生,不是互斥事件;但C中的两个事件不可能同时发生,是互斥事件,故选C.
3.C 由题意可知频数在(10,40]的有13+24+15=52,由频率=频数÷总数可得0.52.故选C.
4.C 从这6名志愿者中选出2名组成通晓两种语言的小组的样本点为(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(C,B1),(C,B2),(C,B3),共有9个.其中C被选中的样本点有(C,B1),(C,B2),(C,B3),共3个,所以所求概率为.故选C.
5.C 因为P(C)=0.6,事件B与C对立,所以P(B)=0.4,又P(A)=0.3,A与B互斥,所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7,故选C.
6.D 抛掷两枚质地均匀的硬币,事件A发生与否与事件B无关,事件B发生与否与事件A无关,所以事件A与事件B相互独立.
故选D.
7.B 该件产品的正品需要满足的条件是第一道工序和第二道工序都是正品,则该件产品的正品率为P=(1-0.1)×(1-0.2)=0.72.故选B.
8.D 击中目标时甲射击了两次包括甲乙第一次均未击中、甲第二次击中,及甲前两次均未击中、乙第二次才击中,所以其概率为P=,故选D.
9.ABC A是互斥事件,不是对立事件,理由:在所选的2名同学中,“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”,它与“恰有2名男生”不可能同时发生,所以是一对互斥事件,但其并事件不是必然事件,所以不是对立事件.B不是互斥事件,从而也不是对立事件.理由:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果.“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果,它们可同时发生.C不是互斥事件,从而也不是对立事件,理由:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”,这与“全是男生”可同时发生.D是互斥事件,也是对立事件.理由:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果,它与“全是女生”不可能同时发生,且其并事件是必然事件,所以是对立事件.故选ABC.
10.CD A,B两个盒子串联后畅通的概率P=,A错误;D,E两个盒子并联后畅通的概率P=1-,B错误;A,B,C三个盒子混联后畅通的概率P=1-,C正确;当开关合上时,整个电路畅通的概率P=,D正确.故选CD.
11.ABD 古典概型的特点:①一次试验中,可能出现的结果只有有限个,即有限性;②每个样本点发生的可能性是均等的,即等可能性.显然A,B,D符合古典概型的特征,所以A,B,D是古典概型;C选项,每天是否降雨受多方面因素影响,不具有等可能性,不是古典概型.故选ABD.
12.ACD 设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A1,“从乙袋中摸出一个红球”为事件A2,则P(A1)=,P(A2)=,且A1,A2独立.在A中,2个球都是红球为A1A2,其概率为,A正确;在B中,“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件,其概率为,B错误;在C中,2个球中至少有1个红球的概率为1-P()P()=1-,C正确;2个球中恰有1个红球的概率为,D正确.
故选ACD.
13.0.95 记事件A={抽得甲级品},B={抽得乙级品},C={抽得丙级品},因为事件A,B,C互为互斥事件,且三个事件对立,所以抽得正品即为抽得甲级品的概率为P(A)=1-P(B)-P(C)=0.95.
14.0.4 根据题意,10组随机数中表示“3例心脏手术全部成功”的有569,683,537,989,共4个,
则“3例心脏手术全部成功”的概率为0.4.
15.0.446 两队比赛,一队胜、平、负是互斥事件,因此由题意甲平乙、丙、丁的概率分别是0.2,0.2,0.1,所以甲胜的概率为P=0.5×0.6×0.8+0.5×0.6×0.1+0.5×0.2×0.8+0.2×0.6×0.8=0.446.
16. 记“该选手能正确回答第i轮的问题”为事件Ai(i=1,2,3),则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=.
则该选手被淘汰的概率为P=P(+A1+A1A2)=P()+P(A1)P()+P(A1)P(A2)P()=.
17.解(1)由题意可得0.02+0.1+a+0.35+0.2+0.1+0.03=1,
解得a=0.2.
(2)设事件A为遇到红灯的个数为4,事件B为遇到红灯的个数为5,事件C为遇到红灯的个数为6个及以上,则事件“至少遇到4个红灯”为A∪B∪C,因为事件A,B,C互斥,所以P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.2+0.1+0.03=0.33,即至少遇到4个红灯的概率为0.33.
(3)设事件D为遇到6个及6个以上红灯,则至多遇到5个红灯为事件.则P()=1-P(D)=1-0.03=0.97.
18.解由题知,共有25个样本点,
(1)2个球中恰好1个黑球为13,14,15,23,24,25,再交换一下,共有12个样本点,故概率P=.
(2)取到的2个球中至少有1个是红球的对立事件为没有一个红球,即全是黑球为11,12,21,22,共4个样本点,即P=1-.
19.解(1)由试加工产品等级的频数分布表知,
甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为=0.4;
乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为=0.28.
(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润 65 25 -5 -75
频数 40 20 20 20
因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为
=15.
由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润 70 30 0 -70
频数 28 17 34 21
因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为
=10.
比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润,应选甲分厂承接加工业务.
20.解(1)甲的平均成绩为=85,
乙的平均成绩为=85,
故甲、乙二人的平均水平一样.
甲的成绩的方差为(xi-)2=31.6,
乙的成绩的方差为(xi-)2=50,
∴,故应派甲合适.
(2)从5次考试的成绩中,任意取出2次,所有的样本点有10个,其中,满足至少有一次考试两人“水平相当”的有:(79,80)和(87,85)、(79,80)和(82,95)、(79,80)和(82,75)、(79,80)和(95,90)、(87,85)和(82,95)、(87,85)和(82,75)、(87,85)和(95,90),共有7个样本点,故所求事件的概率等于.
21.解设Ai(i=1,2,3,4,5)表示甲队在第i场比赛获胜.
(1)所求概率为P(A1A2)+P(A1A3)+P(A2A3)=2+×2×2=.
(2)所求概率为P(A1)+P(A2)+P(A3)=×3×3=.
22.解(1)设学生在第一轮比赛中至少得到x分才能进入第二轮比赛,
∵0.007×20=0.14<0.2,0.007×20+0.015×20=0.44>0.2,
∴x在区间[60,80)内,且×0.3+0.14=0.2,解得x=76,
故估计学生在第一轮比赛中至少得到76分才能进入第二轮比赛.
(2)由题意得,李华成功进入了第二轮比赛,
从6个题目中抽选3个题目共有20种不同的可能,
刚好抽中“时事政治”类题目,没有抽中“逻辑推理”类题目,
即再从“语言文化”“艺术欣赏”“体育健康”“天文地理”4个题目中选择2个题目,
共有6种不同的可能,故李华成功进入了第二轮比赛,刚好抽中“时事政治”类题目,没有抽中“逻辑推理”类题目的概率为P=.
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