高中物理人教版（2019）必修1： 2.3 匀变速直线运动的位移与时间的关系 学案

【标题】第三节　匀变速直线运动的位移与时间的关系
解读课程　学科素养
课标要点 核心素养
1．知道匀变速直线运动的位移与v－t图像中图线与坐标轴所围面积的对应关系． 2．了解匀变速直线运动的位移公式的推导方法，感受利用极限思想解决物理问题的科学思维方法． 3．理解匀变速直线运动的位移公式、速度与位移的公式，会应用公式分析匀变速直线运动问题． 1．培养学生运用数学知识——函数图像的能力；培养学生运用已知结论正确类比推理的能力．（科学思维） 2．探究位移与时间，速度与位移的关系．（科学探究） 3．培养学生应用物理知识解决实际问题的能力．（科学态度与责任）
预习新知　自主学习
一、匀速直线运动的位移
1．位移公式：x＝vt．
2．位移在v－t图像中的表示：对于匀速直线运动，物体的位移在数值上等于v－t图线与对应的时间轴所包围的矩形的面积．如图所示阴影图形的面积就等于物体在t1时间内的位移．
二、匀变速直线运动的位移
1．位移在v－t图像中的表示：做匀变速直线运动的物体的位移对应着v－t图线与时间轴所包围的梯形面积．如图所示，阴影图形的面积等于物体在t1时间内的位移．
2．位移时间的关系：
x＝v0t＋at2
这个公式是以匀加速直线运动的物体导出来的，但同样适用于做匀减速直线运动的物体．
三、速度与位移的关系式
1．公式：v2－＝2ax．
2．推导：
速度公式v＝v0＋at．
位移公式x＝v0t＋at2．
由以上两式可得：v2－＝2ax．
探究知识　提升素养
知识点1 用v－t图像求位移
兴趣探究
某质点做匀变速直线运动，已知初速度为v0，在t时刻的速度为v，加速度为a．完成下列填空．
（1）把匀变速直线运动的v－t图像分成几个小段，如图所示．每段位移≈每段起始时刻速度×每段的时间＝对应矩形的面积．故整个过程的位移≈各个小矩形的　　　　．
（2）把运动过程分为更多的小段，如图所示，各小矩形的　　　　可以更精确地表示物体在整个过程的位移．
（3）把整个运动过程分得非常细，如图所示，很多小矩形合在一起形成了一个梯形OABC，　　　　就代表物体在相应时间间隔内的位移．
　　【答案】（1）面积之和　（2）面积之和　（3）梯形面积
知识归纳
1．位移公式的推导
v－t图线下面梯形的面积
S＝（OC＋AB）·OA
把面积及各条线段换成其所代表的物理量，上式变成
x＝（v0＋v）t ①
又因为v＝v0＋at ②
由①②式可得
x＝v0t＋at2
2．上述思路运用了“无限分割”“逐渐逼近”的思想，这就是极限思维的方法．
3．匀速直线运动和匀变速直线运动，物体在t时间内的位移都可以用v－t图像与t轴所包围的面积表示，这个结论也可以延伸，即：只要是v－t图像，图像与t轴所包围的面积就表示位移．
考向例题
考向　v－t图像中面积的含义
【例1】某一做直线运动的物体的图像如图所示，根据图像求：
（1）物体距出发点的最远距离；
（2）前4 s内物体的位移；
（3）前4 s内物体通过的路程．
【答案】（1）物体距出发点最远的距离
xm＝v1t1＝×4×3 m＝6 m．
（2）前4 s内的位移
x＝x1－x2＝v1t1－v2t2
＝×4×3 m－×2×1 m＝5 m．
（3）前4 s内通过的路程
s＝x1＋x2＝v1t1＋v2t2
＝×4×3 m＋×2×1 m＝7 m．
【答案】（1）6 m　（2）5 m　（3）7 m
总结升华：]（1）v－t图像与t轴所围的“面积”表示位移的大小．
（2）面积在t轴以上表示位移是正值，在t轴以下表示位移是负值．
（3）物体的总位移等于各部分位移（正负面积）的代数和．
（4）物体通过的路程为t轴上、下“面积”绝对值的和．
即时巩固
1．某物体做直线运动，其速度—时间图像如图所示，若初速度的大小为v0，末速度的大小为v'，则在时间t1内物体的平均速度（　　）
A．等于　　　B．小于
C．大于 D．条件不足，无法比较
【解析】若物体做初速度为v0、末速度为v'的匀变速直线运动，其平均速度为．由图中v－t图线和时间轴所围面积可知，物体做该图像所示的直线运动时，在时间t1内的位移要比物体在时间t1内做初速度为v0、末速度为v'的匀变速直线运动的位移大，因此，该物体运动的平均速度要比相应的匀变速直线运动的平均速度大，即，C项正确．
