【标题】第四节 力的合成和分解
第1课时 力的合成和分解
解读课程 学科素养
课标要点 核心素养
1．通过实验了解力的合成，知道合力、分力、力的合成、力的分解的概念，从等效的角度理解合力与分力的关系． 2．知道矢量和标量，理解平行四边形定则是一切矢量合成和分解的普遍法则． 3．会进行力的合成和力的分解，会用图解法求分力，用直角三角形的知识求分力． 1．能对力的合成和分解的综合性问题进行分析，获得定量分析力的合成与分解的方法．（科学思维） 2．根据力的合成和分解探究方案，使用基本仪器获得力的合成和分解的数据，得到不同类力的合成和分解的影响因素或变化规律．（科学探究） 3．有学习和研究力的合成和分解的内在动机，能运用力的合成和分解的知识分析日常生活中的有关问题．（科学态度与责任）
预习新知 自主学习
一、合力和分力
1．合力：假设一个力单独作用的效果跟某几个力共同作用的效果相同，这个力就叫作那几个力的合力．
2．分力：假设几个力共同作用的效果跟某个力单独作用的效果相同，这几个力就叫作那个力的分力．
合力与分力是一种等效替代的关系，即分力与合力虽然不同时作用在物体上，但可以相互替代，能够相互替代的条件是分力和合力的作用效果相同，但不能同时考虑分力的作用与合力的作用．
二、力的合成和分解
1．力的合成：求几个力的合力的过程叫作力的合成．
2．力的分解：把求一个力的分力的过程叫作力的分解．
3．平行四边形定则：求两个力合成时，如果以表示这两个力的有向线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向，这个规律叫作平行四边形定则．
4．力的分解遵从平行四边形定则．
5．多个共点力的合成方法
（1）共点力：几个力如果都作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于一点，这几个力叫作共点力．
（2）多力合成的方法：先求出任意两个力的合力，再求出这个合力跟第三个力的合力，直到把所有的力都合成进去，最后得到的结果就是这些力的合力．
平行四边形定则只适用于共点力的合成，对非共点力的合成不适用；今后我们所研究的问题，凡是涉及力的运算的题目，都是关于共点力方向的问题．
三、矢量和标量
1．矢量：既有大小，又有方向，相加时遵从平行四边形定则的物理量．咱们学过的矢量有速度、位移、加速度、力．
2．标量：只有大小，没有方向，相加时遵从算术法则的物理量．质量、路程、功、电流等都是标量．
探究知识 提升素养
知识点1 合力与分力的关系
兴趣探究
1．一个成年人或两个孩子均能提起同一桶水，那么该成年人用的力与两个孩子用的力的作用效果是否相同？二者能否等效替代？
2．两个孩子共提一桶水时，要想省力，两个人拉力间的夹角应大些还是小些？为什么？
【答案】1．作用效果相同；两种情况下的作用效果均是把同一桶水提起来，能够等效替代．
2．夹角应小些．提水时两个孩子对水桶拉力的合力大小等于一桶水所受的重力，合力不变时，两分力的大小随着两个力之间夹角的减小而减小，因此夹角越小越省力．
知识归纳
1．合力与分力的三性
2．合力与分力的大小关系
两分力大小不变时，合力F随两分力夹角θ的增大而减小，随θ的减小而增大．（0°≤θ≤180°）
（1）两分力同向（θ＝0°）时，合力最大，F＝F1＋F2，合力与分力同向．
（2）两分力反向（θ＝180°）时，合力最小，F＝|F1－F2|，合力的方向与较大的一个分力的方向相同．
（3）合力的取值范围：|F1－F2|≤F≤F1＋F2．
合力可能大于某一分力，可能小于某一分力，也可能等于某一分力．
考向例题
考向 对合力和分力的理解
【例1】关于两个大小不变的共点力F1、F2及它们的合力F，下列说法中正确的是 （ ）
A．合力F一定与F1、F2共同作用产生的效果相同
B．两力F1、F2与F是物体同时受到的三个力
C．两个分力夹角小于90°时，合力的大小随两分力夹角的增大而增大
D．合力的大小一定大于分力中最大者
