1.2 利用二分法求方程的近似解
A级必备知识基础练
1.已知函数f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在区间(1,2)上的近似解的过程中得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的解落在区间( )
A.(1,1.25) B.(1.25,1.5)
C.(1.5,2) D.不能确定
2.(多选题)下列函数中,能用二分法求函数零点的有( )
A.f(x)=3x-1 B.f(x)=x2-4x+4
C.f(x)=log4x D.f(x)=ex-2
3.若函数f(x)=x2-4x+m存在零点,且不能用二分法求该函数的零点,则m的取值范围是( )
A.(4,+∞) B.(-∞,4)
C.{4} D.[4,+∞)
4.[x]表示不超过x的最大整数,例如[3.5]=3,[-0.5]=-1.已知x0是方程ln x+3x-15=0的根,则[x0]=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
5.(多选题)已知函数f(x)在区间(0,a)上有唯一的零点(a>0),在用二分法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在的区间为0,,0,,0,,则下列说法正确的有( )
A.函数f(x)在区间0,内可能有零点
B.函数f(x)在区间内可能有零点
C.函数f(x)在,a内无零点
D.函数f(x)的零点可能是
6.(多选题)某同学求函数f(x)=ln x+2x-6的零点时,用计算器算得部分函数值,如表所示:
f(2)≈-1.307 f(3)≈1.099 f(2.5)≈-0.084
f(2.75)≈0.512 f(2.625)≈0.215 f(2.562 5)≈0.066
则方程ln x+2x-6=0的近似解(精确度0.1)可取为( )
A.2.52 B.2.56
C.2.66 D.2.75
7.根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个实数根所在的区间为(k,k+1)(k∈N),则k的值为 .
x -1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
x+2 1 2 3 4 5
8.如图,一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(不含端点A,B),如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致,要想检验出哪一处的焊口脱落,则至多需要检测 次.
9.用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,其参考数据如下:
f(1.600 0)≈0.200 f(1.587 5)≈0.133 f(1.575 0)≈0.067
f(1.562 5)≈0.003 f(1.556 25)≈-0.029 f(1.550 0)≈-0.060
根据上述数据,可得f(x)=3x-x-4的一个零点的近似值(精确度0.01)为 .
10.用二分法求函数y=x3-3的一个正零点(精确度0.1).
B级关键能力提升练
11.(多选题)若函数f(x)的图象是连续的,且函数f(x)的唯一零点同在(0,4),(0,2),1,,内,则与f(0)符号不同的是( )
A.f(4) B.f(2) C.f(1) D.f
12.(2022安徽宿州高一期末)已知函数f(x)=2x-在区间(1,2)上有一个零点x0,如果用二分法求x0的近似值(精确度为0.01),则应将区间(1,2)至少等分的次数为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
13.已知f(x)=-ln x在区间(n,n+1)(n∈Z)上有一个零点x0,则n= ,若用二分法求x0的近似值(精确度0.1),则至少需将区间等分 次.
14.求方程3x+=0的近似解(精确度0.1).
15.已知方程2x+2x=5.
(1)判断该方程解的个数以及所在区间;
(2)用二分法求出方程的近似解(精确度0.1).
参考数值:
x 1.187 5 1.125 1.25 1.312 5 1.375 1.5
2x 2.278 2.181 2.378 2.484 2.594 2.83
16.某公司生产A种型号的电脑,2018年平均每台电脑的生产成本为5 000元,并按纯利润为20%定出厂价.2019年开始,公司更新设备,加强管理,逐步推行股份制,从而使生产成本逐年降低,2022年平均每台A种型号的电脑出厂价仅是2018年的80%,实现了纯利润50%.
(1)求2022年每台A种型号电脑的生产成本;
(2)以2018年的生产成本为基数,用二分法求2018~2022年间平均每年生产成本降低的百分率(精确度0.01).
C级学科素养创新练
17.已知函数f(x)=x3-x2+1.
(1)证明方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解;
(2)请使用二分法,取区间的中点二次,指出方程f(x)=0,x∈[0,2]的实数解x0在哪个较小的区间内.
1.2 利用二分法求方程的近似解
1.B ∵f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,
∴f(1.25)·f(1.5)<0,因此方程的解落在区间(1.25,1.5)内,故选B.
2.ACD f(x)=x2-4x+4=(x-2)2,f(2)=0,当x<2时,f(x)>0,当x>2时,f(x)>0,在零点两侧函数值同号,不能用二分法求零点,其余选项中在函数的零点两侧函数值异号.故选ACD.