【答案】C
知识点2 对匀变速直线运动位移公式x＝v0t＋at2的理解
兴趣探究
汽车由静止以加速度a1启动，加速行驶一段时间t1后，发现前方有障碍物，又以加速度a2紧急刹车，经过时间t2后停下来．请思考：
（1）汽车加速过程及刹车过程中，加速度的方向相同吗？
（2）根据位移公式求加速过程及减速过程中的位移，速度及加速度的正、负号如何确定？
【答案】（1）加速度方向不同，是相反的
（2）根据位移公式求位移时，一般取初速度方向为正方向，加速时，加速度取正值，减速时，加速度取负值．
知识归纳
1．公式的适用条件：公式x＝v0t＋at2只适用于匀变速直线运动．
2．公式的矢量性：公式x＝v0t＋at2为矢量公式，其中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向．一般选v0的方向为正方向．通常有以下几种情况：
运动情况 取值
匀加速直线运动 a与v0同向，a取正值（v0方向为正方向）
匀减速直线运动 a与v0反向，a取负值（v0方向为正方向）
位移为正值 说明位移的方向与规定的正方向相同
位移为负值 说明位移的方向与规定的正方向相反
　　3．公式的两种特殊形式
（1）当a＝0时，x＝v0t（匀速直线运动）．
（2）当v0＝0时，x＝at2（由静止开始的匀加速直线运动
考向例题
考向　公式x＝v0t＋at2的理解及应用
【例2】一物体做匀减速直线运动，初速度大小为v0＝5 m/s，加速度大小为a＝0．5 m/s2，求：
（1）物体在3 s内的位移大小；
（2）物体在第3 s内的位移大小．
【解析】（1）用位移公式求解，3s内物体的位移x3＝v0t3＋（－a）＝5×3m－×0．5×32m＝12．75m．
（2）同理2s内物体的位移x2＝v0t2＋（－a）＝5×2m－×0．5×22m＝9m
因此，第3s内的位移x＝x3－x2＝12．75m－9m＝3．75m．
【答案】（1）12．75 m　（2）3．75 m
误区警示：关于x＝v0t＋at2的注意点
（1）利用公式x＝v0t＋at2计算出的物理量是位移而不是路程．
（2）物体做匀减速运动时，若以初速度v0的方向为正方向，a仅表示加速度的大小，这时的位移公式可表示为x＝v0t－at2．
即时巩固
2．某物体做匀变速直线运动，其位移与时间的关系为x＝0．5t＋t2（m），则当物体速度为3 m/s时，物体已运动的时间为 （　　）
A．1．25 s　　B．2．5 s　　C．3 s　　D．6 s
【解析】x＝v0t＋at2，知v0＝0．5m/s，a＝2m/s2，据v＝v0＋at＝3m/s，得t＝1．25s，故选A项．
【答案】A
知识点3 匀变速直线运动的速度与位移的关系
兴趣探究
如果你是机场跑道设计师，若已知飞机的加速度为a，起飞速度为v，则跑道的长度至少为多长？
【答案】由v＝at可得飞机从开始运动到起飞所用时间
t＝．所以飞机起飞所通过的位移为x＝at2＝
知识归纳
1．适用条件：匀变速直线运动．
2．v2－＝2ax为矢量式，x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选初速度v0的方向为正方向．
（1）匀加速直线运动，a取正值；匀减速直线运动，a取负值．
（2）位移与正方向相同取正值；位移与正方向相反，取负值．
3．两种特殊形式
（1）当v0＝0时，v2＝2ax．（初速度为零的匀加速直线运动）．
（2）当v＝0时，－＝2ax．（末速度为零的匀减速直线运动）．
考向例题
考向　公式v2－＝2ax的理解及应用
【例3】一隧道限速108 km/h．一列火车长100 m，以144 km/h的速度行驶，驶至距隧道200 m处开始做匀减速运动，以不高于限速的速度匀速通过隧道．若隧道长500 m．求：
　　（1）火车做匀减速运动的最小加速度的大小；
（2）火车全部通过隧道的最短时间．
【解析】（1）火车减速过程中
v0＝144km/h＝40m/s，x＝200m，
v＝108km/h＝30m/s
当车头到达隧道口速度恰为108km/h时加速度最小，设为a，由v2－＝2ax
得a＝＝－1．75m/s2．
