(共37张PPT)
章导语
天宫二号离发射点的距离与时间的关系；
蓄水池使用时水面高度与使用时间的关系；
高铁票价与路程的关系；
炮弹的射高与时间的关系；
受台风影响的面积与半径的关系；
……
变量间的对应关系
函数模型
把握研究对象的运动变化规律
已学的函数模型：
必修第一册第三章 《函数的概念与性质》
3.1.1函数的概念(1)
一、回顾与思考
一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，就说y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。
1.初中学习的函数概念是什么？
如：正方形的周长l与边长x的关系式是l=4x，
对于每一个确定的x，都有唯一的l与之对应，∴l是x的函数.
变量间的依赖关系
集合与对应关系
二、剖析实例 抽象函数概念
问题1.某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时.这段时间内,列车行进的路程S(单位:km)与运行时间t(单位:h)的关系可以表示为S=350t.
思考1.1:有人说“根据对应关系S=350t,这趟列车加速到350km/h后,每运行1h就前进了350km.”你认为这个说法正确吗
t和S是两个变量，且对于t的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，故S是t的函数．
此说法错误。理由：没有注意t的变化范围。根据问题1的条件,
不能判断列车以350km/h运行半小时后的情况.
思考1.2:如何用更精确的语言来描述列车行进路程S与运行时间t的关系？
二、剖析实例 类比归纳
问题1.某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时.这段时间内,列车行进的路程S(单位:km)与运行时间t(单位:h)的关系可以表示为S=350t.
t和S是两个变量，且对于t的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，故S是t的函数．
思考1.2:如何用更精确的语言来描述列车行进路程S与运行时间t的关系？
对于数集A1中的任一时刻t，按照对应关系①，在数集B1中都有唯一确定的路程S和它对应．
S与t的关系是：S=350t ①
其中，t的变化范围是数集A1={t|0≤t≤0.5}，
S的变化范围是数集B1={S|0≤S≤175}.
二、剖析实例 类比归纳
问题2.某电气维修公司要求工人每周工作至少1天,至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元,而且每周付一次工资,那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资 一个工人的工资w(单位:元)是他工作天数d的函数吗
则工资w是一周工作天数d的函数,其对应关系是________ ②
其中，d的变化范围是数集A2=___________________，
w的变化范围是数集B2=___________________________.
且对于数集A2中的任一个工作天数d ，按照对应关系②，在数集B2中都有唯一确定的工资w和它对应．
w=350d
{1,2,3,4,5,6}
{350,700,1050,1400,1750,2100}
二、剖析实例 类比归纳
S与t的关系是：S=350t ①
t的变化范围是数集A1={t|0≤t≤0.5},
S的变化范围是数集B1={S|0≤S≤175}.
w与d的关系是：w=350d ②
d的变化范围是数集A2={1,2,3,4,5,6},
w的变化范围是数集B2={350,700,1050,1400,1750,2100}.
思考2：问题1、2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗 为什么
S=350t和w=350d不是同一个函数，因为t与d的取值集合不同.
二、剖析实例 类比归纳
问题3.下图是北京市某日的空气质量指数(简称AQI)变化图.
思考3.1：如何根据该图确定这一天内任一时刻t h的空气质量指数的值I
思考3.2：你能根据该图找到中午8时的 AQI的值吗
思考3.3：你认为这里的I是t的函数吗？
t=8时,I=50
对于数集A3=____________的任一时刻t，按照图中曲线给定的对应关系，在数集B3=____________中都有唯一确定的工资w和它对应．
故I是t的函数.
{I|0{t|0≤t≤24}
二、剖析实例 类比归纳
问题4.国际上常用恩格尔系数r(r=食物支出金额/总支出金额)反映一个地区人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.下表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况,从中可看出该省城镇居民生活质量越来越高.
对于数集A4=____________________的任一年份y，按照表格给定的对应关系，在数集B4=__________中都有唯一确定的工资w和它对应．
故r是y的函数.