【解析】合力与分力是等效替代关系，合力F与两分力共同作用产生的效果相同，但合力与分力不能同时存在，故A正确，B错误．合力大小的取值范围：|F1－F2|≤F≤F1＋F2，故合力可以比分力中任何一个小，D错误．两个分力夹角小于90°时，合力的大小随两分力夹角的增大而减小，C错误．
【答案】A
方法技巧：理解分力、合力的关键点
（1）理解合力和分力的关系时，要牢牢抓住“等效”这一点．
（2）合力和分力遵循的是平行四边形定则，而不是算术运算法则．
即时巩固
1．（多选）关于两个大小不变的共点力与其合力的关系，下列说法正确的是 （ ）
A．合力的大小随两力夹角增大而增大
B．合力的大小不能小于分力中最小者
C．两力F1、F2不一定是同种性质的力
D．两个分力夹角小于180°时，合力大小随着夹角的减小而增大
【解析】在夹角小于180°范围内，合力的大小随两力夹角的增大而减小，随夹角的减小而增大，选项A错误，D正确；合力的大小可能比分力大，也可能比分力小，还有可能等于分力，选项B错误；合力的分力不一定是同种性质的力，C正确．
【答案】CD
知识点2 力的合成
兴趣探究
两人同拉一辆车，如图所示，每人都用200 N的力拉，车受到的拉力一定是400 N吗？
【答案】不一定．两个力的合力并非等于两个力大小之和，应根据平行四边形定则，用作图或计算的方法求得合力．
知识归纳
1．作图法
作图法就是用作图工具根据平行四边形定则作出平行四边形，然后用测量工具测量出合力的大小、方向，具体操作流程如下：
选标度→作F1、F2的图示→作平行四边形
2．计算法
从力的作用点按照分力的作用方向画出力的平行四边形后，算出对角线所表示的合力的大小．通常要利用数学中解三角形的有关知识．
（1）若两个分力的大小分别为F1、F2，它们之间的夹角为α，由平行四边形作出它们的合力，如图所示，则
合力的大小F＝
合力与F1的夹角的正切值tan θ＝．
（2）几种特殊情况
类型 作图 合力的计算
两力垂直 F＝tan θ ＝
两力等大， 夹角为θ F＝2F1cos ， F与F1的夹角为
两力等大且 夹角为120° 合力与分力等大
合力与其中一 个分力垂直 F＝
考向例题
考向一 两个力的合成
【例2】杨浦大桥是继南浦大桥之后又一座跨越黄浦江的我国自行设计建造的双塔双索面迭合梁斜拉桥，如图所示．挺拔高耸的208米主塔似一把利剑直刺苍穹，塔的两侧32对钢索连接主梁，呈扇面展开，如巨型琴弦，正弹奏着巨龙腾飞的奏鸣曲．假设斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是30°，每根钢索中的拉力都是3×104 N，那么它们对塔柱形成的合力有多大？方向如何？
【解析】把两根钢索的拉力看成沿钢索方向的两个分力，以它们为邻边画出一个平行四边形，其对角线就表示它们的合力．由对称性可知，合力方向一定沿塔柱竖直向下．下面用两种方法计算这个合力的大小：
方法一：作图法（如图甲所示）
自O点引两根有向线段OA和OB，它们跟竖直方向的夹角都为30°．取单位长度为1×104N，则OA和OB的长度都是3个单位长度．量得对角线OC长为5．2个单位长度，所以合力的大小为F＝5．2×1×104N＝5．2×104N．
方法二：计算法（如图乙所示）
根据这个平行四边形是一个菱形的特点，如图乙所示，连接AB，交OC于D，则AB与OC互相垂直平分，即AB垂直于OC，且AD＝DB、OD＝OC．对于直角三角形AOD，∠AOD＝30°，而OD＝OC，则有F＝2F1cos30°＝2×3×104×N≈5．2×104N．
甲
乙
【答案】5．2×104 N 方向竖直向下
题后反思：1．作图法求合力时，各个力的图示必须采用同一标度，并且所选力的标度的比例要适当．
2．平行四边形定则是矢量运算的通用法则，适用于任何矢量的运算．
即时巩固
2．如图所示，两个人共同用力将一个牌匾拉上墙头．其中一人用了450 N的拉力，另一个人用了600 N的拉力，如果这两个人所用拉力的夹角是90°，求它们的合力．（已知sin 53°＝0．8，cos 53°＝0．6）