3.C 易知方程x2-4x+m=0有实数根,且Δ=16-4m=0,知m=4.
4.C 令f(x)=lnx+3x-15,
当x=4时,f(4)=ln4+3×4-15<0,
当x=5时,f(5)=ln5+3×5-15>0,
所以f(4)·f(5)<0,所以f(x)在(4,5)上有零点,即方程lnx+3x-15=0有根.
所以[x0]=4,
故选C.
5.ABD 根据二分法原理,依次“二分”区间后,零点应存在于更小的区间,因此,零点应在0,或中,或f=0,故选ABD.
6.AB 由表格函数值在0的左右两侧,最接近的值,即f(2.5)≈-0.084,f(2.5625)≈0.066可知方程lnx+2x-6=0的近似根在(2.5,2.5625)内,因此选项A中2.52符合,选项B中2.56也符合,故选AB.
7.1 记f(x)=ex-x-2,则该函数的零点就是方程ex-x-2=0的实数根.由题表可知f(-1)=0.37-1<0,f(0)=1-2<0,f(1)=2.72-3<0,f(2)=7.39-4>0,f(3)=20.09-5>0.由零点存在性定理可得f(1)·f(2)<0,故函数的零点所在的区间为(1,2).所以k=1.
8.6 第1次取中点把焊点数减半为=32,第2次取中点把焊点数减半为=16,第3次取中点把焊点数减半为=8,第4次取中点把焊点数减半为=4,第5次取中点把焊点数减半为=2,第6次取中点把焊点数减半为=1,所以至多需要检测的次数是6.
9.1.562 5(答案不唯一) 由参考数据知,f(1.5625)≈0.003>0,f(1.55625)≈-0.029<0,即f(1.5625)·f(1.55625)<0,且1.5625-1.55625=0.00625<0.01,
∴f(x)=3x-x-4的一个零点的近似值可取为1.5625.
10.解∵f(1)=1-3=-2<0,f(2)=23-3=5>0,
因此可取区间[1,2]作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,见下表:
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度
1 1 -2 2 5 1
2 1 -2 1.5 0.375 0.5
3 1.25 -1.0469 1.5 0.375 0.25
4 1.375 -0.4004 1.5 0.375 0.125
5 1.4375 -0.0295 1.5 0.375 0.0625
从表中可知|1.5-1.4375|=0.0625<0.1,
∴函数y=x3-3精确度为0.1的零点,可取1.44.
11.ABD 由二分法的步骤可知
①零点在(0,4)内,则有f(0)·f(4)<0,不妨设f(0)>0,f(4)<0,取中点2;
②零点在(0,2)内,则有f(0)·f(2)<0,则f(0)>0,f(2)<0,取中点1;
③零点在(1,2)内,则有f(1)·f(2)<0,则f(1)>0,f(2)<0,取中点;
④零点在1,内,则有f(1)·f<0,则f(1)>0,f<0,则取中点;
⑤零点在内,则有f·f<0,
则f>0,f<0,
所以与f(0)符号不同的是f(4),f(2),f,故选ABD.
12.C 由于每等分一次,零点所在区间的长度变为原来的,则等分n次后的区间长度变为原来的,
则由题可得<0.01,即n>log2100,
又6故选C.
13.1 4 因为f(x)=-lnx在(0,+∞)上单调递减,在区间(n,n+1)(n∈Z)上有一个零点x0,所以零点只能有一个,又f(2)=-ln2<0,f(1)=1-0=1>0,所以f(2)·f(1)<0,所以x0∈(1,2),所以n=1,由题意<0.1,所以2n>10,所以n>3,至少等分4次.
14.解原方程可化为3x-+1=0,即3x=-1.
令g(x)=3x,h(x)=-1,在同一平面直角坐标系中,分别画出函数g(x)=3x与h(x)=-1的简图.
g(x)与h(x)图象的交点的横坐标位于区间(-1,0),且只有一个交点,
∴原方程只有一个解x=x0.
令f(x)=3x+=3x-+1,
∵f(0)=1-1+1=1>0,
f(-0.5)=-2+1=<0,
∴x0∈(-0.5,0).