年份y 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
恩格尔系数r(%) 36.69 36.81 38.17 35.69 35.15 33.53 33.87 28.89 29.35 28.57
思考5：你认为按上表给出的对应关系,恩格尔系数r是年份y的函数吗 如果是,你会用怎样的语言来刻画这个函数
{y∈Z|2006≤y≤2015}
{r|0三、对比归纳 形成概念
思考6：上述问题1～问题4中的函数有哪些共同特征 你能由此概括出函数概念的本质特征吗
定义域
值域
解析式
图
表
一个对应关系、两个非空数集
C3 B3
C4 B4
f
四、概念学习——函数的概念
设A、B为非空实数集，若对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，则称 f :A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作： y=f (x), x∈A.
function
概念 自变量 函数值 定义域 值域
含义 x f(x)
性质 存在性
唯一性
表示 描述法,列举法,区间
一对一/多对一
值域是集合B的子集
使函数有意义的自变量的取值集合
函数值的取值集合
任意性
x,t,v,u等
f(x),g(x),h(x),
F(x),G(x)等
非空数集A
非空数集{f(x)|x∈A}
四、概念学习——函数的概念
(4)“ y=f (x), x∈A”的理解：
function
f (x)=x2+3x+1, x∈[0,4]
符号 x∈A y=f(x) f f(x) f(a)
含义 函数的定义域为A 函数符号,表示x在对应关系f的作用下可得对应的函数值y 对应法则，表示对x实施“对应”操作的方式 函数值y，或函数y=f (x)的简记 当x=a时函数f(x)的取值
备注 见函数先看定义域 不能理解为 “y等于f 乘x” 可为解析式、图象、表格、Venn图等 (x)=2x+1 g(x)=x3 f(a)是f(x)的一个特殊值,是一个相对确定的数.
一次函数f(x)＝2x+3的定义域是R,值域也是R,
对应关系f 把R中的任意一个数x,对应到R中唯一确定的数2x+3．
二次函数h(x)＝3x2+1的定义域是R,值域是[1,+∞),
对应关系h把R中的任意一个数x,对应到[1,+∞)中唯一确定的数3x2+1．
反比例函数
五、概念巩固——函数的概念
定义域为[0,26]
值域为[0,845]
对于定义域[0,26]中的任意一个数t，按照对应关系h(t)=130t－5t2，在值域[0,845]中都有唯一确定的数h和它对应.
的定义域是{x|x≠0},
值域是{y|y≠0},
【例1】判断下列对应是否为集合A到集合B的函数.
（1）A=R，B={y|y>0}， f：x → y=|x|
（2）A=Z，B=Z， f：x → y=x2
（3）A=Z，B=Z， f：x →
（4）A=Z，B=Z， f：x →
（5）A=R，B={0}， f：x → y=0
y=|x|
B={x|x>0}
值域为N
x=0
x=2
六、概念辨析——函数的概念(定义法)
【例2】判断下列式子能否表示y是x的函数.
①y=|x| ②|y|=x ③y=x2 ④y2=x ⑤x2+y2=1
x=1,y=±1
x=0,y=±1
x=1,y=±1
六、概念辨析——函数的概念(平移法)
0
x
y
2
2
1
0
x
y
2
1
2
1
0
x
y
2
1
2
0
x
y
2
1
2
1
【例3】设A={x|0≤x≤2}, B={y|1≤y≤2}.下图表示从A到B的函数是( )
A
D
C
B
D
【例4】下列图象具有函数关系的是_____和_____.
A
E
o
x
y
A
C
B
E
x
y
o
D
1
-1
o
x
y
1
x
o
1
o
x
y
六、概念辨析——函数的概念P64
定义域为{1,2,3,4,5}
值域为{2,3,4,5}
对应关系f如Venn图所示
七、函数的统一性和多样性
y=kx
s=vt
m=ρV
l=2πr
实际问题
函数模型
抽象
还原
函数的发展历程
Eluer(欧拉)
1748
一个变量的函数是由这个变量和一些数以任何方式组成的解析式。
在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。
Cauchy(柯西)
解析式定义
变量间的依赖关系
只须有一个法则存在，以使得这个函数取值范围中的每一个值，都只有一个确定的值和它对应。
Dirichlet
(狄利克雷)
集合和对应的观点
函数：清代数学家李善兰、翻译《代数学》时把“function”译为“函数”.
“凡式中含天,为天之函数”
天、地、人、物表示4个不同的未知数或变量。
即:凡式中含有变量x,则该式叫做x的函数”
小结
1.函数概念：设A、B为非空实数集，若对于A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在B中都有唯一确定的数y和它对应，则称 f :A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作： y=f (x), x∈A.
①“f (x)”可以表示函数值，也可以表示函数.
f (3)=1
f (x)=x+1
② 函数的三要素：定义域、对应关系、值域.
若两个函数的_______________________相同，则它们为同一个函数.
定义域、对应关系、值域
[引例]已知f(x)=x2+1, x∈[2,+∞)，则值域必为________
已知g(t)=t2+1, x∈[2,+∞)，则值域必为________
[5,+∞)
[5,+∞)
③值域由定义域、对应关系唯一确定.