【解析】设F1＝450N，F2＝600N，合力为F．
由于F1与F2间的夹角为90°，根据勾股定理，得
F＝N＝750N，
合力F与F1的夹角θ的正切tanθ＝，
所以θ＝53°，即合力的方向与较小拉力的夹角为53°．
【答案】750 N，方向与较小拉力的夹角为53°
考向二 多个力的合成
【例3】（多选）5个共点力的情况如图所示．已知F1＝F2＝F3＝F4＝F，且这四个力恰好为一个正方形，F5是其对角线．下列说法正确的是 （ ）
A．F1和F3的合力，与F5大小相等，方向相反
B．F1和F5的合力，与F3大小相等，方向相反
C．除F5以外的4个力的合力的大小为F
D．这5个力的合力恰好为F，方向与F1和F3的合力方向相同
【解析】根据三角形定则，F1和F3的合力，与F5大小相等，方向相反，F1和F5的合力，与F3大小相等，方向相反，A、B正确；除F5以外的4个力的合力的大小为2F，C错误；这5个力的合力为F，方向与F1和F3的合力方向相同，D正确．
【答案】ABD
方法技巧：（1）多个力的合成技巧
①将共线的分力合成（方向相同或相反）；
②将相互垂直的分力合成；
③两分力大小相等，夹角为120°时，合力的大小等于分力大小，方向沿它们夹角的角平分线方向．
（2）三个力合力范围的确定
①最大值：三个力方向均相同时，三力合力最大，Fm＝F1＋F2＋F3；
②最小值：若一个力在另外两个力的和与差之间，则它们的合力的最小值为零；若一个力不在另外两个力的和与差之间，则它们的合力的最小值等于三个力中最大的力减去另外两个力．
即时巩固
3．（多选）三个力作用在一个物体上，其大小分别为7 N、8 N、9 N，其合力可能是 （ ）
A．0 B．7 N C．15 N D．25 N
【解析】当三个力方向相同时，合力最大Fmax＝7N＋8N＋9N＝24N，因7N和8N两个力的合力范围为1N≤F≤15N，其中合力可以为9N，则当此合力与9N的力在同一直线上，且方向相反时，合力为零，所以三力的合力范围为0≤F合≤24N，因此答案为ABC．
【答案】ABC
知识点3 力的分解
兴趣探究
1．如图所示，人拉着旅行箱前进，拉力F与水平方向成α角，
（1）拉力产生了什么效果？
（2）按力的作用效果分解力，画出力的示意图并求出两分力大小．
2．（1）已知合力F和两分力的方向（如图甲），利用平行四边形定则，能作多少平行四边形？两分力有几个解？
（2）已知合力F和两个分力中的一个分力F2（如图乙），可以得到几个另一分力F1？
甲
乙
【答案】1．（1）拉力产生两个效果：向前拉箱；向上提箱
（2）力的分解的示意图如图所示，
F1＝Fcos α，F2＝Fsin α．
2．（1）1个 1个 （2）1个
知识归纳
1．不受条件限制的分解
一个力可以分解为两个力，若没有限制，同一个力可以分解为无数对大小、方向不同的分力．也可以说，如果没有限制，对于同一条对角线，可以作出无数个不同的平行四边形，如图所示．
2．有限制条件的力的分解
力分解成互成角度的两个分力，有解或无解，简单地说就是代表合力的对角线与给定的代表分力的有向线段是否能构成平行四边形．若可以构成平行四边形，说明合力可以分解成给定的分力，即有解；若不能，则无解．常见的有以下几种情况：
已知条件 分解示意图 解的情况
已知两 个分力 的方向 唯一解
已知一个 分力的大 小和方向 唯一解
已知一个 分力（F2） 的大小和 另一个分 力（F1）的 方向 ①F2＜Fsin θ 无解
②F2＝Fsin θ 唯一解
③Fsin θ＜F2＜F 两解
④F2≥F 唯一解
3．力分解的思路流程
力的分解问题的关键是根据力的作用效果分解，解题常用思路为
实际
问题确定分
力方向作平行
四边形
4．按实际效果分解的几个实例
实例 产生效果分析
水平地面上物体受斜向上的拉力F，拉力F一方面使物体沿水平地面前进，另一方面向上提物体，因此拉力F可分解为水平向前的力F1和竖直向上的力F2．F1＝Fcos α，F2＝Fsin α．