用二分法逐次计算,列表如下:
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度
1 -0.5 -0.422 6 0 1.000 0 0.5
2 -0.5 -0.422 6 -0.25 0.426 5 0.25
3 -0.5 -0.422 6 -0.375 0.062 3 0.125
4 -0.437 5 -0.159 4 -0.375 0.062 3 0.062 5
∵|-0.4375-(-0.375)|=0.0625<0.1,
∴原方程的近似解可取为-0.4375.
15.解(1)令f(x)=2x+2x-5.
因为函数f(x)=2x+2x-5在R上是增函数,
所以函数f(x)=2x+2x-5至多有一个零点.
因为f(1)=21+2×1-5=-1<0,f(2)=22+2×2-5=3>0,
所以函数f(x)=2x+2x-5的零点在(1,2)内.
(2)用二分法逐次计算,列表如下:
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度
1 1 -1.000 0 2 3.000 0 1
2 1 -1.000 0 1.5 0.828 4 0.5
3 1.25 -0.121 6 1.5 0.828 4 0.25
4 1.25 -0.121 6 1.375 0.343 7 0.125
5 1.25 -0.121 6 1.312 5 0.108 7 0.062 5
因为|1.375-1.25|=0.125>0.1,且|1.3125-1.25|=0.0625<0.1,所以函数的零点近似值可取1.3125,
即方程2x+2x=5的近似解为1.3125.
16.解(1)设2022年每台A种型号电脑的生产成本为p元,根据题意,得(1+50%)p=5000×(1+20%)×80%,解得p=3200.
故2022年每台A种型号电脑的生产成本为3200元.
(2)设2018~2022年间平均每年生产成本降低的百分率为x(0根据题意,得5000(1-x)4=3200.
令f(x)=5000(1-x)4-3200,求出x与f(x)的对应值(精确到个位)如下表:
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度
1 0 1 800 1 -3 200 1
2 0 1 800 0.5 -2 887.5 0.5
3 0 1 800 0.25 -1 617.968 8 0.25
4 0 1 800 0.125 -269.091 8 0.125
5 0.062 5 662.381 0 0.125 -269.091 8 0.062 5
6 0.093 75 172.578 6 0.125 -269.091 8 0.031 25
7 0.093 75 172.578 6 0.109 375 -54.066 6 0.015 625
8 0.101 562 5 57.778 0 0.109 375 -54.066 6 0.007 813
所以原方程的近似解可取0.1025.
故平均每年生产成本降低的百分率约为10.25%.
17.(1)证明∵f(0)=1>0,f(2)=-<0,
∴f(0)·f(2)=-<0,函数f(x)=x3-x2+1是连续函数,由函数的零点存在定理可得方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解.
(2)解取x1=(0+2)=1,得f(1)=>0,由此可得f(1)·f(2)<0,下一个有解区间为(1,2),取x2=(1+2)=,得f=-<0,由f(1)·f<0,则下一个有解区间为1,.
综上所述,实数解x0在较小区间1,内.
12.1 实际问题的函数刻画 2.2 用函数模型解决实际问题
A级必备知识基础练
1.根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=(A,c为常数).已知工人组装第4件产品用时30 min,组装第A件产品用时15 min,那么c和A的值分别是( )
A.75,25 B.75,16
C.60,25 D.60,16
2.在如图所示的三角形空地中,欲建一个如图所示的内接矩形花园(阴影部分),则该矩形花园的面积的最大值为( )
A.120 B.210
C.225 D.300
3.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,需经过y年,则函数y=f(x)的图象大致是( )
4.(多选题)某工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为2%,现进行过滤,已知每过滤一次杂质含量减少,则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)( )
A.6 B.9 C.8 D.7
5.在一场足球比赛中,一球员从球门正前方10 m处将球踢起射向球门,当球飞行的水平距离是6 m时,球到达最高点,此时球高3 m,已知球门高2.44 m并且球按抛物线飞行, 踢进球门(填“能”或“不能”).
6.已知某个病毒经30分钟可繁殖为原来的2倍,且病毒的繁殖规律为y=ekt(其中k为常数,t表示时间,单位:小时,y表示病毒个数),则k= ,经过5小时,1个病毒能繁殖 个.