应用：
判断函数相等
求函数值
求函数的定义域
求函数的值域
3.1.1函数的概念(2)
一、求函数值
(一)求函数值
“由里往外”逐层求值.
(一)求函数值
(二)函数相等
若两个函数的定义域和对应关系相同，则它们为同一个函数.
(两个函数相等)
(与字母无关)
对应关系相同,定义域不同
思考：定义域和值域都相同的两个函数是否一定相等？
如：“y=x+1”与“y=2x”的定义域、值域均为R，但对应关系不同.
对应关系相同,定义域不同
[2,+∞)
(-∞,-2]∪[2,+∞)
R
{x|x≠0}
(二)函数相等
f (x)=x
{x|x≥0}
f(x)=x
{y|y≥0}
R
f(u)=u
R
R
g(x)=|x|
{y|y≥0}
{n|n≠0}
f(n)=n
{m|m≠0}
不是
是
不是
不是
(三)求函数的定义域(具体函数)
R
(-∞,-2]∪[2,+∞)
{x|x≠2}
{x|x≠±2}
{x|x≠0且x≠-2}
多个区间用“∪”连接
若已给出函数解析式但无指明其定义域，
则定义域默认为使解析式有意义的自变量的取值集合。
不能先约分
若a≠0，则a0=1
{x|x≤-2或x≥2}
(-∞,-2)∪(-2,0)∪(0,+∞)
(三)求函数的定义域(具体函数)
注：①若f(x)由几部分的式子构成，则其定义域为使各部分同时有意义的数的集合。(即求交集)
②若f(x)为实际问题中的函数，则定义域要符合实际意义。
(如：大于0，取整数…)
函数f(x)所含结构 求定义域时注意事项 举例
整式或奇次根式
分式
偶次根式
零次幂[g(x)]0 (2x+1)0
见函数先求定义域！！！
定义域通常为R
分母不为0
不可先约分后求定义域
根号内大于等于0
g(x)≠0
【例】(单位:cm)设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积S关于x的函数解析式，并写出定义域.
(三)求函数的定义域(具体函数)
(三)求函数的定义域(抽象函数)
a∈[0,4]
t+1∈[0,4]
t∈[-1,3]
①同一题目中,同一对应关系f作用的整个对象的取值范围相同.
a-2∈[0,4]
②任何函数的定义域均指自变量的取值范围.
引例中, f(x)的定义域是指x的范围；
f(x+1)的定义域是指x的范围.
f(a-2)的定义域是指a的范围.
只是用同一字母来表示两个函数的自变量，范围可能不同.
两个“x”不同
x∈[-1,3]
a∈[2,6]
x+1∈[0,4]
f作用对象的范围：
函数的定义域：
(三)求函数的定义域(抽象函数)
f(x) f(x+1)
定义域 (自变量的范围)
同一f作用对象的范围
0≤x≤1
0≤x≤1
0≤x+1≤1
﹣1≤x≤0
[-1,0]
[例]解:∵f(x)的定义域为[0,1],
即0≤x≤1；
∴对于f(x+1)有0≤x+1≤1,
解得－1≤x≤0.
∴f(x+1)的定义域为[－1,0]
[变式4]已知f(x)的定义域为[-2,4]，则g(x)=f(x)+f(-x)的定义域是___.
2
[2,3]
[-2,-1]
+
[-2,-1)
[-2,2]
Key：同一f作用对象的范围
(四)求函数值域的方法
1.观察法
(四)求函数值域的方法
2.配方法(二次函数型)
(四)求函数值域的方法
3.分离常数法
1.适用于分子分母均含变量的分式
2.分离目的：化为熟悉结构，便于利用反比例函数或基本不等式求
分式的范围、最值等
把分子中的变量分离掉，使分子化为常数
3.分离方法：分子配凑出与分母一样的结构→约分
(四)求函数值域的方法
3.分离常数法
把分子中的变量分离掉，使分子化为常数
(四)求函数值域的方法
3.分离常数法
把分子中的变量分离掉，使分子化为常数
换元法
分解约分
(四)求函数值域的方法
4.换元法
注意新元的范围
换元法
观察法
课内作业
(写为区间的形式)
(写为集合或区间的形式)(共26张PPT)
3.1.2函数的表示法(1)
1.1函数的三种表示方法
解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系
列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系
[例4]某种笔记本的单价是5元,买x本(x∈{1,2,3,4,5})需要y元.
试用三种函数的表示法表示函数,
x 1 2 3 4 5
y 5 10 15 20 25
1.2函数三种表示法的优缺点
表示法 优点 缺点
解析法 ①从“数”的角度简明准确地概括变量间的函数关系；②通过解析式可求出任意一个自变量的值所对应的函数值 不够形象、直观、具体.