质量为m的物体静止在斜面上，其重力产生两个效果：一是使物体具有沿斜面下滑趋势，二是使物体压紧斜面．因此重力可分解为沿斜面的分力F1和垂直于斜面的分力F2．F1＝mgsin α，F2＝mgcos α．
质量为m的光滑小球被竖直挡板挡住而静止于斜面上时，其重力产生两个效果：一是使球压紧挡板，二是使球压紧斜面．因此重力可以分解为垂直于挡板的分力F1和垂直于斜面的分力F2．F1＝mgtan α，F2＝．
质量为m的光滑小球被悬线挂靠在竖直墙壁上，其重力产生两个效果：一是使球压紧竖直墙壁，二是使球拉紧悬线．因此重力可以分解为垂直于墙壁的分力F1和沿着绳的分力F2．F1＝mgtan α，F2＝．
A、B两点位于同一平面上，质量为m的物体被AO、BO两线拉住，其重力产生两个效果：一是使物体拉紧AO线，二是使物体拉紧BO线．因此重力可以分解为沿AO线的分力F1和沿BO线的分力F2．F1＝F2＝．
质量为m的物体被支架悬挂而静止，其重力产生两个效果：一是拉伸AB，二是压缩BC．因此重力可以分解为沿AB的分力F1和沿BC的分力F2．F1＝mgtan α，F2＝．
考向例题
考向一 力的分解
【例4】如图所示，光滑固定斜面的倾角为θ，有两个相同的小球，小球所受重力均为G，分别用光滑挡板A、B挡住，挡板A沿竖直方向，挡板B垂直于斜面．求：
（1）球1对挡板的压力F1、对斜面压力F2分别是多少？
（2）球2对挡板压力F3、对斜面压力F4分别是多少？
【解析】球1所受的重力有两个作用效果．第一，使小球欲沿水平方向推开挡板；第二，使小球压紧斜面．因此，力的分解如图甲所示，由此得两个分力的大小分别为F'1＝Gtanθ，F'2＝，所以球1对挡板的压力F1＝F'1＝Gtanθ，对斜面的压力F2＝F'2＝．
甲
乙
球2所受重力G有两个作用效果．第一，使小球垂直挤压挡板；第二，使小球压紧斜面．因此力的分解如图乙所示，由此可得两个分力的大小分别为F'3＝Gsinθ，F'4＝Gcosθ．
所以球2对挡板的压力F3＝F'3＝Gsinθ，对斜面的压力F4＝F'4＝Gcosθ．
【答案】（1）Gtanθ （2）Gsinθ Gcosθ
考向二 对力的分解的讨论
【例5】物体静止于光滑水平面上，力F作用于物体上的O点，现要使合力沿着OO'方向，如图所示，则必须同时再加一个力F'，如F和F'均在同一水平面上，则这个力的最小值为 （ ）
A．Fcos θ B．Fsin θ
C．Ftan θ D．Fcot θ
【解析】该力的最小值应该是过力F的最右端，向OO'的方向做垂线，则垂足与力F右端的距离即为最小力的大小，故该最小力为Fsinθ，选项B正确．
【答案】B
基础性达标作业
1．关于两个大小不变的共点力F1、F2与其合力F的关系，下列说法中正确的是 （ ）
A．F大小随F1、F2间夹角的增大而增大（夹角小于180°时）
B．F大小随F1、F2间夹角的增大而减小（夹角小于180°时）
C．F大小一定小于F1、F2中最大者
D．F大小不能小于F1、F2中最小者
【解析】合力随两分力间夹角的增大而减小（夹角小于180°时），合力大小的范围为|F1－F2|≤F≤F1＋F2，例如，当F1＝5N、F2＝6N时，1N≤F≤11N，F可以比F1、F2中的最小者小，也可以比F1、F2中的最大者大，故选项B正确．
【答案】B
2．将一个力F分解为两个分力F1和F2，那么下列说法中错误的是 （ ）
A．F是物体实际受到的力
B．F1和F2不是物体实际受到的力
C．物体同时受到F1、F2和F三个力的作用
D．F1和F2共同作用的效果与F相同
【解析】合力与分力等效的，不能同时作用在物体上，所以力F是实际受到的力，分力F1和F2与F效果相同．故C错误；答案选C．
【答案】C
3．（多选）一件行李重为G，被轻绳OA和OB吊在空中，OA绳和OB绳的拉力分别为F1、F2，如图所示，则 （ ）
A．F1、F2的合力是G
B．F1、F2的合力是F
C．行李对轻绳OA的拉力方向与F1方向相反，大小相等
D．行李受到重力G、OA绳拉力F1、OB绳拉力F2，还有F共四个力