7.(2021山东聊城高一期末)某市环保部门近年来利用水生植物(例如浮萍、蒲草、芦苇等),对国家级湿地公园——东昌湖进行进一步净化和绿化.为了保持水生植物面积和开阔水面面积的合理比例,对水生植物的生长进行了科学管控,并于2020年对东昌湖内某一水域浮萍的生长情况作了调查,测得该水域二月底浮萍覆盖面积为45 m2,四月底浮萍覆盖面积为80 m2,八月底浮萍覆盖面积为115 m2.若浮萍覆盖面积y(单位:m2)与月份x(2020年1月底记x=1,2021年1月底记x=13)的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=mlog2x+n(m>0)可供选择.
(1)你认为选择哪个模型更符合实际 并解释理由.
(2)利用你选择的函数模型,试估算从2020年1月初起至少经过多少个月该水域的浮萍覆盖面积能达到148 m2
可能用到的数据:log215≈3.9,≈1.37,≈66.72
B级关键能力提升练
8.(多选题)某市出租车收费标准如下:起步价为8元,起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费);超过3 km但不超过8 km时,超过部分按每千米2.15元收费:超过8 km时,超过部分按每千米2.85元收费,另每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结论正确的是( )
A.出租车行驶4 km,乘客需付费9.6元
B.出租车行驶10 km,乘客需付费25.45元
C.某人乘出租车行驶5 km两次的费用超过他乘出租车行驶10 km一次的费用
D.某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶了9 km
9.某工厂生产A,B两种成本不同的产品,用于市场销售,A产品连续两次提价20%,同时B产品连续两次降价20%,结果都以每件23.04元售出,此时厂家同时出售A,B产品各一件,则盈亏情况为( )
A.亏5.20元 B.亏5.92元
C.盈6元 D.盈5元
10.已知有A,B两个水桶,桶A中开始有a L水,桶A中的水不断流入桶B,t min后,桶A中剩余的水符合指数衰减曲线y1=ae-nt,那么桶B中的水就是y2=a-ae-nt(n为常数).假设5 min时,桶A和桶B中的水量相等,再过 min,桶A中的水只有 L.
11.某地区发生里氏8.0级特大地震.地震专家对发生的余震进行了监测,记录的部分数据如下表:
强度/J 1.6×1019 3.2×1019 4.5×1019 6.4×1019
震级/里氏 5.0 5.2 5.3 5.4
注:地震强度是指地震时释放的能量.
地震强度x和震级y的模拟函数关系可以选用y=alg x+b(其中a,b为常数).利用散点图可知a的值等于 .(取lg 2≈0.3进行计算)
12.如图①是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图象.
图①
图②
图③
由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两种扭亏为赢的方案,根据图①上点A,点B以及射线AB上的点的实际意义,用文字说明图②方案是 ,图③方案是 .
13.某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元,经预测可知,市场对这种产品的年需求量为500件,当出售的这种产品的数量为t(单位:百件)时,销售所得的收入约为5t-t2万元.
(1)若该公司的年产量为x(单位:百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数;
(2)当这种产品的年产量为多少时,当年所得利润最大
14.科学研究表明:人类对声音有不一样的感觉,这与声音的强度I(单位:瓦/平方米)有关.在实际测量时,常用L(单位:分贝)来表示声音强弱的等级,它与声音的强度I满足关系式:L=a·lg (a是常数),其中I0=1×10-12瓦/平方米.如风吹落叶沙沙声的强度I=1×10-11瓦/平方米,它的强弱等级L=10分贝.
(1)已知生活中几种声音的强度如下表:
声音来源 风吹落叶沙沙声 轻声耳语 马路上的嘈杂声
强度I(瓦/ 平方米) 1×10-11 1×10-10 1×10-3
强弱等级 L(分贝) 10 m 90
求a和m的值;
(2)为了不影响正常的休息和睡眠,声音的强弱等级一般不能超过50分贝,求此时声音强度I的最大值.
C级学科素养创新练
15.某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示),该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条线段围成.
按设计要求扇环面的周长为30 m,其中大圆弧所在圆的半径为10 m.设小圆弧所在圆的半径为x m,圆心角为θ(弧度).
(1)求θ关于x的函数关系式;
(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为4元/米,弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y,求y关于x的函数关系式,并求出x为何值时,y取得最大值
2.1 实际问题的函数刻画
2.2 用函数模型解决实际问题
1.D 由题意知,组装第A件产品所需时间为=15,故组装第4件产品所需时间为=30,解得c=60.将c=60代入=15,得A=16.
2.C 设矩形的长为x,宽为y,则以x为底的三角形和该锐角三角形相似,可得 y=30-x,则矩形面积S=xy=x(30-x)=-(x-15)2+225,当矩形长x=15时,面积S最大,为225.