　　（2）火车以108km/h的速度通过隧道，所需时间最短，火车通过隧道的位移为100m＋500m＝600m
由x＝vt得t＝＝20s．
【答案】（1）1．75 m/s2　（2）20 s
方法技巧：运动学里五个物理量：v0、v、a、x、t，如果缺t，用公式v2－＝2ax解题会比较简便；应用此公式时，注意符号关系，必要时对计算结果进行分析，验证其合理性．
即时巩固
3．在某城市的一条道路上，规定车辆行驶速度不得超过30 km/h．在一次交通事故中，肇事车是一辆客车，量得这辆车紧急刹车（车轮被抱死）时留下的刹车痕迹长为7．6 m（如图），已知该客车刹车时的加速度大小为7 m/s2．请判断该车是否超速？
【解析】规定v0的方向为正方向，则刹车时位移x＝7．6m；
刹车时加速度a＝－7m/s2，客车的末速度v＝0．
由匀变速直线运动位移与速度的关系v2－＝2ax得：0－＝2×（－7）×7．6m2/s2
解得：v0＝10．3m/s≈37．1km/h＞30km/h，所以该客车超速
【答案】超速
基础性达标作业
1．关于公式x＝，下列说法正确的是 （　　）
A．此公式只适用于匀加速直线运动
B．此公式适用于匀变速直线运动
C．此公式只适用于位移为正的情况
D．此公式不可能出现a、x同时为负值的情况
【解析】公式x＝适用于匀变速直线运动，既适用于匀加速直线运动，也适用于匀减速直线运动，既适用于位移为正的情况，也适用于位移为负的情况，选项B正确，选项A、C错误；当物体做反方向上的匀加速直线运动时，a、x同时为负值，选项D错误．
【答案】B
2．关于匀变速直线运动，下列说法正确的是 （　　）
A．位移与时间的平方成正比
B．位移总是随着时间的增加而增加
C．加速度、速度、位移三者方向一致
D．加速度、速度、位移的方向并不一定都相同
【解析】根据x＝v0t＋at2，位移与时间的平方不是正比关系，A错误；位移可能随时间的增加而增加，也可能随时间的增加而减小，如先减速后反向加速的匀变速直线运动，位移先增加后减小，B错误；加速度、速度、位移的方向可能相同，也可能不同，C错误，D正确．
【答案】D
3．某质点的位移随时间的变化规律的关系是x＝4t＋2t2，x与t的单位分别为m和s，则质点的初速度与加速度分别为 （　　）
A．4 m/s与2 m/s2　　　B．0与4 m/s2
C．4 m/s与4 m/s2 D．4 m/s与0
【解析】匀变速直线运动的位移公式为x＝v0t＋at2与质点的运动的位移随时间变化的关系式为x＝4t＋2t2相对比可以得到，物体的初速度的大小为v＝4m/s，加速度的大小为a＝4m/s2，故选项C正确．
【答案】C
4．某兴趣小组制作了一种简易火箭，该火箭从t＝0时刻开始竖直向上发射，其运动v－t图像简化为如图所示，则在0～t2时间内，由图可知（　　）A．火箭在t1时刻离地面最远
B．火箭在t2时刻回到地面
C．火箭在0～t1时间内加速上升
D．火箭在t1～t2时间内加速下降
【解析】在速度时间图像中，速度的正负表示速度的方向，由图可知，在0～t2时间内火箭的速度一直是正值，说明火箭一直在上升，t2时刻速度为零，说明t2时刻火箭离地面最远，并没有回到地面，故AB错误；火箭在0～t1时间内加速上升，故C正确；火箭在t1～t2时间内减速上升，故D错误．
【答案】C
5．一汽车以20 m/s的速度在平直路面匀速行驶．由于前方出现危险情况，汽车必须紧急刹车．刹车时汽车加速度的大小为10 m/s2．刹车后汽车滑行的距离是 （　　）
A．40 m　　B．20 m　　C．10 m　　D．5 m
【解析】汽车的末速度为零，由公式v2－＝2ax得，x＝m＝20m．
【答案】B
6．从静止开始做匀加速直线运动的汽车，经过t＝10 s，走过位移x＝30 m．求：
（1）汽车运动的加速度大小；
（2）汽车10 s末的速度．
【解析】（1）根据匀变速直线运动位移公式得，x＝at2，代入数据解得a＝＝0．6m/s2．
（2）根据匀变速直线运动速度公式得汽车10s末的速度v＝at＝6m/s．．
【答案】　（1）0．6 m/s2　（2）6 m/s
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