【解析】行李受到竖直向下的重力，OA绳拉力F1、OB绳拉力F2，三个力的作用，F1、F2的合力是F，而在受力分析中，分力和合力不能同时并存，AD错误B正确；行李对轻绳OA的拉力方向与F1是一对相互作用力，等大反向，C正确．
【答案】BC
4．两个共点力的大小分别为F1＝15 N，F2＝8 N，它们的合力大小不可能等于 （ ）
A．9 N B．25 N C．8 N D．21 N
【解析】F1、F2的合力范围是|F1－F2|≤F≤F1＋F2，故7N≤F≤23N，不在此范围的是25N，应选择B项．
【答案】B
5．如图所示，拖拉机拉着耙耕地，拉力F与水平方向成α角，若将该力沿水平和竖直方向分解，则它的水平分力为 （ ）
A．Fsin α B．Fcos α
C．Ftan α D．
【解析】根据平行四边形定则，以F为对角线作平行四边形，如图：
则有F2＝Fcosα；故选B．
【答案】B
6．有两个大小不变的共点力F1和F2，它们合力的大小F合随两力夹角的变化情况如图所示，则两力的大小分别为多少？（π rad＝180°）
【解析】当两力的夹角为0°时，
F合＝F1＋F2，得
F1＋F2＝12N①
当两力的夹角为180°时，得
F1－F2＝4N或F2－F1＝4N②
由①②两式得F1＝8N F2＝4N或F1＝4N F2＝8N
【答案】F1＝8 N F2＝4 N或F1＝4 N F2＝8 N
1【标题】第一节第2课时 实验四探究两个互成角度的力的合成规律
解读课程 学科素养
课标要点 核心素养
1．验证互成角度的两个共点力合成的平行四边形定则． 2．进一步练习作图法求两个共点力的合力． 1．探究两个互成角度的力的合成规律．（科学探究） 2．分析导致实验误差的原因．（科学态度与责任）
预习新知 自主学习
一、实验原理和方法
1．合力F'的确定：一个力F'的作用效果与两个共点力F1与F2共同作用的效果都是把橡皮条拉伸到某点，则F'为F1和F2的合力．
2．合力理论值F的确定：根据平行四边形定则作出F1和F2的合力F的图示．
3．平行四边形定则的验证：在实验误差允许的范围内，比较F'和F是否大小相等、方向相同．
二、实验器材
方木板、白纸、弹簧测力计（两只）、橡皮条、细绳套（两个）、三角板、刻度尺、图钉（若干）、铅笔．
三、实验步骤
1．仪器的安装：用图钉把白纸钉在水平桌面上的方木板上．用图钉把橡皮条的一端固定在A点，橡皮条的另一端拴上两个细绳套，如图所示．
2．操作与记录
（1）两力拉：用两个弹簧测力计分别钩住两个细绳套，互成角度地拉橡皮条，使橡皮条伸长，结点到达某一位置O（如图所示）．用铅笔描下结点O的位置和两条细绳套的方向，并记录弹簧测力计的读数．
（2）一力拉：只用一个弹簧测力计，通过细绳套把橡皮条的结点拉到与前面相同的位置O，记下弹簧测力计的读数和细绳套的方向．
（3）改变两弹簧测力计拉力的大小和方向，再重做两次实验．
四、数据处理
1．用铅笔和刻度尺从结点O沿两条细绳方向画直线，按选定的标度作出这两只弹簧测力计的拉力F1和F2的图示，并以F1和F2为邻边用刻度尺作平行四边形，过O点画平行四边形的对角线，此对角线即为合力F的图示．
2．用刻度尺从O点按同样的标度沿记录的方向作出实验步骤（2）中弹簧测力计的拉力F'的图示．
3．比较F与F'是否完全重合或几乎完全重合，从而验证平行四边形定则．
五、误差分析
1．读数误差：弹簧测力计数据在允许的情况下，尽量大一些，读数时眼睛一定要正视，要按有效数字正确读数和记录．
2．作图误差．
①结点O的位置和两个弹簧测力计的方向画得不准确，造成作图误差．
②两个分力的起始夹角α太大，如大于120°，再重复做两次实验，为保证结点O位置不变（即保证合力不变），则α变化范围不大，因而弹簧测力计示数变化不显著，读数误差较大，导致作图产生较大误差．
③作图比例不恰当、不准确等造成作图误差．
六、注意事项
1．正确使用弹簧测力计
（1）测量前应首先检查弹簧测力计的零点是否准确，注意使用中不要超过其弹性限度．