故选C.
3.D 设该林区的森林原有蓄积量为a,由题意知ax=a(1+0.104)y,即y=log1.104x(x≥1),所以y=f(x)的图象大致为D中图象.
4.BC 设经过n次过滤,产品达到市场要求,则×n≤,即n≤,由nlg≤-lg20,即n(lg2-lg3)≤-(1+lg2),得n≥≈7.4.
5.能 建立如图所示的坐标系,拋物线经过点(0,0),顶点为(6,3).
设其解析式为y=a(x-6)2+3,把x=0,y=0代入,得a=-,
∴y=-(x-6)2+3.
当x=10时,y=-(10-6)2+3=<2.44.
∴球能射进球门.
6.2ln 2 1 024 当t=0.5时,y=2,∴2=,∴k=2ln2,
∴y=e2tln2.当t=5时,y=e10ln2=210=1024.
7.解(1)若选择数据(2,45)和(4,80),
由解得
则y=35log2x+10.
当x=8时,y=35log28+10=115,与实际情况相符.
由解得则y=×x.
当x=8时,y=×8=>115,与实际情况差别较大.
故选函数模型y=35log2x+10.
(2)因为35log215+10≈35×3.9+10=146.5,35log216+10=150,
而146.5<148<150,
所以至少经过16个月该水域的浮萍覆盖面积能达到148m2.
8.BCD 在A中,出租车行驶4km,乘客需付费8+1×2.15+1=11.15(元),A错误;在B中,出租车行驶10km,乘客需付费8+2.15×5+2.85×(10-8)+1=25.45(元),B正确;在C中,乘出租车行驶5km,乘客需付费8+2×2.15+1=13.30(元),乘坐两次需付费26.6元,26.6>25.45,C正确;在D中,设出租车行驶xkm时,付费y元,由8+5×2.15+1=19.75<22.6知x>8,因此由y=8+2.15×5+2.85(x-8)+1=22.6,解得x=9,D正确.
9.B 可设A,B的成本价分别为x元、y元,则(1+20%)2×x=23.04,(1-20%)2×y=23.04,所以x=16,y=36.成本价为x+y=52(元),实际销售额为2×23.04=46.08(元),显然亏损额为52-46.08=5.92(元).故选B.
10.10 因为5min时,桶A和桶B中的水量相等,
所以a·e-5n=a-a·e-5n,
所以e-5n=.令a·e-nt=,
则e-nt==e-15n,故有t=15.
所以再过10min,桶A中的水只有L.
11. 由记录的部分数据可知x=1.6×1019时,y=5.0,x=3.2×1019时,y=5.2.
所以
②-①,得0.2=alg,0.2=alg2.
所以a=.
12.降低成本,票价不变 增加票价 由题图①知,点A表示无人乘车时,收支差额为-20元,即运行成本为20元;点B表示10人乘车,收支平衡,收支差额为0.线段AB上的点表示亏损,AB延长线上的点表示盈利.题图②与题图①相比,一次函数的一次项系数不变,图象与y轴负半轴的交点上移,故题图②表示降低成本,票价不变,题图③与题图①相比,一次项系数增大,图象与y轴负半轴的交点不变,故题图③表示增加票价.
13.解(1)当0当x>5时,产品只能售出500件.
所以,f(x)=
即f(x)=
(2)当0所以当x=4.75时,f(x)有最大值,f(x)max=10.78125.
当x>5时,f(x)<12-0.25×5=10.75(万元).
故当年产量为475件时,当年所得利润最大.
14.解(1)将I0=1×10-12瓦/平方米,I=1×10-11瓦/平方米代入L=a·lg,
得10=alg=alg10=a,
即a=10,m=10lg=10lg100=20.
(2)由题意得L≤50,得10lg≤50,
得lg≤5,即≤105,
即I≤105×10-12=10-7.所以此时声音强度I的最大值为10-7瓦/平方米.
15.解(1)由题意得30=θ(10+x)+2(10-x),
所以θ=(0(2)花坛的面积为θ(102-x2)=(5+x)(10-x)=-x2+5x+50(0装饰总费用为9θ(10+x)+8(10-x)=170+10x,所以花坛的面积与装饰总费用的比y==-.
令t=17+x,则y=,当且仅当t=18时,等号成立,此时x=1,θ=.
所以当x=1时,花坛的面积与装饰总费用的比最大.
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