图象法 从“形”的角度形象直观地表示出函数的变化情况 只能近似地得出自变量的值所对应的函数值，存在误差.
列表法 不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值 只能表示自变量可一一列出的函数关系.
不是所有的函数都能用解析法表示
不是所有的图象都是函数图象.
函数图象可以是离散的点、线段、射线、直线、连续曲线等.
不能表示定义域为连续数集的函数
1.3函数表示法实战演练——列表法
[练习1]某教师将其一周课时节次列表如下：
x/星期 1 2 3 4 5
f(x)/节次 3 5 4 3 1
从上表可看出，这个关于x的函数的定义域为
____________；值域为___________，f(f(2))=_____.
{1,2,3,4,5}
{1,3,4,5}
1
x 1 2 3 4
f(x) 4 3 2 1
g(x) 1 3 2 3
[练习2]从左表可看出，
若g(f(a))=2,则a的值为_____.
f[g(x)]的值域为______.
∵g(3)=2,
∴f(a)=3,
2
{2,3,4}
k=0
0≤k<1
1.3函数表示法实战演练——图象法
[练习4]某同学骑车上学，离开家不久，发现作业本忘家里了，于是返回家找到作业本再去上学，为了赶时间他快速行驶.如图中横轴表示出发后的时间，纵轴表示离学校的距离.则较符合该同学走法的图像是( )
D
1.3函数表示法实战演练——图象法
[练习4]作出下列函数的图象：
列表→描点→连线
(注意定义域)
[练习5]判断正误：
(1)任何一个函数都可以用图象法表示.( )
(2)函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线.( )
×
×
[思考]你能否画出y=|x|的图象
2.分段函数的图象和性质
[例1]画出y=|x|的图象.
①在函数定义域内，自变量在不同取值范围内有不同的对应关系.
②应用：个人所得税纳税额、居民用电费等
2.分段函数的图象和性质
定义域为(－∞,0)∪[2,+∞)
值域为(1,+∞)
③分段函数的定义域是自变量各段取值范围的并集，且各段范围无交集.
④分段函数的值域通常可结合图象判断，取各段范围的值域的并集。
⑤含绝对值的函数通常为分段函数.
2.分段函数的图象和性质
各段范围无交集
2.分段函数的图象和性质——求值
2
2.分段函数的图象和性质——取整函数P73
2
2
4
-3
-1
-3
2≤x<3
不超过x的最大整数是2
课内作业
3.1.2函数的表示法(2)
——求函数的解析式
【例1.1】已知f(x)是一次函数,且满足3f (x+1)－2f (x－1)=2x+16,求f(x)的解析式。
1.待定系数法
【变式】已知f(x)是一次函数,且满足f (f (x))=4x+6,求f(x)的解析式。
对应系数相等
【例1.2】已知二次函数f(x)满足f (0)=1，f (1)=2，f (2)=5，求函数f(x)的解析式。
1.待定系数法
【变式】已知二次函数f(x)满足f (0)=1，f (x-1)－f (x)=4x，求函数f(x)的解析式。
设解析式→列关于待定系数的方程(组)→解方程(组)→将结果代回所设的解析式
适用：已知f(x)的函数类型，求f(x)
1.待定系数法
【例2】已知f(2x+1)=3x－2，求f(x)的解析式
2.换元法
和f(5)的值.
3.整体配凑法
2.换元法
3.配凑法
适用：已知f(g(x))的解析式，求f(x)
令t=g(x)→用t表示x→将f(g(x))转化为关于t的解析式 f(t)，注意求新元t的取值范围。
适用：已知f(g(x))的解析式，求f(x)
从f(g(x))的解析式中配凑出g(x),转化为关于g(x)的解析式→用x代替解析式中的g(x)。
4.方程组法/消去法
4.方程组法/消去法
4.方程组法/消去法
Q1：什么情况下可以替换？
当替换的对象与被替换的对象范围相同时.
Q2：方程组/消去法的本质是什么？
已知f(x)与f(－x)、或f(x)与f(a/x)的关系式，求f(x)
用－x代替原式中的x
(4)消去法/方程组法
用a/x代替原式中的x
联立两个关于f(x)与f (－x)的方程，消去f (－x)
联立两个关于f(x)与f(a/x)的方程，消去f(a/x)
5.赋值法(赋y留x)
对关系式中的变量进行赋值，可赋特殊值(0,1,－1…)；
也可赋y=x、y=－x…，转化为关于x与f(x)的关系式。