（2）实验时，弹簧测力计必须保持与木板平行，且拉力应沿轴线方向．弹簧测力计的指针、拉杆都不要与刻度板和刻度板末端的限位孔发生摩擦．
（3）读数时应正对、平视刻度，估读到最小刻度的下一位．
2．规范实验操作
（1）位置不变：在同一次实验中，将橡皮条拉长时结点的位置一定要相同．
（2）角度合适：两个弹簧测力计所拉细绳套的夹角不宜太小，也不宜太大，以60°～100°为宜．
（3）在不超出弹簧测力计量程及在橡皮条弹性限度内的前提下，测量数据应尽量大一些．
（4）细绳套应适当长一些，便于确定力的方向．不要直接沿细绳套方向画直线，应在细绳套两端画个投影点，去掉细绳套后，连直线确定力的方向．
3．规范合理作图：在同一次实验中，画力的图示选定的标度要相同，并且要恰当选定标度，使力的图示稍大一些．
探究知识 提升素养
知识点1 实验原理和实验操作
考向例题
考向 对实验原理与实验操作的考查
【例1】某同学做“验证力的平行四边形定则”的实验情况如图甲所示，其中A为固定橡皮条的图钉，O为橡皮条与细绳的结点，OB和OC为细绳．图乙是在白纸上根据实验结果画出的图．
甲
乙
（1）如果没有操作失误，图乙中的F与F'两力中，方向一定沿AO方向的是 ．
（2）本实验采用的科学方法是 ．
A．理想实验法 B．等效替代法
C．控制变量法 D．建立物理模型法
（3）实验时，主要的步骤是：
A．在桌上放一块方木板，在方木板上铺一张白纸，用图钉把白纸钉在方木板上；
B．用图钉把橡皮条的一端固定在板上的A点，在橡皮条的另一端拴上两条细绳，细绳的另一端系着绳套；
C．用两个弹簧测力计分别钩住绳套，互成角度地拉橡皮条，使橡皮条伸长，结点到达某一位置O，记录下O点的位置，读出两个弹簧测力计的示数；
D．按选好的标度，用铅笔和刻度尺作出两只弹簧测力计的拉力F1和F2的图示，并用平行四边形定则求出合力F；
E．只用一只弹簧测力计，通过细绳套拉橡皮条使其伸长，读出弹簧测力计的示数，记下细绳的方向，按同一标度作出这个力F'的图示；
F．比较F'和F的大小和方向，看它们是否相同，得出结论．
上述步骤中，①有重要遗漏的步骤的序号是 和 ；
②遗漏的内容分别是 和 ．
【解析】（1）F'是一根弹簧作用时，把橡皮条的结点拉到同一位置O的力，故F'必沿OA方向．
（2）合力与分力是等效的，故选B．
（3）力既要记录大小，还要记录方向．
【答案】（1）F' （2）B （3）①C E ②C中应加上“记下两条细绳的方向” E中应说明“把橡皮条的结点拉到同一位置O”
知识点2 实验数据处理
考向例题
考向 数据处理及分析
【例2】某探究小组做“验证力的平行四边形定则”的实验，将画有坐标轴（横轴为x轴，纵轴为y轴，最小刻度表示1 mm）的纸贴在水平桌面上，如图（a）所示．将橡皮筋的一端Q固定在y轴上的B点（位于图示部分之外），另一端P位于y轴上的A点时，橡皮筋处于原长．
（1）用一只测力计将橡皮筋的P端沿y轴从A点拉至坐标原点O，此时拉力F的大小可由测力计读出．测力计的示数如图（b）所示，F的大小为 N．
（2）撤去（1）中的拉力，橡皮筋P端回到A点，现使用两个测力计同时拉橡皮筋，再次将P端拉至O点．此时观察到两个拉力分别沿图（a）中两条虚线所示的方向，由测力计的示数读出两个拉力的大小分别为F1＝4．20 N和F2＝5．60 N．
①用5 mm长度的线段表示1 N的力，以O点为作用点，在图（a）中画出力F1、F2的图示，然后按平行四边形定则画出它们的合力F合；
（a）
（b）
②F合的大小为 N，F合与拉力F的夹角的正切值为 ．
若F合与拉力F的大小及方向的偏差均在实验所允许的误差范围之内，则该实验验证了力的平行四边形定则．
【解析】
（1）由题给测力计示数可知，读数为4．00 N．
（2）作图，F2长度为28 mm，F1长度为21 mm，平行四边形如图，量出合力长度约为20 mm，大小代表4．00 N，量出合力箭头处到y轴距离和所作合力在y轴上投影长度，其比值就是F合与拉力F的夹角的正切值．
【答案】（1）4．00 （2）①如解析图所示 ②4．00 0．05
知识点3 实验创新设计
考向 不用弹簧测力计验证平行四边形定则
【例3】某同学在家中尝试验证平行四边形定则，他找到3条相同的橡皮筋（遵循胡克定律）和若干小重物，以及刻度尺、三角板、铅笔、细绳、白纸、钉子，设计了如下实验：将两条橡皮筋的一端分别挂在墙上的两个钉子A、B上，另一端与第三条橡皮筋连接，结点为O，将第3条橡皮筋的另一端通过细绳挂一重物，如图所示．
（1）（多选）为完成实验，下述操作中必需的是 ．
A．测量细绳的长度
B．测量橡皮筋的原长
C．测量悬挂重物后橡皮筋的长度
D．记录悬挂重物后结点O的位置
（2）钉子位置固定，欲利用现有器材，改变条件再次验证，可采用的方法是 ．
【解析】（1）必需测量橡皮筋的原长和悬挂重物后橡皮筋的长度，这样才能确定橡皮筋的伸长量．确定各力的大小，还需记录悬挂重物后结点O的位置，同时记下3条橡皮筋所在的方向，以便确定各拉力的方向，根据平行四边形定则做出合力的图示．因此，（1）中必需的是B、C、D．（2）改变条件再次验证可采用更换不同的小重物的方法．
【答案】（1）BCD （2）更换不同的小重物
基础性达标作业
1．图甲为“探究求合力的方法”的实验装置．
（1）下列说法中正确的是 ．
A．在测量同一组数据F1、F2和合力F的过程中，橡皮条结点O的位置不能变化
B．弹簧测力计拉细线时，拉力方向必须竖直向下
C．F1、F2和合力F的大小都不能超过弹簧测力计的量程
D．为减小测量误差，F1、F2方向间夹角应为90°
（2）弹簧测力计的指针如图乙所示，由图可知拉力的大小为 N．
甲
乙
【解析】（1）A选项，这样可以保证合力和分力的作用效果相同，A正确；B选项，定滑轮可以改变力的方向，不改变力的大小，所以拉力方向不一定竖直向下，B错误；C选项，本实验中合力和分力都不能超过量程，否则没办法读数或损坏弹簧秤，C正确；D选项，本实验中F1、F2方向间夹角是任意的，D错误．
（2）由图可知拉力的大小为4．00 N．
【答案】（1）AC （2）4．00
2．（1）在做“验证力的平行四边形定则”的实验中有同学各自画了以下力的图示，图中F1、F2是用两把弹簧测力计同时拉橡皮筋时各自的拉力，F'是用一把弹簧测力计拉橡皮筋时的拉力；画出了F1、F2、F'的图示，以表示F1、F2的有向线段为邻边画平行四边形，以F1、F2交点为起点的对角线用F表示，在以下四幅图中，只有一幅图是合理的，这幅图是 ．
A
B
C
D
（2）在做完实验后，某同学将其实验操作过程进行了回顾，并在笔记本上记下如下几条体会，你认为他的体会中正确的是 ．
A．两根细绳套必须等长
B．用两只弹簧测力计拉绳套时，两测力计的示数要相同
C．若F1、F2方向不变，而大小各增加1 N，则合力的方向也不变，大小也增加1 N
D．用两只弹簧测力计拉时合力的图示F与用一只弹簧测力计拉时图示F'不完全重合，在误差允许范围内，可以说明“力的平行四边形定则”成立
【解析】（1）根据实验的操作步骤，两个分力的合力的理论值可能会偏离用一个弹簧测力计拉橡皮筋时的拉力的实验值，用一个弹簧测力计拉橡皮筋时的拉力的方向一定和橡皮筋共线，可知图B正确．
（2）两根细绳套不一定必须等长，选项A错误；用两只弹簧测力计拉绳套时，两测力计的示数不一定要相同，选项B错误；若F1、F2方向不变，而大小各增加1 N，则合力的方向可能会改变，大小也不一定增加1 N，选项C错误；用两只弹簧测力计拉时合力的图示F与用一只弹簧测力计拉时图示F'不完全重合，在误差允许范围内，可以说明“力的平行四边形定则”成立，选项D正确．
【答案】（1）B （2）D
3．在做“探究求合力的方法”实验中，需要将橡皮条的一端固定在水平木板上，先用一个弹簧测力计拉橡皮条的另一端到某一点（结点）并记下该点的位置；再将橡皮条的另一端系两根细绳，细绳的另一端都有绳套，用两个弹簧测力计分别钩住绳套，并互成角度地拉橡皮条．
（1）（多选）某同学认为在此过程中必须注意以下几项，其中正确的是 ．
A．在使用弹簧测力计时要注意使弹簧测力计与木板平面平行
B．两根细绳必须等长
C．橡皮条应与两绳夹角的平分线在同一直线上
D．在用两个弹簧测力计同时拉细绳时要注意使两个弹簧测力计的读数相等
E．在用两个弹簧测力计同时拉细绳时必须将橡皮条的结点拉到用一个弹簧测力计拉时记下的结点位置
（2）（多选）某同学在坐标纸上画出了如图所示的两个已知力F1和F2，图中小正方形的边长表示2 N，两力的合力用F表示，F1、F2与F的夹角分别为θ1和θ2，下列说法正确的是 ．
A．F1＝4 N B．F＝12 N
C．θ1＝45° D．θ1＜θ2
【解析】（1）在使用弹簧秤时要注意使弹簧秤与木板平面平行，A正确；细绳的作用是能显示出力的方向，不必等长，B错误；两细绳拉橡皮条时，只要确保拉到同一点即可，不一定橡皮条要在两细绳的夹角平分线上，C错误；两弹簧秤示数不需要等大，只要便于作出平行四边形即可，D错误；为满足“等效替代”效果，必须保证两次拉橡皮条的结点O到同一位置，E正确．
（2）根据平行四边形定则，作出两个力的合力，由图可知F1＝4 N，合力F＝12 N，由几何关系可知，F1与F的夹角θ1＝45°，而θ1＞θ2，故B、C正确．
【答案】（1）AE （2）BC
4．某同学在学完“力的合成”后，想在家里做实验验证力的平行四边形定则．他从学校的实验室里借来两个弹簧测力计，按如下步骤进行实验．
A．在墙上贴一张白纸用来记录弹簧测力计弹力的大小和方向
B．在一个弹簧测力计的下端悬挂一装满水的水杯，记下静止时弹簧测力计的读数F
C．将一根大约30 cm长的细线从杯带中穿过，再将细线两端分别拴在两个弹簧测力计的挂钩上．在靠近白纸处用手对称地拉开细线，使两个弹簧测力计的示数相等，在白纸上记下细线的方向，弹簧测力计的示数如图甲所示
D．在白纸上按一定标度作出两个弹簧测力计的弹力的图示，如图乙所示，根据力的平行四边形定则可求出这两个力的合力F'
甲
乙
（1）在步骤C中，弹簧测力计的读数为 N．
（2）在步骤D中，合力F'＝ N．
（3）若 ，就可以验证力的平行四边形定则．
【解析】（1）弹簧测力计读数时需要估读，最终的读数要以有效数字的形式给出，根据题图甲弹簧测力计指针的位置，可读出力的大小为3．00 N．
（2）根据力的大小可以用线段的长度来表示，利用刻度尺和三角板在题图乙上，由已知的两个力作出平行四边形，测量出两力之间的对角线的长度，与标度为1 N的长度进行比较，可求出F'的大小为（5．2±0．2） N．
（3）若F'在竖直方向且数值与F近似相等，在实验误差允许的范围内可以验证力的平行四边形定则．
【答案】（1）3．00 （2）（5．2±0．2） （3）F'在竖直方向且数值与F近似相等
5．某同学用如图所示的实验装置来验证“力的平行四边形定则”．弹簧测力计A挂于固定点P，下端用细线挂一重物M．弹簧测力计B的一端用细线系于O点，手持另一端向左拉，使结点O静止在某位置．分别读出弹簧测力计A和B的示数，并在贴于竖直木板的白纸上记录O点的位置和拉线的方向．
（1）本实验用的弹簧测力计示数的单位为N，图中A的示数为 N．
（2）下列不必要的实验要求是 ．（请填写选项前对应的字母）．
A．应测量重物M所受的重力
B．弹簧测力计应在使用前校零
C．拉线方向应与木板平面平行
D．改变拉力，进行多次实验，每次都要使O点静止在同一位置
（3）某次实验中，该同学发现弹簧测力计A的指针稍稍超出量程，请您提出两个解决办法．
【解析】（1）弹簧测力计的读数为3．6 N，可以不估读．
（2）验证力的平行四边形定则，需要分别测量各个力的大小和方向，所以A选项是必要的；根据仪器使用常识，弹簧测力计在使用前需校零，B选项是必要的；实验中力必须在同一平面内的，C选项也是必要的；实验是验证三个力的关系，只要测出三个力就可以了，所以不需要固定O点位置，D选项不必要，本题应该选D．
【答案】（1）3．6 （2）D （3）①改变弹簧测力计B拉力的大小 ②减小重物M的质量（或将A更换成较大量程的弹簧测力计、改变弹簧测力计B拉力的方向等）
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